1. Conceptos básicos sobre el problema en cuestión y cuestiones afines. 2. Formulación de los correspondientes algoritmos y su pseudocódigo.

Transcripción

1 Análisis de Algoritmos Ingeniería Informática, EPS-UAM Información general Organización del curso: (mínimo-máximo) semanas docentes: clases teóricas clases de problemas clases prácticas Objetivos Conocimientos teóricos El curso está orientado a estudiantes que quieran profundizar en algoritmos y técnicas básicas de resolución de problemas computacionales. En concreto, y sobre una selección de problemas de interés en computación teórica y práctica, se abordarán: 1. Conceptos básicos sobre el problema en cuestión y cuestiones afines. 2. Formulación de los correspondientes algoritmos y su pseudocódigo. 3. Análisis de la corrección de los algoritmos. 4. Análisis y discusión de las estructuras de datos más adecuadas. 5. Desarrollo manual de los algoritmos sobre ejemplos pequeños. 6. Programación en lenguaje C de los algoritmos. 7. Análisis del rendimiento en el caso peor. Conocimientos prácticos Alcance de un nivel alto de programación en C, a través de la programación de los algoritmos tratados en clase y sus estructuras de datos y la organización del código en bibliotecas.

2 Recomendaciones Conocimientos previos Para un buen aprovechamiento del curso, es sumamente recomendable haber aprobado MTP II y EDI II. El curso puede seguirse de no ser así, pero requerirá un esfuerzo extra considerable, lo que hará más difícil no sólo la superación del mismo, sino también la de otras asignaturas en las que el alumno esté matriculado. Asistencia a las clases Se considera imprescindible la asistencia continua a las clases de teoría y problemas, y a las clases de prácticas. Durante el curso se fomentará la asistencia a las clases de teoría y problemas y se considerará cómo incorporar dicha asistencia y el seguimiento continuado de la asignatura a la calificación final. La entrega de las prácticas propuestas es obligatoria. A su vez, se controlará la asistencia a las clases prácticas, procurándose que la misma influya de alguna manera en la calificación final. Esfuerzo del estudiante Independientemente del trabajo de preparación de exámenes, se recomienda: Un repaso individual de minutos por cada clase teórica. La resolución de unos 6 problemas por semana lectiva. Programa resumido Parte I: Algoritmos en Grafos 1. Revisión de Algoritmos elementales en grafos 2. Algoritmos Codiciosos: Árboles abarcadores mínimos. Problema del Viajante. 3. Algoritmos Recursivos: Búsqueda en Profundidad. Conectividad. Circuitos Eulerianos y Hamiltonianos. Aplicacciones. 4. Algoritmos de Programación Dinámica. Distancias mínimas. Parte II: Técnicas generales de diseño de algoritmos 1. Programación Dinámica 2. Recursividad 3. Algoritmos Codiciosos

3 Bibliografía Weiss, Data structures and algorithm analysis in C, Benjamin Cummings. Cormen, Leiserson, Rivest, Introduction to algorithms, The MIT Press--Mc Graw Hill. Baase, Computer algorithms, Addison-Wesley. Aho, Hopcroft, Ullman, The design and analysis of computer algorithms, Addison-Wesley. Aho, Hopcroft, Ullman, Data Structures and Algorithms, Addison-Wesley. Kernighan, Ritchie, The C programming language, Prentice hall. Kernighan, Pike, The practice of programming, Addison Wesley. Procedimiento de evaluación Evaluación de contenidos teóricos: A. Examen intermedio: 3-4 cuestiones teóricas y prácticas a desarrollar en 1,5 horas. B. Examen escrito final: 6-8 cuestiones teóricas y prácticas a desarrollar en 3 horas. Cálculo de la nota teórica: máximo entre 0,65*(Nota final/10) + 0,35*(Nota intermedia/10). Nota teórica final /10. Evaluación de contenidos prácticos: Se propondrán 4 prácticas de entrega obligatoria. La nota final se obtendrá de su evaluación. Nota final: Nota teórica final x Nota de prácticas x 0.30 Importante: la Teoría y las Prácticas SE APROBARÁN POR SEPARADO.

4 Programa detallado Parte I: Algoritmos en Grafos 1. Revisión de Algoritmos elementales en grafos 1.1. Revisión de conceptos básicos Nodos, ramas, grafos Representación de grafos: matriz de adyacencia, listas de adyacencia Tamaño de grafos, coste de algoritmos 1.2. Problemas de distancia mínima Grafos ponderados Coste de caminos Tipos de problemas de distancia mínima Proceso por Colas y distancia mínima en grafos no ponderados 1.3. Revisión del algoritmo de Dijkstra Colas de prioridad Algoritmo de Dijkstra Caso peor del algoritmo de Dijkstra Corrección del algoritmo de Dijkstra 2. Árboles abarcadores mínimos 2.1. Revisión de árboles abarcadores mínimos Concepto Algoritmo de Prim 2.2. Algoritmo de Kruskal Introducción, ejemplos Pseudocódigo y operaciones básicas 2.3. TAD Conjunto Disjunto Concepto, primitivas: Unión, Find Primitivas, Unión por alturas Tablas como EdDs para bosques

5 Unión por rangos y Find con compresión de caminos Rendimiento de primitivas y de Kruskal sobre bosques 2.4. Corrección de Prim y Kruskal Particiones, cruces y cruces mínimos Psc generalizado de determinación de árboles abarcadores mínimos Corrección de Prim y Kruskal 3. Grafos de tareas 4. Aplicaciones de Búsqueda en Profundidad 4.1. Introducción Conceptos básicos Problemas de conexión Revisión de búsquedas en amplitud y en profundidad Conectividad fuerte en grafos dirigidos (opcional) 4.2. Grafos biconexos Puntos de articulación y grafos biconexos Orden y ascenso de vértices Algoritmo de determinación de puntos de articulación 4.3. Circuitos eulerianos Los puentes de Königsberg (y el dibujo de casitas!!) Existencia de circuitos y caminos eulerianos Algoritmo de determinación de circuitos eulerianos 4.4. Circuitos hamiltonianos y el Problema del Viajante Circuitos hamiltonianos Dificultad, problemas NP y NP-completos El Problema del Viajante (TSP) Solución del TSP y obtención de circuitos hamiltonianos Soluciones aproximadas del TSP 5. Flujos en grafos

6 5.1. Introducción Capacidades y redes de flujo Flujos, valor de un flujo Capacidades residuales y redes residuales 5.2. Algoritmo de Ford-Fulkerson Caminos aumentadores Aumento de flujos Algoritmo de Ford-Fulkerson 5.3. Cortes mínimos y flujos máximos Capacidades y flujos sobre cortes Propiedades de cortes, cortes mínimos Teorema del flujo máximo y del corte mínimo 5.4. Algoritmo de Edmonds-Karp Rendimiento general del algoritmo de Ford-Fulkerson Implementaciones del algoritmo de Ford-Fulkerson Algoritmo de Edmonds-Karp Eficacia del algoritmo de Edmonds-Karp Parte II: Técnicas generales de diseño de algoritmos 1. Programación dinámica El problema de la suma y la criptografía de clave pública Criptografía de clave pública Problemas NP-completos y criptografía de clave pública El problema de la suma Claves públicas y el problema de la suma: algoritmo de Merkle-Hellman Ordenación óptima en el producto de matrices Planteamiento, ejemplos Subestructura óptima y solución recursiva

7 Subestructura óptima y solución de programación dinámica (PD) Algoritmo PD de determinación del orden óptimo Problemas resolubles por programación dinámica Existencia de subestructura óptima Solapamiento de subproblemas Solución bottom-up Árboles binarios de búsqueda óptimos Planteamiento, ejemplos, solución codiciosa Subestructura óptima del coste medio de búsquedas Algoritmo PD de determinación del árbol óptimo Distancias mínimas sobre todos los vértices en grafos densos (opcional) Planteamiento, solución por reiteración del algoritmo de Dijkstra Subestructura óptima de las distancias mínimas entre vértices Algoritmo PD de cálculo de distancias mínimas Comparación de rendimientos Búsquedas aproximadas en cadenas (opcional) Distancia entre cadenas Subestructura óptima de las distancias entre cadenas Algoritmo PD de cálculo de distancias entre cadenas Búsqueda aproximada de cadenas 2. Recursividad El problema de Selección El problema general de Selección, el problema de la mediana Análisis de soluciones elementales Algoritmo QuickSelect I: caso medio lineal Algoritmo QuickSelect II: caso peor lineal Problemas resolubles mediante recursividad Resolución recursiva de problemas

8 Rendimiento general de soluciones recursivas Multiplicación de matrices Análisis del algoritmo estándar, caso mejo Análisis de solución recursiva estándar Algoritmo de Strassen La Transformada Rápida de Fourier Introducción: multiplicación de polinomios Multiplicación desde valores Coste de algoritmo elemental Raíces complejas de la unidad, fórmula de Euler, transformada de Fourier discreta Transformada de Fourier rápida (FFT) Rendimiento de la FFT Multiplicación de números, algoritmo de Schönhage-Strassen Distancias mínimas entre conjuntos (opcional) Planteamiento del problema Solución recursiva Análisis de la solución recursiva 3. Algoritmos codiciosos Secuenciación lineal en colas de trabajos Introducción y planteamiento Secuenciación codiciosa de trabajos Optimalidad de la secuenciación codiciosa Problemas resolubles mediante algoritmos codiciosos Problemas de optimización Subestructura óptima implícita Optimización local y soluciones codiciosas Codificación Hufman Compresión de archivos y códigos de bits

9 Códigos prefijo Algoritmo de Hufman Corrección del algoritmo de Hufman Algoritmos codiciosos y de programación dinámica Problemas de la mochila 0-1 y fraccionario Solución codiciosa del problema fraccionario de la mochila Solución codiciosa errónea del problema 0-1 de la mochila Solución PD del problema 0-1 de la mochila NP-completitud del problema de la mochila Bibliografía Weiss, Data structures and algorithm analysis in C, Benjamin Cummings. Cormen, Leiserson, Rivest, Introduction to algorithms, The MIT Press--Mc Graw Hill. Baase, Computer algorithms, Addison-Wesley. Aho, Hopcroft, Ullman, The design and analysis of computer algorithms, Addison-Wesley. Aho, Hopcroft, Ullman, Data Structures and Algorithms, Addison-Wesley. Kernighan, Ritchie, The C programming language, Prentice hall. Kernighan, Pike, The practice of programming, Addison Wesley.