Productos notables. Parte II

Transcripción

1 Semana 6 6 Empecemos! Esta semana continuamos descubriendo otros productos notables, en este caso los referidos al cubo. Al finalizar estarás en la capacidad de: Identificar los productos notables y su desarrollo. Transformar una expresión algebraica a otra equivalente. Resolver ejercicios aplicando los diferentes casos de productos notables. Valorar los productos notables como herramientas que permiten agilizar los cálculos. Expresar matemáticamente lo que se indica en ciertas expresiones verbales. Qué sabes de...? 1. Qué significa hallar el cubo de un número? 2. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados: a) La suma de cinco al cubo y de catorce al cubo. b) El cubo de la suma de cinco y catorce. c) La diferencia de los cubos de setenta y treinta y ocho. d) El cubo de la diferencia entre ciento dieciséis y ochenta y siete. e) El cubo del doble de cuatrocientos. El reto es Comprender la relación geométrica y algebraica de los productos notables, así como la utilidad de estos en el cálculo mental.

2 Semana 6 Vamos al grano Cubo de una suma (a+b) 3 Para hallar el desarrollo del cubo de una suma, vamos a tomar como referencia el cubo que se muestra en la figura 8. El lado del cubo es a+b, su volumen se obtiene multiplicando la medida de ese lado por sí mismo tres veces: V=(a+b)(a+b)(a+b)=(a+b) 3. b a 3 a b 3 Figura 8. Descomposición de un cubo A la derecha del cubo se muestra la descomposición de éste, es decir, la suma de dichas partes es igual al volumen del cubo, (a+b) 3. Se tiene que: (a+b) 3 = a 3 +b =(a+b) 3 =a 3 +b El cubo de una suma de dos términos es igual al cubo del primer término (a 2 ) más el triple del cuadrado del primer número por el segundo (3 a 2 b), más el triple del primero por el cuadrado del segundo término (3 a b 2 ), más el segundo al cubo (b 3 ). El cubo de una suma (a+b) 3, también puede hallarse multiplicando (a+b) 2. (a+b) Ejemplos: 1. Hallar (5x+2y 4 ) 3 a) El cubo del 1er término es: (5x) 3 =5x 5x 5x=125x 3 b) El triple del cuadrado del primero por el segundo término es: 3 (5x) 2 2y4 =3 25x 2 2y4 =150x 2 y 4 c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo es: 191

3 Semana 6 3 5x (2y 4 ) 2 =15x 4y 8 = 60xy 8 d) El cubo del segundo término es: (2y 4 ) 3 =2y 4 2y 4 2y 4 =8y 12 Entonces: (5x+2y 4 ) 3 =125x x 2 y 4 +60xy 8 +8y (3x 2 +m) 3 =(3x 2 ) 3 +3 (3x 2 ) 2 m+3 3x2 (m) 2 +(m) 3 =27x x 4 m+9x2 m2 +m 3 =27x 6 +27x 4 m+9x 2 m 2 +m 3 Cubo de una diferencia (a-b) 3 Para hallar (a-b) 3, podemos emplear nuestros conocimientos de potencia, para descomponerlo: (a-b) 3 =(a-b) 2 (a-b) (se desarrolla el producto notable cuadrado de la diferencia). =(a 2-2ab+b 2 ) (a-b) (se efectúa el producto de polinomios). =a ab 2 +-b 3 (se reducen los términos semejantes). =a 3-3+3ab 2 -b 3 Escribe un enunciado que se ajuste a la igualdad anterior. Guíate por el cubo de una suma y ten en cuenta los signos. Ejemplos: 1. (3a 2-7xz 4 ) 3 2. (1-4y) 3 a) El cubo del 1er término es: (3a 2 ) 3 = 3a 2 3a 2 3a 2 = 27a 6 b) El triple del cuadrado del primero por el segundo término: 3 (3a 2 ) 2 7xz 4 =3 9a 4 7xz 4 =189a 4 xz 4 c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo es: 3 3a 2 (7xz 4 ) 2 = 9a 2 49x 2 z 8 = 441a 2 x 2 z 8 d) El cubo del segundo término es: (7xz 4 ) 3 = 7xz 4 7xz 4 7xz 4 = 343x 3 z 12 (3a 2-7xz 4 ) 3 = 27a 3-189a 4 xz a 2 x 2 z 8-343x 3 z 12 (1-4y) 3 = y+3 1 (4y) 2 -(4y) 3 =1-12y+3 16y 2-64y 3 =1-12y+48y 2-64y 3 192

4 Semana 6 Cálculo mental y productos notables Veamos cómo podemos hacer uso de los productos notables para hallar el cuadrado de un número de manera sencilla y rápida y sin usar la calculadora. Para ello necesitas recordar los cuadrados de los primeros números y de otros elementales. Números Cuadrados Por ejemplo, si te piden hallar el cuadrado de 63, puedes descomponerlo como la suma de dos números, cuya suma sea el número inicial, es decir, 63= Lo importante es saber elegir convenientemente la base que se eleva al cuadrado. Así, tenemos que (60+3) 2 = = = 3969, es decir, 63 2 = Compruébalo con la calculadora! Halla el cuadrado de 38. Puedes escribirlo como 38= 30+8 o 38= En la primera expresión tendrías el cuadrado de la suma y en la segunda el cuadrado de una diferencia: 38 2 = (40-2) 2 = = =1444. Hállalo usando la suma de cuadrados. Sigamos encontrando resultados maravillosos. Con cualquier número de dos dígitos que termine en 5, podemos obtener un patrón que nos permita hallar con facilidad el cuadrado de estos números. Estos pueden expresarse como: 10x+5, si x=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, tendremos respectivamente: =5, =10+5=15, =25,, 75, 85 y 95. El cuadrado del número, vendrá dado por: (10x+5) 2 =(10x) 2 +10x 10+25=100x x+25 Cuadrado de una suma. =100x(x+1)+25 La expresión x(x+1) es el resultado de multiplicar las cifras de las decenas por su número consecutivo. Multiplicar el número por 100 y sumarle 25. Veámoslo con un ejemplo concreto: (75) 2 =5625 Se efectúa la operación multiplicando la cifra de las decenas por otra mayor en una unidad (la cifra de la decena es: 7,7x8=56) y escribiendo 25 a continuación del resultado, esto da Calculemos el cuadrado de 45, su decena es 4, se multiplica este por el número consecutivo 4x5=20 y a continuación de este colocamos 25, esto es: (45) 2 =2025 listo! Halla el resto de los números cuadrados de dos cifras que terminen en

5 Semana 6 Con un poco de ejercitación podrás realizar los cálculos en cuestión de segundos Sorprende a tus compañeros y familiares! Con el cálculo mental no se debería buscar únicamente la rapidez o inmediatez como si fuera un recetario, sino el análisis de las situaciones numéricas y la comprensión de conceptos relacionados con las operaciones y sus propiedades. Para saber más Para reforzar el tema mediante la explicación clara de algunos videos, te sugerimos visitar la siguiente dirección web: Aplica tus saberes Resuelve los siguientes ejercicios: a) (x-6) 3 b) (9+y 2 ) 3 c) (4z-5) 3 d) (5x+z 3 ) 3 e) (6-7y) 3 f) (5x 2 +w) 3 Comprobemos y demostremos que Autoevalúate! Realicé los ejercicios propuestos en las últimas dos semanas Consulté los enlaces sugeridos Consulté las dudas con el facilitador Nunca Frecuentemente Siempre 194 El buen humor gana batallas que la fuerza y la razón perderían. Juan C. Abella