Números en Ciencias Explorando Medidas, Dígitos Significativos y Análisis Dimensional

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1 Números en Ciencias Explorando Medidas, Dígitos Significativos y Análisis Dimensional Tomando Medidas La precisión de una medida depende de dos factores: las destrezas del individuo tomando las medidas y la capacidad de medida del instrumento. Cuando se toman medidas, se debe siempre leer la marca más pequeña en el instrumento y luego se debe estimar otro dígito después de la marca. Por ejemplo, si usted está midiendo la pieza de acero usando la regla (parte derecha) que se muestra en la figura de arriba, usted puede decir con seguridad que la medida de la pieza está entre 1 y 2 centímetros. Sin embargo, usted DEBE incluir un dígito adicional para estimar la distancia entre las marcas de 1 y 2 centímetros. La medida correcta usando esta regla debe ser reportada como 1.5 centímetros. Sería incorrecto reportar esta medida como 1 centímetro, o más aun, como 1.50 centímetros dada la escala de esta regla. Supongamos que usted está utilizando ahora la parte izquierda de la regla. Cuál sería la medida correcta de la pieza de acero usando esta parte de la regla? 1.4 centímetros? 1.5 centímetros? 1.45 centímetros? La respuesta correcta es 1.45 centímetros. Debido a que las marcas más pequeñas de esta regla se encuentran en décimas, debemos llevar nuestra medida al lugar de las centésimas. Si el valor medido se encuentra exactamente en la marca de la escala, el dígito estimado debe ser 0. La temperatura en el termómetro debe leer 32.0 C. Un valor de 32 C podría implicar que la medida fue tomada con un termómetro que tiene marcas que se encuentran 10 separadas, no 1.

2 Cuando se usan instrumentos con lecturas digitales, se deben leer todos los dígitos que se muestran. El instrumento realiza el estimado por usted. Cuando medimos líquidos en probetas estrechas, la mayoría de los líquidos forman una pequeña curvatura en el medio. A esta curvatura se le llama menisco. Sus medidas deben ser leídas desde la parte de abajo del menisco. Las probetas plásticas usualmente no tienen meniscos. En este caso, usted debe leer la probeta desde la parte de arriba de la superficie del líquido. Practique cómo leer el volumen de las 4 probetas de abajo. DIGITOS SIGNIFICATIVOS Hay dos clases de dígitos que usted va a encontrar en ciencias, números exactos y números medidos. Los Números Exactos se conocen porque son absolutamente correctos y se obtienen contando o por definición. Contar una pila de 12 centavos es un número exacto. Definir que en 1 día hay 24 horas es un número exacto. Los números tienen un número infinito de dígitos significativos. Los Números Medidos, como los que vimos anteriormente, envuelven alguna estimación. Los dígitos significativos son dígitos que se piensa son correctos por medio de la persona que los escribe y toma las medidas. Se presume que la persona es competente en el uso de los instrumentos de medida. Para contar el número de dígitos significativos representados en una medida seguimos 2 reglas básicas: 1. Si el dígito NO es cero, el dígito es significativo. 2. Si el dígito ES cero, es significativo si: a. Esta entre medio de dos dígitos significativos O b. Es el dígito final de un número que tiene un lugar decimal. Ejemplos: 3.57 ml tiene 3 dígitos significativos (Regla 1) 288 ml tiene 3 dígitos significativos (Regla 1) 20.8 ml tiene 3 dígitos significativos (Regla 1 y 2a) ml tiene 4 dígitos significativos (Regla 1, 2a y 2b)

3 0.01 ml tiene solo 1 dígito significativo (Regla 1) ml tiene 2 dígitos significativos (Regla 1 y 2b) ml tiene 3 dígitos significativos (Regla 1 y 2b) 3.20 x 10 4 kg tiene 3 dígitos significativos (Regla 1 y 2b) DIGITOS SIGNIFICATIVOS EN CALCULOS Los números calculados nunca deben tener más dígitos significativos que las medidas que fueron utilizadas para hacer el cálculo. Las reglas para calcular incluyen dos categorías: 1. Suma y resta: Las respuestas deben ser redondeadas usando el mismo número de lugares decimales que la medida que tiene el menor número de lugares decimales ml ml = (valor de la calculadora), se reporta 47.5 ml. 2. Multiplicación y división: Las respuestas deben ser redondeadas usando el mismo número de dígitos significativos que el número con la menor cantidad de dígitos significativos cm x cm = (valor de la calculadora), se reporta 15.2 cm 2 ANALISIS DIMENSIONAL A través de su estudio en ciencias es importante que unidades acompañen todas sus medidas. Monitorear las unidades en un problema, le puede ayudar a convertir una cantidad medida en su cantidad equivalente con una unidad diferente o arreglar un problema o cálculos sin la necesidad de usar una fórmula. En problemas de conversiones, enunciados iguales tal como 1 ft = 12 pulg. se convierten en fracciones y después se unen de manera que todas las unidades, excepto las que se necesitan, se cancelan del problema. Recuerde que los números definidos, como 1 y el 12 arriba, son números exactos y por lo tanto no afectan el número de dígitos significativos en su respuesta. Este método también se conoce como el método Rotular-Factor o el método Rotular-Unidad. Para organizar un problema de conversión, siga los siguientes pasos. 1. Piense y escriba todos los enunciados "=" que usted sabe le ayudará a cambiar de su unidad actual a la nueva unidad. 2. Haga fracciones son sus enunciados = (debe haber 2 fracciones para cada enunciado = ). Deben ser recíprocos uno del otro. 3. Empiece a resolver el problema escribiendo la cantidad dada a la izquierda de su papel con las unidades y luego escoja las fracciones que permitan las unidades del numerador cancelar con las unidades del denominador y viceversa. 4. Usando su calculadora, leer los números de izquierda a derecha y escribir los números del numerador y denominador en orden. Escriba un signo de multiplicación antes del número del numerador y un signo de división para los números de los denominadores. Alternativamente, puede escribir todos los numeradores, separados por signos de multiplicación, y todos los denominadores separados por signos de división.

4 5. Redondee la respuesta que le da su calculadora al mismo número de dígitos significativos que su número original. Ejemplo: Cuántas pulgadas hay en 1.25 millas? Solución: 1 ft = 12 pulg _1 ft O 12 pulg 12 pulg 1 ft 5280 ft = 1 milla 5280 ft O 1 milla 1 milla 5280 ft 1.25 millas x 5280 ft x 12 pulg = 79,200 pulg. 1 milla 1 ft Mientras los problemas son más complejos, las medidas pueden incluir unidades fraccionales o exponentes. Para resolver estos problemas, trabaje con cada unidad independientemente. Diseñe sus factores de conversión de manera que las unidades dadas cancelen con un numerador o un denominador, según sea apropiado, y que su respuesta tenga las unidades apropiadas. Algunas veces, la información dada en el problema es una igualdad que puede ser usada como factor de conversión. Ejemplo: Suponga que el tanque de gasolina de su automóvil se llena con 23 gal y el precio de la gasolina es 33.5 por L. Cuánto dinero le costará llenar el tanque se du carro? (Respuesta en dólares) Solución: En una tabla de referencia encontramos: 1 L = 1.06 qt 4 qt = 1 gal Debemos reconocer del problema que el precio de la gasolina es también una igualdad, 33.5 = 1 L, y Arreglando los factores encontramos, 23 gal x 4qt x 1L x 33.5 x $1 = $29 1 gal 1.06 qt 1 L 100 En su calculadora usted debe escribir 23 x x y debe obtener Sin embargo, dado que el valor de 23 gal tiene solo dos dígitos significativos, su respuesta debe ser redondeada a $29. Unidades cuadradas y cúbicas son potencialmente difíciles. Recuerde que un cm 2 es realmente cm x cm. Así que, si necesitamos convertir cm 2 a mm 2 tenemos que usar el factor de conversión 1 cm = 10 mm dos veces de manera que las dos unidades de centímetros cancelen.

5 Ejemplo: Un litro es exactamente 1000 cm 3. Cuántas pulgadas cúbicas hay en 1.0 L? Debemos saber que 1000 cm 3 = 1L En una tabla de referencia encontramos, 1 pulg. = 2.54 cm Arreglando los factores encontramos: 1.0 L x 100 cm x cm x cm x _1 pulg._ x _1 pulg._ x _1 pulg._ = 61 pulg. 3 1 L 2.54 cm 2.54 cm 2.54 cm (La respuesta tiene 2 dígitos significativos ya que la cantidad dada de 1.0 L tiene dos dígitos significativos.) Mientras usted se va familiarizando con el concepto de cancelar unidades, usted va a encontrar que este método es una herramienta bien conveniente para resolver problemas. Cuando usted sabe las unidades de las medidas dadas, y enfocándose en las unidades requeridas para la respuesta, usted puede derivar una fórmula y calcular correctamente su respuesta. Esto es muy útil cuando a usted se le olvida o no sabe una fórmula! Ejemplo: Aunque a lo mejor usted no sabe la fórmula exacta para resolver este problema, usted debe ser capaz de parear las unidades de manera tal que solo las unidades que usted necesita no se cancelen. Cuál es el volumen, en litros, de 1.5 moles de gas a 293 K y a una presión de 1.0 atm? La constante de los gases ideales es L atm mol K Solución: No es necesario saber la fórmula de los gases ideales para resolver este problema correctamente. Trabajando con la constante, dado a que esta tiene un grupo de unidades, tenemos que cancelar todas las unidades menos L. Si hacemos esto, debemos colocar los moles y kelvin en el numerador y las atmósferas en el denominador L atm x 1.5 mol x 293 K x = 33 L mol K 1.10 atm (2 dígitos significativos se necesitan dado a que, de las medidas dadas, la de menor cantidad de dígitos significativos es 2) **NOTA: NUNCA considere el número de dígitos significativos en una constante para determinar el número de dígitos significativos a reportar en una respuesta.

6 PROPOSITO En esta actividad usted va a recibir algunos aspectos importantes de los números en ciencias y luego, usted va a aplicar las reglas de manipular esos números a sus propias medidas y cálculos. MATERIALES cubo pequeño regla métrica envase de 200 ml probeta grande objeto esférico pinzas cinta de medir flexible balanza PROCEDIMIENTO *Recuerde que cuando usted esté tomando medidas, es su responsabilidad estimar el dígito entre las dos marcas más pequeñas del instrumento. 1. Pese el cubo pequeño en una balanza y anote su medida en la tabla de datos en la hoja del estudiante. 2. Mida las dimensiones (el largo, ancho y el alto) del cubo pequeño en centímetros, y utilice la capacidad total de su regla. Anote las medidas en su tabla de datos. 3. Llene el envase de 200 ml con agua hasta la línea de 100 ml. Cuidadosamente, coloque el cubo dentro del envase y utilice las pinzas para sumergir el cubo suavemente. El cubo debe estar cubierto solo por un poco de agua. Anote el nuevo volumen y el volumen final del agua. 4. Llene la probeta grande con alrededor de ¾ de agua. Anote este volumen como volumen inicial. Utilizando las pinzas, sumerja el cubo y anote el volumen final. 5. Pese el objeto esférico en la balanza y anote la medida en su tabla de datos. 6. Utilizando la cinta de medir flexible, mida la circunferencia de la esfera en centímetros. Tenga mucho cuidado al usar la cinta flexible.utilícela a toda su capacidad. 7. Llene el envase de 200 ml con agua hasta la marca de 100 ml. Cuidadosamente, coloque el objeto esférico en el envase y, si es necesario, utilice las pinzas para sumergir cuidadosamente la esfera. Anote el volumen final del agua en el envase. 8. Llene la probeta grande con alrededor de ¾ de agua. Anote este volumen como volumen inicial. Si es necesario, utilice las pinzas para sumergir la esfera y anote el volumen final del agua. 9. Seque el cubo y la esfera y limpie toda el área de laboratorio según las instrucciones de su maestra.

7 Nombre Periodo Números en Ciencias Explorando Medidas, Dígitos Significativos y Análisis Dimensional DATOS Y OBSERVACIONES Tabla de Datos DATOS DEL CUBO Masa: Dimensiones largo: ancho: alto: Volumen Volumen Inicial Volumen final del envase: 100 ml del envase: Volumen Inicial de la probeta: Volumen final de la probeta: DATOS DE LA ESFERA Masa: Dimensiones largo: ancho: alto: Volumen Volumen Inicial Volumen final del envase: 100 ml del envase: Volumen Inicial de la probeta: Volumen final de la probeta: Fórmula para calcular el volumen de un cubo: Fórmula para calcular la circunferencia de un círculo: Fórmula para calcular el diámetro de un círculo: Fórmula para calcular el volumen de una esfera: ANALISIS Recuerde seguir las reglas para reportar los datos calculados y las respuestas con el número correcto de dígitos significativos. Usted podría necesitar tablas métricas e Inglesas de conversiones de factores para trabajar algunos de estos problemas. 1. Para cada una de las medidas tomadas, indique el número de cifras significativas (en paréntesis) después de cada medida. Ej: 15.7 cm (2ds) 2. Utilice análisis dimensional para convertir la masa del cubo a: a. mg b. onzas

8 3. Calcule el volumen del cubo en cm Utilizando análisis dimensional, convierta el volumen del cubo de cm 3 a m Calcular el volumen del cubo en ml medido del envase. Convertir el volumen a cm 3. Recuerde que 1 cm 3 = 1mL 6. Calcular el volumen del cubo en ml medido de la probeta. Convertir a cm 3. Recuerde que 1 cm 3 = 1 ml. 7. Usando la fórmula para densidad D = masa, calcular la densidad del cubo que se calculó con: volumen a. Regla b. Envase c. Probeta 8. Usando análisis dimensional convierta las tres densidades a kg/cm Convertir la masa de la esfera a: a. kg b. lbs.

9 10. Usando la circunferencia calculada, calcular el diámetro de la esfera. 11. Calcular el radio de la esfera. 12. Calcular el volumen de la esfera usando el radio. 13. Calcular el volumen de la esfera en ml medido en el envase. Convertir a cm 3. (1 cm 3 = 1 ml) 14. Calcular el volumen de la esfera en ml medido en la probeta. Convertir a cm 3. (1 cm 3 = 1 ml) 15. Usando la fórmula para densidad D = masa, calcular la densidad de la esfera que se calculó con: volumen a. Cinta de medir b. Envase c. Probeta 16. Usando análisis dimensional convertir estas tres densidades en lbs/ft 3.

10 PREGUNTAS DE CONCLUSION 1. Compare las densidades del cubo cuando el volumen fue medido con la regla, el envase y la probeta. Cuál de los instrumentos proveyó el valor de densidad más exacto? Usar el concepto de dígitos significativos para explicar su respuesta. 2. Un estudiante encuentra primero el volumen de un cubo por desplazamiento de agua usando una probeta. Luego, el estudiante mide la masa del cubo antes de secarlo. Cómo este error afecta la densidad calculada del cubo? Su respuesta debe incluir si la densidad calculada aumentará, disminuirá o será la misma. Su respuesta debe ser justificada. 3. Un estudiante mide la circunferencia de una esfera en un punto un poco más alto del medio de la esfera. Cómo este error puede afectar la densidad calculada del cubo? Su respuesta debe incluir si la densidad calculada aumentará, disminuirá o será la misma. Su respuesta debe ser justificada.