CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicación Examen, 7 de Septiembre de 2004 Primera parte

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1 CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicción Exmen, 7 de Septiembre de 24 Primer prte Ejercicio. Clculr ls coordends de los puntos P y Q de l prábol y x 2, tles que el triángulo formdo por el eje x y ls rects tngentes l prábol en P y Q se equilátero. P Q Solución. L pendiente de l rect tngente l prábol y x 2 en el punto (x, y) es y, por lo que l ecución de dich rect tngente es Y y (X x). El punto intersección de est rect con el eje y tiene ls siguientes coordends X, Y y + 2 x x 2. Ls coordends del punto intersección de l rect tngente con el eje x son Y, X x + y 2 + x 2 +x2, x 6. Observemos que en el cso x, l rect tngente es Y, que no form triángulo. Ddo que los tres ángulos de un triángulo equilátero son igules π/3, tenemos que tn π 3 +x2 +x 2 tn π 3 +x2 +x2 si x> 3 si x>, si x< 3 si x<. Entonces ls bciss de los puntos P y Q son 3/2 y 3/2. El vlor de l ordend es à ±! 2 3 y Ls coordends de los puntos son P 3/2, /4 y Q 3/2, /4.

2 Ejercicio 2. Clculr el vlor de l integrl impropi I n donde n es un entero positivo. (ln x) n dx, Solución. Usremos l fórmul de integrción por prtes con u (lnx) n y dv dx, obteniendo du n (ln x) n x dx y v x. Entonces I n (ln x) n dx [x (ln x) n ] n lim lim [ (ln ) n ] ni n. Clculmos el límite usndo l regl de L Hôpitl, lim [ (ln (ln ) n )n ] (ln x) n dx n (ln ) n 2 n (n ) (ln ) n 2 ( ) 2 2 ( ) 2 (ln ) n 2 n (n ) lim. Reiterndo l plicción de est regl, En consecuenci (ln ) n lim ( ) n n!lim ln ( ) n n!lim. (ln x) n dx ( ) n n!lim n (ln ) n 2 I n ni n ( ) 2 n (n ) I n 2 ( ) n n!i. Finlmente, usndo de nuevo integrción por prtes con u lnx y dv dx, I ln xdx[xln x] dx, lo que implic que I n ( ) n n! pr culquier entero positivo n. 2

3 CÁLCULO Primer curso de Ingeniero de Telecomunicción Exmen, 7 de Septiembre de 24 Segund prte Ejercicio 3. Hllr el máximo y el mínimo bsolutos de l función f (x, y) ln +x 2 + y 2 en el conjunto D (x, y) R 2 : x 2 + y 2 4 ª. Z x +t 4 dt, Solución. En primer lugr, obtenemos los puntos críticos del interior de D, resolviendo el sistem f x (x, y) +x 2 + y 2 +x y 2 +x 2 + y 2 + x 4 + x 6 + x 4 y 2, 2y f y (x, y) +x 2 + y 2. L segund ecución implic y, luegolprimerimplicx 5 x 3 y obtenemos x 3 x 2 x obien x ±. Entonces, los puntos interiores de D cndidtos extremos son P (, ), P 2 (, ), P 3 (, ). L fronter de D se define con g (x, y) x 2 + y 2 4. Aplicndo el criterio de los multiplicdores de Lgrnge, clculmos los puntos solución del sistem f (x, y) λ g (x, y), resolviendo +x 2 + y 2 +x 4 2λx, 2y +x 2 + y 2 2λy, x 2 + y 2 4. Si x, l tercer ecución implic que y 2 4, por lo que P 4 (, 2) y P 5 (, 2) son dos puntos de l fronter de D cndidtos extremos. En el cso x 6, hy dos posibiliddes. L primer es que y, luego x 2 4, obteniendo P 6 (2, ) y P 7 ( 2, ). L segund es que y 6, por lo que +x 2 + y 2 +x 4 λ, +x 2 + y 2 λ. 3

4 Ambs ecuciones implicn, que es un contrdicción, luego no +x4 existen soluciones con mbs coordends no nuls. Los vlores de l función en los puntos obtenidos son f (P )ln(), f (P 2 )ln(2) f (P 3 )ln(2) Z +t 4 dt ln(2) rctn t 2 ln(2) π , dt ln(2)+ +t4 Z +t 4 dt ln(2)+ rctn t 2 ln(2) π , f (P 4 )f (P 5 )ln(5).694, f (P 6 )f (P 7 )ln(5) rctn Entonces, el mínimo bsoluto se lcnz en P 2 y P 3, y el máximo bsoluto en P 4 y P 5. 4

5 Ejercicio 4. Se V el sólido definido por V (x, y, z) R 3 : x, y, z, y + z 4, x 6 ª, y se S l superficie cerrd que limit V. Clculr, directmente y medinte el teorem de Guss, el flujo de slid trvés de S del cmpo vectoril F (x, y, z) (xe z,ye z,e z ). Solución. Clculmos el flujodesliddelcmpotrvésdelscincoprtes de S, que son los triángulos S (contenido en el plno x )ys 2 (contenido en el plno x 6), los rectángulos S 3 (contenido en el plno y )ys 4 (contenido en el plno z ),yltpsuperiors 5 (contenid en el plno y + z 4). Prmetrizmos S medinte S (y, z) (,y,z), donde y, z, y + z 4. L norml exterior es (,, ) yelflujodeslidtrvésdes es Z 4 Z 4 y F NdS (,ye z,e z ) (,, ) dz dy. S Un prmetrizción del triángulo S 2 es S 2 (y, z) (6,y,z) donde y, z, y + z 4. El flujo de slid trvés de S 2 es Z 4 Z 4 y F NdS (6e z,ye z,e z ) (,, ) dz dy S 2 Z 4 Z 4 y 6e z dz dy 6 Z 4 e 4 y dy 6 e 4 y y e 4 6e 4 3. El rectángulo S 3 se prmetriz con S 3 (x, z) (x,,z), donde x 6, z 4 ylnormlexteriores(,, ). El flujodeslidtrvésdes 3 es F NdS (xe z,,e z ) (,, ) dz dx. S 3 El rectángulo S 4 se prmetriz con S 4 (x, y) (x, y, ), donde x 6, y 4 y l norml exterior es (,, ). El flujodeslidtrvésdes 4 es F NdS (x, y, ) (,, ) dy dx dy dx 24. S 4 L tp superior S 5 está contenid en el plno y + z 4, siendo y, z, x 6. Por tnto y 4 z lo que implic z 4. Un 5

6 prmetrizción de S 5 es S 5 (x, z) (x, 4 z, z), donde x 6, z 4 y el producto vectoril fundmentl es i j k (S 5 ) x (S 5 ) z (,, ), que tiene l dirección interior l sólido (cmbimos el signo). Entonces F NdS (xe z, (4 z) e z,e z ) (,, ) dx dz S 5 (5 z) e z dx dz ³ 5[e z ] 4 [zez ] 4 +[ez ] 4 dx 2e 4 6 dx 2e 4 36, usndo l fórmul de integrción por prtes. En consecuenci, el flujo de slid del cmpo F trvésdes es F NdS6e e 4 36 S 8e e 4 5. El teorem de Guss firm que el flujodesliddelcmpof trvésde S coincide con l integrl triple de l divergenci de F, es decir Z F NdS div Fdxdydz. S Clculmos div F 3e z, y el vlor de l integrl triple es Z Z 4 y div Fdxdydz3 e z dz dy dx V V 8 e 4 5. e 4 y dy dx e 4 y y 4 dx 4+e 4 dx 6

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