PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

Transcripción

1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A

2 Siendo ln x el logaritmo neperiano de x, considera la unción : (, ) deinida por ( x) x ln x. Calcula: a) ( x) dx. b) Una primitiva de cuya gráica pase por el punto (,). MATEMÁTICAS II.. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Vamos a calcular la integral I x lnx dx, que es una integral por partes. u ln x; du dx x x dv x dx; v x x x x 4 I x ln x dx ln x dx ln x x C b) Calculamos una primitiva que pase por el punto (,). ln C C 4 4 Luego, la primitiva que nos piden es: x I ln x x 4 4

3 Halla el área del recinto rayado que aparece en la igura adjunta sabiendo que la parte curva x tiene como ecuación y x MATEMÁTICAS II.. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. x 4 A dx dx x 4ln( x) 4ln x x x A ( x ) dx x x A ( x ) dx x El área pedida es: A A A A 4ln 4ln

4 Se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola y x y la recta y en dos regiones de igual área mediante una recta y a. Hallar el valor de a. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. Calculamos el área encerrada por la parábola y x y la recta y. x 4 Área ( x ) dx x u Calculamos los puntos de corte de la parábola y x y la recta y a. x a x a a a x a a 4 ( a x ) dx ax a a a a a 4

5 5x si x Sea : la unción deinida por: ( x) x x si x a) Esboza la gráica de. b) Calcula el área de la región limitada por la gráica de, el eje de abscisas y la recta x. MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) b) 5x x Área (5x ) dx ( x x ) dx x x x u 6

6 a( x ) si x Considera la unción : (, ) deinida por: ( x) x ln x si x a) Determina el valor de a sabiendo que es derivable. b) Calcula ( x) dx MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO OPCIÓN B. a) Para que sea derivable primero tiene que ser continua, luego: lim a( x) x x lim lim Continua x x x lim x ln Calculamos la unción derivada: a si x '( x) ln x si x '( ) a a '( ) b) x x ln x x 5 ( x) dx ( x ) dx x ln x dx x ln ln 4 4 4

7 Sea : la unción dada por : a) Esboza la gráica de. b) Estudia la derivabilidad de. c) Calcula ( x) dx x ( ) x MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) x si x b) Abrimos la unción: ( x) x si x, la unción es continua en. x si x x si x Calculamos la unción derivada: '( x) x si x x si x '( ) '( ) '( ) '( ) ; '( ) '( ) '( ) '( ) Luego, la unción es derivable en,. c) x x 8 ( x) dx ( x ) dx ( x ) dx x x

8 Sea : la unción deinida por: ( x) x 9x x. a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de. b) Determina los extremos relativos y de con y calcula ( x) MATEMÁTICAS II.. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B. dx a) Calculamos la derivada y la igualamos a cero. x x x x x '( ) 6 8 ;,,, Signo y ' + Función D C D Máximo en (,5) ; mínimo en (, 4) b) 4 x 9x x 9 ( x 9x x) dx

9 si x Sea : la unción deinida por: ( x) x a) Determina m sabiendo que es derivable. b) Calcula ( x) dx mx x si x MATEMÁTICAS II.. RESERVA 4. EJERCICIO OPCIÓN A. a) Para que sea derivable primero tiene que ser continua, luego: lim x lim lim lim x x Continua x x mx x Calculamos la unción derivada: '( x) ( x) si x m x si x '( ) m '( ) m b) x x 7 ( x) dx dx ( x x ) dx ln( x) x ln ln x 6

10 4x si x 6 Considera la unción :,4 deinida por: ( x) si x ( x ) 4 x si x 4 a) Esboza la gráica de. b) Halla el área del recinto limitado por la gráica de y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II.. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) b) x 4 (4 ) 4 4 ( x) ( x ) Área x dx dx x dx x x u

11 Calcula el área encerrada entre la curva y x 4x y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II.. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. Vamos a calcular los puntos de corte de la unción Por lo tanto, el área pedida será: y x 4x x x x x x 4 ; ; y el eje de abscisas y 4 4 x x A x 4x dx x 4x dx x x u

12 a) Dibuja el recinto limitado por la curva y cos x, los ejes de coordenadas y la recta x. b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior. MATEMÁTICAS II.. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) b) Vamos a calcular los puntos de corte de la unción y cos x y el eje de abscisas y cos x cos x x Por lo tanto, el área pedida será: x x cos cos A x dx x dx sen x sen x u 6 6 6