Los números. Para empezar LOS NÚMEROS REALES
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- Josefa Saavedra Bustamante
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1 Los números Para empezar Al comienzo los hombres solo aceptaban los números naturales:,,, etcétera. Uno puede tener hijos, 4 perros o 9 lápices, pero no tiene sentido hablar de,5 hijos ni de 4 perros y tres cuartos. Al medir magnitudes como el peso o la longitud, las fracciones se hicieron imprescindibles; ellas son cocientes o razones de números enteros. Los pitagóricos descubrieron otro número,, que es lo que mide la diagonal de un cuadrado de lado, y no se lo puede epresar como un cociente o razón de números enteros; es un número irracional. Los griegos no aceptaban que hubiera números menores que el cero. Pero, una deuda es menos que nada. Esos números se denominan negativos, lo que proviene de la palabra negar, que se relaciona con la negativa de los griegos a aceptar la eistencia de estos números. Fuente: Isaac Asimov, De los números y su historia. Conoces otros números irracionales? Escríbelos aquí: LOS NÚMEROS REALES a. Coloca una cruz en la casilla cuando corresponda. N Z Q I π, b. Ubica en la recta numérica los números de la tabla anterior.. Señala con un las afirmaciones verdaderas. Los números racionales son números reales. Los números irracionales no son reales. El conjunto de los números reales está formado por el de los racionales y el de los irracionales. Los números enteros son reales. 0 Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 5.9
2 . Ordena de menor a mayor los siguientes números reales. 7 0,,5,44,555 4 Considera la siguiente desigualdad: < < 5. a. Es posible que sea natural? b. Es posible que sea entero negativo? c. Es posible que sea un racional no entero? d. Es posible que sea irracional? En los casos en que sí sea posible, da un ejemplo para el número. 5 Encuentra la regla que pudo usarse para inventar estos números irracionales y escribe las cinco cifras decimales que siguen. a., e. 5, b., f. 0, c. 0,. g. 0, d.,. h. 0, Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley Cuando sea posible, escribe lo que se pide; cuando no lo sea, eplica por qué. 8 a. Un número racional comprendido entre y. 5 4 b. Un número racional comprendido entre 0,96 y 0,97. c. Un número irracional comprendido entre y 5. d. El menor racional mayor que. 7
3 APROXIMACIONES 7 Desde la invención de la rueda en el período Neolítico hasta que en 766 Lambert lo nombró irracional, el número π ha ocupado un lugar en la historia. Te presentamos algunas de las diferentes aproimaciones que se han dado del número a lo largo de la historia: Año Valor Egipto 000 a.c.,605 China 00 a.c. La Biblia 550 a.c. Tsu Chun-Chi 500 a.c.,4596 < π <,4599 Arquímedes 00 a.c.,4084 < π <,4857 Ptolomeo 00 a.c Aryabhata 500 a.c.,46 Bramaghupta 600 a.c. 0 Fibonacci 0,488 Ordena de menor a mayor las aproimaciones de π que aparecen en la tabla. 8 8 Hay algunos números irracionales tan famosos como el número π. Uno de ellos es el llamado número de oro o de Fidias, representado con la letra griega φ (fi) y cuyo valor redondeado a los centésimos es,6. Este número remite a lo que los renacentistas llamaron la divina proporción: en una construcción armoniosa, como la del Partenón griego, la relación entre el lado mayor y el menor del rectángulo en el que se encuadra el frente vale aproimadamente φ. Halla con tu calculadora el valor aproimado de φ con 8 decimales. φ= + 5 = Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 5.9
4 9 Estos son los primeros ocho términos de la sucesión de Fibonacci:,,,, 5, 8,,, El tercer término,, es la suma de los dos anteriores; el cuarto término,, también resulta de la suma de los dos que le preceden, y así todos los demás. Lo curioso de esta sucesión es que el cociente entre dos términos consecutivos bastante grandes se acerca a la razón áurea o número de oro, y se estará más cerca cuanto más grandes sean los términos: ; 5 ; 8 ; ; 5 ;... a. Averigua cuáles son los términos que ocupan los lugares 9.º al 0.º en la sucesión. b. Halla las razones entre los pares de términos consecutivos que averiguaste (el mayor dividido el menor) y compáralas con el número de oro. 0 a. Traza todas las diagonales de este pentágono regular. Qué figura se formó? b. Mide un lado y una diagonal, y comprueba que la razón entre estos dos valores, el mayor dividido por el menor, da una aproimación muy cercana al número de oro. Redondea y trunca el número 5,548 a los milésimos. En cuál de las dos aproimaciones la diferencia con el número original es mayor? Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 5.9 Aproima a los centésimos por redondeo y truncamiento. a. 4,587 c. 4,95 e. 4,67 b. 4,507 d. 4,58 f. 4,67 9
5 Intervalos en la recta numérica Para recordar Un intervalo es un subconjunto de números reales, y se representa en la recta numérica por un segmento (con o sin etremos) o una semirrecta (con o sin origen). [a; b] = { [ R / a b} a b [a; b) = { [ R / a < b} a b (a; b] = { [ R / a < b} a b (a; b) = { [ R / a < < b} a b [a; + ) = { [ R / a} a [a; + ) = { [ R / > a} a ( ; b] = { [ R / b} b ( ; b) = { [ R / < b} b Otros intervalos: (0; + ) = R + ( ; + ) = R 4 Los números reales El conjunto de los números reales está formado por el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales. Dentro de los números racionales está el conjunto de los números enteros, y dentro de este el de los números naturales. (reales) I (irracionales) (racionales) (enteros) (naturales) [ π [ I y π son números reales. Los racionales se pueden escribir como fracción y los irracionales no. Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 5.9
6 Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 5.9 Módulo o valor absoluto Estrategias para contar Un diagrama de árbol es útil para ordenar la información de un problema de conteo. El valor absoluto o módulo de un número real es la distancia entre el número y el 0. Por eso es un número no negativo = 8 = 8 Aproimaciones Truncamiento: si se quiere truncar a un cierto orden se eliminan las cifras que siguen a ese orden, sin importar su valor.,9587,95 truncado a los milésimos Todos los días Clara debe llevar merienda a la escuela. Puede elegir entre bizcochos o alfajores y agua o yogur. Cuántas meriendas distintas de comida y bebida puede armar? agua bizcochos y agua bizcochos yogur bizcochos y yogur agua alfajores y agua alfajores yogur Redondeo: si se quiere redondear a un cierto orden hay que observar la cifra que sigue a ese orden; si es mayor o igual que 5, se aumenta en la cifra del orden a redondear y se eliminan las posteriores; si es menor que 5 se eliminan las cifras que siguen a ese orden. alfajores y yogur Puede armar 4 meriendas distintas.,9587,96 redondeado a los milésimos Las aproimaciones pueden ser por eceso: el número aproimado resulta mayor que el inicial o por defecto, si la aproimación es menor. 5
7 Más actividades 9 Investiga si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. 6 a. 5 [ Q b. [ I 5 c. 8 [ I 5 d. [ Q 4 e. 7 [ I 0 Encuentra la regla que pudo usarse para formar los siguientes irracionales. a., b.,5555 Escribe a qué conjuntos numéricos pertenecen estos números; luego represéntalos en la recta numérica Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a. El número 8 es racional. b. π es un número racional. c. El cuadrado de 0, es mayor que 0,. d. = e. Todo número negativo es entero. f. El único número mayor que,4 y mayor que,6 es,5. Calcula el perímetro de la figura y aproima el resultado por redondeo y por truncamiento a los centésimos. 4 Redondea y trunca a los milésimos el número 5, El número e es conocido como el número de Neper pero debe su nombre a Leonhard Euler. La calculadora muestra el siguiente valor para e:, a. Investiga si se trata de un número racional o irracional. b. Escribe una aproimación a los centésimos por truncamiento y por redondeo. 6 Escribe con notación de intervalos. a. < < 0 b. 7 c. 4 < 5 d. > 0 e. < 8 f Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 5.9
8 7 Representa en la recta real los siguientes intervalos. a. ( 4; 8] d. [; + ) b. [; 5) e. ( ; ) c. [ ; 0] f. ( ; ] 8 Escribe en cada caso todos los números reales que cumplan las condiciones pedidas. a. = 5, b. + = 7, c. y es entero 9 Carlos arma números de tres cifras (iguales o distintos) a. Cuántos puede formar si solo puede usar el, el 4 o el 7? 40 Camila se va de viaje; lleva un par de championes y un par de botas, tres remeras (una blanca, una verde y una negra), un pantalón y una pollera. Remera blanca Remera verde Remera negra Pantalón Pollera Botas Championes a. En tu cuaderno arma y completa un diagrama de árbol como este, en el que se muestran todas las formas en que puede vestirse. b. Cuántas combinaciones diferentes puede hacer? b. Cuántos números de tres cifras mayores que 450 puede formar con esos mismos números? Autoevaluación Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 5.9 Ordena de menor a mayor los siguientes números reales. 5 0,75 7 8, Escribe la aproimación por redondeo y por truncamiento a los centésimos del número. Cuál de ellas resulta una aproimación por eceso? Escribe con notación de intervalos y representa en la recta numérica el conjunto { [ R / < }. 4 7
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UNIIDAD Nº º NÚMEEROSS REEALLEESS! Resuelve tú ( Pág "# ) Resuelve la ecuación : 9x + 8x 6 ; 9x + 8x 6 ; 9x 8x 8; 9x 8x 8x 8x 8 ; x - 8. Resuelve tú ( Pág "" ) Completa la resolución de 7x 6x + { pasar
6, ,8 0, ,09 12, 037
Nombre: Fecha : MAT 6º - T 2 -Página 1 de 12 1.- Completa la tabla en tu cuaderno. Número Parte entera Parte decimal Se lee 35,024 35 024 35 unidades y veinticuatro milésimas 6,25 38 013 2. Copia los números
5) Aproxima a las décimas las siguientes raíces utilizando la aproximación por defecto, exceso y redondeo:
Números ) Calcula: a) [8 (6 ) ] : ( 7) b) (8 ) ( 7) ( 6) c) 8 0 : ( ) 6 : d) ( ) 8 (6 ) ( 7) ) Epresa en forma de única potencia: a) ( ) ( ) b) () ( ) c) ( ) : ( ) d) ( ) 6 : ( ) ) Simplifica las epresiones:
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