PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

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1 PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva 3, Ejercicio, Opción A Reserva 3, Ejercicio, Opción B Reserva 4, Ejercicio, Opción A Reserva 4, Ejercicio, Opción B Septiembre, Ejercicio, Opción A Septiembre, Ejercicio, Opción B

2 Sea la función f : definida por f ( ) e ( ). a) Calcula las asíntotas de f. b) Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Determina, si eisten, los puntos de infleión de f. MATEMÁTICAS II. 0. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Asíntota vertical: No tiene, ya que el dominio de la función es. Asíntota horizontal: lim e ( ) No tiene. lim e ( ) 0 ( ) lim lim 0 y 0 e e Asíntota oblicua: No tiene, ya que tiene horizontal b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: f '( ) e ( ) e e ( ) 0,, Signo f ' + Función D C mínimo, e c) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: f ''( ) e ( ) e e 0 0 El dibujo de la función sería:,0 0, Signo f '' + Función Cn C P.I. 0,

3 a sen e Sabiendo que lim es finito, calcula el valor de a y el de dicho limite. 0 MATEMÁTICAS II. 0. JUNIO. EJERCICIO. OPCIÓN B. Aplicamos la regla de L Hôpital a sen e 0 a cos e e a lim lim Como el limite es finito, se tiene que cumplir que: a 0 a, para que vuelva a salir 0 0 y podamos seguir aplicando L Hôpital sen e 0 cos e e 0 sen e e e lim lim lim

4 Sea la función f : (0, ) definida por f ( ) ln, donde ln denota la función logaritmo neperiano. a) Halla los etremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el intervalo, e. e b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa e. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A a) Los etremos absolutos pueden estar en: - Las soluciones de f '( ) 0. Calculamos la derivada y la igualamos a cero: f '( ) 0 y - En los puntos donde no es continua o no es derivable. En nuestro caso como es continua y derivable, no hay ningún punto. - En los etremos del intervalo etremos del intervalo., e e. Calculamos los valores de la función en los f e e ; f e e Luego, el máimo absoluto está en, e e y el mínimo absoluto en, b) La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa e es: y f ( e) f '( e) ( e) Calculamos: f ( e) ln e e e e f '( ) f '( e) e e e e Sustituyendo, tenemos: y f ( e) f '( e) ( e) y ( e) e e

5 Sea f la función definida por f( ) para y ( )( ) a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f c) Calcula, si eiste, algún punto de la gráfica de f donde ésta corta a la asíntota horizontal. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Asíntota vertical: Son los valores que anulan al denominador, es decir, y. Asíntota horizontal: lim y Asíntota oblicua: No tiene, ya que tiene horizontal b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 4 ( ) ( ) 8 f '( ) 0 0 ; 4 ( ) ( ), 4 4,,0 0,, Signo f ' + + Función D C C D D Creciente: 4, (, 0) Decreciente:, 4 (0,) (, ) c) Calculamos si eiste punto de corte de la función con la asíntota horizontal. y y Luego, el punto de corte es el (, ) 4 0

6 Sea la función f :, e definida por: f ( ) 8ln( ) donde ln denota la función logaritmo neperiano. a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Calcula los etremos absolutos y relativos de la función f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) Estudia los intervalos de concavidad y conveidad. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN A a y b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 8 y ' 0 ;,,e Signo y ' Función D C mínimo,4 8ln La función tiene un mínimo relativo en, '54. Los etremos absolutos pueden estar en los etremos del intervalo, es decir, en y e. Calculamos los valores de la función en estos puntos. f () f e e e ( ) 8ln 0'6 Luego, el máimo absoluto está en el punto (,) y el mínimo absoluto en el punto (, '54) c) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: 8 y '' 0 No tiene solución Signo, e y '' + Función C Luego, la función es convea en el intervalo, e.

7 Sea la función f : definida por: a) Calcula: lim f( ) y lim f( ) f ( ) e ( ). b) Halla los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan, determinando si son máimos o mínimos). c) Determina las abscisas de los puntos de infleión de la gráfica de f. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA. EJERCICIO. OPCIÓN B a) e lim ( ) 0 lim lim lim 0 e e e lim e ( ) b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: y e e e ' ( ) ( ) 0 0 ;,,0 0, Signo y ' + + Función C D C 3 Máimo, e mínimo 0, c) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: '' ( ) ( ) y e e e Signo 3 5, , 3 5, y '' + + Función C Cn C P.I. P.I. Luego, en los puntos 3 5, hay puntos de infleión, ya que cambia la curvatura.

8 Un alambre de longitud metros se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de la altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo y el cuadrado resultante sea mínima. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Función que queremos que sea mínima: S min 4 y b) Relación entre las variables: y y y y 6y y c) Epresamos la función que queremos que sea mínima con una sola variable. 6 S min d) Derivamos e igualamos a cero S' e) Comprobamos que corresponde a un mínimo 36 S '' 0 mínimo 44 Luego, las dimensiones son: 8 6 m ; m 7 7

9 Sea la función f : definida por: f ( ) ln( 3 3) donde ln denota la función logaritmo neperiano. a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA 3. EJERCICIO. OPCIÓN B a) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 3 y ' 0 0 ; ,,0 0, Signo y ' Función D C D b) La recta normal en es mínimo, Máimo 0,ln 3 y f ( ) ( ) f '( ) f ( ) 4 f '( ) f '( ) Sustituyendo en la ecuación, tenemos, 6 y ( ) y

10 Se considera la función derivable f : definida por Calcula los valores de a y b. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN A. a si f( ) b a si Si la función es derivable, primero tiene que ser continua en el punto, luego: a lim a a a b a b b lim a a b a si ( ) Calculamos la función derivada: f '( ) b si a f '( ) a b Como es derivable en, se cumple que: a b a b f '( ) Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, tenemos que: a ; b 4

11 De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 0 unidades, determina las dimensiones del de área máima. MATEMÁTICAS II. 0. RESERVA 4. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Función que queremos que sea máimo: S ma y b) Relación entre las variables: y 00 y 00 c) Epresamos la función que queremos que sea máimo con una sola variable. S ma y d) Derivamos e igualamos a cero S' ma e) Comprobamos que corresponde a un máimo S '' S ''( 50) 0 Máimo Luego, las dimensiones son: 50 ; y 50

12 Sea la función continua f : k si 0 definida por f( ) e. si 0 a) Calcula el valor de k. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa. MATEMÁTICAS II. 0. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN A. a) Como la función es continua se cumple que los límites laterales en 0 son iguales, luego: lim k k 0 k e e lim lim lim e b) La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa es: y f () f '() ( ) Calculamos: e f() e e ( e ) e ( e ) f '( ) f '() e e 4 3 Sustituyendo, tenemos: y f () f '() ( ) y ( e ) ( ) y e e 3

13 e Sea la función f definida por f( ) para. a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función f. b) Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y los valores que alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. MATEMÁTICAS II. 0. SEPTIEMBRE. EJERCICIO. OPCIÓN B. a) Asíntota vertical: Son los valores que anulan al denominador, es decir,. e 0 Asíntota horizontal: lim 0 y 0 e e lim lim NO Asíntota oblicua: No tiene, ya que tiene horizontal b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: e ( ) ( ) e e f '( ) 0 0 ( ) ( ),0 0,, Signo f ' + + Función D C C Creciente: 0, (, ) Decreciente:,0 Mínimo: 0,