Integración en el campo complejo

Transcripción

1 Cpítulo 4 Integrción en el cmpo complejo Objetivos Relizr integrles de funciones complejs lo lrgo de curvs. Comprender los conceptos de independenci del cmino y homologí. Clculr integrles por medio de ls fórmuls de Cuchy Integrción en el cmpo complejo Un función complej de vrible rel const de dos componentes reles, por lo cul l definición de su integrl es inmedit, como sum de ls integrles de sus componentes, b f(t) dt := b u(t) dt + i b v(t) dt, f : [, b] C t u(t) + iv(t). (4.1) L definición nterior es correct si l función f es continu. Ejemplo Integrl de l exponencil imginri. π e it dt = o bien directmente, π cos t dt + i π π sin t dt = [sin t] π i[cos t] π = 2i e it dt = [ ie it ] π = 2i. En l rect rel l únic mner de unir dos puntos es un segmento. Por ello el concepto de integrl de un función de vrible rel entre dos puntos es unívoco, pues siempre integrmos lo lrgo de un segmento. Pr integrr funciones complejs de vrible complej, tenemos much más libertd, y que entre dos puntos del plno tenemos infinitos cminos que los 1

2 unen y el concepto de integrl y no es unívoco. No bst, en generl, con indicr los puntos entre los cules integrmos, sino que tenemos demás que indicr lo lrgo de qué curv estmos relizndo l integrl. Los resultdos serán, en principio, dependientes de l curv que escojmos. Figur 4.1: Dos puntos se pueden unir lo lrgo de curvs distints Supongmos que queremos integrr un función continu de vrible complej, f : U C, definid en un subconjunto bierto U C, lo lrgo de un curv en el plno contenid en U. Pr ello, tendremos que prmetrizr l curv. Un prmetrizción es un plicción de clse C 1, γ : [, b] C tl que γ ( [, b] ) = y γ (t) no se nul en ningún punto. L imgen de l función γ es l curv. L velocidd de l prmetrizción es l derivd γ (t), que define un vector tngente l curv en cd punto z = γ(t). Abusndo de l notción, podemos denotr z(t) = γ(t), entendiendo que z(t) es l mner en l que se recorre l curv según l prmetrizción γ. L prmetrizción define un orientción pr l curv. L curv no es y sólo un subconjunto de puntos, sino que está orientdo, l ser recorrido de γ() γ(b) y no l revés. Diremos que l curv es regulr si dmite un prmetrizción de clse C 1. Diremos que es simple si no present utointersecciones. L curv se llm biert si γ() γ(b), y cerrd, si γ() = γ(b). Con est notción, definimos l integrl de l función f lo lrgo de, b := f ( γ(t) ) γ (t) dt. (4.2) Con est expresión se entiende nuestro interés porque l prmetrizción se de clse C 1 y porque f se continu: pr que el integrndo se continuo y l integrl esté, pues, bien definid. L interpretción de est definición es inmedit si recurrimos l nlogí rel, descomponiendo ls funciones en sus prtes rel e imginri, f ( γ(t) ) = u ( γ(t) ) + iv ( γ(t) ), γ(t) = x(t) + iy(t), = b (u + iv)(x + iy ) dt = b {(ux vy ) + i(uy + vx )} dt 2

3 = b v, τ γ(t) dt + i b v, n γ(t) dt = Cv, + iφv,, identificndo el cmpo tngente l curv τ = x u x + y u y, el cmpo norml, n = y u x x u y, y un cmpo vectoril v = u u x v u y, que es esencilmente f. Así podemos interpretr l prte rel de l integrl de f lo lrgo de como l circulción del cmpo v lo lrgo de y l prte imginri, como el flujo del cmpo v trvés de. Est definición tiene uns cunts buens propieddes: Linelidd de l integrl: Es obvio que, pr λ C, f, g funciones continus, cuyo dominio comprende l curv, ( ) ( ) λf (z) = λ, f +g (z) = + g(z). Invrinci bjo cmbios de prmetrizción: Supongmos que γ : [c, d] C es otr prmetrizción de l curv, definid por un cmbio de prámetro biyectivo de clse C 1, t = h(τ), h : [c, d] [, b], tl que h (τ) > (preserv l orientción), de modo que γ(t) = γ(h(τ)) = γ(τ). Sbemos que en integrles reles, el cmbio de vrible t = h(τ) se rige por l expresión b g(t) dt = d que plicd nuestro cso proporcion b f ( γ(t) ) dγ(t) dt dt = d c c g ( h(τ) ) dh(τ) dτ f ( γ(τ) ) dγ(t) dh(τ) dτ = dt dτ por l regl de l cden, γ (τ) = γ (t)h (τ). dτ, d c f ( γ(τ) ) d γ(τ) dτ dτ, Por tnto, l integrl depende de l curv, no de l prmetrizción empled, siempre que respete l orientción. L prmetrizción simplemente es un herrmient pr relizr l integrl. Adviértse que este hecho está implícito en nuestr notción de l integrl, que hce referenci l curv y no l prmetrizción. Cmbio de signo por inversión de l orientción: Denotemos por l curv recorrid en sentido inverso. Entonces =. (4.3) L demostrción es bien sencill, con l prmetrizción γ : [ b, ] C pr dd por γ(τ) = γ( t), pr l cul t = τ, γ (τ) = γ ( t), = b f ( γ(τ) ) γ (τ) dt = b f ( γ(t) ) γ (t) dt =. 3

4 2 1 3 Figur 4.2: Curv de clse C 1 trozos Prtición de l curv: Si l curv const de dos rcos, = 1 2, = +, (4.4) 1 2 sin más que prmetrizr medinte un prmetrizción γ : [, b] C, de modo que γ ( [, c] ) = 1, γ ( [c, b] ) = 2. Y que, denotndo por γ 1 l prmetrizción γ restringid [, c], y por γ 2 l prmetrizción restringid [c, b], b c b = f(γ(t))γ (t) dt = f(γ 1 (t))γ 1 (t) dt + f(γ 2 (t))γ 2 (t) dt c = Est últim propiedd permite extender l definición de curv prmetrizd regulr l cso en el que l prmetrizción es de clse C 1 trozos, es decir, l prmetrizción γ es de clse C 1 en intervlos [, c 1 ],..., [c n, b]. Así pues, l prmetrizción restringid dichos intervlos, γ i : [, c i ] C, es de clse C 1 y tiene sentido l definición n =, (4.5) i i=1 denotndo por i l curv regulr prmetrizd por γ i. Podemos incluso extender l definición de modo que ls curvs i sen disjunts, es decir, que γ no se continu en ls vlores de unión, c 1,..., c n. Si ls curvs i son cerrds, l cden se llm ciclo. Por ejemplo, est propiedd puede servir pr escindir un curv en dos. Ejemplo Integrr l función = (z z ) n pr z C, n Z, lo lrgo de l circunferenci de rdio R centrd en z. Como e it, con t [, 2π], describe l circunferenci de rdio unidd centrd en el origen, γ(t) = z + Re it es un prmetrizción de l circunferenci de rdio R centrd en z. L velocidd de l prmetrizción es γ (t) = ire it. Como lo lrgo de l curv l función v tomndo los vlores f ( γ(t) ) = R n e int, 2π [ e = ir n+1 e i(n+1)t dt = R n+1 i(n+1)t 4 n + 1 ]2π =,

5 1 2 Figur 4.3: Ciclo formdo por ls curvs 1 y 2 si n 1. El cso en el que n = 1 tiene que estudirse prte, 2π = i dt = i2π. Volveremos sobre este resultdo posteriormente. De momento, fijémonos en que l integrl no depende del rdio de l circunferenci y que sólo en el cso n = 1 es diferente de cero. Ejemplo Integrl lo lrgo de un segmento. Integrr l función = z lo lrgo del segmento que une 1 i con 1 + i. L prmetrizción de un segmento es sencill, t [, 1], γ(t) = (1 t)z +tz 1, de modo que γ() = z, γ(1) = z 1. En nuestro cso, γ(t) = 1 + i(2t 1), γ (t) = 2i, z = 2i 1 ( 1 + i(2t 1) ) dt = 2i [ (1 i)t + it 2 ] 1 = 2i. Ejemplo Prmetrizciones bsds en gráfics. Un curv definid por un gráfic y = g(x), x [, b], se puede prmetrizr como γ(t) = t + ig(t), t [, b]. Por ejemplo, integremos l función = z 2 lo lrgo de l curv de ecución x = y 3, y [, 1]. En este cso l prmetrizción es γ(t) = t 3 + it, t [, 1], γ (t) = 3t 2 + i, z 2 = 1 [ ] t (t 3 + it) 2 (3t i) = 3 3 t5 + it 7 i t3 = 2 ( 1 + i). 3 3 Recordemos que l longitud de un curv se puede clculr en culquier prmetrizción γ : [, b] C como L() = b γ (t) dt = b x (t) 2 + y (t) 2 dt. (4.6) Como ejercicio, demostrr que l longitud es independiente de l prmetrizción usd. 5

6 Ejemplo Clculr l longitud de un circunferenci de rdio R. Un prmetrizción de l circunferenci centrd en z es γ : [, 2π] C t z + Re it, γ (t) = ire it, L() = 2π ire it dt = R 2π dt = 2πR. Est definición permite un cotción muy sencill de ls integrles lo lrgo de curvs: Proposición Se f : U C un función continu de vrible complej. Se un curv regulr contenid en U. Entonces, L() sup. (4.7) z Pr demostrrlo, descomponemos l integrl en módulo y rgumento, que denominremos φ, = re iφ. A nosotros nos interes r. Usndo un prmetrizción γ : [, b] C, r = b ( = R(r) = R e iφ f(γ(t)) γ (t) dt sup z ) = b b R ( e iφ f ( γ(t) ) γ (t) dt ) γ (t) dt = L() sup, z teniendo en cuent que R(z) z, que l exponencil imginri tiene módulo unidd, y que sup Independenci del cmino Hemos comentdo que, en generl, l integrl de un función depende de l curv que se emple, unque en lgunos csos concretos puede que no se sí. Si l función que queremos integrr tiene primitiv, podemos utilizr l regl de Brrow del cálculo integrl: Teorem Se F : U C un función holomorf y f = F. Se U un curv continu de clse C 1 trozos. Entonces, = F (z 1 ) F (z ), (4.8) siendo z 1 y z los puntos finl e inicil de l curv. 6

7 Relmente debiérmos exigir que f fuer continu, pero veremos más delnte que es redundnte. L demostrción, como y delntmos, está bsd en l regl de Brrow. Supongmos que es de clse C 1. Usndo un prmetrizción γ : [, b] C de l curv, = b df ( γ(t) ) γ (t) dt = b df ( γ(t) ) = F ( γ(b) ) F ( γ() ) = F (z 1 ) F (z ), plicndo l regl de l cden. En el cso en el que l curv es de clse C 1 trozos, no tenemos más que descomponerl, n = = F (z 1 ) F (z ) + + F (z n ) F (z n 1 ) i i=1 = F (z n ) F (z ), siendo F (z i 1 ), F (z i ) los extremos de cd curv i en este cso. Un resultdo importnte de este teorem, es que, si f tiene un primitiv F, l integrl no depende del cmino seguido, sino sólo de los extremos de l curv. Decimos que l integrl de un función continu de vrible complej f : U C es independiente del cmino en un bierto conexo U si pr todo pr de curvs 1, 2 continus regulres trozos con los mismos extremos, =. (4.9) 1 2 O, lo que es lo mismo, si es un ciclo continuo regulr trozos, =. (4.1) L equivlenci entre mbs definiciones es trivil, y que si unimos 1 con 2 obtenemos un curv cerrd y ls integrles tienen signo opuesto. Este concepto tiene su nálogo en l físic y en l teorí de cmpos. Ls funciones cuy integrl no depende del cmino son los cmpos conservtivos. L primitiv, en el lenguje de los cmpos, es el potencil esclr. Ejemplo Clculr l integrl de = e z entre z = 1 y z = i lo lrgo de un rco de circunferenci y de un segmento. Integrmos f lo lrgo del cudrnte de circunferenci de rdio unidd,, prmetrizdo por γ(t) = e it, t [, π/2], π/2 = i e eit e it dt = [e eit] π/2 = e i e. Integrmos f lo lrgo del segmento que une 1 con i,, prmetrizdo por γ(t) = (1 t) + it, t [, 1], 1 = (i 1) e (1 t)+it dt = [e (1 t)+it] 1 = ei e. 7 dt dt

8 Obvimente d lo mismo, y que tiene un primitiv conocid, F (z) = e z. Por tnto, lo lrgo de culquier curv que un 1 con i, = F (i) F (1) = e i e. Hemos visto que l integrl de funciones con primitiv es independiente del cmino, pero este resultdo tiene su recíproco: Teorem Se f : U C un función continu de vrible complej en un bierto conexo U. Ls integrles de f son independientes del cmino en U si y sólo si existe un primitiv holomorf F, de modo que f = F. L demostrción en un sentido y se h visto. Qued por demostrr que si ls integrles son independientes del cmino, f tiene primitiv. ~ Figur 4.4: Construcción de l primitiv Veremos que un primitiv se puede construir fácilmente. Elegimos un punto culquier z U. Lo unimos con cd punto z U por medio de un curv z rbitrri. L función F (z) =, z está bien definid, y que l integrl es independiente del cmino seguido. Est función está definid slvo un constnte, y que, si tommos otro origen z, l diferenci entre ls funciones es un constnte, F (z) = +, z z siendo z un curv que un z con z. El primer término es constnte, y que es l integrl de f entre dos puntos fijos, z, z. Comprobmos que F (z) =. Pr ello, tommos el origen en z y estudimos F (w) en puntos w U próximos, que podmos unir por medio de segmentos con z, prmetrizdos por γ(t) = (1 t)z + tw, con derivd γ (t) = w z. Como l expresión de F (w) es su derivd qued como df (z) F (w) = (w z) F (w) F (z) = lím = lím w z w z 1 w z 1 f ( (1 t)z + tw ) dt, f ( (1 t)z + tw ) dt = 8 1 dt =,

9 luego qued demostrdo que F es un primitiv pr f. Aprte de pr clculr primitivs, este teorem nos sirve pr discernir cundo un función no dmite primitiv. Ejemplo Mostrr que = 1/z no dmite primitivs en el dominio complejo excepto el origen. Bst encontrr un curv cerrd de modo que l integrl de f no dé cero. Por ejemplo, un circunferenci,, centrd en el origen, prmetrizd por γ(t) = Re it, t [, 2π], 2π z = ir dt Re it eit = i 2π dt = i2π. Como est integrl no es nul, se cul se el rdio de l circunferenci, f no puede tener primitiv en C\{}. Este resultdo prece contrdecir nuestr intuición de que l primitiv de f es un logritmo. Ciertmente, F (z) = (ln z) α es un cndidto primitiv, pero present el problem de no ser holomorf en C α. Como l circunferenci cort C α en un punto, no nos vle como primitiv. 2 1 Figur 4.5: Curvs 1 y 2 Aún sí, podemos recuperr el resultdo nterior usndo dos primitivs con cortes distintos (ln z) π, (ln z) 2π. Podemos empler l primer pr integrr en 1, l semicircunferenci de rdio unidd con prte rel positiv, z = F (i) F ( i) = (ln i) π (ln i) π = i π 2 + iπ 2 = iπ, 1 y l segund pr integrr en 2,, l semicircunferenci con prte rel positiv, z = F ( i) F (i) = (ln i) 2π (ln i) 2π = i 3π 2 iπ 2 = iπ, 2 de modo que en mbos csos eludimos que l curv intersecte l corte de l función logritmo. Obvimente, el resultdo finl, z = z + z = i2π, es el correcto

10 4.3. Teorem de Cuchy Con los resultdos nteriores, estmos en condiciones de relcionr holomorfí con independenci del cmino trvés del conocido teorem de Cuchy. Teorem Teorem de Cuchy: Se f un función holomorf de clse C 1 en un bierto conexo U. Entonces l integrl de f es nul lo lrgo de culquier ciclo contenido en U que se borde orientdo de lgún subconjunto bierto V U. L ide de usr recintos con borde orientdo indic que vmos recurrir l teorem de Green en el plno. Descomponiendo en prte rel e imginri, f = u + iv, = (u + iv)(dx + idy) = (u dx v dy) + i (v dx + u dy) = (v x + u y ) dxdy + i (u x v y ) dxdy, V plicndo el teorem de Green en el plno l recinto V de borde, ( Q (P dx + Q dy) = x P ) dxdy, y V pr funciones P, Q de clse C 1. Si l función es holomorf y de clse C 1, ls integrles se nuln, por ls condiciones de Cuchy-Riemnn, u x = v y, u y = v x. V Figur 4.6: El ciclo formdo por ls curvs orientds 1 y 2 es el borde de l coron V Como y hemos nuncido en repetids ocsiones, l condición de ser de clse C 1 se puede reljr: Teorem Teorem de Cuchy-Gourst: Se f un función holomorf en un bierto conexo U. Entonces l integrl de f es nul lo lrgo de culquier ciclo contenido en U que se borde orientdo de lgún subconjunto bierto V U. Ejemplo Integrl de l función = 1/z. 1

11 Como l función es holomorf slvo en el origen, su integrl será nul lo lrgo de culquier curv cerrd que no rodee el origen. Al contrrio, hemos visto que lo lrgo de curvs que roden el origen l integrl no es nul. El teorem nos nos proporcion el vlor de l integrl, pero nos indic que es el mismo pr curvs simples que rodeen el origen en el mismo sentido. Hbrá que vnzr un poco más pr clculr el vlor de l integrl sin efecturl directmente. Tmbién será preciso generlizr el resultdo pr plicrlo ciclos más complejos. El teorem de Cuchy es muy útil pr cuntificr el número de vuelts que d un curv cerrd lrededor de un punto C, ddo que es un sorprendente relción entre cálculo y topologí. Se un curv cerrd complej que no ps por. El índice de respecto de es n(, ) = 1 i2π z, (4.11) y coincide con el número de vuelts que efectú lrededor de, contbilizndo el signo de ests: negtivo, si l orientción es negtiv y positivo, si es positiv. Por ejemplo, si no rode, 1/(z ) = d(ln(z )) α /, usndo un determinción α de modo que C α no corte. De este modo, en este cso l integrl es nul. Como corresponde l hecho de que no rode. z1 ~ 2 1 z2 Figur 4.7: El índice respecto de de es uno y cero el de Si está dentro de y est es un curv simple orientd positiv, l rompemos en dos trozos, cortándol con l rect verticl que ps por. Pr l integrl en el frgmento de l derech, 1, podemos empler l determinción π y l pr el de l izquierd, 2, l determinción 2π, = [( ln(z ) ) ] z1 = log z 1 z π z 1 + i π 2 2 log z 2 + i π 2, = [( ln(z ) ) ] z2 = log z 2 z 2π z 2 + i 3π 1 2 log z 1 i π 2, = i2π, z con lo cul n(, ) = 1. Obvimente, si l curv se recorre en sentido horrio, el índice cmbi de signo, n(, ) = 1. 11

12 Finlmente, si es un ciclo que se puede descomponer en vris curvs cerrds, = n n N N, n(, ) = N z = n i i=1 i N z = n i n( i, ). i= V Figur 4.8: El interior del ciclo formdo por ls curvs 1, 2, 3 es el bierto V Est definición permite visulizr cuál es l región de l cul es borde un curv cerrd simple, que denominremos interior de. Un punto estrá en el interior de si d vuelts lrededor de él. int = { C\ : n(, ) }. (4.12) Est definición se plic ciclos más complicdos tmbién, cuy relción con un borde orientdo es más difus, pero que se pueden entender como unión de curvs cerrds simples. Finlmente, un definición dicionl, que permite crcterizr los ciclos los que se refiere el teorem de Cuchy. En un bierto conexo U C decimos que un ciclo es homólogo cero módulo U si pr todo U, n(, ) =. Es decir, si no d vuelts lrededor de los puntos que no están en U. O, lo que es lo mismo, si el interior de está contenido en U. 1 U 2 3 Figur 4.9: 1 es homólog 2 módulo U, pero no 3. 3 es homólog cero, lo mismo que 1 2, pero no lo son 1 ni 2 Del mismo modo, decimos que dos ciclos 1, 2 son homólogos módulo U, 1 2 (mód U), si 1 2 es homólogo cero módulo U. O lo que es 12

13 lo mismo, si mbos dn el mismo número de vuelts lrededor de los puntos U, n( 1, ) = n( 2, ). Con ests definiciones, el teorem de Cuchy-Gourst se puede reescribir y generlizr de un mner elegnte y concis: Teorem Teorem de Cuchy-Gourst: Se f un función holomorf en un bierto conexo U. Entonces l integrl de f es nul lo lrgo de culquier ciclo homólogo cero módulo U. Un cso prticulrmente interesnte son los subconjuntos simplemente conexos, que son quellos subconjuntos de C en los cules todo ciclo es homólogo cero. Obvimente, se trt de subconjuntos que no tienen gujeros compctos. El siguiente corolrio es trivil, entonces: Corolrio Se f un función holomorf en un bierto simplemente conexo U. Entonces l integrl de f es nul lo lrgo de culquier ciclo contenido en U. En el cso de los subconjuntos simplemente conexos vemos que se d l independenci del cmino pr ls integrles de funciones holomorfs. Ejemplo L integrl de = sin e z2 nul. lo lrgo de culquier ciclo es Puesto que f es enter, por ser composición de funciones enters y, por tnto, su dominio de holomorfí, U = C, es simplemente conexo. Pero hy muchos subconjuntos sencillos que no son simplemente conexos: Ejemplo El subconjunto C\{P } no es simplemente conexo. El dominio complejo slvo un punto P no es simplemente conexo, y que ls curvs simples que roden P no son homólogs cero, y que dn un vuelt lrededor de él y, por tnto, no tienen índice nulo. Por eso este subconjunto es doblemente conexo, y que hy dos tipos de ciclos, los que dn vuelts lrededor de P y los que no ls dn. 2 1 P Figur 4.1: 1 es homólog homólog cero, pero no lo es 2 Este ejemplo se plic l dominio de holomorfí de l función = 1/z. Como hemos visto, ls integrles de ciclos que no roden l origen son nuls, l contrrio que ls que sí lo roden. Del teorem de Cuchy-Gourst se siguen otrs consecuencis interesntes: Si 1 2 (mód U), entonces =. 1 2 Puesto que 1 2 es homólogo cero módulo U. 13

14 Si 1, 2 son dos curvs regulres trozos en U y 1 2 entonces =. 1 2 es holomorf slvo en el seg- Ejemplo L función ( z 1 ) π mento del eje rel [ 1, 1]. ( z + 1 ) π (mód U), Por tnto, l integrl lo lrgo de culquier curv cerrd simple que rodee el segmento tom el mismo vlor, siempre que l orientción se l mism en todos los csos. Pero seguimos sin sber evlur l integrl de un función holomorf lo lrgo de un ciclo no homólogo cero, pesr de que sbemos que pr ciclos homólogos proporcion el mismo vlor. Est precisión finl nos l fcilit l fórmul integrl de Cuchy Fórmul integrl de Cuchy Comenzremos refinndo el teorem de Cuchy en el cso de que l función presente singulriddes débiles o evitbles: Corolrio Se U C un bierto simplemente conexo y f un función holomorf en U slvo en un colección finit de puntos { 1..., N }, pero de modo que lím (z i ) =. Entonces z i = lo lrgo de culquier ciclo contenido en U\{ 1..., N }. Se un ciclo contenido en U\{ 1..., N }. Si denotmos por n i = n(, i ), entonces n i i (mód U), donde i es un circunferenci centrd en i de rdio suficientemente pequeño, R i, pr que esté contenid en U\{ 1..., N }. Por tnto, N = n i. i i= Figur 4.11: es homólog homólog Acotndo el vlor de cd integrl por medio de l cot de l proposición 4.1.1, 2πR i máx = 2π z i i f(z i ), z i i 14

15 cundo R i tiende cero, teniendo en cuent que el supremo de un función se lcnz en lgún punto z i, en el cso de subconjuntos compctos, como es el cso de un circunferenci. Por tnto, el vlor bsoluto de l integrl está cotdo por cero, con lo cul sólo puede ser nulo y ls integrles son tods nuls. Un consecuenci direct de este sencillo resultdo es l fórmul integrl de Cuchy, que permite evlur integrles. Teorem Fórmul integrl de Cuchy: Se f un función holomorf en un bierto conexo U. Se un ciclo homólogo cero módulo U. Entonces, pr U\, = i2πn(, )f(). (4.13) z Definimos un función holomorf en U\{}, g(z) = f() z Si el índice de respecto de es n = n(, ), este ciclo será homólogo n circunferencis (r) centrds en de rdio r < R suficientemente pequeño pr que l bol de rdio R, B(; R), esté contenid en U. Entonces, g(z) = g(z) = n g(z). n(r) Podemos plicr el corolrio nterior l bol B(; R), donde l función g es holomorf, excepto en. Como l bol es simplemente conex y lím (z )g(z) = ( ) z f() =, lím z = (r) g(z) = (r) (r). (r) f() z (r) z, = i2πn(, )f(). z Con este teorem hemos gndo un vnce sustncil. Nos permite extender el teorem de Cuchy de funciones holomorfs funciones holomorfs con un polo isldo. Ejemplo Integrl de g(z) = 1/z lo lrgo de l circunferenci,, de rdio unidd centrd en z =, orientd positivmente. L función constnte = 1 es enter y el ciclo d un vuelt lrededor de z =. Por tnto, g(z) = = i2πf() = i2π. z Si l circunferenci hubier estdo centrd en z = 5, el ciclo no drí ningun vuelt lrededor de z = y l integrl hubier resultdo nul. Este resultdo y er conocido, pero hor lo hemos recuperdo sin necesidd de efectur ls integrles directmente, ni clculr primitivs. 15

16 Figur 4.12: Ejemplo Ejemplo Integrl de g(z) = 1/(z 2 1) lo lrgo de l circunferenci,, de rdio unidd centrd en z = 1, orientd positivmente. L función = 1/(z +1) es holomorf slvo en z = 1 y l circunferenci no rode este punto, luego es un ciclo homólogo cero en U = C\{ 1}. Por tnto, por l fórmul de Cuchy, como d un vuelt lrededor de z = 1, g(z) = = i2πf(1) = iπ. z 1 Este ejemplo nos d ide de ls generlizciones que tenemos que cometer. Por un prte, si l circunferenci hubier tenido un rdio myor, de modo que englobr tmbién z = 1, no podrímos plicr l fórmul de Cuchy, y que el ciclo no serí homólogo cero. 2 1 Figur 4.13: Ejemplo Pero es circunferenci es homólog dos circunferencis con centros en z = ±1, con lo cul podemos descomponer l integrl, g(z) = g(z) + g(z) = i2π{f(1) + f( 1)} =, 1 2 denotndo por = 1/(z 1). Por otr prte, si en vez de trtrse de polos simples hubiern sido múltiples, tmpoco hubiérmos podido empler l fórmul. De est segund generlizción nos ocupmos continución. 16

17 Como sorprendente resultdo intermedio, demostrremos que un función holomorf es derivble tnts veces como se quier en su dominio de holomorfí. Este resultdo es exclusivo de l vrible complej y no es comprtido con ls funciones de vrible rel. Por tnto, decir que un función es de clse C r no tiene sentido en vrible complej, y que tods ls funciones holomorfs son de clse C. Teorem Fórmul integrl de Cuchy generlizd: Se f un función holomorf en un bierto conexo U. Entonces f tiene derivds de culquier orden en U. Se un ciclo homólogo cero módulo U. Entonces, pr U\, (z ) n+1 = i2πn(, ) f n) (). (4.14) n! Se z U. Como U es bierto, podemos encontrr un bol cerrd de rdio suficientemente pequeño, B(z ; R), contenid en U. Por l fórmul de Cuchy, pr z B(z ; R), = 1 i2π (R) f(w) w z dw, siendo (R) l circunferenci de rdio R centrd en z. Estudiemos l función g(z, w) = f(w)/(w z). Pr z B(z ; R), w (R) es continu, y que el denomindor no se nul y f es continu. Por tnto, l integrl está, como sbímos, bien definid. Más ún, ls derivds de est función respecto z son tods continus, g(z, w) z = f(w) (w z) 2, n g(z, w) z n = n! f(w) (w z) n+1, y que no se nul nunc el denomindor. Por tnto, podemos efectur l derivción bjo l integrl y concluir ( ) f 1 f(w) (z) = dw = 1 f(w) i2π (R) z w z i2π (R) (w z) 2 dw, f n) 1 n ( ) f(w) (z) = i2π z n dw = n! f(w) dw, w z i2π (w z) n+1 (R) es decir, existen ls derivds de f de todos los órdenes y son continus. Finlmente, si es un ciclo homólogo cero módulo U pr U\{}, como sólo d vuelts lrededor de, es homólogo n(, ) circunferencis (R) de rdio suficientemente pequeño pr que B(; R) esté contenid en U. Por tnto, = n(, ) (z ) n+1 (R) por el resultdo deducido nteriormente. (R) (z ) n+1 = i2πn(, ) f n) (), n! Ejemplo Integrr = 1/z n, n > 1, lo lrgo de culquier ciclo. Si el ciclo no d vuelts lrededor de z =, sbemos que l integrl es nul. Pero si d vuelts lrededor de z =, l integrl será proporcionl l derivd (n 1)-ésim de l función constnte g(z) = 1. Por tnto, l integrl es nul tmbién en este cso. 17

18 Ejemplo Integrr = cos z/z 3, n > 1, lo lrgo de un circunferenci orientd positivmente con centro en el origen. En este cso g(z) = cos z es enter, por lo que l circunferenci es homólog cero. Por tnto, g(z) = z 3 = i2π g () = iπ. 2! 4.5. Consecuencis de l fórmul de Cuchy L primer consecuenci, prte de l sorprendente de que ls funciones holomorfs tienen derivds de todos los órdenes, es que el teorem de Cuchy- Gourst tiene su recíproco. No sólo l holomorfí implic l independenci del cmino, sino que l independenci del cmino crcteriz l holomorfí: Teorem Teorem de Morer: Se f un función continu en un bierto conexo U. Si l integrl de f sobre todo ciclo homólogo cero módulo U es nul, entonces l función es holomorf. L demostrción es sencill. Tommos z U. Podemos encontrr un bol B(z; R) de rdio suficientemente pequeño pr que esté contenid en U. Entonces, todo ciclo contenido en l bol será homólogo cero módulo U y, por l hipótesis del teorem, l integrl de f lo lrgo de será nul. Por tnto, ls integrles de f son independientes del cmino en l bol B(z; R) y por el teorem 4.2.2, f tiene un primitiv holomorf F en l bol B(z; R). Como F es holomorf, sus derivds tmbién lo son. En prticulr, f = F es holomorf en B(z; R). Como este rzonmiento se puede relizr en culquier punto z U, result que f es holomorf en U. Β Figur 4.14: Teorem de Morer Corolrio Desigulddes de Cuchy: Se f un función holomorf en un bierto conexo U. Pr tod bol B(; R) contenid en U se verific f n) () n! R n sup, (4.15) z (;R) siendo (; R) l circunferenci centrd en de rdio R. 18

19 Como l bol está contenid en U, l circunferenci (; R) es homólog cero módulo U y podemos plicr l fórmul de Cuchy generlizd, (;R) (z ) n+1 = i2π f n) (), n! de donde podemos obtener un cotción, f n) () = n! 2π (z ) n+1 n! 2π (;R) = n! R n sup. z (;R) sup z (;R) (z ) n+1 2πR Un consecuenci sorprendente de ests desigulddes es que no puede hber funciones enters cotds no triviles: Teorem Teorem de Liouville: Se f un función enter cotd superiormente. Es decir, existe un constnte M > tl que M pr todo z C. Entonces f es un función constnte. Por ls desigulddes nteriores, pr l derivd primer, pr un circunferenci de rdio R, f () 1 R sup M z (;R) R. Como est desiguldd es ciert pr culquier rdio R, y que l función es holomorf, tenemos que f () es menor que culquier número positivo, simplemente tomndo rdios grndes. Por tnto, f () = pr todo C y l función es constnte. Otro resultdo prácticmente inmedito es el teorem fundmentl del álgebr, que firm que todo polinomio de grdo myor que cero tiene l menos un ríz complej: Teorem Teorem de D Alembert: Se p(z) = + + n z n un polinomio de grdo n > con coeficientes complejos. Entonces existe l menos un vlor z C, tl que p(z ) =. Supongmos que no existiese ningún vlor z tl que p(z ) =. Entonces l función rcionl = 1/p(z) serí enter. Por un prte, como lím =, pr todo vlor ε > existirá un vlor z R tl que, pr z > R, < ε. Por otr prte, como f es continu, su módulo está cotdo en un compcto. Por ejemplo, pr z R, M, siendo M >. Combinndo mbos resultdos, concluimos que f es un función cotd superiormente, bien por M, bien por ε. Por tnto, por el teorem de Liouville, si f es enter, tiene que ser constnte. Es decir, si p(z) no tiene ríces, es un polinomio de grdo cero, en contr de l hipótesis de prtid. 19