Tema 8. Limite de funciones. Continuidad

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1 . Límit d ua fució. Fucios covrgts.... Límits latrals.... Distitos tipos d límits.... Límits ifiitos cuado tid a u úmro ral asítota vrtical.... Límits fiitos cuado tid a ifiito asítota horizotal Límits ifiitos cuado tid a ifiito Cálculo d límits.... Opracios co límits. Idtrmiacios.... Rsolució d límits idtrmiacios Rsolució idtrmiacios dl tipo Rsolució d idtrmiacios dl tipo Rsolució d idtrmiacios dl tipo... 9 k.6. Rsolució d idtrmiacios dl tipo Rsolució d idtrmiacios dl tipo Rsolució d idtrmiacios dl tipo Rsolució d idtrmiacios dl tipo.... Dfiició d cotiuidad Tipos d discotiuidads Cotiuidad d las fucios lmtals. Opracios co fucios cotiuas.

2 . Límit d ua fució. Fucios covrgts La ida ituitiva d límit d ua fució u puto s fácil d comprdr: s l valor hacia l qu s aproima la fució cuado la variabl idpdit,, s aproima a dicho puto. Ejmplo: sa f l límit d la fució cuado tid a s ifiito, ya qu cuato más s aproima a tocs - más próimo a cro potivo, y por tato la fució s hac más grad /.. Dfiició: Matmáticamt ua fució f ti límit L cuado tid a u valor, y s dota f L s cumpl qu cuato más s acrca la a tato a la drcha,, como a la izquirda, - l valor d la fució, f más s aproima a L L Vamos a codrar dos casos difrts: a f L y f L vrmos qu s la dfiició d cotiua b f L pro f L Ejmplo: a f f f. Vamos la gráfica d la fució: Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

3 b g g g Dfiició: Dada ua fució f, s dic qu s covrgt, ist l límit f L, distito d Para qu f sa covrgt o s csario qu prtzca al domiio, por jmplo g g, Dom g, y la fució s covrgt. Límits latrals Eist fucios dfiidas a trozos, so aqullas qu stá dfiidas d difrt mara a lo largo d distitos itrvalos d la rcta ral. E stas fucios, cuado qurmos studiar l límit los putos dod cambia la pró aalítica, s csario calcular los límits latrals, viédos así la tdcia d la fució a ambos lados dl puto. Dfiició: Ua fució f ti límit L cuado tid a u valor por la izquirda, y s dota f L, s cumpl qu cuado os acrcamos al valor d para mors qu la fució s acrca a L. Cost studiar l comportamito d la fució l toro a la izquirda d. Dfiició: Ua fució f ti límit L cuado tid a u valor por la drcha, y s dota f L, s cumpl qu cuado os acrcamos al valor d para mors qu la fució s acrca a L. Cost studiar l comportamito d la fució todo toro a la drcha d. Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

4 Torma: El límit d ua fució f ist, y sólo, ist los límits latrals y éstos coicid: f f L f f L f L f L Est torma srá muy importat los jrcicios d la PAU dod s os pid studiar la cotiuidad d fucios dfiidas a trozos. Admás, como vrmos l apartado d cálculo d límits, ya qu s l método utilizado para rsolvr las idtrmiacios d los límits dl tipo Ejrcicio. Calcular los límits y valors la fució d las guits fucios rprstadas: a f-, f-, f, f Domf b f, f, f, f oist, f o ist f, f, f o ist, f c g, g, g, g, g, g, g o ist, g o ist < < Ejrcicio. Calcular los guits límits a la fució f log < f a f o ist al sr los latralsdistito f Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

5 f b f o ist al sr los latralsdistitos f log f log c f f Vamos la gráfica d la fució:. Distitos tipos d límits. Límits ifiitos cuado tid a u úmro ral asítota vrtical E st apartado vamos a studiar l caso d fucios qu cuato más s aproima a u valor, bi por la izquirda, por la drcha o por los dos, la fució s hac ifiitamt grad tid a o pquña tid a -. Cuado sto ocurr s dic qu la fució f ti asítota vrtical Vamos los guits casos: Dfiició: Ua fució f ti it cuado tid a por la izquirda cuado al acrcamos a co < la fució crc d forma ifiita. S scrib como: f Ejmplo: f < f ya qu cuato más s aproim a por la izquirda tocs - más pquño y potivo y por tato f más grad. Es dcir, cuado - tocs la fució f. E cambio f Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

6 Cuado sto ocurr la fució s aproima a la asítota vrtical. Es dcir cuado la fució s aproima a por la izquirda, ésta s acrca ifiitamt a la rcta, qu s paralla al j OY. Vamos la gráfica: Dfiició: Ua fució f ti it cuado tid a por la drcha cuado al crcamos a co > la fució crc d forma ifiita. S scrib como: f Dfiició: Ua fució f ti it cuado tid a cuado al crcamos a co > y < la fució crc d forma ifiita. Esto ocurr cuado los dos límits latrals val. S scrib como: Ejmplo: f f f f f Págia 6 d 7 Tma laborado por José Luis Lort

7 Vamos la gráfica d la fució y así podrmos itrprtar l gificado dl límit: D igual forma qu hmos studiado l límit a, l límit a - s quivalt., sólo hay qu cambiar crcimito ifiito por dcrcimito ifiito f f f Muchas vcs las fucios f tid a por u lado d y a - por l otro lado d ; cuado sto ocurr l f o ist, ya qu para istir db coicidir los límits latrals. Si bi auqu l límit o ista la fució ti asítota vrtical. Ejmplo: f, Vamos la gráfica: o ist Asítota Vrtical Págia 7 d 7 Tma laborado por José Luis Lort

8 Dfiició: La fució f ti asítota vrtical cuado s cumpla alguo d stos 6 límits: f, f, f f, f, f. Límits fiitos cuado tid a ifiito asítota horizotal E st apartado studiamos l comportamito d alguas fucios las qu, cuado la toma valors muy grads o muy pquños, la fució s aproima cada vz más a u valor L. Si sto ocurr s dic qu f tid a L cuado tid a o a -. Vamos la dfiició: Dfiició: Ua fució f ti por límit u úmro ral L cuado tid a, s cumpl qu cuato mayor s l valor d l valor d la fució s aproima más a yl. S scrib como Ejmplo: yf/ f f L y Dfiició: Ua fució f ti por límit u úmro ral L cuado tid a -, s cumpl qu cuato mor s l valor d l valor d la fució s aproima más a yl. S scrib como f L La fució atrior yf/ cumpl tambié qu f Págia 8 d 7 Tma laborado por José Luis Lort

9 Dfiició: Ua fució f ti ua asítota horizotal yy s cumpl ua d las guits codicios o las : a f y b f y Cuado sto ocurr la fució ti ua asítota horizotal yl. Es dcir, cuado s hac ifiitamt grad o ifiitamt pquño -, la fució s acrca a la rcta paralla al j OX yl. Límits ifiitos cuado tid a ifiito E st último apartado studiarmos casos: a f b f c f d f a f cuado s hac muy grad l valor d la fució tambié. Ejmplo: Págia 9 d 7 Tma laborado por José Luis Lort

10 b f gativa. Ejmplo: y- cuado s hac muy grad l valor d la fució muy pquña c f cuado s hac muy pquña gativa l valor d la fució s hac muy grad. Ejmplo: yf, Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

11 d f cuado s hac muy pquña gativa l valor d la fució tambié. Ejmplo: yf- Ejrcicio. Calcular las asítotas vrticals y horizotals d las guits fucios. Trata d boctar la gráfica d la fució: a b f g Solució a f A.V.: Vrticals cuado l límit s ifiito dod s aula l domiador: -: f f l it o ist pro hay AV - f A.H.: Cuado l límit y/o - s u úmro: f f Lugo ti asítota horizotal y, tato cuado como cuado -. Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

12 Vamos la gráfica: y - b g 9 A.V.: -9 -, 9, -9. So asítotas vrticals: g 9 g g 9 g g 6 g 6 g g 6 g 6 A.H. : g, g La asítota horizotal s y, tato para cuado ti a como a - Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

13 Vamos la gráfica: Ejrcicio. Rprstar ua fució qu cumpla las guits prmisas: a a f b f c f d f f f f g f f f h f i f 6 j f k f Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

14 b a f b f c f d - Domf f f f g f h f i f j f. Cálculo d límits. Opracios co límits. Idtrmiacios Al habr límits cuyo valor s y -, tdrmos qu vr cómo opra los úmros rals co ±. Vámoslo: Suma y difrcia: k R k±± --- Producto: k R k> k jmplo -k R - -k< k - jmplo k R k> k -- jmplo -k R - -k< -k - jmplo Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

15 Cocit: k k R jmplo ± k R ± ± jmplo k -k R - ± m jmplo k Epot: k R k> k jmplo k R <k< k jmplo k R k> k jmplo k R <k< k jmplo Idtrmiacios: -, - jmplo ± jmplo 6 k jmplo ± jmplo ± jmplo ± jmplo 7 jmplo: Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

16 . Rsolució d límits idtrmiacios. E st apartado vamos a vr como s rsulv los límits los qu o hay idtrmiacios. Es scillo sólo cost sustituir l valor d la por l valor dl límit y oprar coform a lo plicado l apartado atrior.. Vamos alguos jmplos:..... ota: la idtrmiació s cuado tid a, o cuado s. 6. id. Rsolució idtrmiacios dl tipo - Las idtrmiacios d st tipo s cuado ua o varias fucios tid a y otra u otras a -. Para rsolvr stas idtrmiacios o tmos más qu comparar l crcimito d las fucios, d tal forma qu prvalc aqulla cuya tdcia a o - s mayor al rsto. Ord d crcimito a d mor a mayor: log a <log a << / < < < < b < dod a >a y b >b. Tato a como b mayors qu Todas stas fucios tid a, pro crc mucho más rápido las fucios pocials qu las poliómica, y stas qu los logaritmos Vámoslo: b / log X log X Págia 6 d 7 Tma laborado por José Luis Lort

17 Págia 7 d 7 Tma laborado por José Luis Lort Ejmplos: log a b log c log d..rsolució d idtrmiacios dl tipo Las tuacios más mpls las qu aparc s al calcular los límits ifiitos d fraccios poliómica. Estas idtrmiacios s rsulv dividido l umrador y l domiador por la máima potcia d dl domiador Ejmplos: Q P a b c Cocluó: b b b a a a m m m m a >m b b b a a a m m m m b m> b b b a a a m m m m goq gop goq gop c m b b b a a a a a

18 Ejrcicio. Calcular los guits límits d fucios. a b c d ota l grado dtro d ua raíz s divid tr l ídic d la raíz, así grado. ti / / Estos o so los úicos tipos d límits dod aparc la idtrmiació, vamos otros casos difrts a m b a m b m m a b m k a b k log m log m k... a... b m k... a... b k > k > k > k > b b log k... b k > y b > Págia 8 d 7 Tma laborado por José Luis Lort

19 .. Rsolució d idtrmiacios dl tipo Aparc st tipo d límits pricipalmt casos difrts: Cocit d fucios poliómica: S rsulv dscompoido factorialmt umrador y domiador aplicado Ruffii co raíz la dl límit, ya qu s l valor dod sa aula los dos poliomios, mplificado los factors comus. Ejmplos: a b c d ota: cuado l límit tid a vz d Ruffii sacamos factor comú, pus la raíz s cro, y por tato l factor s -. Cocit co fucios racioals: S rsulv multiplicado umrador y domiado por la pró cojugada d la qu llva raíz,cambiado l go: Ejmplos: Págia 9 d 7 Tma laborado por José Luis Lort

20 .6. Rsolució d idtrmiacios dl tipo k Est límit pud sr, - o o istir por sr los límits latrals difrts. S calcula a partir d los límits latrals so mpr asítotas vrticals: Ejmplo: k k k k o ist l límit k k.7. Rsolució d idtrmiacios dl tipo S rsulv trasformádolas idtrmiacios dl tipo o. Ejmplo: Rsolució d idtrmiacios dl tipo - Las idtrmiacios d st tipo ya las vimos l apartado.. E st apartado vimos qu l límit ra o -, dpdido qué fució tdía más rápido a. E l apartado o codramos cuado ra fucios co crcimito smjat; sto ocurr cuado tmos ua raíz co u poliomio d grado y u poliomio rstado d grado la mitad /. Si sto ocurr lo qu s hac s multiplicar umrador y domiador por la pró cojugada, iado así la idtrmiació dl tipo - y qudado pró dl tipo /. Ejmplo: mismo grado Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

21 Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort Rsolució d idtrmiacios dl tipo Estas idtrmiacios stá rlacioadas co l úmro. El valor dcimal dl úmro s:,788 s u úmro irracioal qu db su ombr al matmático suizo Eulr. Est úmro s l límit d la guit pró:. Dmos valors:,9,769 6,788 E la práctica todo límit d la forma f f cuado f. La forma d rsolvr sta idtrmiació srá buscar sta pró: Ejmplo: Ejrcicio 6. Calcular los guits límits: a

22 Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort b it ist l o id c d Ejrcicios Ejrcicio 7.Calcula, las guits fucios rprstadas, las guits custios: a f-, f-, f, f Domf b f, f, f, ist o f, ist o f f, f, ist o f, f

23 c g, g, g, g, g, g, g o ist, g o ist Ejrcicio 8: Calcular l límit: o ist Ejrcicio 9: Calcula cuáto db valr a para qu la guit fució, f, sa covrgt : -a f a, f. El límit f ist mpr qu a. Ejrcicio : Sido f calcular l guit límit: f f Ejrcicio : Calcular los guits límits a, b, c id o ist d id, f g, h i j k 6 l m Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

24 Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort o p 6 q 6 o ist r s t u o ist v o ist w 6 6 y z aa

25 ab 9 ac Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

26 . Dfiició d cotiuidad Vamos la dfiició d la cotiuidad: Dfiició: Ua fució f s cotiua u puto dicho puto s cumpl las guits trs codicios:. Eist f y o val i - s dcir s covrgt. La fució dfiida, s dcir Domf. Los dos valors atriors coicid: f f. Ejmplo: Domf-, [, Cotiua todos los putos dl domiio mos a - f f b f o ist pus los límits latrals so distitos c f o ist pus o ist l límit por la izquirda Domg-,,],, Cotiua todos los putos dl domiio mos a g o ist pus los límits latrals so distitos b g o ist pus o ist l límit por la drcha c g o ist pus o ist l límit por la izquirda d g pro Domg Págia 6 d 7 Tma laborado por José Luis Lort

27 Dfiició: Ua fució f s cotiua u itrvalo a,b todos los putos dl itrvalo s cotiua. Esto ocurr cuado al dibujar la gráfica o lvatamos l boli d la hoja para dibujarla E l jmplo atrior f cotiua -,-, -,,, y,. La fució g -,,,,, y,. Ejrcicio. Calcular la cotiuidad d la guit fució: Pasos: Estudiar la cotiuidad d los trozos sus domiios d dfiició: s cotiua R-{-,}, ya qu l domiador s hac cro y l límit y - val asítota vrtical. Pro d los dos valors sólo - prtc al domiio d dfiició,. y so rctas y por tato cotiuas todos los rals. Lugo por ahora la fució o cotiua - Estudiar la cotiuidad los putos dod la fució cambia d pró aalítica, ustro jmplo y. E f f f Lugo la fució o cotiua tampoco. E f f f o ist l it Auqu l límit ist la fució o cotiua pus Domf. Ya qu para la fució o dfiida Lugo la fució o cotiua tampoco La fució ti trs putos d discotiuidad -,,. Págia 7 d 7 Tma laborado por José Luis Lort

28 6. Tipos d discotiuidads Dfiició: Ua fució f s discotiua u puto o s cotiua dicho puto. Eist dos tipos d discotiuidads: a Discotiuidad vitabl b Discotiuidad o vitabl Discotiuidad vitabl: Ua fució f prsta ua discotiuidad vitabl l puto cumpl las guits codicios:. La fució covrgt, s dcir l límit d la fució ist, y s u umro f L. Ua d las dos guits codicios: Ejmplos: a. o l límit o coicid co f b. o bi la fució o stá dfiida s dcir Domf f f. Esta discotiuidad s vita rdfiido la fució, hacido qu st puto la fució tom l mismo valor qu l límit s dcir f Así la fució f s cotiua pus f f Págia 8 d 7 Tma laborado por José Luis Lort

29 g pro Dog. Esta discotiuidad s vitaría rdfiimos la fució tal qu sta valga lo mismo qu l límit: g / Discotiuidad o vitabl: Es aqulla la qu l límit l puto o o ist o s ifiito. Pud sr a su vz d tipos: Salto fiito : los límits latrals o coicid pro so úmros rals f f Salto ifiito : cuado los dos límits latrals o al mos uo d llos s o -. Págia 9 d 7 Tma laborado por José Luis Lort

30 Ejrcicio. Dcir d las guits fucios los tipos d discotiuidads d las guits fucios f: - vitabl, o vitabl d salto fiito. Etr [, la fució o dfiida g: y o vitabl d salto ifiito. Etr,] fució o dfiida. Ejrcicio. Dcir qu tipo d discotiuidad hay la fució dl jrcicio La fució ti trs putos d discotiuidad -,,. - E - o vitabl d salto ifiito - E o vitabl d salto fiito - E vitabl 7. Cotiuidad d las fucios lmtals. Opracios co fucios cotiuas Las fucios lmtals, por lo gral, so cotiuas todos los putos dl domiio. Las discotiuidads más importats aparc fucios dfiidas a trozos discotiuidads vitabls o d salto fiito, y fucios co domiador l valor dod s aula ést discotiuidad d salto ifiito. Opracios d fucios cotiuas: Sa f y g fucios cotiuas Las fucios suma y rsta f ± g so cotiua La fució producto f g s cotiua La fució divió f/g s cotiua g Si g s cotiua y f s cotiua g tocs la fució compusta f g s cotiua. Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

31 Ejrcicios Ejrcicio : Estudia la cotiuidad d las guits fucios a f El valor absoluto pud dividirs dos parts: cuado lo qu stá dtro dl valor s gativo st cambia d go, y s potivo o s cambia. f < 6 > < > o f o f f 6 o f s por tato cotiua R-{} b g o ist, discotiuidad d salto fiito > Es ua fució dfiida a trozos, dod cada uo d llos s u poliomio, qu so cotiuos R; D sta forma l úico puto qu tmos qu studiar la cotiuidad s, dod f cambia d pró aalítica: g f. Lugo g cotiua R. c h 9 6 Es ua fució dfiida a trozos, uo d llos s ua fracció algbraica, así qu los putos dod s aul l domiador pud o sr cotiua. Como coicid l puto dod s aula l domiador co l cambio d pró aalítica sólo hay qu studiar la cotiuidad st puto. 9 h La fució h s cotiua R 6f6 Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

32 d l > Es ua fució dfiida a trozos, cada uo d llo la fució s u poliomio, así qu l úico puto dod hay qu studiar la cotiuidad s -, allí dod cambia d pró aalítica: l salto fiito. l l D sta forma l cotiua R-{-}. No ist, lugo o s cotiua -, d Ejrcicio 6: Calcula l valor d k para qu las guits fucios sa cotiuas todo R a g k Es ua fució dfiida a trozos, uo d llos la fució s ua fracció algbraica qu pud o sr cotiua los putos dod s aual l domiador. Como st puto coicid co l puto dod la fució cambia d pró aalítica, s l úico puto dod tmos qu studiar la cotiuidad d g. g l límit o ist, así qu idifrtmt dl valor d k la fució g o s cotiua b k k < > Como stá dfiido para valors gativos <, s quivalt a sustituir por : k k < > Es ua fució dfiida a trozos; cada uo d llos las fucios so poliomios, y stos so cotiuos R. Lugo l úico puto dod pud prstar discotiuidad s, allí dod la fució cambia d pró aalítica. Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

33 k Para qu sa cotiua ha d cumplir qu k k. Por tato k srá cotiua kk k c > m k Es ua fució dfiida a trozos, cada uo d llos las fucios so fraccios algbraicas, qu o so cotiuas los putos dod s aula l domiador. E la primra d llas ocurr, pro como sa pró aalítica sólo ist para >, uca tomará s valor. La sguda s aula para, pro como la pró dfiida para uca tomará s valor. Así qu sólo hay qu studiar la cotiuidad, dod la fució cambia d pró aalítica: k 6 k m El límit ist k7. Admás k7 m y por tato cotiua y todo R. Ejrcicio 7: Hallar l domiio y la cotiuidad d las guits fucios: a f -6 El domiio d la fució f -6 y su cotiuidad s todo R, ya qu l valor absoluto d f s cotiuo los mismos putos los qu sa cotiua la fució -6, qu s u poliomio. b g. El domiio d ua raíz cuadrada so todos los putos dod l radicado s potivo o cro. Como g stá dfiida a partir d suma la d trs fucios, l domiio srá la itrscció d los trs domiios. Vamos uo a uo por sparado: Dom[-, Dom-,] DomR Domg [-, -,] R[-,] E los putos dl domiio la fució s cotiua, pus l límit d la fució coicid co l valor l puto. Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

34 Ejrcicio 8: Dtrmiar los parámtros a y b para qu la guit fució sa cotiua todo R f a b < l Es ua fució dfiida a trozos, y cada trozo la fució s cotiua su domiio d dfiició, ya qu l úico qu o s cotiua todo R s l, pro como stá dfiida para st itrvalo s cotiua. Tdrmos qu vr la cotiuidad y para asgurar qu la fució f cotiua todo R. Cotiuidad f f f a b b El límit ist b, admás para st valor d b f y por tato la fució srá cotiua Cotiuidad f l f El límit ist a, admás f a a para st valor fa y por tato la fució srá cotiua Si a y b la fució srá cotiua R Ejrcicio 9: Hallar y claficar las discotiuidads d las guits fucios a f Srá cotiua R mos los putos dod s aula l domiador s dcir y, por tato, Domf. Vamos l límit stos putos para discrir l tipo d discotiuidad. E salto if iito E vitabl Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

35 b g > Tato - como - so cotiuas para todo R, lugo la úica pobl discotiuidad pud ocurrir. g g g Discotiuidad d salto fiito. c f f f Evitabl 8. Asítotas. Ua fució f pud tr trs tipos d asítotas: Asítota vrticals Asítota horizotal Asítota oblicua Las asítotas vrticals: ocurr cuado la fució s acrca a u puto tid a, - o u límit latral a y l otro a -. E la práctica sto ocurr los valors d qu aula l domiador. Estos valors o prtc al domiio. Para vr como la fució s acrca a la asítota s studia los its latrals d f cuado tid a valor qu aula l domiador. So límits idtrmiados d la forma K/. Ejmplos: a f AV: Igualamos l domiador a - Vamos l comportamito d f las dos asítotas vrticals: f - f Págia d 7 Tma laborado por José Luis Lort

36 a f AV: Igualamos l domiador a -dobl Vamos l comportamito d f la asítota vrtical: - f Págia 6 d 7 Tma laborado por José Luis Lort

37 Las asítotas horizotals: la fució ti ua asítota horizotal yl, cuado s hac ifiitamt grad o ifiitamt pquño -, la grafica s acrca a la rcta paralla al j OX yl Ua fució f ti ua asítota horizotal yl s cumpl ua d las guits codicios o las : a f L b f L Págia 7 d 7 Tma laborado por José Luis Lort

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