Aproximación intuitiva al concepto de límite de una función en un punto

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1 Aproimación intuitiva al concepto de límite de una función en un punto ) Consideremos el siguiente gráfico Cuando los valores de se aproiman a 8 por la derecha, las imágenes de se acercan a 4 Cuando los valores de se acercan a 8 por la izquierda, las imágenes de se acercan a Decimos que el límite de f() para tendiendo a 8 por la derecha es 4 y que el límite de f() para tendiendo a 8 por la izquierda es Lo simbolizamos de la siguiente forma: f ( ) = f ( ) = A los límites por la derecha y por la izquierda de una función en un punto los llamamos límites laterales ) En este gráfico, si nos acercamos a por la derecha, las imágenes de a través de la función se acercan a Si nos acercamos a por la izquierda, las imágenes se acercan a Decimos que: f ( ) = - f ( ) = - Cuando ambos límites laterales coinciden, decimos que el límite de f() para tendiendo a es Para que una función tenga límite en un punto ambos límites laterales deben coincidir En caso contrario decimos que la función no tiene límite en ese punto Hallar, si eiste el límite de la función para tendiendo a de la función anterior ) Hallar, si eiste, el límite de la siguiente función para tendiendo a

2 4) En el gráfico de la siguiente función, si nos acercamos a por la derecha, las imágenes de son cada vez mayores Decimos que el límite de f() para tendiendo a por la derecha es + Si nos acercamos a por la izquierda, las imágenes de son cada vez menores Decimos que el límite de f() para tendiendo a por la izquierda es - En este caso, decimos que el límite de f() para tendiendo a es Cuando tomamos valores de cada vez mayores, es decir cuando tiende a +, las imágenes se acercan a Decimos que el f () = : Cuando tomamos valores de cada vez menores, es decir cuando tiende a -, las imágenes se acercan a Decimos que el f () = : ) Calcular en los siguientes gráficos el f (),, f () g(), g() f() g() En estos casos, no es lo mismo que tienda a + o a - En la función f(), el límite para tendiendo a + es +, en cambio el límite para tendiendo a - es igual a Decimos que el semieje negativo de las es asíntota horizontal de la función En la función g(), el límite para tendiendo a - es +, en cambio el límite para tendiendo a + es igual a Decimos que el semieje positivo de las es asíntota horizontal de la función 6) Para cada uno de los siguientes gráficos, analizar el límite de la función cuando tiende a + y cuando tiende a -

3 - - Conclusiones ) Límite finito de una función en un punto- Llamamos límite de una función f() cuando tiende a un valor, al valor L al que se acerca f() cuando toma valores cada vez más cercanos a Se simboliza: f ( ) L ) Límites laterales Decimos que f() tiende a P cuando tiende a por la izquierda si a medida que toma valores cada vez más cercanos a pero menores que él, entonces f() toma valores cada vez más próimos a P Se escribe: lím f ( ) P Decimos que f() tiende a P cuando tiende a por la derecha si a medida que toma valores cada vez más cercanos a pero mayores que él, entonces f() toma valores cada vez más próimos a P Se escribe: lím f ( ) P Decimos que una función f() tiene límite cuando tiende a si y sólo si los límites por derecha y por izquierda coinciden O sea lím f ( ) = lím f ( ) = lím f ( L ) ) Límite infinito Una función f() tiende a infinito cuando tiende a si a medida que toma valores cada vez más próimos a, f ( ) toma valores cada vez más grandes Decimos f ( ) Decimos que una función f() tiende a un número L cuando tiende a infinito si a medida que toma valores cada vez más grandes, f() tiende a L Escribimos f ( ) L Ejercicio Completar, si es posible, observando el gráfico Si no es posible eplicar por qué a) f ( -6 ) = f ( ) lím 6 f ( ) 6 b) f ( ) = f ( f ( ) c) f (- 4 ) = f ( ) 4 d) f ( 6 ) = f ( ) 6 ) 4 6 f ( ) f ( ) 6 f ( ) f ( ) 4 f ( ) 6 f ( )

4 e) f ( 9 ) = f ( ) 9 f) f ( 4 ) = f ( ) 4 f ( ) 9 f ( ) 4 9 f ( ) 4 f ( ) Cuando calculamos el límite de una función en un punto =, pueden presentarse las siguientes situaciones: ) X al dominio de f() y ambos ) al dominio de f() y los ) al dominio de f() límites laterales coinciden En ese límites laterales coinciden y los límites laterales no caso el límite coincide con la La función tiene límite L en coinciden La función imagen de ese punto no tiene límite en ese punto ) ) ) L L L L Límite de una función escalar Sea la función f() = + Calculemos los valores de la función para valores de próimos a valores de que se acercan a por la izquierda valores de que se acercan a por la derecha F () = +,9 4,8,99 4,98,999 4,998,,,,,, 4

5 Decimos que el En estos casos, como el límite de la función en un punto coincide con la imagen de ese punto, para calcular el límite, calculamos el valor de la función en dicho punto Ejercicios ) Calcular los siguientes límites a) b) ( ) c) ( ) d) 4 e) lím f) lím ( ) ) Graficar cada una de las funciones y calcular f ( ) si si a) f ( ) b) f ( ) c) si si Propiedades de los límites f ( ) si si Si a f() y el a g() son números reales, entonces: ) El límite de la suma de f() y g() es igual a la suma de los límites de f() y de g() Es decir a [ f() + g () ] = a f() + a g () ) El límite de la esta de f() y g() es igual a la resta de los límites de f() y de g() Es decir a [ f() - g () ] = a f() - a g () ) El límite del producto de f() y g() es igual al producto de los límites de f() y de g() Es decir a [ f() g () ] = a f() a g () 4) El límite del cociente de f() y g() es igual al cociente de los límites de f() y de g(), siempre que el límite del denominador sea Es decir a f ( ) a [ f() : g () ] = si a g() a g( ) ) Sea la función [ f() ] n con n R, Si a f( ) a [ f() ] n = [a f() ] n Si a f( ) = y n a [ f() ] n = [a f() ] n 6) Si a f( ) ó Si a g( ) a [ f() ] g() = [a f() ] a g() Ejercicios Resolver aplicando las propiedades correspondientes a) ( ) b) lím ( log ) e c) lím ( ln ) d) e [ ( 4 6 ) d) lím ( ) log 4 6 e) lím ( ) e) 4 ( ) f) [ ( cos ) ]

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