Series aritméticas. ó La suma de los primeros n términos en una serie se representa por S n. . Por ejemplo: S 6

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1 LECCIÓN CONDENSADA 9.1 Series aritméticas En esta lección aprenderás terminología y notación asociada con series descubrirás una fórmula para la suma parcial de una serie aritmética Una serie es la suma indicada de los términos de una secuencia. Por ejemplo, considera la secuencia: 4 u n u n1 2 donde n 2 La suma de los términos de esta secuencia es la serie: u 2 u 3 u 4 ó La suma de los primeros n términos en una serie se representa por. Por ejemplo: S 6 u 2 u 3 u 4 u 5 u La suma de cualquier número finito, o limitado, de términos se llama suma 6 parcial de la serie. Las notaciones S 6 y u n son formas cortas de escribir n1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6. Para hallar la suma de los enteros de 1 a 100, podrías sumar los términos uno por uno. Puedes usar tecnología y una fórmula recursiva para hacer esto rápidamente. Primero, escribe una definición recursiva para la secuencia de enteros positivos. Secuencia: 1 u n u n1 1 donde n 2 Después, escribe la definición para la serie relacionada. Recuerda que la suma de los primeros 100 términos es la suma de los primeros 99 términos más el término número 100. Serie: S u n donde n 2 La tabla muestra cada término en la secuencia y la secuencia de sumas parciales. Los puntos en la gráfica representan las sumas parciales de S 1 a S 100. Puedes usar la tabla o la gráfica para hallar que S 100, la suma de los enteros de 1 a 100, es (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 9 137

2 Lección 9.1 Series aritméticas (continuación) En la investigación encontrarás una fórmula para hallar una suma parcial de una serie aritmética, sin tener que encontrar todos los términos y sumar. Investigación: Fórmula de la serie aritmética Resuelve los Pasos 1 y 2 de la investigación en tu libro. Si tienes los materiales, completa el resto de la investigación. Después compara tus resultados con los siguientes. Paso 1 La longitud del primer paso es 4, la del segundo es 7, y así sucesivamente hasta el último paso, que mide 16. Secuencia: 4, 7, 10, 13, 16 Suma de la serie: Paso 2 Las dimensiones del rectángulo son 20 unidades por 5 unidades. Observa que el área es 100 unidades cuadradas, el doble del valor de la suma de la serie. u 2 u 3 u 4 u 5 Deslizar Pasos 3 y 4 Usa la secuencia 2, 4, 6, 8. Entonces 2, d 2. Observa que la serie relacionada es La siguiente figura muestra dos copias de una figura escalonada que representa la secuencia. Las dimensiones del rectángulo son 10 unidades por 4 unidades, dando como resultado un área de 40 unidades cuadradas. u 2 u 3 u 4 Deslizar El área del rectángulo es el resultado de n u 4. La longitud del rectángulo es igual a la suma del primer y el último término de la secuencia, u 4, y la altura del rectángulo es igual a n, el número de términos en la secuencia. Paso 5 La suma parcial,, de una seria aritmética es n u n 2. Es un medio del área del rectángulo. Usa la fórmula de la investigación para verificar que la suma de los enteros de 1 a 100 es Después lee el ejemplo en tu libro y el texto que le sigue. 138 CHAPTER 9 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish

3 LECCIÓN CONDENSADA 9.2 Serie geométrica infinita En esta lección aprenderás que algunas series geométricas infinitas convergen a un valor a largo plazo, o suma descubrirás una fórmula para hallar la suma de una serie geométrica convergente En la Lección 9.1, hallaste las sumas parciales de series aritméticas. Si comienzas a sumar los términos de una secuencia aritmética, aumentará la magnitud de la suma parcial. Esto finalmente sucederá aun si los términos son pequeños, como por ejemplo 0.001, 0.002, 0.003, y así sucesivamente. Éste no siempre es el caso en una serie geométrica. Una serie geométrica es la suma de los términos de una secuencia geométrica. Por ejemplo, considera la secuencia geométrica: 1 2, 1 4, 1 8, 1 16, 1 32, 1 64, 1 128, Esta serie tiene una razón constante de 1, 2 por lo tanto los términos son cada vez más pequeños. Puedes sumar los términos para crear una serie geométrica. Éstas son algunas de las sumas parciales: S S S Si sigues hallando sumas parciales, obtendrás 3 32, 6 6, , 8 y así sucesivamente. Aunque las sumas parciales son cada vez más grandes, siempre son menores que 1. Parece que, si sumas un número infinito de términos, el resultado no será infinito. Una serie geométrica infinita es una serie geométrica con un número infinito de términos. Una serie convergente es una serie para la cual la secuencia de sumas parciales se aproxima a un valor a largo plazo, a medida que aumenta el número de términos. Este valor a largo plazo es la suma de la serie. La serie es una serie convergente con un valor a largo plazo, o suma, de 1. Analiza el Ejemplo A en tu libro Investigación: Fórmula de la serie geométrica infinita Analiza la investigación por tu cuenta antes de leer las siguientes soluciones. Paso 1 El primer término,, es 0.4. La razón, r, es , ó 0.1. El multiplicador y r son recíprocos. Puedes usar cualquier potencia de diez como multiplicador. Paso 2 Sea S Entonces 0.1S Resta S y 0.1S y después resuelve para S. S S S 0.4 S , ó 4 9 Este método también obtuvo S 4 9. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 9 139

4 Lección 9.2 Serie geométrica infinita (continuación) Paso 3 El primer término,, es 0.9. La razón, r, es 0.1. Sea S y 0.1S Resta S y 0.1S y después resuelve para S. S S S 0.9 S 1 Paso 4 El primer término,, es La razón común, r, es Sea S y 0.01S Resta y después resuelve para S. S S S 0.27 S Paso 5 Si S r r 2 r 3, entonces r S r ( r r 2 r 3 ), ó r r 2 r 3. Resta y resuelve para S. S r r 2 r 3 r S r r 2 r 3 S rs Resta. S (1 r) Factoriza. u S 1 Divide ambos lados por (1 r). 1 r Paso 6 Las sumas parciales de una secuencia geométrica convergirán en un único número S cuando r esté entre 1 y 1, o cuando 0. Lee el Ejemplo B en tu libro, que usa una gráfica de sumas parciales para hallar la suma de una serie. Lee el ejemplo atentamente y asegúrate de que entiendes el método. Después lee el recuadro que sigue al ejemplo, que resume la fórmula para hallar la suma de una serie geométrica infinita convergente. Observa que una serie geométrica converge solamente si r 1 ó 0. Analiza el Ejemplo C. Éste es otro ejemplo. EJEMPLO Solución Halla la suma de la serie infinita: n1 130(0.84) n1 En este caso, r 0.84 y 130. Usando la fórmula S 130 S r, 140 CHAPTER 9 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish

5 LECCIÓN CONDENSADA 9.3 Sumas parciales de series geométricas En esta lección descubrirás una fórmula para sumas parciales de series geométricas En la Lección 9.2, hallaste las sumas infinitas de series geométricas convergentes. En esta lección hallarás las sumas parciales de series geométricas. El Ejemplo A en tu libro muestra cómo usar una gráfica o tabla de calculadora para hallar las sumas parciales de una serie geométrica. Lee el ejemplo atentamente. En la Lección 9.1, descubriste una fórmula para las sumas parciales de las series aritméticas. En esta investigación, hallarás una fórmula para las sumas parciales de las series geométricas. Investigación: Fórmula de series geométricas Analiza la investigación en tu libro. Después verifica tus resultados con los siguientes. Paso 1 La secuencia se define por 180 y u n 0.65 u n1. Las primeras diez alturas y sumas parciales se muestran en las siguientes tablas. Paso 2 A continuación se muestra la gráfica de dispersión de datos: El valor a largo plazo L se obtiene por r Para hallar los valores de a y b, sustituye las coordena das de los puntos (1, 180) y (2, 297) en 180 abn para obtener el sistema: ab ab2 Puedes volver a escribir estas ecuaciones como ab y ab Dividiendo la segunda ecuación por la primera, se obtiene b Sustituyendo b por 0.65 en la primera ecuación, se obtiene 0.65a Por lo tanto a Entonces, la ecuación es (0.65)n, o como una función exponencial, y (0.65) x. (continúa) Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish CHAPTER 9 141

6 Lección 9.3 Sumas parciales de series geométricas (continuación) u Paso 3 La ecuación en el Paso 2 se puede volver a escribir como 1 1 r 1 r rn. u 1 1 r 1 r n u Elimina 1 1 r. 1 r n Vuelve a escribir la ecuación. 1 r Paso 4 r r 2 r n1 r r r 2 r n1 r n r r n, ó 1 r n (1 r) 1 r n 1 r n 1 r Paso 5 Para la pelota que rebota, S 10 se obtiene así: S Esto se puede verificar en la tabla de la calculadora. Para la secuencia geométrica 2, 6, 18, 54, y así sucesivamente, 2 y r 3. S ,048 Ahora tienes una fórmula explícita para hallar una suma parcial de cualquier serie geométrica. Sólo necesitas conocer el primer término, la razón común y el número de términos. Para practicar el uso de la fórmula, resuelve los Ejemplos B y C en tu libro. Después lee el siguiente ejemplo. EJEMPLO Halla cada suma parcial. 11 a. 9(2.75) n1 n1 b Solución a. 9 y r Usa la fórmula para la suma parcial S r S 11 (1 r) , b. El primer término,, es Cada término es tres cuartos del término anterior, por lo tanto r Ingresa 1024 y u n 0.75u n1 en tu calculadora y crea una tabla. El último término dado, , es u 8. Por lo tanto necesitas hallar S 8. Usando la fórmula, S 8 1 r 8 (1 r) CHAPTER 9 Discovering Advanced Algebra Condensed Lessons in Spanish