Tema 4.1: Integral curvilínea. Caracterización de la existencia de primitiva

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Tema 4.1: Integral curvilínea. Caracterización de la existencia de primitiva"

Transcripción

1 Tem 4.1: Integrl urvilíne. Crterizión de l existeni de primitiv Fultd de Cienis Experimentles, Curso E. de Amo En este tem se front el problem que en Vrible Rel se onoe omo Teorem Fundmentl del Cálulo: existeni o no de primitiv (y su rterizión) pr un funión dd. Al igul que en el so rel, hbremos de de nir el onepto de integrl, hor y en sentido omplejo; y, por tnto, l integrión lo lrgo de urvs preerá de modo nturl. Este problem se enuentr en l bse de l llmd Teorí de ls Funiones Anlítis, estudid por Cuhy (llá por 1840). L ondiión que rterizrá l existeni de primitiv será l tesis que preerá en ls próxims leiones, en los llmdos teorems de tipo Cuhy; sber, que f 0 donde f será un funión holomorf en un bierto del plno omplejo y un mino en ; más un hipótesis diionl que preisremos (uns vees sobre el dominio, otrs sobre l funión, otrs sobre el mino). Observión: nótese lo poo prátio que resultrí estr l esper de probr este tipo de hipótesis ( pr tod funión y pr todo mino, ddo un bierto!, por ejemplo). Nuestr espernz es de tipo teório: enontrr ess hipótesis diionles y logrr dih ondiión. Por tnto, un pln de trbjo podrí ser (y v serlo) el siguiente: 1. Dremos l de niión de integrl de Riemnn pr funiones omplejs de vrible rel: R b f 2 C: 2. De niremos l integrl lo lrgo de un urv regulr trozos: R f 2 C. 3. Estudiremos l dependeni de R f respeto de l urv ; y sí, podremos onsiderr l funión F (z) : f (w) dw: z Integrl de Riemnn de funiones omplejs de vrible rel. De niión. Se un funión f : [; b] R! C. Diremos que f es integrble Riemnn en [; b] si ls funiones reles de vrible rel Re f e Im f lo son 1

2 (en el sentido y estudido en un vrible rel). En este so, llmmos integrl de l tl funión l número omplejo b f : b (Re f) + i b (Im f) : (Siempre que se pued, se evitrá l expresión R b f(t)dt en fvor de R b ) Denotremos por R C ([; b]) l lse de tods ls funiones omplejs integrbles Riemnn en [; b] : De niión. Sen un funión f : [; b] R! C y P : ft 0 ; t 1 ; :::; t n g 2 ([; b]), un prtiión de [; b]. Diremos del omplejo que es un sum integrl de f respeto de P, si existen x 1 ; x 2 ; :::; x n 2 [; b] tles que x k 2 [t k 1 ; t k ] ; k 1; 2; :::; n y nx f (x k ) (t k t k 1 ) : Notremos por P (f; P ) l onjunto de tods ls sums integrles de f respeto de l prtiión P. Proposiión. Se un funión f : [; b] R! C. Son equivlentes: k1 i. L funión f es integrble. ii. Existe un omplejo I tl que 8" > 0; 9 > 0 : P 2 ([; b]) ; diám (P ) < 2 P (f; P ) ) j Ij < ": Demostrión. i. ) ii. es evidente. Por otro ldo, pr probr ii. ) i., bst er en l uent de que si 2 P (f; P ) ; entones Re 2 P (Re f; P ) e Im 2 P (Im f; P ). Teorem de Lebesgue. Se un funión f : [; b] R! C otd. L ondiión neesri y su iente pr que f 2 R C ([; b]) es que el onjunto de puntos de disontinuidd de f se un onjunto de medid nul. Demostrión. Llmemos D(f) l tl onjunto. Como se tiene D(f) D (Re f) [ D (Im f) ; podemos plir lo que sbemos de l integrl de Riemnn en un vrible rel. Enunimos ontinuión lguns onseuenis de este heho sobre ls propieddes de R C ([; b]). Proposiión. L lse R C ([; b]) es un álgebr y el funionl f! R b f es linel. 2

3 Demostrión. L linelidd del funionl de nido sobre R C ([; b]) es evidente. Pr eslres ; 2 C; ls funiones f + g y fg están otds si lo están, su vez, f y g. Además, si son elementos de R C ([; b]), omo D (f + g) D (f) [ D (g) y D (fg) D (f) [ D (g) ; se tiene lo desedo. Ahor, un propiedd de "modulridd": Proposiión. Si f 2 R C ([; b]), entones jfj 2 R C ([; b]). Además, b b f jfj : Demostrión. El teorem de Lebesgue nos proporion l modulridd de R C ([; b]). Pr el "demás", pongmos b b f : e i ; : f : Como b e i f b e i f 2 R; entones (ojo, que no hy uiddo on el orden: hor estmos trbjndo on reles): b b e i f Re e i f b e i f ; por tnto, lo desedo. Algunos resultdos se pueden obtener bjo l senill onsiderión de ls prtes rel e imginri de l funión trtr: Proposiión. Sen f 2 R C ([; b]) y g : [; b]! C. Si el onjunto fx 2 [; b] : f(x) 6 g(x)g es nito, entones g 2 R C ([; b]) y ls integrles oiniden. Proposiión. Sen ; b; 2 R y : min f; b; g ; : mx f; b; g. Si f 2 R C ([; ]) ; entones l tres integrles siguientes tienen sentido, y se veri l fórmul: b f Regl de Brrow. Se un funión F : [; b]! C derivble. Supongmos que F 0 2 R C ([; b]). Entones: f + b b F 0 F (b) F (): 3

4 Teorem del mbio de vrible. Se un funión ' : [; b]! R monóton y derivble. Supongmos que ' 0 2 R C ([; b]). Se hor un funión f : ' ([; b])! C integrble. Entones se tienen: i. (f ') ' 0 2 R C ([; b]) ii. R '(b) '() f R b (f ') '0 : Integrión sobre urvs. De niión. Se : [; b]! C un urv regulr trozos (o se, un mino). Si f es un funión omplej de vrible omplej, llmremos integrl de f sobre l número omplejo b f : (f ') ' 0 : Está plenmente justi d l ohereni de est de niión: f es ontinu en [; b] y 0 está de nid, slvo un número nito de puntos; onseuentemente (f ') ' 0 2 R C ([; b]). Ejemplo. Se el segmento [z; w] C. L urv [z; w] por él determind, es regulr. Si f es un funión ontinu sobre el segmento ddo, entones 1 f f [(1 t) z + tw] (w z) dt: [z;w] 0 Proposiión. Se un urv regulr trozos y se C ( ) l lse de tods ls funiones omplejs de nids sobre. El funionl sobre l tl lse, ddo por l expresión f! f es linel y ontinuo. En prtiulr: f kfk long () ; donde kfk es el máximo de l funión f sobre (el ompto). Demostrión. L linelidd es evidente. Pr l ontinuidd, rzonmos sí: b b f (f ') ' 0 jf 'j j' 0 j luego ontinuidd. b kfk j' 0 j kfk long () ; 4

5 De niión. Dos urvs regulres trozos se dien equivlentes si existe un difeomor smo de lse 1, y (estritmente) reiente, que trnsform un en otr. Si llmmos 1 y 2 ls dos tles urvs, denotremos 1 2. Nótese que 1 2 ) 1 2; pero el reíproo es flso. Proposiión. Si 1 2 y f 2 C ( 1), entones f 1 2 Es deir, sobre urvs regulres trozos l funión ontinu integrr no depende de l prmetrizión que se hg de l urv. Demostrión. Todo es elementl hiendo uso del teorem de mbio de vribles. Llmemos ' l difeomor smo de [; b] en [; d] tl que 2 ' 1 : 2 f d b (f 2 ) 0 2 b (f 1 ) (f 2 ') ( 0 2 ') ' 0 Proposiión. Si es un urv regulr trozos y f 2 C ( ), entones f Demostrión. Cálulos elementles, omo en l demostrión nterior: f (z) dz b b [f ( )] (t) ( 0 ) (t) dt b f ( (b + t)) 0 (t) dt f ( (s)) 0 (s) ds Aquí h sido lve que el difeomor smo que trnsform en su opuest no se reiente! Proposiión. Sen 1 : [; b]! C y 2 : [; d]! C dos urvs regulres trozos tles que 2 () 1 (b). Si f 2 C ( 1 [ 2), entones: f f

6 Demostrión. Un vez más, el teorem del mbio de vribles (usdoen el segundo sumndo pr l últim iguldd, on el mbio s : t b + ) nos drá lo desedo: b+d f [f ( )] ( ) b b+d [f ( )] ( ) 0 + [f ( )] ( ) 0 b b+d (f 1 ) ( 1 ) 0 + b b (f 2 ) ( 2 ) 0 f En l siguiente proposiión nos detenemos en l integrión sobre minos (urvs errds regulres trozos); y nos v deir que, en esos sos, l integrión será independiente del punto que esojmos omo iniio y nl del reorrido. Proposiión. Se : [; b]! C un urv regulr trozos errd. Pr 2 ]; b[, se l nuev urv dd por : [; b + ]! C (t) :::; t b (t) : (t b + ) :::; b t b + : (Nótese que.) Si f 2 C ( ) ; entones f Demostrión. Son álulos (on un mbio de vrible, s : t + b, ómo no): +b b +b f (f ) 0 (f ) 0 + (f ) 0 b b +b (f ) 0 + b (f ) 0 (f ) 0 b b Crterizión de l existeni de primitiv. (f ) 0 + (f ) 0 Lem. Sen un bierto del plno, f un funión ontinu en el bierto y F otr funión holomorf en el bierto y tl que F 0 (z) f(z) en todo punto del bierto. Se : [; b]! un mino. Entones: f F ((b)) F (()): 6

7 Demostrión. Con l yud de l regl de Brrow pr funiones de R en C: b b b f (f ) 0 f () 0 F 0 () 0 b (F ) 0 F ((b)) F (()): Abmos de probr que si un funión dmite primitiv, su integrl no depende, pr nd, del reorrido de l urv, sólo de sus vlores extremos. En onseueni, un ondiión neesri pr l existeni de primitiv es que su integrl no depend del mino que se reorre. Así, si el mino es errdo, su integrl será nul. Csos prtiulres, destbles, se expliitn en los siguientes orolrios. Corolrio. Sen p : C! C un polinomio y C(; r) un irunfereni ulesquier. Entones: p 0: C(;r) Corolrio. Pr ulquier mino errdo en C : dz zdz 0: Demostrión. Es onseueni del orolrio nterior; pero si se quiere un demostrión utónom, bst onsiderr los sos respetivos en los que F se un orrespondiente primitiv y plir el lem d un de ells: z! z y z! z2 2 : L propiedd dd por el lem nterior rteriz, de heho, l existeni de primitiv: Lem de onstruión de Primitivs. F :! C. Supongmos que Sen C, f 2 C (), y y 8 2 ; 9 > 0 : D (; ) F (z) F () + f; 8z 2 D(; ): Entones, f dmite primitiv en ; onretmente: F 2 H () y F 0 (z) f(z); 8z 2 7

8 Demostrión. Se jo, pero rbitrrio, en. Objetivo: probr que F es derivble en on F 0 () f(). Por l ontinuidd de f, y on l notión de l hipótesis, pr d " > 0, existe 2 ]0; [ tl que Rzonmos pr jz j < : jf (z) F () f()(z )j luego jw j < ) jf(w) f()j < ": z! ) F (z) z f f()(z ) f f() jf f()j " j zj ; F () f()! 0; [f f()] y, por tnto, existe F 0 () f(). L rbitrriedd de nos d lo desedo en. Teorem. Sen C y f 2 C (). Son equivlentes: i. f dmite primitiv en : R ii. f 0 pr todo mino errdo on soporte en : Demostrión. i. ) ii. y nos lo dió l onseueni de un lem nterior. Probemos hor, on l yud del lem de onstruión de primitivs, que ii. ) i. No hy pérdid de generlidd si suponemos que es un dominio ( por qué?): pr y z en, se z ulquier mino (de soporte) en de origen y extremo z. De nmos F (z) : z Vemos que, en efeto, podemos onsiderrl omo un buen de niión; es deir, que no depende del reorrido esogido pr ir de z. Si y son dos tles minos, el nuevo mino + ( ), será errdo; luego: 0 f f + f ) f f +( ) Vmos y probr l derivbilidd de F : pr 2, existe > 0 tl que D(; ). Se z 2, rbitrrio: F (z) f F () + f; + luego el lem de onstruión de primitivs nos d lo desedo. Y es sbido por nosotros, pero hor lo probremos on otrs ténis, que: 8

9 Corolrio. L funión z! 1 z no dmite primitiv en ningún bierto que onteng l irunfereni unidd T: Demostrión. Como T dz z ie it dt i2 6 0; eit no veri ii. en el teorem nterior y, por tnto, tmpoo i. EJERCICIOS PROPUESTOS. 1. Dibuj ls siguientes urvs: () (t) : os t + ib sin t; 8t 2 [0; 2] ; (; b > 0) (b) (t) : osh t + ib sinh t; 8t 2 [0; +1[ ; (; b > 0) () (t) : t + i t ; 8t > 0; ( > 0) (d) (t) : t os t + it sin t; t 2 [0; 2] ; determin su longitud. 2. Pr ; b 2 R, < b, determin l longitud de l urv (; b) : e t+it ; t 2 [; b] : Clul lim (; b) :! 1 3. Se un urv diferenible de lse C 1 ([; b]), (t) : (x (t) ; y (t)). Prueb que: () l urv es reti ble; es deir ( n ) X sup k (t k ) (t k 1 )k ; ft 0 ; t 1 ; :::; t n g 2 ([; b]) < +1; k1 (b) su longitud viene dd por long () : b k 0 (t)k dt b q (x 0 (t)) 2 + (y 0 (t)) 2 dt: () no tod urv es reti ble. Consider, pr ello, l urv dd por x (t) : t; y (t) : (t) : (x (t) ; y (t)) t sin 1 t ::::t 2 ]0; 1] 0::::::::::::::::t 0 9

10 4. Enuentr l longitud de ls siguientes urvs: () (t) : re it ; t 2 [0; 2] (irunfereni de entro en el origen y rdio r; es deir, rt) (b) (t) : t ell.) 5. Se l funión ie it ; t 2 [0; 2] (l iliode; hz un representión de f(z) : z3 4z + 1 (z 2 + 5) (z 3 3) y l urv dd por l irunfereni de entro 0 y rdio r, (t) : re it ; t 2 [0; 2] : Prueb que f(z)dz r r3 + 4r + 1 (r 2 5) (r 3 3) : 6. Pr x; y 2 R, prueb que jsin (x + iy)j p osh 2y: Consider hor l urv dd por l sum, en este orden, de los segmentos 1 : [ + i; i] 2 : [ i; i] 3 : [ i; + i] : Prueb que sin z 2 dz 6p osh (4 2 ): 7. Se el dominio : Cn f i; ig y l funión f(z) : 1 ; 8z 2 : 1 + z2 Prueb que f no dmite primitiv en : 10

f(t)dt para todo x [a, b].

f(t)dt para todo x [a, b]. ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO. L integrl lnz todo su poder undo se li on l derivd. Esto ourre en el Teorem Fundmentl del Cálulo. Funiones definids trvés de l integrl. Dd

Más detalles

Integración compleja

Integración compleja ntegrión omplej Aunque l interpretión ms omún de l integrl (definid) de un funión rel f es omo el áre bjo l urv y f(x) l definiión de l integrl es independiente de est interpretión, y l integrl puede usrse

Más detalles

TEMA 4: Integración múltiple

TEMA 4: Integración múltiple TEMA 4: ntegrión múltiple Cálulo ngeniero de Teleomuniión Cálulo () TEMA 4 ngeniero de Teleomuniión 1 / 32 1 L integrl de Riemnn en R n 2 ntegrl doble ntegrl doble sobre un retángulo ntegrl doble sobre

Más detalles

ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA - 2 PARTE

ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA - 2 PARTE ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA - 2 PARTE Mrí Susn Montelr Fultd de Cienis Exts, Ingenierí y Agrimensur - UNR EXTENSIÓN DEL SÍMBOLO INTEGRAL < b f(x) dx = g(x) dx b = b f(x) dx = 0 PROPIEDADES

Más detalles

5 Integral doble de Riemann

5 Integral doble de Riemann Miguel eyes, Dpto. de Mtemáti Aplid, FI-UPM 1 5 Integrl doble de iemnn 5.1 Definiión Llmremos retángulo errdo de 2 l produto de dos intervlos errdos y otdos de, es deir = [, b] [, d] = { (x, y) 2 : x b,

Más detalles

1. INTEGRALES MÚLTIPLES

1. INTEGRALES MÚLTIPLES 1. INTGALS MÚLTIPLS 1.1. INTGAL OBL SOB UN CTÁNGULO Se f : 2 un funión otd de dos vribles, denid sobre el retángulo = [, b] [, d] = {(x, y) 2 : x b, y d} A ontinuión se onsider un prtiión de en subretángulos.

Más detalles

Clase 12: Integración de funciones de varias variables con valores reales

Clase 12: Integración de funciones de varias variables con valores reales Clse : Integrión de funiones de vris vribles on vlores reles C.J. Vnegs de junio de 8 eordemos.. L integrl f. fx)dx, pr f represent el áre bjo l gráfi de Similrmente si tenemos un funión de dos vribles:

Más detalles

β (t) = (1) 2 + ( t 1 t 2 dt = + 1 dt = 1 t 2 + t 1 f(β(ϕ(t))) β (ϕ(t)) ϕ (t)dt = }{{}

β (t) = (1) 2 + ( t 1 t 2 dt = + 1 dt = 1 t 2 + t 1 f(β(ϕ(t))) β (ϕ(t)) ϕ (t)dt = }{{} Vmos lulr ls siguientes integrles de tryetori ) Se α(t) = (os(t), sin(t)) on t [, π ] y f(x, y) = x + y Sol. Tenemos que f(α(t)) = os(t) + sin(t) por otro ldo α (t) = ( sin(t), os(t) α (t) = ( os(t)) +

Más detalles

Tema 8.4: Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas por funciones racionales

Tema 8.4: Teorema de Runge. Aproximación de funciones holomorfas por funciones racionales Tem 8.4: Teorem de Runge. Aproximción de funciones holomorfs por funciones rcionles Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 Enrique de Amo, Universidd de Almerí Sbemos que ls funciones holomorfs

Más detalles

1. Integral sobre regiones elementales.

1. Integral sobre regiones elementales. NTEGRAL MÚLTPLE Así omo l integrl simple resuelve el problem del álulo de áres de regiones plns, l integrl doble es l herrmient nturl pr el álulo de volúmenes en el espio tridimensionl. En ests nots se

Más detalles

Tema 9. La Integral de Riemann Construcción de la integral de Riemann.

Tema 9. La Integral de Riemann Construcción de la integral de Riemann. Tem 9 L Integrl de Riemnn. 9.1. Construcción de l integrl de Riemnn. Definición 9.1.1. Se I = [, b] R un intervlo cerrdo y cotdo (compcto). Se llm prtición de I todo conjunto de puntos P = {x 0, x 1,,

Más detalles

Cálculo integral de funciones de una variable

Cálculo integral de funciones de una variable Lino Alvrez - Aure Mrtínez CÁLCULO II Cálculo integrl de funciones de un vrible 1 L integrl de Riemnn Se f : [, b] R R un función cotd en [, b]. Definición 1.- Un prtición P = {t 0, t 1,..., t n } del

Más detalles

Integrales Dobles e Integrales Triples

Integrales Dobles e Integrales Triples Tem 6 Integrles Dobles e Integrles Triples 6.1 Introduión Comenzremos este tem on un repso de l Integrión de funiones de un vrible rel, pr introduir posteriormente ls integrles dobles y triples. 6.2 epso

Más detalles

1.1 Integral doble de una función acotada en un rectángulo.

1.1 Integral doble de una función acotada en un rectángulo. Tem Integrl doble Tods ls definiiones y resultdos que preen en este Tem son un so prtiulr de ls definiiones y resultdos más generles del Tem siguiente. in embrgo, el so de l integrl doble permite un mejor

Más detalles

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS

1. INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS . INTEGRALES DEFINIDAS E IMPROPIAS.. INTEGRAL DEFINIDA Se y = f(x) definid pr todo x [, b]. Consideremos un prtiión P del intervlo [, b] P {x 0 = < x < x 2 < < x n = b} Sen P = máx{x i x i }, s n = n m

Más detalles

Primitiva de una función.

Primitiva de una función. Primitiv de un función. 1 / 29 Definición. Un función derivble F es primitiv de l función f en el intervlo I si F (x) = f(x), pr todo x I. Ejemplos 2 / 29 Ejemplo. Se f : R R tl que f(x) = 4x 3. i) F(x)

Más detalles

Podemos calcular la suma de las áreas de los rectángulos superiores que es una aproximación por exceso del área R(f; a, b):

Podemos calcular la suma de las áreas de los rectángulos superiores que es una aproximación por exceso del área R(f; a, b): TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. 6.1 Integrl efini omo límite e sums superiores o inferiores. 6. Propiees e l integrl efini. 6. Regl e Brrow. 6.4 Apliiones e l integrl efini (Áre). 6.1 Integrl efini. Se f un

Más detalles

El teorema de Fubini. f(x, y)dy es integrable en [a, b], y. o, con una notación más práctica, f = f(x, y)dx ) dy. Análogamente, si se supone que b

El teorema de Fubini. f(x, y)dy es integrable en [a, b], y. o, con una notación más práctica, f = f(x, y)dx ) dy. Análogamente, si se supone que b Cpítulo 5 El teorem de Fubini Hst hor hemos rterizdo ls funiones que son integrbles y hemos estudido ls propieddes básis de l integrl, pero en relidd no sbemos ómo lulr ls integrles inluso de ls funiones

Más detalles

C alculo Octubre 2010

C alculo Octubre 2010 Cálculo Octubre 2010 c Dpto. de Mtemátics UDC c Dpto. de Mtemátics UDC L integrl indefinid Sen I R un intervlo bierto y f : I IR Definición Diremos que F es primitiv de f en I si F (x) = f (x), x I Teorem

Más detalles

7.1. Definición de la Integral de Riemann

7.1. Definición de la Integral de Riemann Cpítulo 7 Integrl de Riemnn 71 Definición de l Integrl de Riemnn En este cpítulo supondremos, menos que se indique lo contrrio, que < b y f : [, b] R es un función cotd Definición 71 Un prtición del intervlo

Más detalles

Integrales dobles y triples

Integrales dobles y triples Integrles dobles y triples 1 Integrles dobles Integrles triples 3 Cmbios de vrible R: retángulo R = [, b [, d f : R R: mpo eslr e dos vribles. Si f es ontinu en R f x : [, d R y f y : [, b R son funiones

Más detalles

Objetivos. Cálculo de primitivas. La integral definida. Funciones integrables. Aplicaciones geométricas de la integral.

Objetivos. Cálculo de primitivas. La integral definida. Funciones integrables. Aplicaciones geométricas de la integral. TEMA Ojetivos. álulo de rimitivs. L integrl deinid. Funiones integrles. Integrles imrois. Aliiones geométris de l integrl. Plnter y lulr integrles de uniones de un vrile y lirls l resoluión de rolems reltivos

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL. Víctor Manuel Sánchez de los Reyes. Departamento de Análisis Matemático Universidad Complutense de Madrid

CÁLCULO INTEGRAL. Víctor Manuel Sánchez de los Reyes. Departamento de Análisis Matemático Universidad Complutense de Madrid CÁLCULO INTEGRL Vítor Mnuel Sánhez de los Reyes Deprtmento de nálisis Mtemátio Universidd Complutense de Mdrid Índie 1. Integrión 5 1.1. Funiones integrbles.............................. 5 1.2. El teorem

Más detalles

Coordinación de Matemática II (MAT022)

Coordinación de Matemática II (MAT022) oordinión de Mtemáti II (MT22) Primer semestre de 23 Semn 8: Lunes 6 de Myo Viernes de Myo ÁLULO ontenidos lse : Integrles Impropis de primer espeie. L integrl p. riterios de onvergeni. lse 2: Integrles

Más detalles

El problema del área. Tema 5: Integración. Integral de Riemann. Particiones de un intervalo. Sumas superior e inferior

El problema del área. Tema 5: Integración. Integral de Riemann. Particiones de un intervalo. Sumas superior e inferior Construcción Funciones integrbles TFCI Construcción Funciones integrbles TFCI Prticiones de un intervlo El problem del áre Tem 5: Integrción. Integrl de Riemnn El objetivo finl del tem es hllr el áre de

Más detalles

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable

Grado en Química Bloque 1 Funciones de una variable Grdo en Químic Bloque Funciones de un vrible Sección.6: Integrción y plicciones. L integrl sirve pr clculr áres de figurs plns limitds por curvs. Pr definir l integrl de un función f : [, b] R se utilizn

Más detalles

SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY.

SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. 42 Funciones de vrible complej. Eleonor Ctsigers. 25 Abril 2006. FUNCIONES SEGUNDA PARTE. ANALÍTICAS Y TEORÍA DE CAUCHY. Resumen Se prueb que tod función holomorf es nlític, y recíprocmente. Se desrroll

Más detalles

Resumen Segundo Parcial, MM-502

Resumen Segundo Parcial, MM-502 Resumen Segundo Prcil, MM-502 Jose Alvreng 18 de febrero de 2015 1. Integrles de líne ) Definición Se r(t) = f(t)i + g(t)j un función vectoril con dominio D, y L un vector. Decimos que r tiene limite L

Más detalles

2. Integrales iteradas dobles.

2. Integrales iteradas dobles. 2 Integrles prmétris e integrles dobles y triples. Eleonor Ctsigers. 9 Julio 26. 2. Integrles iterds dobles. 2.. Integrles iterds en dominios simples respeto de x. Se omo en l subseión.2, el retángulo

Más detalles

Integrales impropias

Integrales impropias Integrles impropis En todo el estudio hecho hst hor se hn utilizdo dos propieddes fundmentles: l función tení que ser cotd y el intervlo de integrción tení que ser cerrdo y cotdo. En est últim sección

Más detalles

Integrales dobles. divide al rectángulo I ab, cd. , j 1, 2,, m. n m ij i i 1 j j 1

Integrales dobles. divide al rectángulo I ab, cd. , j 1, 2,, m. n m ij i i 1 j j 1 ntegrles oles NTEGRALES OBLES e l mism mner que el onepto e integrl efini pr funiones e un vrile sirve pr resolver e un moo generl, el prolem e l eterminión e áres e figurs plns, el onepto e integrl ole

Más detalles

Primitivas e Integrales

Primitivas e Integrales Cpítulo 25 Primitivs e Integrles En este cpítulo vmos trbjr con funciones de un vrible. En él estbleceremos un cso prticulr del Teorem Fundmentl del Cálculo Integrl (ver [3] pr el cso generl), con el que

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann L integrl de Riemnn 1 Vmos dr un definición precis de l integrl de un función definid en un intervlo. Este tiene que ser un intervlo cerrdo y cotdo, es decir [,] con < R, y l definición que dremos de integrl

Más detalles

Anexo 3: Demostraciones

Anexo 3: Demostraciones 170 Mtemátics I : Cálculo integrl en IR Anexo 3: Demostrciones Integrl de Riemnn Demostrción de: Propieddes 264 de l págin 142 Propieddes 264.- Se f: [, b] IR un función cotd. ) Pr tod P P[, b], se verific

Más detalles

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida

Matemáticas Empresariales I. Integral Definida Mtemátics Empresriles I Lección 8 Integrl Definid Mnuel León Nvrro Colegio Universitrio Crdenl Cisneros M. León Mtemátics Empresriles I 1 / 31 Construcción de l integrl definid Se f un función definid

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS

INTEGRALES IMPROPIAS INTEGRALES IMPROPIAS INDICE.- Integrles impropis de primer espeie....- Integrles impropis de segund espeie.- Integrles impropis del tipo C... 8 4.- Criterios de omprión 8.- Biliogrfi 0 DEFINICION DE INTEGRALES

Más detalles

TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES.

TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES.. Áre jo un urv El prolem que pretendemos resolver es el álulo del áre limitd por l gráfi de un funión f() ontinu y positiv, el eje X y ls siss = y =. Si l gráfi

Más detalles

Tema 9: Cálculo de primitivas. Integrales definidas e impropias.

Tema 9: Cálculo de primitivas. Integrales definidas e impropias. Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem 9: Cálculo de primitivs. Integrles definids e impropis. José M. Slzr Noviembre de 206 Integrl definid y sus plicciones. Integrles impropis. Tem

Más detalles

ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA

ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA ANALISIS MATEMATICO II INTEGRAL DEFINIDA Mrí Susn Montelr Fcultd de Ciencis Excts, Ingenierí y Agrimensur - UNR El problem del áre Dd f : [, b] R, tl que f(x) 0 pr todo x [, b] b x Se f un función no negtiv

Más detalles

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes

Notas de Integral de Riemann-Stieltjes Nots de Integrl de Riemnn-Stieltjes 1. Definición y propieddes Dds funciones g, F : [, b] R que cumpln ciertos requisitos, definiremos l expresión g(x)df(x) de tl mner que cundo consideremos el cso prticulr

Más detalles

Colegio Nuestra Señora de Loreto TRIGONOMETRÍA 4º E.S.O.

Colegio Nuestra Señora de Loreto TRIGONOMETRÍA 4º E.S.O. TRIGONOMETRÍ 4º E.S.O. Frniso Suárez Bluen TRIGONOMETRÍ PREVIOS. Teorem de Tles (Semejnz) Si ortmos dos rets por un serie de rets prlels, los segmentos determindos en un de ells son proporionles los segmentos

Más detalles

La integral indefinida Métodos de integración Integración de funciones de una variable real Integración impropia Aplicaciones de la integral

La integral indefinida Métodos de integración Integración de funciones de una variable real Integración impropia Aplicaciones de la integral Febrero, 2005 Índice generl Se f : I IR. Definición Diremos que F es primitiv de f en I si F (x) = f (x), x I. Teorem Si F y G son dos primitivs de un mism función f en un intervlo I, entonces, / k IR

Más detalles

α A TRIGONOMETRÍA PLANA

α A TRIGONOMETRÍA PLANA TRIGONOMETRÍ PLN El origen de l plr trigonometrí puede enontrrse en el griego, trígono triángulo y metrí medid. L trigonometrí justmente trt de eso, l mediión y resoluión de situiones donde se preten triángulos.

Más detalles

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

Integral Definida. Tema 6. 6.1 Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de

Más detalles

LA INTEGRAL DE RIEMANN

LA INTEGRAL DE RIEMANN LA INTEGRAL DE RIEMANN En este tem se introduce el Cálculo Integrl que demás de permitir clculr longitudes, áres y volúmenes, tiene multiples plicciones en l Ciencis, Ingenierí, etc... En primer lugr,

Más detalles

f : [a, b] R, acotada

f : [a, b] R, acotada 6. Integrción 6.1 Integrl definid Problem del áre. Ejemplos: 1 3 f(x 0, x [, b] f : [, b] R, cotd Figur 1 P n = { = x 0 < x 1

Más detalles

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja

Tema 4. Integración de Funciones de Variable Compleja Tem 4. Integrción de Funciones de Vrible omplej Prof. Willim L ruz Bstids 7 de octubre de 22 Tem 4 Integrción de Funciones de Vrible omplej 4. Integrl definid Se F (t) un función de vrible rel con vlores

Más detalles

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas

Tema 1.3: Concepto de derivada. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. De nición y primeras propiedades de las funciones holomorfas Tem 1.3: Concepto de derivd. Ecuciones de Cuchy-Riemnn. De nición y primers propieddes de ls funciones holomorfs Fcultd de Ciencis Experimentles, Curso 2008-09 E. de Amo L estructur de cuerpo pr C tiene

Más detalles

TEMA 2 INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS

TEMA 2 INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS Frnisnos T.O.R. Cód. 867 TEMA INTEGRAL DEFINIDA. CÁLCULO DE ÁREAS. INTEGRAL DEFINIDA El álulo de l integrl definid, que se denot por: f ( d, onsiste en lulr l integrl de l funión f( en el intervlo [, ].

Más detalles

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Definición e interpretación geométrica

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC Definición e interpretación geométrica Héctor Plm Vlenzuel. Dpto. de Mtemátic UdeC. L Integrl.-. Definición e interpretción geométric Dd un función continu f :[, b] R ynonegtiv (f (), [, b]), vmos considerr l región del plno bjo l gráfic de

Más detalles

4.6. Teorema Fundamental del Cálculo

4.6. Teorema Fundamental del Cálculo Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 07-2 SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl del Cálculo Proposición 4.5. Se un

Más detalles

5.2 Integral Definida

5.2 Integral Definida 80 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 5 5.2 Integrl Definid Definición de Integrl Definid El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos

Más detalles

La integral de Riemann

La integral de Riemann L integrl de Riemnn Mrí Muñoz Guillermo mri.mg@upct.es U.P.C.T. Mtemátics I (1 o Ingenierí Electrónic Industril y Automátic) M. Muñoz (U.P.C.T.) L integrl de Riemnn Mtemátics I 1 / 33 Sums superior e inferior

Más detalles

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades

7.1. Definición de integral impropia y primeras propiedades Cpítulo 7 Integrles impropis 7.. Definición de integrl impropi y primers propieddes El concepto de integrl se etiende de mner csi espontáne situciones más generles que ls que hemos emindo hst hor. Consideremos,

Más detalles

Integración de funciones de una variable real

Integración de funciones de una variable real Cpítulo 5 Integrción de funciones de un vrible rel 5.1. Introducción Los inicios del Cálculo Integrl se remontn Arquímedes, mtemático, físico e ingeniero griego del S.III A.C., quién clculó el áre de numeross

Más detalles

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN

SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN Ingenierí Mtemátic FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Dierencil e Integrl 08-2 Ingenierí Mtemátic Universidd de Chile SEMANA 8: INTEGRAL DE RIEMANN 4.6. Teorem Fundmentl

Más detalles

DETERMINANTES. GUIA DETERMINANTES 1

DETERMINANTES. GUIA DETERMINANTES 1 GUI DETERMINNTES DETERMINNTES. Los determinntes fueron originlmente investigdos por el mtemátio jponés Sei Kow lrededor de 8, por seprdo, por el filósofo mtemátio lemán Gottfried Wilhelm Leiniz lrededor

Más detalles

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas

Integrales Impropias. Capítulo Introducción Integrales de Funciones No Acotadas Cpítulo 8 Integrles Impropis 8.. Introducción L integrl de Riemnn tl como l hemos estudido, está definid únicmente pr funciones cotds y definids sobre intervlos cerrdos y cotdos. En este cpítulo estudiremos

Más detalles

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx.

TEMA 5: INTEGRACIÓN. f(x) dx. TEMA 5: INTEGRACIÓN. L integrl indefinid En muchos spectos, l operción llmd integrción que vmos estudir quí es l operción invers l derivción. Definición.. L función F es un ntiderivd (o primitiv) de l

Más detalles

CÁLCULO INTEGRAL. Definición: Sean a y b dos números reales a < b. Una partición del intervalo [a,b] es un conjunto finito de puntos de,

CÁLCULO INTEGRAL. Definición: Sean a y b dos números reales a < b. Una partición del intervalo [a,b] es un conjunto finito de puntos de, Deprtmento de Mtemátics I.E.S. Vlle del Jerte (Plsenci) CÁLCULO INTEGRAL 2.- INTEGRAL DEFINIDA. Definición: Sen y dos números reles

Más detalles

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo

TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN. 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Partición de un intervalo TEMA 6. INTEGRAL DE RIEMANN 6.1 INTEGRAL DE RIEMANN 6.1.1 Prtición de un intervlo Se f :, y fx K x,. Definición: Un prtición de, es un conjunto ordendo y finito de números reles y distintos P x 0,...,x

Más detalles

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS SOBRE CURVAS

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES COMPLEJAS SOBRE CURVAS INTEGRCIÓN DE FUNCIONES COMPLEJS SOBRE CURVS. Curvs de clse C trozos en R n Recordemos que un curv prmetrizd de clse C en R n es un plicción : [, b] R n de clse C, donde, b R, < b, tl que (t) 0 pr todo

Más detalles

2.3.2 VÉRTICE, MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA EL VÉRTICE.

2.3.2 VÉRTICE, MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA EL VÉRTICE. .3. VÉRTICE, MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA..3.. EL VÉRTICE. El vértie es un punto que form prte de l prábol, el ul tiene omo ordend el vlor mínimo o máimo de l funión. En ese punto se puede

Más detalles

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b.

LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es una función continua y no negativa definida en el intervalo x [a, b], entonces la integral definida b. Tem 4 Integrción 4.. Primitivs LA INTEGRAL DEFINIDA Si f(x) es un función continu y no negtiv definid en el intervlo x [, b], entonces l integrl definid f(x) represent el áre bjo l gráfic de l función

Más detalles

6.1 Sumas de Riemann e integral definida

6.1 Sumas de Riemann e integral definida Tem 6 Integrción Definid 6.1 Sums de Riemnn e integrl definid Supongmos que estmos interesdos en clculr el áre que se encuentr bjo un curv y = f(x) en un intervlo [, b] (pr simplificr, consideremos el

Más detalles

1 - Resolver los siguientes determinantes usando propiedades 1/10

1 - Resolver los siguientes determinantes usando propiedades 1/10 - Resolver los siguientes determinntes usndo propieddes ) ) / ) d) e) f) / / g) / / / / / / / / / / / / / h) / / / / / / / / / / / / / / / i) / / / / j) / / 8 / k) h k w k w h w h k h k w - Hllr los vlores

Más detalles

Integrales. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid

Integrales. Jesús García de Jalón de la Fuente. IES Ramiro de Maeztu Madrid Jesús Grcí de Jlón de l Fuente IES Rmiro de Meztu Mdrid Diferencil de un función Diferencil de un función Definición L diferencil de un función f es igul su derivd por un incremento rbitrrio de l vrible.

Más detalles

Integración. 1. El cálculo de áreas, longitudes de arco y volúmenes.

Integración. 1. El cálculo de áreas, longitudes de arco y volúmenes. Integrción El cálculo integrl es de grn importnci en muchs áres de estudio, como l economí, l biologí, l químic, l físic y l mtemátic en generl. Ls plicciones más conocids del cálculo integrl son en: 1.

Más detalles

La Integral de Riemann

La Integral de Riemann Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función potencil Sums de Riemnn Funciones integrbles Riemnn Cálculo de l integrl Teorems de integrbilidd L función

Más detalles

2. Cálculo de primitivas

2. Cálculo de primitivas 5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv

Más detalles

Departamento: Física Aplicada III

Departamento: Física Aplicada III Fund mentos Físi os de l Ingenierí. (Ind ustri les) Prlelogrmo insrito en trpezoide Ddo un trpezoide (udrilátero irregulr que no tiene ningún ldo prlelo otro), demuestre, usndo el álger vetoril, que los

Más detalles

Teorema fundamental del Cálculo.

Teorema fundamental del Cálculo. Sesión Teorem fundmentl del Cálculo (TFC) Tems Teorem fundmentl del Cálculo. Cpciddes Conocer y comprender el TFC. Aplicr el TFC en el cálculo de derivds e integrles definids.. Introducción I. Brrow Inglés.

Más detalles

Notas de Análisis I. Gabriel Larotonda. Parte 7: Integrales múltiples

Notas de Análisis I. Gabriel Larotonda. Parte 7: Integrales múltiples Nots de Análisis I Gbriel Lrotond 1. Integrles en el plno Prte 7: Integrles múltiples Comenemos por definir integrles pr funiones on dominio en lgún subonjunto 2. Nos vmos enontrr on difiultdes propis

Más detalles

P 1 P 2 = Figura 1. Distancia entre dos puntos.

P 1 P 2 = Figura 1. Distancia entre dos puntos. ANÁLISIS MATEMÁTICO BÁSICO. LONGITUD DE UNA CURVA PARAMÉTRICA. Ddos dos puntos P 1 = (x 1, x 2,..., x n ), P 2 = (y 1, y 2,..., y n ) R n (pensemos en puntos del espcio, de R 3 ) sbemos clculr l distnci

Más detalles

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua.

Integración indefinida y definida. Aplicaciones de la integral: valor medio de una función continua. Integrción indefinid y definid. Aplicciones de l integrl: vlor medio de un función continu. Jun Ruiz 1 Mrcos Mrvá 1 1 Deprtmento de Mtemátics. Universidd de Alclá de Henres. Contenidos Introducción 1 Introducción

Más detalles

El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo del Cálculo Deprtmento de Análise Mtemátic Fcultde de Mtemátics Universidde de Sntigo de Compostel Sntigo, 2011 L Regl de Brrow: un resultdo sorprendente Recordemos que f es integrble en I = [, b] y su

Más detalles

Para Grados en Ingeniería. Capítulo 4: Integración en una variable. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García

Para Grados en Ingeniería. Capítulo 4: Integración en una variable. Domingo Pestana Galván José Manuel Rodríguez García TEOÍA DE CÁLCULO I Pr Grdos en Ingenierí Cpítulo 4: Integrción en un vrible Domingo Pestn Glván José Mnuel Rodríguez Grcí 1 TEMA 4. Integrción en un vrible 4.1 Cálculo de primitivs Preliminres - Geométricmente,

Más detalles

Examen de Admisión a la Maestría 1 de Julio de 2015

Examen de Admisión a la Maestría 1 de Julio de 2015 Exmen de Admisión l Mestrí 1 de Julio de 215 Nombre: Instrucciones: En cd rectivo seleccione l respuest correct encerrndo en un círculo l letr correspondiente. Puede hcer cálculos en ls hojs que se le

Más detalles

INTEGRALES IMPROPIAS INTEGRALES EN INTERVALOS NO ACOTADOS. (Integral impropia de 1ª especie).

INTEGRALES IMPROPIAS INTEGRALES EN INTERVALOS NO ACOTADOS. (Integral impropia de 1ª especie). Integrles Impropis INTEGRALES IMPROPIAS L integrl f ()d se die impropi si ourre l menos un de ls hipótesis siguientes: º, o mos son infinitos. 2º L funión f() no está otd en el intervlo [,]. Ejemplos:

Más detalles

Curvas en el espacio.

Curvas en el espacio. Curvs en el espcio. Tod curv en el espcio R n se puede considerr como l imgen de un función vectoril r : [, b] R n, r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), que recibe el nombre de prmetrizción de l curv. Los puntos

Más detalles

1.4. Sucesión de funciones continuas ( )

1.4. Sucesión de funciones continuas ( ) 1.4. Sucesión de funciones continus (18.04.2017) Se {f n } un sucesión de funciones f n, definids en I. Si {f n } converge uniformemente f en I y ls f n son continus en I, entonces f es continu en I. D:

Más detalles

1.-Algunas desigualdades básicas.

1.-Algunas desigualdades básicas. Preprión Olimpid Mtemáti Espñol. Curso 05-6. Desigulddes (y polinomios, y funiones). 3 de Noviemre de 05. Fernndo Myorl..-Alguns desigulddes ásis. ) 0 pr ulquier R. L iguldd sólo se umple pr = 0. ) (Desiguldd

Más detalles

1. Definición de Semejanza. Escalas

1. Definición de Semejanza. Escalas Tem 5. Semejnz Tem 5. Semejnz 1. Definiión de Semejnz. Esls. Teorem de Tles 3. Semejnz de Triángulos. riterios 4. riterios de Semejnz en triángulos retángulos 5. Teorems en triángulos retángulos 6. Relión

Más detalles

Integrando Derivadas. f = F (b) F (a) F (x ) = F (x i) F (x i 1 ) i. S(f, P ) F (b) F (a) S(f, P ) f = F (b) F (a) f = f(b) f(a)

Integrando Derivadas. f = F (b) F (a) F (x ) = F (x i) F (x i 1 ) i. S(f, P ) F (b) F (a) S(f, P ) f = F (b) F (a) f = f(b) f(a) Unidd 2 Teorem Fundmentl del Cálculo 2. L integrl como función del límite superior Integrndo Derivds Denición. Un función F es un ntiderivd de un función f sobre un conjunto A si tnto F, f estn denidos

Más detalles

Sumas Superiores e inferiores (ó Sumas de Riemann)

Sumas Superiores e inferiores (ó Sumas de Riemann) Unidd 1 Integrl denid 1.2 Sums superiores e ineriores (o sums de Riemnn). Sums Superiores e ineriores (ó Sums de Riemnn) Denición 1. Se : [, b] R. Se dice que est cotd superiormente sobre [, b], cundo

Más detalles

Integración de funciones reales continuas de una variable

Integración de funciones reales continuas de una variable Integrión de funiones reles ontinus de un vrile Áre del onjunto limitdo por un gráfi Se f W Œ;! R notremos por G.f; ; / el onjunto limitdo por l gráfi de f, el eje OX y ls rets x D, x D. y D f.x/ Figur

Más detalles

La Integral Definida

La Integral Definida Nivelción de Mtemátic MTHA UNLP ID Introducción Prtición L Integrl Definid Un prtición del intervlo [, b] es un sucesión de números = x x x x n = b, entre y b, tl que x i x i+ (i =,,, n ) Ejemplo: se llm

Más detalles

TRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal

TRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal . ÁNGULOS.. Ángulo en el plno TRIGONOMETRÍA Dos semirrets en el plno, r y s, on un origen omún O, dividen diho plno en dos regiones. Cd un de de ests regiones determin un ángulo. O es el vértie de los

Más detalles

7 Integral triple de Riemann

7 Integral triple de Riemann Miguel eyes, pto. de Mtemátic Aplicd, FI-UPM 1 7 Integrl triple de iemnn 7.1 efinición Llmremos rectángulo cerrdo de 3 (prlelepípedo) l producto de tres intervlos cerrdos y cotdos de, es decir = [, b]

Más detalles

CAPÍTULO. Aplicaciones

CAPÍTULO. Aplicaciones CAPÍTULO Aliiones. Longitud de urvs Entre los roblems que dieron origen l integrl, menionmos en el ítulo el de lulr l longitud de un urv, dd omo l gráfi de un funión f./ ontinu en un intervlo Œ; b. f./

Más detalles

Curvas en el plano y en el espacio

Curvas en el plano y en el espacio Cpítulo 1 Curvs en el plno y en el espcio 1.1. Curvs prmetrizds Definición 1.1.1 (Curv prmetrizd). Un curv prmetrizd diferencible α : I R n, es un plicción de clse C, donde I R es un intervlo bierto, que

Más detalles

4. Integrales de línea

4. Integrales de línea 4. Integrles de líne 4. Integrles de mpos eslres lo lrgo de urvs Un funión vetoril (tmién llmd tretori o mino) er un : [, ] R R n, u gráfi (t) = ( (t),..., n (t)) '(t) () (t) es un urv en R n su derivd

Más detalles

6 INTEGRAL DEFINIDA - ÁREAS

6 INTEGRAL DEFINIDA - ÁREAS 6 INTEGRL DEFINID - ÁRES INTRODUCCIÓN Histórimente, el álulo integrl surgió de l neesidd de resolver el prolem de l otenión de áres de igurs plns. Los griegos lo ordron, llegndo órmuls pr el áre de polígonos,

Más detalles

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales

Universidad Antonio Nariño Matemáticas Especiales Universidd Antonio Nriño Mtemátics Especiles Guí N 4: Integrción omplej Grupo de Mtemátics Especiles Resumen Se estudi el concepto de integrción tnto pr funciones de vrible rel y vlor complejo, como pr

Más detalles

a b c =(b a)(c a) (c b)

a b c =(b a)(c a) (c b) E N U N C I D O S ÁLGEBR + y + z P.- Ddo el sistem de euiones se pide: y + z ) Enontrr pr qué vlores de el sistem tiene soluión úni ) Resuelve el sistem pr P.- Despej l mtriz X en l siguiente euión y hll

Más detalles

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN.

5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. 5. ANÁLISIS MATEMÁTICO // 5.4. INTEGRACIÓN. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 5.4.1. El áre de un círculo medinte proximción por polígonos regulres. 5.4.1. El áre

Más detalles

TEMA 2: Cálculo Integral en una variable

TEMA 2: Cálculo Integral en una variable TEMA 2: Cálculo Integrl en un vrible Cálculo pr los Grdos en Ingenierí EPIG - UNIOVI De niciones I Función primitiv Decimos que l función F (x) es un función primitiv de f (x) si F 0 (x) = f (x) pr todo

Más detalles

Propuesta sobre la enseñanza de los números racionales Geovany Sanabria Brenes

Propuesta sobre la enseñanza de los números racionales Geovany Sanabria Brenes Geovny Snri B. Propuest sore l enseñnz de los números rionles Geovny Snri Brenes Un mner de ordr los números rionles es trvés del onoimiento previo de rzones. En l tulidd, ls friones en primri no son vists

Más detalles