Las reglas de divisibilidad Por: Enrique Díaz González
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- Lucía Olivera Acosta
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1 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce Ls regls de divisibilidd Por: Erique Díz Gozález Itroducció Desde l escuel elemetl los estudites se les eseñ cudo u etero es divisible, por ejemplo, por ó por ó por 5. Si embrgo, o se d ls justificcioes correspodietes porque se ecesit u ivel de coocimieto más vzdo. E este rtículo queremos justificr, usdo el rzomieto deductivo, ls regls de divisibilidd más utilizds. El fudmeto mtemático descs e l oció de cogrueci uméric itroducid por Guss. Defiició. Se dice que dos eteros y b so cogruetes módulo d, dode d es etero myor que, si y b d el mismo residuo l dividirlos por d. Si es cogruete co b módulo d, se ot b ( mód d ) Ejemplos. ) 5 9 ( mód ) pues 5 = x + y 9 = x4 + ( el residuo es ) ) 7 8 ( mód 5 ) pues 7 = x5 + y -8 = ( - ) x5 + ( el residuo es ) ) 6 ( mód 6 ) pues -6 = (-)x6 + y - = (-)x6 + ( el residuo es ) Lem. Ls siguietes codicioes so equivletes: ) b ( mód. d ) ) = b + sd, pr lgú etero s ) d divide b Demostrció. ) ). Si b ( mód d ) etoces = md + r, b = d + r Restdo : b = ( m ) d = s d, dode s = m Revist 6 ο / N o. / 6
2 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce Luego = b + sd, pr lgú etero s ) ) Si = b + sd, etoces b = sd y ésto implic que d divide b ) ) Si d divide b, existe etero s tl que b = sd Supogmos que = d + r dode r < d y que b = ld + r dode r < d Restdo : b = ( l )d + ( r r ) sd = ( )d + ( r r ). Esto implic que d divide r r lo cul es imposible meos que r r se cero y por lo tto r = r. Corolrio. ( mód d ) si y sólo si es divisible por d Demostrció. Result de imedito por l codició ) del Lem. Lem. Si z ( mód m ) y z ( mód ), dode m y so primos reltivos, etoces z ( mód m ) Demostrció i) Si z ( mód m ) etoces z es divisible por m y luego z = m, etero ii) Si z ( mód ) etoces z es divisible por y luego z =, etero De dode se obtiee m = y luego = m Como m y so primos reltivos, m debe dividir, es decir, = m, etero Por lo tto, = Revist 6 ο / N o. / 6
3 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce Reemplzdo e i) se tiee z = m y esto sigific que z ( mód m ) E otrs plbrs, el lem dice que si u etero z es divisible por eteros m y, primos reltivos etre sí, etoces z es divisible por el producto m. L utilidd de l otció de cogrueci estrib e el hecho de que, co respecto u módulo fijo, tiee ls propieddes de l relció de iguldd, es decir, ) ( mód d ) Propiedd Reflexiv ) Si b ( mód d ) etoces b ( mód d ) Propiedd Simétric ) Si b ( mód d ) y b c ( mód d ) etoces c ( mód d ) Propiedd Trsitiv. Se dej l lector verificr ests propieddes. Lem. Si ( mód. d ) y b b ( mód. d ), etoces : ) + b + b ( mód. d ) ) b b ( mód. d ) ) b b ( mód. d ) 4) c c ( mód. d ) pr culquier úmero rel c Demostrció. Si = + rd y b = b + sd, pr ciertos eteros r y s, etoces: ) + b = + b + ( r + s) d ) b = b + ( r s) d ) b = b + ( s + b r + rsd) d Revist 6 ο / N o. / 6
4 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 4 4) c = c + ( rc) d De ests igulddes se obtiee ls firmcioes del lem. II. Ls regls de divisibilidd. Se z culquier etero expresdo e el sistem deciml e l form = , dode i 9 z y, i =,, A. Divisibilidd por Teemos que ( mód. ) pr =,,.., por Corolrio del Lem Por lo tto, ( mód. ), por l propiedd 4 ) del Lem Si ( mód. ) ( es decir, si es úmero pr ), etoces ( mód. ) ( mód. ) ( mód. ) ( mód. ) Sumdo ests cogruecis se tiee z ( mód. ) lo cul sigific que z es divisible por. De quí se obtiee l regl : A) Si u etero termi e cifr pr, etoces es divisible por. B. Divisibilidd por. Teemos que ( mód. ) pr =,,,., Revist 6 ο / N o. / 6
5 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 5 Además ( mód. ) ( mód. ) por l propiedd 4) del lem.. ( mód. ) Sumdo ests cogruecis, result z ( mód. ) De quí se obtiee l regl : B) Si l sum de los dígitos de u úmero es divisible por, etoces el úmero es divisible por. C. Divisibilidd por 4. Teemos que ( mód. 4 ) pr =,,4,.., Si + ( mód. 4 ) etoces + ( mód. 4 ) ( mód 4 ) Sumdo ests cogruecis, result... ( mód. 4 ) z ( mód. 4 ) De quí se obtiee l regl: C) Si el úmero formdo por ls dos últims cifrs de u etero es divisible por 4, etoces el etero es divisible por 4. Revist 6 ο / N o. / 6
6 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 6 Usdo el mismo rgumeto, se obtiee l regl de l divisibilidd por 5 : si el úmero formdo por ls dos últims cifrs de u etero es divisible por 5, etoces el etero es divisible por 5. D. Divisibilidd por 5 Se tiee que ( mód. 5 ) pr =,,,..., Etoces si ( mód. 5 ), result que = 5t y como 9 se obtiee t = ó t =. E cosecueci, = ó = 5 Por lo tto : ( mód. 5 ) ( mód. 5 ).. ( mód. 5 ) Sumdo: z ( mód. 5 ) De quí se obtiee l regl : D) Si u úmero termi e ó e 5, etoces es divisible por 5 E. Divisibilidd por 6 Se tiee que ( mód. 6 ) pr =,,,.., E efecto, ( mód. 6 ) Elevdo l cudrdo 4 - ( mód. 6 ) Multiplicdo miembro miembro 4 ( mód. 6 ) y sí sucesivmete. Además ( mód. 6 ) Revist 6 ο / N o. / 6
7 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 7 ( mód. 6 ).. ( mód. 6 ) Sumdo : z... ( mód. 6 ) ( ) (mód. 6 ) ( ) ( mód. 6 ) Si es divisible por y si es pr, el segudo miembro es divisible por y por y, por lem, es divisible por 6. Se deduce que z es divisible por 6. De dode se tiee l regl: E) Si u etero es divisible por y por, etoces es divisible por 6. F. Divisibilidd por 7 Teemos que ( mód 7 ) ( mód 7 ) ( mód 7 ) 4 ( mód 7 ) 5 ( mód 7 ) 6 ( mód 7 ) 7 ( mód 7 ) y sí sucesivmete Por lo tto, ( mód 7 ) ( mód 7 ) Revist 6 ο / N o. / 6
8 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 8 ( mód 7 ) ( mód 7 ) ( mód 7 ) ( mód 7 ) ( mód 7 ) 7 7 ( mód 7 ) 7 Sumdo se obtiee: z Por lo tto, se obtiee l regl : F) Si l expresió : es divisible por 7, etoces el úmero z = tmbié lo es. Ejemplo. El úmero 97 es divisible por 7 porque = = = 8 es divisible por 7 G. Divisibilidd por 8 Teemos que ( mód 8 ) pr Por lo tto, ( mód 8 ) ( mód 8 ) ( mód 8 ) Revist 6 ο / N o. / 6
9 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce 9 ( mód 8 ) ( mód 8 ) Sumdo Por lo tto si z + + ( mód 8 ) + + es divisible por 8, etoces z es divisible por 8. De quí l regl : G) Si el úmero formdo por lo tres últimos dígitos de u etero es divisible H. Divisibilidd por 9 por 8, etoces el etero es divisible por 8. Teemos que ( mód 9 ) ( mód 9 ) ( mód 9 ) de dode se obtiee ( mód 9 ) ( mód 9 ) ( mód 9 ) Sumdo z ( mód 9 ) De dode result l regl: H) Si l sum de ls cifrs de u úmero es divisible por 9, etoces el úmero es divisible por 9. Revist 6 ο / N o. / 6
10 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce I. Divisibilidd por Teemos que ( mód ) pr =,,..., Si ( mód ) etoces =, y que 9 De dode se obtiee l regl I) Si u etero termi e, etoces es divisible por J. Divisibilidd por Se tiee que ( mód ) ( mód ) ( mód ) 4 ( mód ). ± ( mód ) depediedo si es pr o impr Por lo tto, ( mód ) ( mód ) ( mód ) ± ( mód ), depediedo si es pr o impr Result etoces z ± 4 Revist 6 ο / N o. / 6
11 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce De quí se obtiee l regl J) Si l sum de los dígitos de u etero lterdos e sigos es divisible por, etoces el úmero es divisible por. Ejemplo : el úmero 689 es divisible por y que = es divisible por K. Divisibilidd por Se tiee ( mód ) 4 ( mód ) 8 4 ( mód ).. 4 ( mód ) pr Etoces ( mód ) ( mód ) ( mód ) 4 4 ( mód ).. 4 ( mód ) Sumdo z ( mód ) z ( ) ( mód ) Revist 6 ο / N o. / 6
12 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce Si el prétesis es divisible por, etoces z es divisible por. Si 6 es divisible por 4, etoces z es divisible por 4 porque ls dos últims cifrs de z se puede escribir de l siguiete form: + = + + = = ( 6 ) Lo cul implic que z es divisible por 4. Por lo tto z es divisible por y por 4. De cuerdo l lem, z es divisible por. De quí result l regl K) Si u etero es divisible por y por 4, etoces es divisible por L. Divisibilidd por Se tiee que ( mód ) ( mód ) 9 4 ( mód ) ( mód ) 4 ( mód ) 5 4 ( mód ) 6 ( mód ) 7 ( mód ) Revist 6 ο / N o. / 6
13 Uiversidd Itermeric de Puerto Rico - Recito de Poce Se comiez repetir l secueci (,, 4,,,4, ) e ese orde. Por lo tto, z ( mód ) 4 5 De dode result l regl L) Si es divisible por, etoces z es divisible por Ejemplo: El úmero,4 es divisible por y que = 6 es divisible por Bibliogrfí. Court, Richrd d Robbis, Herbert:Wht is Mthemtics? Secod Editio, Oxford Uiversity Press, 996 Erique Díz Gozález, ediz@poce.iter.edu Ctedrático Auxilir de Mtemátics de l Uiversidd Itermeric de Puerto Rico Recito de Poce. M.S. Uiversity of Illiois. Revist 6 ο / N o. / 6
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