Variable aleatoria: definiciones básicas

Transcripción

1 Varable aleatora: defncones báscas

2 Varable Aleatora Hasta ahora hemos dscutdo eventos elementales y sus probabldades asocadas [eventos dscretos] Consdere ahora la dea de asgnarle un valor al resultado de un evento Ejemplo: Consdere una vez más el evento de trar dos dados. Entonces la suma de los resultados de ambos dados, el cual es un valor k tal que k Є [, 1] puede defnrse como una varable aleatora S. Utlzaremos la sguente notacón: Pr{S=k}

3 Varable Aleatora Se entende que S es una varable aleatora que puede tomar valores entre y 1 con dversas probabldades. Más técncamente S es vsto como una funcón sobre los subconjuntos del espaco de muestreo y Pr{S=k} representa la suma de las probabldades de todos los resultados a los que les corresponde la suma k. Nota: No se preocupe s la dea es un poco dfusa al prncpo, quedara más clara con los ejemplos.

4 Varable Aleatora Normalmente, estaremos nteresados en conocer la dstrbucón que la varable aleatora S, la cual toma valores enteros k = 0, 1,, n con probabldades P(k) = Pr(K = k) Generalmente, necestaremos defnr un conjunto de atrbutos que sumarcen las descrpcones de la dstrbucón de la varable aleatora.

5 Valor esperado El prmer valor que sumarza el comportamento de una varable aleatora es el valor esperado, defndo como: n! k = 0 kp ( k) = 0 p(0) + 1p(1) + p() + L+ np( n) = µ Intutvamente, el promedo mde la poscón del centro de la dstrbucón Tambén se conoce al promedo como el valor esperado de la varable aleatora, o de la dstrbucón de ésta.

6 Valor esperado Ejemplo: Promedo de trar un dado. Trar un dado puede resultar en obtener cualquera de los 6 valores 1,, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabldad 1/6. Entonces el promedo está dado por: µ = 1 6 [ ] = [ 6! 7 / ] = Note que el promedo no es nnguno de los resultados legales de un dado

7 Valor esperado Ejemplo: Promedo de un volado. S se le asgna los valores, águla = 0, sol = 1, entonces el valor esperado de trar un dado (con probabldad p=1/) es: µ = 1 1 [ 1+ 0] = Sn embargo s asgnamos águla = -1, sol = 1, el valor esperado sería µ = 1 [! 1+ 1] = 0

8 Valor esperado: defncón formal Dada una varable, cuyos resultados tenen probabldades p() para los valores x (=1,,, n), entonces el valor esperado de la varable aleatoro se defne como: El valor esperado toma cada posble valor x y lo pesa por su probabldad p(). { } =! x p( ) = 1 El valor esperado es un operador lneal E n

9 Valor esperado: defncón formal Muchas veces convene ordenar los pares (x, f(x )) en forma tabular, x x 1 x x 3. x n f(x) f(x 1 ) f(x ) f(x 3 ) f(x n ) E n { } =! x ( ) p = 1

10 Promedo: producto de dos varables Valor esperado del producto de dos varables aleatoras ndependentes, Y.! { Y} = kp( Y = k)! ( ) y p ( j) = E{ } E{ Y}!!! E = x y p ( ) p ( j) x p k j j Y j j Y =

11 Promedo: suma de dos varables Valor esperado de la suma de dos varables aleatoras ndependentes, Y.! { + Y} = ( x + y ) p(, j) = x p(, j) + y p( j) x p! E, ( ) + y p ( j) = E{ } + E{ Y}! j j Y!! j! j j! = Lo cual mplca que: En general, el valor esperado es un operador lneal, esto es, { + Y} = E{ } E{ Y} E + { a + by} = ae{ } be{ Y} E +

12 Promedo Suma de varables aleatoras. E {! c } =! { } ce Producto de varables aleatoras ndependentes ' E& % $![ ] # =![ E{ } ] "

13 Varanza S el promedo nos ndca dónde está el centro de nuestra dstrbucón, la varanza explca cuál es la dspersón de una determnada dstrbucón probablístca. Varanza { } = V{ } = #( x " µ ) p( ) =! Es fácl demostrar que: V {} { } c = 0 ; V c = c V{ }

14 Varanza de un dado Recuerde que el valor esperado de un dado es E{}=7/. Para los 6 valores del dado, las dferencas de con µ son: -5/, -3/, -1/, ½, 3/, 5/ Debemos elevar al cuadrado las dferencas, multplcarlas por las probabldades p y sumarlas: V{dado} = (1/6)[ ]/4=70/4=35/1 Note que un método alternatvo es: V 6 1 = ( 6 ' 7 $ % " & # { dado}! = 91/ 6! 49 / 4 = 35/ 1 = 1

15 Ejemplo de valor esperado y varanza Ejemplo: Sean, Y dos varables aleatoras del espaco de muestreo formado por los posbles resultados de trar dos dados, de tal manera que sendo a, b tales resultados entonces: (a, b) = max(a, b) y Y(a, b) = a + b. Note que s f es la dstrbucón de probabldad de, entonces, f(1) = 1/36 (La unca posbldad que el máxmo sea 1 es que los dados hayan caído en (1,1). Smlarmente, los tres resultados (1,), (,1), (,) hacen que f() = 3/36.

16 Ejemplo de valor esperado y varanza En general, se tene que x f(x) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 ( x) E( ) =! xf = ( ) x f ( x) E =! = ( x) " = E( )! = Var µ =! =1.4

17 Ejemplo de valor esperado y varanza La dstrbucón g de la varable aleatora Y sería como sgue: y g(y) 1/36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 1/36 ( y) 7 E( Y ) =! yg = ( Y ) y g( ) E =! = y ( y) " = E( Y )! = Var µ = Y Y! Y =.4

18 Varable aleatora en el domno contnuo

19 Varable Aleatora contnua Defncón: La funcón de dstrbucón acumulatva (cdf) de se defne como: F Con las sguentes propedades: F F ( ) 1 ( x1 )! F ( x) f x1 x F ( x) = F (! ) 1 F ( x) = F ("!) 0 0! x! < lm = x"! lm = ( x) = P( # x), "! < x <! x#"! lm F " + a x a 0<! " 0 ( ) ( + ) + x = F a = F ( a) a = lm +!

20 Varable Aleatora contnua equvalentemente, podemos determnar la probabldad de certos eventos en funcón de la cdf P P P ( > a) = 1! F ( a) ( a < " b) = F ( b) F ( a)! ( ) ( -) " < b = F b b = lm b "! 0<! # 0

21 Varable Aleatora Defncón: Sea una varable aleatora con cdf F (x). S F (x) es contnua y s tene exste su dervada df (x)/dx como una funcón contnua para toda x, excepto quzás por un número fnto de puntos, entonces se dce que es una varable aleatora contnua. De esta manera, s es una varable aleatora contnua, entonces, P( = x) = 0

22 Varable Aleatora: funcón de densdad de probabldad df ( ) ( x) f x Defncón: Sea = dx La funcón f (x) es conocda como la funcón de densdad de probabldad de la varable aleatora contnua. Con las sguentes propedades: f (x) es una funcón contnua ben comportada b 4. P( a < " b) =! f ( x) dx 5. F ( x)! 0 f ( x)! " #" f dx =1 x ( x) = P( % x) = f (! ) d! " $ # a

23 Varable Aleatora: Promedo y varanca Defncón: El valor esperado (promedo) de una varable aleatora está dado como: µ = E ( ) = $! #! " & k ' % (' x k xf p ( x ) ( x) K dx : dscreta : contnua Defncón: La varanza de una varable aleatora se defne como: ) $! #! " ' = k & ( %( ( x % µ ) p ( x ) k ( x % µ ) f ( x) K dx : dscreta : contnua

24 Note tambén que: V Varanza { } { } { } { } = E! µ E + µ = E! E { } Es fácl probar que en el caso de la suma de varables aleatoras ndependentes, la varanza es lneal: V {! } =! { } V

25 Dstrbucones de Probabldad famosas

26 Dstrbucón Unforme Una varable aleatora es llamada varable aleatora unforme sobre el rango (a, b), s su pdf está dado por: f ( x)! $ 1 = # b % a!" 0 a < x < b de otra manera µ " = E ( ) a + b = ( b! ) a = 1

29 Dstrbucón Bernoull Una varable aleatora es llamada varable aleatora Bernoull con parámetro p s, p k 1!k ( k) = P( = k) = p (1! p), k = 0,1 La dstrbucón Bernoull modela expermentos en que el resultado sólo puede ser éxto o fracaso. El ejemplo tradconal es trar volados. ( ) p µ = E = ( p) " = p 1!

30 Dstrbucón Bnomal Una varable aleatora es llamada varable aleatora bnomal con parámetros (n, p) s, p ' n$ k n! k ( k) = P( = k) = % " p ( 1! p) k = 0,1, K n, & k # La dstrbucón bnomal modela el número total de extos tras varos ntentos hechos sobre una poblacón nfnta bajo los sguentes supuestos: Úncamente dos resultados puede ocurrr en cada ntento. La probabldad de éxto en cada ntento es constante e ndependente de otros ntentos. James Bernoull dervó la dstrbucón bnomal en 1713 (Ars Conjectand).

31 Dstrbucón Bnomal ( ) np µ = E = ( p) " = np 1!

32 Dstrbucón bnomal Bernoull k n k k n k q p k n q p k n C p n k b!! " # $ % & ' = = ), ( ), ; ( N = 10; P= /3.

33 Dstrbucón bnomal Bernoull b( k; n, p) = C( n, k) p k q n! k = ' % & n k $ " # p k q n! k

34 Comportamento asntótco de la ley bnomal Suponga que en la funcón bnomal b(k;n, p), n >>1, p << 1, pero Donde de tal manera que np permanece constante, dgamos, np = a. Dado que q = 1-p, se tene que: n( n "1)L ( n " k +1) # n k fjo. De aquí que en el límte cuando " n $ % ' p k 1( p # k& ( ) n(k ) 1 k! ak $ 1( a # n s n es sufcentemente grande y s k está " n " #, p " 0,k << n % ' & n(k se tene, ( ) " 1 k! ak & 1# a % n b k;n, p $ ' ) ( n#k * ak k! e#a

35 Bnomal asntótca = Posson

36 Dstrbucón Posson La dstrbucón de Posson es una dstrbucón de probabldad dscreta. Expresa la probabldad que un número de eventos ocurra en un tempo fjo suponendo que: a. Los eventos ocurren a una razón [velocdad] conocda. b. La ocurrenca de eventos es ndependente de cuándo ocurró el últmo evento. Posson francés = pescado Poson nglés = Veneno

37 Dstrbucón Posson λ = 1,3, 5, 10 P[x = k] = "k e #" k! ( )! µ = E = " =!

38 Dstrbucón Posson λ = 1,3, 5, 10 P[x = k] = "k e #" k! ( )! µ = E = " =!

39 Posson asntótca = Gaussana

40 Dstrbucón Exponencal Una varable aleatora es llamada varable aleatora exponencal $ % x con parámetro λ>0 s, f ( x) #% e "! 0 La dstrbucón exponencal es especal porque modela eventos que ocurren aleatoramente en el tempo. La prncpal aplcacón es en el estudo de tempos de vda útl de componentes Quzás la propedad más nteresante de la dstrbucón exponencal es su característca de amnesa. Por ejemplo, s un componente tene un tempo de vda útl dstrbudo exponencalmente, entonces un tem que ha funconado por horas es tan bueno como un tem nuevo = x x > < 0 0

41 Dstrbucón Exponencal Una varable aleatora es llamada varable aleatora exponencal con parámetro λ>0 s, f ( x) $ #% e = "! 0 % x x > 0 x < 0 µ ( ) = E " = 1 =! 1!

44 Dstrbucón Normal o Gaussana Una varable aleatora es llamada varable aleatora normal (guassana) s su pdf está dado por, 1 #( x# µ ) ( ) /(! f ) x = e "! La dstrbucón gaussana es la rena de las dstrbucones. En este unverso, la naturaleza se comporta gaussanamente. El teorema del límte central garantza que cualquer otra dstrbucón se comporta como una gaussana cuando se hacen un número sufcente de expermentos: la suma de muestras ndependentes para cualquer dstrbucón con valor esperado y varanzas fntos converge a la dstrbucón normal conforme el tamaño de muestras tende a nfnto. El prmer uso de la dstrbucón normal fue la de hacer una aproxmacón contnua a la dstrbucón bnomal.

45 Dstrbucón Normal o Gaussana Una varable aleatora es llamada varable aleatora normal (guassana) s su pdf está dado por, f 1! #( x# µ ) ( ) /( x = e ) "! ( ) µ µ = E =! =!

46 Dstrbucón Normal o Gaussana Una varable aleatora es llamada varable aleatora normal (guassana) s su pdf está dado por, f 1! #( x# µ ) ( ) /( x = e ) "! ( ) µ µ = E =! =!

47 Dstrbucón Normal o Gaussana Se usa la notacón N(µ; σ ) para denotar que la varable aleatora es normal con promedo µ y varanza σ. A una varable aleatora normal Z con promedo cero y varanza 1 se le llama varable aleatora normal estándar: f 1 "( x) / ( x) = e! N(0;1) Como se ha menconado, la dstrbucón normal es la más utlzada en el estudo de fenómenos aleatoros, pues ocurre con harta frecuenca en una amplísma varedad de fenómenos de la naturaleza #

48 Rudo Gaussano ( ) µ µ = E =! =! f 1! #( x# µ ) ( ) /( x = e ) "!

49 La ley débl de números grandes

50 Ley débl de números grandes La ley débl de números grandes es uno de los resultados más mportantes de la probabldad, además de ser el fundamento teórco de la estadístca. Contesta la pregunta: Cuál es el valor esperado del promedo de n muestras ndependentes de la msma varable? Se conoce como la ley débl debdo a que exste una versón fuerte, conforme el número n de muestras tende a nfnto. Antes de revsar este mportante resultado es necesaro estudar la desgualdad de Chebyshev.

51 Desgualdad de Chebyshev Dada una varable aleatora con promedo cero cuyos valores, postvos o negatvos, son x con probabldades { E } p(), consdere la suma: =! x p( ) Ahora de esa suma, excluya aquellos valores que están a una dstanca ε del promedo (orgen). E { } x p( ) "! p( ) =! P{ x "!} " # # x "! x "!

52 Desgualdad de Chebyshev Por lo que, { x #!} E[ ]/! P " Razonando de la msma manera se puede demostrar que: { } [ ] x $!" E /(!" ) P # Tomando en cuenta que el promedo es cero se llega al resultado conocdo como la desgualdad de Chebyshev, { } 1 P x $ "! #!

53 Ley débl de números grandes Regresando a la pregunta ncal: Cuál es el valor esperado del promedo de n muestras ndependentes de la msma varable?, consdere el expermento el el cual se han tomado n muestras ndependentes de una varable aleatora, obtenendo valores x. Suponga que las n muestras corresponden a n varables aleatoras, (=1,,,n). Defnmos la funcón promedo S(n)/n tal que, S(n) = [ n ]/n. Pregunta: Cuál es el valor esperado y varanca del promedo?

54 Ley débl de números grandes Pregunta: Cuál es el valor esperado y varanca del promedo de n muestras? E n / { S( n) / n} = [ E{ 1} + L+ E{ }] / n = [ µ + µ + µ + L+ µ ] n = µ Es decr que el valor esperado del promedo de n muestras es exactamente el valor esperado de la varable aleatora orgnal. Para hallar la varanza del promedo de n muestras con promedo cero, se tene, { S( n) / n} = [ V{ } + L+ V{ }] / n = n! / n = n V n / 1!

55 Ley débl de números grandes Utlzando el resultado anteror y la desgualdad de Chebyshev se tene que: { } [ ] S( n) / n % µ $! # E ( S( n) / n) /! " / n! P # Este es el resultado buscado. La probabldad que el promedo de n ndependentes muestras de una varable aleatora dfera de su valor µ esperado por más que una constante arbtrara prefjada ε es controlada por la funcón de la derecha. P S / n! µ < k# " 1! 1/ k Equvalentemente escrbmos, { }

56 Ley débl de números grandes Tres mtos de la ley débl de números grandes: 1. Esta ley no dce que una mala (o buena) racha de valores que sgnfcatvamente se desvían del valor esperado será compensada con futuros expermentos: esta ley NO tene memora, asume ndependenca en las muestras.. La ley no dce que el valor esperado estará cerca del promedo para un número sufcente de muestras. La ley dce que probablemente estaremos cerca. 3. La ley es una desgualdad no una aproxmacón. Puede ocurrr que la estmacón sea de pobre caldad (consdere el caso k = 1 en la últma ecuacón).

57 Teorema del límte Central Acaso el teorema del límte central sea el resultado más famoso, el más celebrado de la teoría de la probabldad. En su forma más smple, puede ser formulado como sgue: Sea 1,, n una secuenca de varables aleatoras Donde, ndependentes, déntcamente dstrbudas, cada una con promedo µ y varanza σ. Defna entonces Entonces Z n = = L+! n n 1 1 n =! = 1 + n n lím n"! n " nµ n " µ =! / n ( + L ) = N( 0;1) n

58 Métodos de Montecarlo Expermento: Sean 1,,, n una muestra de varable aleatora Bernoull con promedo µ y varanza σ. Cuántas muestras de deben ser tomadas s se quere que la probabldad que el valor esperado del promedo de las muestras no se desvíe de su valor teórco µ por más de σ /10? En una varable aleatora Bernoull, se tene que: µ = p; σ =(0- µ) (1-p)+(1- µ) p=p (1-p)+(1-p) p=p-p =p(1-p). S hacemos, µ = p=1/; mplca σ =1/4.

59 Métodos de Montecarlo Utlzando la ley débl de números grandes se tene: { S( n) / n % µ $!} " / n! P # Susttuyendo los valores peddos se llega a: P { S( n) / n # 1/ " $ /10}! = ( ) n $ n $ /10 100

60 Métodos de Montecarlo Expermento: Utlzando n exp 1 desv σ/10 100/n un generador de números aleatoros, se asgna a los valores por encma de ½ el valor de 1 y a los otros el valor de

61 Problema del Chevaler de Mere Problema: Se dce que el Chevaler de Mere retó por correspondenca a sus buenos amgos y mejores matemátcos, Perre de Fermat y Blas Pascal a medados del ancestral sglo VII. El reto consstía en calcular cuál probabldad de éxto era más alta entre los sguentes dos expermentos: 1. La probabldad de obtener al menos un 6 tras trar 4 veces un solo dado o;. La probabldad de obtener un doble ses tras trar 4 veces dos dados.

62 Problema del Chevaler de Mere La probabldad de no obtener un ses en 4 ntentos es (1-1/6) 4, por lo que la probabldad de obtener al menos un ses es, 1- (1-1/6) 4 = La probabldad de obtener al menos un doble ses en 4 ntentos es, 1-(1-1/36) 4 = 1-(35/36) 4 = [ Cómo se compara este resultado con la dstrbucón bnomal?] Se sabe que el chevaler de mere conocía la respuesta correcta. Suponendo que no sabía nada de probabldad, cuántos dados tuveron que ver rodar los cansados ojos del chevaler de mere para penosamente obtener ese resultado de manera empírca?

63 Problema del Chevaler de Mere Consdere la dferenca del promedo de ambos expermentos, esto es, Δ= = Suponga que permtmos una toleranca de la mtad de ese valor, esto es, ε= Por lo que se tene que: P {[ Exp1 # Exp] # µ " $ /10}! = ( ) n Lo cual mplca que se necestan $ n $ /10 [ Note que un expermento consste en trar 4 veces un dado y 4 veces dos dados!] 100! 7576 expermentos n = " 100