EL ENFOQUE DE BUCKLEY DEL MODELO DE INSUMO- PRODUCTO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE 1

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1 Cuadernos del CIMBAGE N 6 (2003) EL ENFOQUE DE BUCKLEY DEL MODELO DE INSUMO- PRODUCTO EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE Lusa L. Lazzar María S. Morñgo Facultad de Cencas Económcas Unversdad de Buenos Ares cmbage@econ.uba.ar Recbdo el 5 de Marzo 2003; aceptado 5 de Dcembre 2003 Resumen En este trabajo se presenta el enfoque de Buckley [] del modelo aberto de nsumoproducto en el cual los coefcentes técncos están expresados medante números borrosos. El modelo propuesto permte un mejor aprovechamento de la nformacón dsponble. Palabras clave: nsumo-producto, números borrosos Abstract In ths paper we make an nput-output analyss when the technologcal coeffcents are not precsely known and may be modeled by approprate fuzzy numbers. The proposed model let us make a better use of the avalable nformaton. Key-words: Input-output analyss; Fuzzy numbers. Realzado en el marco del proyecto UBACyT E009: El tratamento de la ncertdumbre en las pequeñas y medanas empresas medante el empleo de herramentas matemátcas nnovadoras.

2 94 L.L Lazzar, M.S. Morñgo./ Cuadernos del CIMBAGE N 6 (2003) INTRODUCCIÓN El modelo de nsumo producto fue desarrollado por Wassly Leontef en la década del 30 culmnando con la publcacón, en 94, de los resultados de EEUU correspondentes a los años 99 y 929. A partr de entonces dversos países hceron desarrollos semejantes. Los prmeros antecedentes en Argentna datan del año 950, con ntervencón de la CEPAL y de 953, 963 y 973, con la colaboracón del Banco Central de la Repúblca Argentna. La últma matrz de nsumo - producto fue confecconada en 998 por el Insttuto Naconal de Estadístcas y Censos (INDEC) [5]. La matrz nsumo producto (MIP) es un regstro ordenado de las transaccones entre los sectores productvos, orentado a la satsfaccón de la demanda fnal: consumo de las famlas o del goberno, nversones físcas o exportacones. En el proceso de generacón de dchos benes, los sectores productvos generan benes ntermedos que se compran y venden entre sí. De esta manera se puede lustrar la nterrelacón entre los dversos sectores productvos y los mpactos drectos e ndrectos que tene sobre éstos una varacón en la demanda fnal. La MIP permte cuantfcar el ncremento de la produccón de todos los sectores, dervado de la varacón de uno de ellos en partcular. Es un nstrumento analítco que descrbe en forma cuanttatva las relacones entre sectores, productos e nsumos de una economía. Permte aprecar en conjunto y en forma cuanttatva la dversdad productva de un país y su estructura. Consttuye una herramenta central en el análss económco ya que permte ndagar las

3 L.L Lazzar, M.S. Morñgo./ Cuadernos del CIMBAGE N 6 (2003) repercusones sectorales frente a varacones que son consecuenca de las decsones de los responsables de la defncón de la polítca económca. Para el empresaro, que conoce ben el sector de actvdad en donde están ubcados los benes y servcos que produce, pero que conoce menos sobre la rama de la actvdad de los clentes de sus compradores, la MIP ofrece una descrpcón detallada de la ruta que sguen los benes y servcos hasta llegar a la demanda fnal; y le brnda la partcpacón relatva de su empresa en el total de una determnada rama de actvdad con sus consecuentes posbldades de expansón en el mercado. La MIP permte cuantfcar el efecto completo de los cambos en la demanda fnal en los requermentos drectos e ndrectos de empleo. En la actualdad es factble que los datos requerdos para realzar el análss de nsumo-producto no puedan precsarse con exacttud debdo a la ncertdumbre mperante en los mercados y a la velocdad con que se producen los cambos en los msmos. El valor en undades monetaras del producto fnal de una ndustra que debe adqurr otra para producr una undad monetara de sus propos productos se aproxma para poder aplcar el modelo clásco. Es decr, una vez más la realdad se ajusta al modelo dsponble, perdendo nformacón. En este trabajo se presenta el enfoque de Buckley [] de nsumoproducto para una economía aberta en el cual los coefcentes técncos pueden expresarse por medo de números borrosos.

4 96 L.L Lazzar, M.S. Morñgo./ Cuadernos del CIMBAGE N 6 (2003) MODELO DE INSUMO PRODUCTO PARA UNA ECONOMÍA ABIERTA Sea una economía compuesta por n ndustras, cada una de las cuales produce sólo un tpo de producto fnal. Las ndustras están lgadas ya que cada una de ellas debe usar algunos de los productos de las otras para poder funconar. Además deben producr certa cantdad de productos termnados para la demanda fnal. El análss de nsumo producto determna la produccón de cada una de las ndustras s la demanda fnal camba, asumendo que la estructura de la economía no camba. Sean: b j : valor en undades monetaras de los productos de la ndustra usados por la ndustra j. B = ( b j ) : matrz de nsumo producto. F : demanda fnal para los productos de la ndustra. T = n b j j= + F es el producto fnal de la ndustra () La estructura de la economía se puede descrbr por la matrz de coefcentes técncos A = ( a j ), cuyos elementos son admensonales y se obtenen dvdendo cada b j por la produccón total del sector j, es decr, bj a j = (2) T j La sguente tabla muestra el modelo de nsumo producto para una economía de n ndustras.

5 L.L Lazzar, M.S. Morñgo./ Cuadernos del CIMBAGE N 6 (2003) Industra Industra Industra 2... Industra n Demanda fnal Producto total a a... 2 a n F T Industra 2 a 2 a a 2 n F 2 T Industra n a n a... n2 a nn F n T n T n : producto total anual de la ndustra expresado en undades monetaras. F : cantdad de producto total de la ndustra consumdo en la economía, excluyendo lo consumdo por las ndustras, n, o lo que se dspone para la demanda fnal. a j : porcentaje de los nsumos totales de la ndustra j que provenen de la ndustra Las restrccones sobre los números de la tabla son: a j [ 0; ), j n 0 n 0 n F Reemplazando (2) en (), resulta el sstema de ecuacones T n a. T j j= j + F = T n (3) La ecuacón (3) muestra cómo el producto total de la ndustra se dstrbuye entre las restantes ndustras, otros consumdores y la exportacón. S se escrbe el sstema (3) en forma matrcal, consderando ( a ) j n A = j, F = ( F ) n T ( T ) n =, resulta:

6 98 L.L Lazzar, M.S. Morñgo./ Cuadernos del CIMBAGE N 6 (2003) A. T + F = T, donde A es la matrz de coefcentes técncos de la economía. Para un nuevo vector B de demanda fnal, se asume que la matrz A se conoce y se mantene constante. Para obtener el correspondente vector de produccón total X, se debe resolver el sstema: A. X + B = X (4) Suponendo que I A es no sngular y X 0, se obtene : ( I A) B X =. (5) 3. MODELO ABIERTO DE INSUMO PRODUCTO CON DATOS INCIERTOS S los elementos de A y B están expresados por números borrosos, el problema consste en resolver (4) como un sstema de ecuacones con coefcentes borrosos. Cuando la ecuacón (4) tene una solucón borrosa X, se dce que exste un modelo de nsumo producto borroso para la economía. Se consderarán números borrosos Y con funcón de pertenenca µ ( y), descrptos por (, y, y y ) Y y 2 3, 4 y que verfcan: () y y2 y3 y4 0 y ( y, y4 ) () µ Y ( y) =, () la funcón Y ( y) y [ y, y ] 2 3, µ es contnua y monótona crecente de 0 a en [ y ], (v) la funcón ( y ), y 2 contnua y monótona decrecente de a 0 en [ y 3, y 4 ] µ es Y

7 L.L Lazzar, M.S. Morñgo./ Cuadernos del CIMBAGE N 6 (2003) S la funcón ( y) µ es lneal, el número borroso es trapezodal cuando Y y 2 < y 3 y trangular s 2 y3 nítdo. y =. S y = y2 = y3 = y4, entonces Y es El sstema borroso expresado en forma matrcal para el modelo aberto, es A. X + B = X (6) ( A ) j n A = j, [ 0 ;] : matrz cuyos coefcentes son números borrosos en B : vector de n de números borrosos no negatvos X : vector ncógnta. Se usan - cortes para 0 con la sguente notacón: [ ] A j = aj, aj B [ ] = b, b Como a j y a j denotan los límtes nferor y superor de cada - corte respectvamente, se obtenen las matrces ( ) A = a j y A = ( a j ) La ecuacón (6) se transforma en : A. X + B = X A. X + B = X 0 Resolvendo, para cada, se obtene: X ( I A ). = B ( I A ) X =. B Aunque el sstema anteror tenga solucón X, X esto no garantza que se obtengan números borrosos solucón X cuando: X. Se dce que exste una

8 00 L.L Lazzar, M.S. Morñgo./ Cuadernos del CIMBAGE N 6 (2003) Exsten ( I A ) y ( I A ). X 0 es una funcón crecente para todo. X 0 es una funcón decrecente para todo v. X X para todo A ( A ) es sempostva s todos sus elementos son no negatvos y cada fla (columna) tene al menos un elemento postvo. Se supone que A y A son sempostvas para todo 0. S una fla de A es nula, se puede no tomar esta ndustra en consderacón. Se sacan sus nsumos (s los hubera) y se agregan a la columna de demanda fnal. S una columna en A es nula, se puede elmnar esta ndustra y ubcar sus nsumos (s los hubera) en la fla de los nsumos externos. Buckley [] demuestra la sguente condcón necesara, acerca de la exstenca del modelo aberto de nsumo - producto con coefcentes borrosos: Teorema. S n a j = borroso exste para la economía. Demostracón Sea W = A o 4 < para todo j, el modelo de nsumo producto W = A para todo 0. La suma de los elementos de las columnas de W es menor a. S (,...,) v = es un vector de m para todo., entonces v W s = ( s,..., ) = con 0 s <. s m <

9 L.L Lazzar, M.S. Morñgo./ Cuadernos del CIMBAGE N 6 (2003) Como W es una matrz cuadrada sempostva, tene un autovalor * λ asocado al autovector. * λ es real y no negatvo * x tal que :. * λ < λ para λ cualquer otra raíz del polnomo característco.. * x es no negatvo v. Para cualquer * µ > λ, I W µ. es no sngular y ( µ. W ) I es sempostva. Se probará que λ * <. En tal caso, sngulares y sus nversas son sempostvas. Como W. x λ. x * * * * * * =, entonces v. W. x λ.( v. x ) =. I A e I A son no Por lo tanto, s. x * = λ m * *. x = Pero * m * x = s. x < porque 0 s < para todo. < Entonces m = m λ * * *. x < x y λ * < porque la suma es postva. = Además X y sempostvas. X son no negatvas porque X es una funcón crecente para todo. Con este fn se ntroduce la sguente notacón. S R = ( r, r, r r ) y µ ( x) = 2 3, Por lo tanto,. S ( ) = 4 µ A x, 0 j R 0 B lo es y las nversas son, sea ( ) f ( ) x [ r,r2 ] x = g( ) x [ r,r ] µ R. 3 4, entonces ( ) a = ( ) [ ] j fj x aj,aj2 A j x = a j = g ( ) x [ a, a ] µ j j3 j4

10 02 L.L Lazzar, M.S. Morñgo./ Cuadernos del CIMBAGE N 6 (2003) S µ ( x) = B, 0 3. S µ ( x) = X, 0, entonces ( ) b = ( ) [ ] f x b,b 2 B x = b = g ( ) x [ b, b ] µ 3 4, entonces ( ) x = ( ) [ ] F x x, x2 X x = x = G ( ) x [ x, x ] µ 3 4 Supongamos tambén que todas las funcones nversas son dferencables. Para esto basta con saber que son dferencables a cada lado. La ecuacón A. X + B = X puede escrbrse: ( [ fj ( ) ])[ F ( ) ] = [ f ( ) ] [ f j ( ) ] es una matrz de m m y [ F ( ) ], [ ( ) ] La ecuacón (7) defne ( ) I (7) membros respecto de, se obtene: De (8) se deduce que f son vectores de m F en forma mplícta. S dervamos ambos [ f ( ) ][ F ( ) ] + I f ( ) j ( [ ]) F' ( ) j [ ] = [ f ' ( ) ] ' (8) ( [ ]) E( ) [ ] ( ) [ F' ( ) ] = I f j ( )., con E ( ) = f j ( ) [ F ] + [ f ' ( ) ] Se ve que F ' ( ) > 0 para todo porque ( ) ' (9) E es un vector postvo de m y la nversa es una matrz sempostva. Por lo tanto funcón crecente. X es una Análogamente se prueba que X es una funcón decrecente. X X cuando =. S a j2 = aj3 para todos los, j y b 2 = b3 para todo, entonces = X X cuando =. S a j2 < aj3 para algún, j y/o algunos b 2 < b3, entonces X X cuando =.

11 L.L Lazzar, M.S. Morñgo./ Cuadernos del CIMBAGE N 6 (2003) EJEMPLOS 4.. Sea la sguente tabla correspondente a una economía de dos ndustras, donde, para smplfcar la operatora, hemos consderado para los coefcentes tecnológcos una aproxmacón trangular Industra I Industra II Demanda fnal Producto total Industra I ( 0.25,0.3,0.35) ( 0.3,0.4,0.5) (,65,80) Industra II ( 0.4,0.5,0.6) ( 0.2,0.35,0.4) (,55,70) Insumos externos ( 0.,0.2,0.3) ( 0.2,0.3,0.4) Total ( 0.75,,.25) ( 0.7,.05,.3) 60 X 50 X 2 a a + a = = < + a = = < El teorema garantza que hay un modelo de nsumo producto borroso para esta economía. En este caso resulta para 0 : A B = = [ ; ] [ ; ] [ ; ] [ ; ] [ ; ] [ ; ] Resolvendo el sstema A. X + B = X para 0 se obtenen los valores de los -cortes del vector de produccón total borroso, que fguran en la sguente tabla: [ x ; x ] [ x 2 ; x 2 ]

12 04 L.L Lazzar, M.S. Morñgo./ Cuadernos del CIMBAGE N 6 (2003) [ 3.25;922.22] [ 28.3;038.89] 0. [ 44.73;756.3] [ 36.39;850.78] 0.2 [ 45.36;637.2] [ 45.52;75.62] 0.3 [ 53.57;547.35] [ 55.67;63.80] 0.4 [ 62.72;477.3] [ 67.03;534.35] 0.5 [ 73.0;42.5] [ 79.80;470.6] 0.6 [ 84.64;375.0] [ 94.27;48.34] 0.7 [ 97.90;336.68] [ 20.8;374.70] 0.8 [ 23.8;304.2] [ ;337.72] 0.9 [ ;276.9] [ 252.5;305.98].0 [ 25.96;25.96] [ ;278.43] Se observa que cada componente del vector de produccón fnal es un número borroso que no resulta trangular.

13 L.L Lazzar, M.S. Morñgo./ Cuadernos del CIMBAGE N 6 (2003) La representacón gráfca es: µ(x) 0,8 0,6 0,4 0,2 X X x Se consdera la sguente tabla correspondente a una economía de dos ndustras: Industra I Industra II Demanda fnal Industra I ( 0.2,0.3,0.4) ( 0.3,0.4,0.5) (,65,80) Industra II ( 0.4,0.5,0.6) ( 0.3,0.4,0.5) (,55,70) Insumos externos ( 0.,0.2,0.3) ( 0.,0.2,0.3) Total ( 0.7,.0,.3) ( 0.7,.0,.3) Producto total 60 X 50 X 2 a a + a = = + a = = El teorema no garantza la exstenca de un modelo de nsumo producto borroso para esta economía.

14 06 L.L Lazzar, M.S. Morñgo./ Cuadernos del CIMBAGE N 6 (2003) En este caso resulta para 0 : A = [ ; ] [ ; ] [ ; ] [ ; ] B = [ ; ] [ ; ] S se consdera el sstema A. X + B = X para nvel de presuncón = 0, como det( I A ) = det = , resulta que sngular y se prueba que el sstema es ncompatble. 0 I A es Además lm X = =, Por lo tanto X =, 2 no son números borrosos porque tenen soporte nfnto Se consdera la sguente tabla correspondente a una economía de dos ndustras: Industra I Industra II Demanda fnal Industra I ( 0.3,0.4,0.5) ( 0.5,0.6,0.7) (,65,80) Industra II ( 0.4,0.5,0.6) ( 0.2,0.3,0.4) (,55,70) Insumos externos ( 0.0,0.,0.2) ( 0.0,0.,0.2) Total ( 0.7,.0,.3) ( 0.7,.0,.3) Producto total 60 X 50 X 2 a a + a = = + a = =..

15 L.L Lazzar, M.S. Morñgo./ Cuadernos del CIMBAGE N 6 (2003) El teorema no garantza la exstenca de un modelo de nsumo producto borroso para esta economía. En este caso resulta para 0 : A = [ ; ] [ ; ] [ ; ] [ ; ] B = [ ; ] [ ; ] S se consdera el sstema A. X + B = X para = 0. 5, det( I A ) = det = 0 X. < 0 s 0 < 0.5 =, 2 X > 0 s 0.5 < =,2. lm X = =, Entonces 0.5 I A es sngular. v. X =, 2 no puede ser una funcón decrecente Por lo tanto X =, 2 no puede ser un número borroso. Los ejemplo 4.2 y 4.3 muestran que s no se cumplen las condcones del teorema, puede no haber un modelo de nsumo producto borroso para la economía. 5. MODELO DE INSUMO PRODUCTO PARA UNA ECONOMÍA CERRADA EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE El modelo de Leontef para una economía cerrada se caracterza porque no hay saldos n défct de produccón, y por lo tanto, no hay lugar para ahorros n nversones nuevas.

16 08 L.L Lazzar, M.S. Morñgo./ Cuadernos del CIMBAGE N 6 (2003) Cuando se plantea dcho modelo se obtene un sstema de la forma t A. X = X, donde A es la matrz de coefcentes técncos y X = ( x,... x ) es el vector de produccón. Para que este modelo sea consstente, A debe tener a por autovalor y el autovector correspondente debe ser X > 0. n S los coefcentes técncos se expresan medante números borrosos postvos (algunos podrían ser nítdos), se observa la necesdad de emplear autovalores borrosos para hallar la solucón. Buckley [2] generalza los resultados de Perron-Frobenus referdos a autovalores de matrces no negatvas rreducbles al caso de matrces borrosas no negatvas. Dchas generalzacones se utlzan para resolver el modelo cerrado de nsumo-producto. 6. COMENTARIOS FINALES Se han presentado condcones necesaras para extender el modelo aberto clásco de nsumo-producto al caso de una economía borrosa. Certos valores, como el porcentaje de los nsumos totales de una determnada ndustra provenentes de otra y la demanda fnal de cada ndustra, a menudo no son conocdos y se pueden aproxmar por números borrosos. Expresar los coefcentes técncos medante números borrosos permte representar en forma más adecuada la estmacón proporconada por los expertos y las posbles fluctuacones de los datos. En síntess, el modelo propuesto proporcona un mejor aprovechamento de la nformacón dsponble.

17 L.L Lazzar, M.S. Morñgo./ Cuadernos del CIMBAGE N 6 (2003) REFERENCIAS [] Buckley J.J. (989). Fuzzy nput output analyss. European Journal of Operatonal Research 39. North-Holland, pp [2] Buckley J.J. (990). Fuzzy egenvalues and nput output analyss. Fuzzy Sets and Systems 34. North-Holland, pp [3] Buckley J.J. (992). Solvng fuzzy equatons n economcs and fnance Fuzzy Sets and Systems 48. North-Holland, pp [4] Ferrucc R. (989). Instrumental para el estudo de la economía argentna. EUDEBA, Buenos Ares, pp [5] INDEC. (998). Comprendendo la matrz nsumo producto. Buenos Ares. [6] Kaufmann A., Gupta M.M. (985) Introducton to Fuzzy Arthmetc. Van Nostrand Renhold. New York [7] Lazzar L.L., Machado E. Pérez R. (994). Técncas de gestón para el tratamento de la ncertdumbre. Facultad de Cencas Económcas. Buenos Ares. [8] Lazzar L.L., Machado E. Pérez R. (999). Los conjuntos borrosos: una ntroduccón. Cuadernos del CIMBAGE no. 2, pp Facultad de Cencas Económcas. Buenos Ares. [9] Monteverde H. (994). Conceptos e nterpretacón de las cuentas naconales. Edcones Macch, Buenos Ares, capítulo 7. [0] Noble B., Danel J. (989) Álgebra lneal aplcada. Prentce Hall Hspanoamérca S.A. Méxco. [] Toranzos F.I. (964). Formacón matemátca del economsta. Fondo de Cultura Económca. Buenos Ares.