APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

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1 UNIDAD APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Página 98 Relación del crecimiento con el signo de la primera derivada Analiza la curva siguiente: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 Relación de la curvatura con el signo de la segunda derivada Describe el tramo CD y los tramos DE, EF y FG siguientes: A B C D E F G f convea f cóncava f' decreciente f' creciente f'' < 0 f'' > 0 CD f convea f' decreciente f" < 0 DE f cóncava f' creciente f" > 0 EF f convea f' decreciente f" < 0 FG f cóncava f' creciente f" > 0 Unidad. Aplicaciones de las derivadas

2 Dibuja la gráfica de una función, f, que cumpla las siguientes condiciones: La función está definida en [0, 7]. Solo toma valores positivos. Pasa por los puntos (0, ), (, ) y (7, ). En el intervalo (, ), la función es convea. En el intervalo (, ), f''> 0. En el intervalo (, 6), f' es decreciente. En el intervalo (6, 7), f es cóncava Página 00. Halla las rectas tangentes a la curva: y en los puntos de abscisas 0,,. Calculamos la derivada de la función: y' (5 + 6)( ) ( ) ( ) Ordenadas de los puntos: y(0) 0; y() ; y() 50 Recta tangente en (0, 0): y'(0) 8 y 8 Recta tangente en (, ): y'() 9 y 9( ) 9 + Recta tangente en (, 50): y'() y 50 + ( ) ( ) Unidad. Aplicaciones de las derivadas

3 . Halla las rectas tangentes a la circunferencia: + y + y 0 en los puntos de abscisa 0. Obtención de las ordenadas correspondientes: + y + y y 6 + y 0 y + y 0 ± ± 00 y ± 0 y Punto (, ) y 7 Punto (, 7) Para hallar la pendiente en esos puntos, derivamos implícitamente: + yy' + y' 0 y'(y + ) y' y + y + Así: y'(, ) ; y'(, 7) 5 5 Recta tangente en (, ): y ( ) Recta tangente en (, 7): y 7 + ( ) Página 0. Dada la función y 9 + 5, averigua: a) Dónde crece. b) Dónde decrece. y' 6 9 ( ) ( )( + ) a) < y' > 0 f es creciente en (, ) > y' > 0 f es creciente en (, + ) b) < < y' < 0 f es decreciente en (, ) Página 0. Comprueba que la función y /( ) tiene solo dos puntos singulares, en 0 y en 6. Averigua de qué tipo es cada uno de ellos estudiando el signo de la derivada. Unidad. Aplicaciones de las derivadas

4 y' ( ) ( ) ( )(( ) ) ( ) ( ) ( 6 ) ( ) y' 0 ( 6) 0 ( 6) ( ) 0 6 f'( 0,0) > 0 f'(0,0) > 0 En 0 hay un punto de infleión. f'(5,99) < 0 f'(6,0) > 0 En 6 hay un mínimo relativo. a) Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función y +. Mediante una representación adecuada, averigua de qué tipo es cada uno de ellos. b) Ídem para y a) y' + ( + ) y' 0 0 Punto (0, 0) Punto (, ) Dos puntos singulares. Los dos puntos están en el intervalo [ ;,5], donde la función es derivable. Además, f ( ) 7 y f (,5),7. En (0, 0) hay un punto de infleión. En (, ) hay un máimo relativo. b) y' ( +)( +)( +) y' 0 Punto (, 0) Punto (, ) Punto (, 0) Los tres puntos están en el mismo intervalo [, 0], donde la función es derivable. Además, f ( ) f (0) 9. Hay un mínimo relativo en (, 0), un máimo relativo en (, ) y un mínimo relativo en (, 0). Tres puntos singulares. 9 Unidad. Aplicaciones de las derivadas

5 Página 05. Estudia la curvatura de la función: y f'() ; f''() Punto (0, 5) f''() 0 ( ) 0 Punto (, 7 ) ( f'''() 7 8; f'''(0) 0; f'''( ) 0) Los puntos (0, 5) y (, ) son puntos de infleión. 7 La función es cóncava en (, 0) U (, + ), pues f''() > 0. La función es convea en el intervalo ( ) 0,, pues f''() < 0.. Estudia la curvatura de la función: y f'() + 9; f''() 6 f''() Punto (, ) ( f'''() 6; f'''() 0) El punto (, ) es un punto de infleión. La función es convea en (, ), pues f''() < 0. La función es cóncava en (, + ), pues f''() > 0. Página 07. Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima. Llamamos al número que buscamos. Ha de ser > 0. Tenemos que minimizar la función: 5 f () + f'() 5 5 f (5) (no vale, pues >0) (Como f () +, f () +, y la función es continua en (0, + ); hay 0 + un mínimo en 5). + Por tanto, el número buscado es 5. El mínimo es 0. Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

6 . De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 0 cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máima. + y 0 y 0 y (0 ) Área 0, 0 < < 0 Tenemos que maimizar la función: f () 0 y, 0 < < 0 0 f'() y ( 5 f (0) 0; f (0) 0; f (5) ; y f es continua. Luego, en 5 está el máimo). Los catetos miden 5 cm cada uno. El área máima es de,5 cm.. Entre todos los rectángulos de perímetro m, cuál es el que tiene la diagonal menor? d (6 ) +, 0 < < 6 d 6 Tenemos que minimizar la función: f () (6 ) +, 0 < < 6 (6 ) + f'() + (6 ) + (6 ) + f'() (6 ) + ( f (0) 6; f (6) 6; f () 8,; y f () es continua. Luego, en hay un mínimo). El rectángulo con la diagonal menor es el cuadrado de lado m.. Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,8 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata. Suponemos el recipiente con dos tapas: V 6,8 l 6,8 dm h r πr r h Área total πrh + πr πr(h + r) Unidad. Aplicaciones de las derivadas 6

7 Como V π r h, r h 6,8 h 6,8 h, r r Así: Áreal total πr ( + r) ( π + r ) r Tenemos que hallar el mínimo de la función: f (r) π ( + r ), r >0 f'(r) π ( + r ) π ( ) 0 + r 0 r (Como f (r) +, f (r) +, y f es continua en (0, + ); en r hay r 0 + un mínimo). r r r h El cilindro tendrá radio dm y altura dm. r r + r + r r Página 08. Calcula, aplicando L Hôpital: a) sen ( + cos ) b) 0 cos 0 a) ( ) 0 e e sen 0 0 e + e cos b) ( ) 0 sen ( + cos ) cos e e sen cos ( + cos ) + sen ( sen ) cos + ( sen ). Calcula: a) e + b) 0 a) e + e b) ( ) ( ) e Unidad. Aplicaciones de las derivadas 7

8 Página 09. Aplica L Hôpital: (cos + sen ) / 0 Para poner (cos + sen ) / en forma de cociente, tomamos logaritmos en f () (cos + sen ) /. 0 (ln[ f ()]) ( ln(cos + sen )) ( ). Calcula: ( / ) + + Página ( sen + cos )/(cos + sen ) f () e e 0 ( / ) ( ) + ( / ln ) ln ln + / / ln(cos + sen ) / ( / ) ln ( / ). a) Eplica por qué y sen cumple las hipótesis del T. de Rolle en el intervalo [0, π]. b) En qué punto se verifica la tesis del teorema de Rolle? a) y sen es derivable (y, por tanto, continua) en todo Á. Además, f (0) f (π) 0. Por tanto, cumple las hipótesis del teorema de Rolle b) y' cos 0 (0, π) π Página. Aplica el teorema del valor medio, si es posible, a la función: f () + en [, ] Calcula el valor correspondiente a c. f () es derivable (y, por tanto, continua) en todo Á. En particular, es continua en [, ] y derivable en (, ). Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio. Veamos dónde cumple la tesis: f (b) f (a) b a f ( ) f ( ) 6 6 ( ) + Unidad. Aplicaciones de las derivadas 8

9 f'() 6 La tesis se cumple en c.. Repite el ejercicio anterior para la función g () +. g() es derivable (y, por tanto, continua) en todo Á. En particular, es continua en [, ] y derivable en (, ). Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio. Veamos dónde cumple la tesis: g(b) g(a) b a g( ) g( ) 0 ( 9) 9 ( ) + g'() ± + 0 ± ± Por tanto, se cumple la tesis en c. ±,9,5. Demuestra que f () cumple las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [, 6]. En qué punto cumple la tesis? f () si < si f () ( ) 5 f () ( + 0 9) 5 f () es continua en. + f () 5 Luego, f () es continua en el intervalo [, 6]. (Para está formada por dos polinomios). Veamos si es derivable: si < f'() + 0 si > En, tenemos que f'( ) f'( + ). Por tanto, la función es derivable en (, 6). Su derivada es: si f'() + 0 si > Luego, se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio. Unidad. Aplicaciones de las derivadas 9

10 Veamos dónde cumple la tesis: f (6) f () 6 5 f'(c) La tesis se cumple en c. 5. Aplicando el teorema de Rolle, demuestra que + b 0 no puede tener más de una raíz en el intervalo [, ] cualquiera que sea el valor de b. (Hazlo por reducción al absurdo: empieza suponiendo que hay dos raíces en ese intervalo). f () + b es continua en [, ] y derivable en (, ). 9 f'() 0 La derivada solo se anula en y en. Supongamos que f () tiene dos raíces en [, ], sean c y c. Por el teorema de Rolle, como f (c ) f (c ) 0, eistiría un c (c, c ) tal que f'(c) 0. Pero f'() solo se anula en y en, que no están incluidos en (c, c ), pues c, c. Hemos llegado a una contradicción. Por tanto, + b 0 no puede tener más de una raíz en el intervalo [, ], cualquiera que sea el valo de b. 6. Calcula p, m y n para que: f () + p si m + n si 5 cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [, 5]. Dónde cumple la tesis? Represéntala. Si, la función es continua, pues está formada por polinomios. Su dominio es [, 5]. En, para que sea continua, ha de ser: f () ( + p) 9 + p f () (m + n) m + n 9 + p m + n + f () m + n 9 + p Unidad. Aplicaciones de las derivadas 0

11 Si (, 5) y, su derivada es: f'() + p si < < m si < < 5 Para que f () sea derivable en, ha de ser: f'( ) 6 + p f'( + ) m 6 + p m Para que se cumplan las hipótesis del teorema de Rolle, además, debe tenerse que f ( ) f (5); es decir: f ( ) p f (5) 5m + n p 5m + n Uniendo las tres condiciones anteriores, tenemos que: 9 + p m + n 6 + p m p 5m + n Con estos valores: 8 m ; n 9; p 0 f'() (, 5) 5 La tesis se cumple en c. f () 0 + si < < 8 si < si si 5,8 5 5, Página. Demuestra que: Si f es continua en [a, b], derivable en (a, b) y f'() < 0 para (a, b), entonces f es decreciente en [a, b]. Si tomamos dos puntos cualesquiera < de [a, b], se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio en [, ] y, por tanto, su tesis: f ( ) f ( ) f'(c) < 0 Unidad. Aplicaciones de las derivadas

12 Se deduce que f ( ) f ( ) < 0 y, por tanto, f ( ) < f ( ). La función es, pues, decreciente en [a, b].. Demuestra que: Si f'( 0 ) 0 y f''( 0 ) < 0, entonces f presenta un máimo en 0. Si h < 0, entonces: Si h > 0, entonces: f'( f''( 0 ) 0 + h) f'( 0 ) f'( 0 + h) < 0 h h h 0 h 0 f'( 0 + h) > 0 f es creciente a la izquierda de 0 () f'( 0 + h) < 0 f es decreciente a la derecha de 0 () Por () y (), f presenta un máimo en 0, ya que es creciente a la izquierda de 0 y decreciente a su derecha. Página EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Recta tangente Halla la ecuación de la recta tangente a las siguientes curvas en los puntos que se indican: a) y ln (tg ) en b) y sen 5 en c) + y 8y en π a) Ordenada en el punto: y 0 8 ( + tg π Pendiente de la recta: y' y'( ) tg 8 ) Recta tangente: y ( ) π 8 π b) Ordenada en el punto: y 6 π 8 π 6 π Unidad. Aplicaciones de las derivadas

13 Pendiente de la recta: 5 cos 5 π y' y'( ) 5( /) sen 5 6 / Recta tangente: y ( ) π c) Ordenadas en los puntos: + y 8y y 8y ± 6 60 y Pendiente de las rectas: 8 ± y 5 Punto (, 5) y Punto (, ) + yy' 8y' 0 y'(y 8) y' y 8 y y'(, 5) 5 y'(, ) Recta tangente en (, 5): y 5 ( ) y + 7 Recta tangente en (, ): y + ( ) y + Halla las tangentes a la curva y paralelas a la recta + y 0. S La pendiente de la recta + y 0 es m. Buscamos los puntos en los que la derivada sea igual a : y' ( ) ( ) + + y' ( + ) ( ) 0 0 Punto (0, 0) Punto (, ) Recta tangente en (0, 0): y Recta tangente en (, ): y ( ) y + 8 Unidad. Aplicaciones de las derivadas

14 Escribe las ecuaciones de las tangentes en los puntos que se indican (si en algún caso no se puede, indica por qué): a) y Sh e e en 0 y ln b) y + + en 0 c) y ( + ) sen en 0 y π a) y' e + e En 0 f (0) 0; f'(0) y En ln f (ln ) ; f'(ln ) 5 y + ( ln ) + b) y' ; f'(0) ; f (0) y + c) Hallamos la derivada tomando logaritmos: ln y ln( + ) sen ln y sen ln( + ) y' y cos ln( + ) + sen + y' ( + ) [ sen cos ln( + ) + sen ] + En 0: f (0) ; f'(0) 0 y En π: f (π) ; f'(π) ln(π + ) y ln(π + ) ( π) 5 S Halla un punto de la gráfica y en el cual la recta tangente sea paralela a y + 8. La pendiente de la recta y + 8 es m. Buscamos un punto en el que la derivada valga : f'() + f'() + y 7 El punto es (, 7). Unidad. Aplicaciones de las derivadas

15 5 Halla una recta que sea tangente a la curva: S y + y que forme un ángulo de 5 con el eje de abscisas. Hay algún punto de la curva en el que la recta tangente sea horizontal? Si forma un ángulo de 5 con el eje de abscisas, su pendiente es tg 5. Buscamos un punto en el que la derivada valga : f'() f'() y 9 La recta es: y + ( ) y + Veamos si hay algún punto de la curva en el que la recta tangente sea horizontal; es decir, en el que la derivada valga cero: f'() 0 y Punto (, ) 9 6 Obtén la ecuación de la recta tangente paralela al eje de abscisas en las siguientes curvas: a) y ln b) y e c) y sen Una recta paralela al eje de abscisas tiene pendiente cero. a) y' ln + ln + y' 0 ln + 0 ln e y e e La recta tangente en el punto (, ) es: y e e e b) y' e + e ( + )e. Como e 0 para todo : y' ( + ) 0 0 Punto (0, 0) Punto (, /e ) En el punto (0, 0), la recta tangente es: y 0 En el punto ( ), e, la recta tangente es: y e c) y' cos y' 0 cos 0 π π + πk + πk y π π + πk + πk y Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

16 π En los puntos ( + πk, ), con k Z, la recta tangente es: y π En los puntos ( + πk, ), con k Z, la recta tangente es: y 7 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y y en el punto (, ). Para hallar la derivada tomamos logaritmos: y y y ln + ln y ln y ln + ln y 0 Derivamos: y' y' ln + y + ln y + 0 y y' y ln + y + y ln y + y' 0 y'(y ln + ) y y ln y y' y y ln y y ln + y'(, ) Por tanto, la ecuación de la recta tangente en (, ) es: y ( ); es decir, y + 8 Halla el punto de la gráfica de y en el que la tangente forme un ángulo de 60 con el eje X. Escribe la ecuación de esa tangente. Si forma un ángulo de 60 con el eje X, su pendiente es tg 60. Buscamos un punto en el que la derivada valga : y' y' y El punto es (, ). La recta tangente en ese punto será: y + ( ) y + y + Unidad. Aplicaciones de las derivadas 6

17 Máimos y mínimos. Puntos de infleión 9 Halla los máimos, mínimos y puntos de infleión de las siguientes funciones: S a) y b) y ( 8) c) y d) y + e) y f) y e ( ) + a) f'() + 9 f'() 0 ( ± 6 + ) 0 ± y 0 y Signo de la derivada: f' > 0 f' < 0 f' > 0 Hay un mínimo en (, 0) y un máimo en (, ). Puntos de infleión: f''() 6 0 y Como f''() < 0 para < y f''() > 0 para >, el punto (, ) es un punto de infleión. b) y 8 f'() f'() 0 ( ) 0 0 y 0 y (/) f' < 0 f' < 0 f' > 0 Hay un mínimo en (, ). f''() 0 ( ) 0 0 y 0 / y (6/8) f'' > 0 f'' < 0 f'' > Hay un punto de infleión en (0, 0) y otro en (, ). Unidad. Aplicaciones de las derivadas 7

18 c) f'() 6 f'() 0 ( 6) 0 0 y 0 / y (7/6) f' < 0 f' < 0 f' > Hay un mínimo en (, ). f''() ( ) 0 0 y 0 y f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un punto de infleión en (0, 0) y otro en (, ). d) f'() f'() 0 ( + ) 0 0 y 0 f' < 0 f' > 0 0 Hay un mínimo en (0, 0). f''() + 0 para todo. No hay puntos de infleión. e) f'() ( + ) f'() y f' > 0 f' < 0 0 Hay un máimo en (0, ). f''() ( + ) + ( + ) ( + ) + 8 ( + ) ( + ) 6 ( + ) f''() 0 ± ± ± y f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Unidad. Aplicaciones de las derivadas 8

19 Hay un punto de infleión en (, ) y otro en (, ). f) f'() e ( ) + e e ( + ) e f'() 0 e 0 0 (pues e 0 para todo ) y f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un mínimo en (0, ). f''() e + e e ( + ) f''() 0 y e f'' < 0 f'' > 0 e Hay un punto de infleión en (, ). 0 Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones y di si tienen máimo o mínimos: S a) y b) y c) y d) y + + a) y. Dominio Á {, } f'() 0 0 ( ) Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 La función: crece en (, ) U (, 0) decrece en (0, ) U (, + ) ( ) tiene un máimo en 0, Unidad. Aplicaciones de las derivadas 9

20 b) y. Dominio Á { } + f'() ( + ) ( ) + + ( + ) ( + ) 5 ( + ) f'() > 0 para todo. Por tanto, la función es creciente en (, ) U (, + ). No tiene máimos ni mínimos. c) y. Dominio Á + f'() ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) f'() > Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 0 La función: decrece en (, 0) crece en (0, + ) tiene un mínimo en (0, 0) d) y. Dominio Á {0} f'() ( ) + + f'() 0 para todo 0. f'() > 0 para todo 0. La función es creciente en (, 0) U (0, + ). No tiene máimos ni mínimos. Halla los intervalos de crecimiento y los máimos y mínimos de las siguientes funciones: S 8 a) y b) y + c) y ( ) d) y e) y 9 f) y 8 ( ) Unidad. Aplicaciones de las derivadas 0

21 8 a) y 8. Dominio Á {0, } ( ) f'() ( ) (8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 6 ± ± ± 8 6 / Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 f' > 0 La función: es creciente en (, 0) U ( ) 0, es decreciente en (, ) U (, ) 9 tiene un máimo en (, ) tiene un mínimo en ( ), b) y +. Dominio Á {, } U (, + ) f'() ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) f'() Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 La función: es creciente en (, ) U (, 0) es decreciente en (0, ) U (, + ) tiene un máimo en (0, ) Unidad. Aplicaciones de las derivadas

22 c) y. Dominio Á {, } f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 ( ) 0 0 Signo de la derivada: f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 La función: es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, ) U (, ) U (, ) tiene un máimo en (, ) tiene un mínimo en (, ) tiene un punto de infleión en (0, 0) d) y. Dominio Á {} f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) f'() 0 ± 6 ± + 0 ± Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' > 0 f' < 0 Unidad. Aplicaciones de las derivadas

23 La función: es creciente en (, ) U (, ) es decreciente en (, ) U (, + ) tiene un mínimo en (, ) tiene un máimo en (, 9) e) y 9. Dominio Á f'() 6 9 ( ) ± + ± 6 f'() 0 Signo de la derivada: ± f' > 0 f' < 0 f' > 0 La función: es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, ) tiene un máimo en (, 5) tiene un mínimo en (, 7) f) y 8 8. Dominio Á {0, } ( ) f'() 8( 6) 8( 6) ( ) ( ) 8( 6) ( ) f'() Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 0 f' < 0 La función: es creciente en (0, ) es decreciente en (, 0) U (, ) U (, + ) tiene un máimo en (, ) S Estudia la concavidad, conveidad y puntos de infleión de las siguientes funciones: a) y + b) y 6 c) y ( ) d) y e e) y + f) y ln ( + ) Unidad. Aplicaciones de las derivadas

24 a) y +. Dominio Á f'() ; f''() 6 f''() Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 0 La función: es convea en (, 0) es cóncava en (0, + ) tiene un punto de infleión en (0, ) b) y 6. Dominio Á f'() ; f''() f''() 0 ( ) 0 Signo de f''(): f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 La función: es cóncava en (, ) U (, + ) es convea en (, ) tiene un punto de infleión en (, 5) y otro en (, 5) c) y ( ). Dominio Á f'() ( ) ; f''() ( ) f''() 0 f''() > 0 para Por tanto, la función es cóncava. No tiene puntos de infleión. d) y e. Dominio Á f'() e + e ( + )e ; f''() e + ( + )e ( + )e f''() 0 (e 0 para todo ) Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 Unidad. Aplicaciones de las derivadas

25 La función: es convea en (, ) es cóncava en (, + ) tiene un punto de infleión en ( ), e) y. Dominio Á { } + f'() ( + ) ( ) + ( +) ( +) f''() 6 ( +) e ( +) f''() 0 para todo. Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 La función: es convea en (, ) es cóncava en (, + ) no tiene puntos de infleión f) y ln( +). Dominio (, + ) f'() f''() + ( +) f''() < 0 para (, + ) Por tanto, la función es convea en (, + ). PARA RESOLVER Estudia si las siguientes funciones tienen máimos, mínimos o puntos de infleión en el punto de abscisa : a) y + ( ) b) y + ( ) c) y ( ) 6 d) y + ( ) 5 a) f'() ( ) ; f''() 6( ) f' > 0 f' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en. Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

26 b) f'() ( ) ; f''() ( ) f' < 0 f' > 0 f'' > 0 f'' > 0 Hay un mínimo en. c) f'() 6( ) 5 ; f''() 0( ) f' > 0 f' < 0 f'' < 0 f'' < 0 Hay un máimo en. d) f'() 0( ) ; f''() 0( ) f' > 0 f' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en. Página Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva y en el punto ( ),. Comprueba que el segmento de esa recta comprendido entre los ejes de coordenadas está dividido en dos partes iguales por el punto de tangencia. f'() ; f'() 9 Ecuación de la recta tangente en (, ) : y ( ) 9 Puntos de corte de la recta tangente con los ejes coordenados: 0 y Punto ( ) 0, y 0 6 Punto (6, 0) dist [( ), ( )], 0, ( 0) + ( ) dist [( ), ], (6, 0) (6 ) + ( ) 0 8 Unidad. Aplicaciones de las derivadas 8 La distancia es la misma. 6

27 5 Dada la parábola y, encuentra un punto en el que la recta tangente a la curva en dicho punto sea paralela a la cuerda que une los puntos (0, 0) y (, 8). La cuerda que une los puntos (0, 0) y (, 8) tiene pendiente: 8 m Buscamos un punto de la función y en el que la derivada valga : f'() 6 f'() 6 El punto es (, ). 6 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y 0 en su S punto de infleión. Hallamos su punto de infleión: f'() ; f''() f''() 0 6 f'' < 0 f'' > 0 6 Hay un punto de infleión en (, ) Pendiente de la recta tangente en ese punto: f'( ) 6 Ecuación de la recta tangente: 7 y ( ) Estudia los intervalos de crecimiento y los máimos y mínimos de la función dada por: y + ± ± f () f'() + si < + si + si > + si < si < < + si > Unidad. Aplicaciones de las derivadas 7

28 En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). Veamos dónde se anula la derivada: + 0 Pero f'() + para < y >. 0 y f'() para < < Por tanto f'() se anula en. Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 La función: es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, ) U (, ) tiene un máimo en (, ) tiene un mínimo en (, 0) y otro en (, 0). 8 Estudia la eistencia de máimos y mínimos relativos y absolutos de la función y. f () f'() si < + si si > si < si < < si > En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). La derivada se anula en 0. Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 La función tiene un máimo relativo en (0, ). No tiene máimo absoluto ( f () f () + ). + Tiene un mínimo relativo en (, 0) y otro en (, 0). En estos puntos, el mínimo también es absoluto, puesto que f () 0 para todo. Unidad. Aplicaciones de las derivadas 8

29 9 Halla el valor de c de modo que la función y tenga un único etremo relativo. + c S Se trata de un máimo o de un mínimo? f'() e ( + c) e e ( + c ) ( + c) ( + c) e f'() 0 + c 0 ± c Para que solo haya un etremo relativo, ha de ser: c 0 c En este caso sería: e y ; f'() + e ( +) ( +) f'() 0 f'() > 0 si f () es creciente si. Hay un punto de infleión en. 0 Estudia el crecimiento de la función: f () e (cos + sen ) y determina los máimos y mínimos de la función para [0, π]. Consideramos la función: f () e (cos + sen ) para [0, π]. Calculamos la derivada: f'() e (cos + sen ) + e ( sen + cos ) e ( cos ) e cos f'() 0 cos 0 Signo de la derivada: π π (para [0, π]) f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 π π π La función: es creciente en [ ) 0, π ( U π, π] π π es decreciente en (, ) π tiene un máimo en (, e ) π/ ( ) tiene un mínimo en π, eπ/ Unidad. Aplicaciones de las derivadas 9

30 Dada la función y a + b a, calcula los valores de a y b sabiendo que la función tiene dos puntos de infleión, uno en y otro en /. f'() a + 9b 6 a f''() a + 8b 6 f''() 0 a + 8b 6 0 f''(/) 0 a + 9b 6 0 a + b 0 a + b 0 Restando las igualdades: a + 0 a Sustituyendo en la -ª ecuación: b 0 b Sea f () a + b + c + d un polinomio que cumple f () 0, f'(0) S y tiene dos etremos relativos para y. a) Halla a, b, c y d. b) Son máimos o mínimos los etremos relativos? a) f () a + b + c + d f'() a +b + c f () 0 a + b + c + d 0 a + b + d a f'(0) c c b f'() 0 a + b + c 0 a + b c f'() 0 a + b + c 0 6a +b d Así: f () 5 + ; f'() + ( ) ( ) 6 b) Signo de la derivada: f' > 0 f' < 0 f' > Hay un máimo para y un mínimo para. La curva y + a + b + c corta al eje de abscisas en y tiene un S punto de infleión en (, ). Calcula a, b y c. y + a + b + c f'() + a + b f''() 6 +a Unidad. Aplicaciones de las derivadas 0

31 f ( ) 0 + a b + c 0 a b + c a 6 f () 8 + a + b + c a + b + c 7 b f''() 0 + a 0 a 6 c De la función f () a + b sabemos que pasa por (, ) y en ese punto tiene tangente paralela a la recta + y 0. a) Halla a y b. b) Determina sus etremos relativos y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. 0 a) f () a + b; f'() a + b f () a + b f'() a + b a b f () + b) f'() 6 + f'() 0 ( ) 0 Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 La función: es decreciente en ( ), ( U, + ) es creciente en ( ), tiene un mínimo en ( ), tiene un máimo en (, ) 5 La función f () + a + b + c verifica que f (), f'() 0 y que f no tiene etremo relativo en. Calcula a, b y c. Si es f'() 0 y no hay etremo relativo, tiene que haber una infleión en. f () + a + b + c f'() + a + b f''() 6 +a Unidad. Aplicaciones de las derivadas

32 f () + a + b + c f'() 0 + a + b 0 f''() a 0 a b c 0 f () + 6 Sea f () + a + b + 5. Halla a y b para que la curva y f () tenga S en un punto de infleión con tangente horizontal. Si en tiene un punto de infleión con tangente horizontal, ha de ser f'() f''() 0. f () + a + b +5 f'() + a + b f''() 6 + a f'() 0 + a + b 0 f''() a 0 a b f () La curva y + α + β + γ corta al eje OX en y tiene un punto de S infleión en (, ). Calcula los puntos de la curva que tengan recta tangente paralela al eje OX. f () + α + β + γ; f'() + α + β; f''() 6 + α f () 0 + α + β + γ 0 f () 7 + 9α + β + γ f''() α 0 α 9 β γ 6 Así: f () 9 + 6; f'() 8 + Puntos con tangente horizontal: 8 ± 88 8 ± 6 f'() Los puntos son (, 0) y (, ). 8 ± Halla los puntos de la curva y + en los que la recta tangente a esta pase por el punto (0, 8). Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes. La ecuación de la tangente es y f (a) + f'(a) ( a), donde f (a) a + a y f'(a) a +. Sustituye en la ecuación de la tangente y haz que esta pase por (0, 8). La ecuación de la tangente en (a, f (a)) es y f (a) + f'(a)( a). Unidad. Aplicaciones de las derivadas

33 Como f(a) a + a y f'(a) a +, queda: y a + a + ( a +) ( a) Si la recta tangente pasa por (0, 8): 8 a + a + ( a +) ( a) 8 a + a a a a 6 a a 6 Hay dos puntos: (, 6) y (, 6) a a Recta tangente en (, 6): f'( ) y 6 + ( + ) y 8 Recta tangente en (, 6): f'() 6 y 6 + 6( + ) y Halla los puntos de la curva y 5 + en los que la recta tangente a S ella pase por el origen de coordenadas. Escribe las ecuaciones de dichas tangentes. y 5 + ; f'() 6 5 La recta tangente en un punto (a, f (a)) es: y f (a) + f'(a)( a); es decir: y a 5a + + (6a 5) ( a) Para que pase por el origen de coordenadas, ha de ser: 0 a 5a + + (6a 5) ( a) 0 a 5a + 6a + 5a a a Hay dos puntos: (, ) y (, ) Recta tangente en (, ): f'( ) 7 y 7( + ) y 7 Recta tangente en (, ): f'() 7 y + 7( ) y 7 a a Unidad. Aplicaciones de las derivadas

34 0 Dada la función f () + : S a) Halla la ecuación de la recta tangente a f en un punto cualquiera a. b) Halla el valor o valores de a para que dicha recta pase por el punto P (0, 0) (eterior a la curva). a) f () + ; f'() La recta tangente en a es: y f (a) + f'(a)( a); es decir y a a + +(a ) ( a) b) Para que la recta pase por (0, 0) será: 0 a a + + (a ) ( a) 0 a a + a + a a a a Página Halla el ángulo que forman las rectas tangentes a las funciones f () y g() en el punto de abscisa : f () g() Recuerda que el ángulo de dos rectas se puede calcular así: tg α m m + m donde m, y m son las pendientes de las rectas. m La pendiente de la recta tangente a f () en es: f'() f'() La pendiente de la recta tangente a g() en es: g'() g'() El ángulo que forman las dos rectas será: 6 tg α α 5 Halla el dominio de definición, máimos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: a) y ln b) y + a) y ln. Dominio (0, + ) f'() ln + ln + ( ln + ) Unidad. Aplicaciones de las derivadas

35 f'() 0 ( ln + ) 0 0 (no vale, pues no está en el dominio) ln + 0 ln e / e Signo de la derivada: 0 f' < 0 f' > 0 e / La función: es decreciente en (0, e / ) es creciente en (e /, + ) tiene un mínimo en ( e /, e ) b) y +. Dominio Á + f'() (La función no es derivable en 0 ni en ). ( + ) f'() Signo de la derivada: f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 f' > 0 La función: es decreciente en (, ) es creciente en (, + ) tiene un mínimo en (, ) Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 0 cm, cuál es el de área S máima? Perímetro + y 0 y 0 Altura h y (c ) (0 ) y h Área y h (0 ) 0 5 (5 ) 0 5 (5 ) (0 5) Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

36 Tenemos que maimizar la función área: f () f'() f'() ( ) 0 5 ± ± 5 5 ± 5 5 (no vale) 0 ( 5 no vale, pues quedaría y 0, al ser perímetro 0) (f'() > 0 a la izquierda de 0 y f'() < 0 a la derecha de 0. Por tanto, en 0 hay un máimo). Luego, el triángulo de área máima es el equilátero de lado 0 cm, cuya área es 5, cm. Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 0 cm y de capacidad máima. Cuál debe ser el radio de la base? h R 0 cm h + R 00 R 00 h (consideramos la raíz positiva, pues h 0). Volumen πr h π (00 h )h π (00h h ) Tenemos que maimizar la función volumen: f (h) π (00h h ) f'(h) π (00 h ) f'(h) 0 00 h 0 h ( f'(h) > 0 a la izquierda de h y f'(h) < 0 a la derecha de h Luego, en h hay un 00 máimo). Por tanto, el radio de la base será: R 00 h R Unidad. Aplicaciones de las derivadas 6

37 5 S Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea 8dm. Averigua las dimensiones de la caja para que su superficie eterior sea mínima. Volumen y 8 dm y 8 y Superficie y Tenemos que hallar el mínimo de la función superficie: f () + f'() + + f'() y (En hay un mínimo, pues f'() < 0 para < y f'() > 0 para > ). Por tanto, la caja ha de ser un cubo de lado dm. 6 En un triángulo isósceles de base cm (el lado desigual) y altura 0 cm, se S inscribe un rectángulo de forma que uno de sus lados esté sobre la base del triángulo y dos de sus vértices sobre los lados iguales: a) Epresa el área, A, del rectángulo en función de la longitud de su base,, y di cuál es el dominio de la función. b) Halla el valor máimo de esa función. a) A Los triángulos ABC y DEC son semejantes; luego: A B 0 cm AB BC EC DE cm y D B E C Como AB 0 cm BC 6 cm 0( ) 5( ) 0( ) y y 6 DE y EC tenemos que: y y Por tanto, el área del rectángulo es: (60 5) A y A() puede tomar valores entre 0 y. Por tanto, el dominio de A() es: Dominio (0, ) Unidad. Aplicaciones de las derivadas 7

38 b) Hallamos el máimo de A(): 60 0 A'() 6 A'() y 5 (En 6 hay un máimo, pues A'() > 0 para < 6 y A'() < 0 para > 6). El máimo de la función A() se alcanza en 6, que corresponde al rectángulo de base 6 cm y altura 5 cm. En este caso, el área es de 0 cm (que es el área máima). 7 De todos los rectángulos de área 00 dm, halla las dimensiones del que S tenga la diagonal mínima. d Área y 00 dm y La diagonal mide: d + y Tenemos que minimizar la función: d() y d'() d'() y 0 (En 0 hay un mínimo, pues d'() < 0 a la izquierda de 0 y d'() > 0 a la derecha de 0). Por tanto, la diagonal mínima corresponde al cuadrado de lado 0 dm. + ( 00 ) Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de m y la altura relativa a ese lado de 5 m. Encuentra un punto sobre la altura tal que la suma de distancias a los tres vértices sea mínima. altura 5 m d d d 6 6 Unidad. Aplicaciones de las derivadas La suma de las distancias a los tres vértices es: S d + d Pero: d + 6 y d 5 Por tanto: S()

39 Tenemos que minimizar la función S(): S'() S'() (consideramos solo la raíz positiva, pues 0). (En hay un mínimo, pues S'() < 0 a la izquierda de este valor y S'() > 0 a su derecha). Por tanto, el punto buscado se encuentra a m de la base, situado sobre la altura. 9 Halla la base y la altura de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm que, al dar la vuelta completa alrededor de un lado vertical, genere un cilindro de volumen máimo. y Perímetro cartulina +y 60 + y 0 0 y Volumen πy πy (0 y) π(0y y ) Tenemos que maimizar la función: V(y) π(0y y ) V'(y) π(60y y ) V'(y) 60y y 0 y(0 y) 0 y 0 (no vale) y 0 0 (En y 0 hay un máimo, pues V'(y) > 0 a la izquierda de este valor y V'(y) < 0 a su derecha). Los lados de la cartulina medirán 0 cm y 0 cm. 0 El punto P (, y) recorre la elipse de ecuación: + S 5 9 Deduce las posiciones del punto P para las que su distancia al punto (0, 0) es máima y también aquellas para las que su distancia es mínima. y D P(, y) y La distancia de P a (0, 0) es: D + y 5 5 Como P es un punto de la elipse: 5 + y ( ) y Unidad. Aplicaciones de las derivadas 9

40 Así, la distancia es: D() ( ) El dominio de la función es el intervalo [ 5, 5]. Hallamos el máimo y el mínimo de D(): D'() D'() 0 0 (En 0 hay un mínimo relativo, pues D'() < 0 para < 0 y D'() > 0 para > 0). Veamos el valor de D() en 0 y en los etremos del intervalo [ 5, 5]: D(0) ; D( 5) D(5) 5 Por tanto, las posiciones de P que nos dan la distancia máima son P(5, 0) y P( 5, 0); y las que nos dan la distancia mínima son P(0, ) y P(0, ). S En un cuadrado de lado 0 cm queremos apoyar la base de un cilindro cuya área lateral es 50 cm. Cuál debe ser el radio del cilindro para que su volumen sea el mayor posible? Área lateral cilindro πrh 50 cm 50 h πr El volumen del cilindro es: h V πr h πr 50 πr 5r V(r) 5r Al estar apoyada la base sobre el cuadrado, tenemos r que el dominio de V(r) es el intervalo (0, 5]. 0 cm 0 cm Tenemos que maimizar V(r) 5r, con r (0, 5]. Como V(r) es una función creciente, su máimo se alcanza en r 5. Dada la función f: [, e] Á definida por f () + ln, determina cuáles de las rectas tangentes a la gráfica de f tienen la máima S pendiente. La pendiente de la recta tangente a f () en a es f'(a). Tenemos que hallar el máimo de: f'() +, [, e] Unidad. Aplicaciones de las derivadas 0

41 Calculamos la derivada de f'(); es decir, f''(): f''() f''() 0 0 [, e] (En hay un máimo relativo de f'(), pues f''() > 0 a la izquierda de ese valor y f''() < 0 a su derecha). Hallamos f'() en y en los etremos del intervalo [, e]: f'() 0,5; f'() 0; f'(e) e 0, e Por tanto, la recta tangente con pendiente máima es la recta tangente en. La hallamos: f () + ln ; f'() La recta es: y + ln + ( ) Se desea construir un depósito de latón con forma de cilindro de área total S 5 cm. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que el volumen sea máimo. h r Área total πrh + πr 5 cm h 5 πr πr Volumen πr h πr 5 πr r(7 πr ) 7r πr πr Tenemos que maimizar la función V(r) 7r πr : V'(r) 7 πr V'(r) 0 7 πr 0 r 7 9 r π π π (En r hay un mínimo, pues V'(r) < 0 a la izquierda de este valor y π V'(r) > 0 a su derecha). 6 Para r h, dimensiones del cilindro de volumen máimo. π π Queremos hacer un envase con forma de prisma regular de base cuadrada y capacidad 80 cm. Para la tapa y la superficie lateral usamos un determinado material, pero para la base debemos emplear un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de este envase para que su precio sea el menor posible. Unidad. Aplicaciones de las derivadas

42 y Volumen y 80 cm y 80 Para la tapa y el lateral z /cm Para la base,5z /cm El precio total será: P z( + y) +,5z( ) z( + ) +,5 z 0 z( + ) +,5 z z( + +,5 ) 0 z(,5 + ) 0 80 Tenemos que minimizar la función que nos da el precio: 0 P() z(,5 + ) P'() z( ) ( ) 5 0 z 5 0 P'() y 5 (En hay un mínimo, pues P'() < 0 a la izquierda de ese valor y P'() > 0 a su derecha). El envase debe tener la base cuadrada de lado cm y 5 cm de altura. 5 Entre todos los triángulos inscritos en una semicircunferencia de 0 cm de S diámetro, cuál es el de área máima? 0 cm h La base mide 0 cm. El área es: 0 h Área 5h; h (0, 5]. El de área máima será el que tenga la máima altura; es decir, h 5 cm. Su área es 5 cm. Página 6 Con una lámina cuadrada de 0 dm de lado se quiere construir una caja sin tapa. Para ello, se recortan unos cuadrados de los vértices. Calcula el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea máimo. Si la altura de la caja no puede pasar de dm, cuál es la medida del lado del cuadrado que debemos recortar? Unidad. Aplicaciones de las derivadas

43 0 dm 0 dm 0 0 El volumen de la caja es: V() (0 ), (0, 5) Tenemos que maimizar esta función: V() (0 ) (00 + 0) V'() ( 0 + 5) 0 ± ± 00 V'() ± (no vale) 5/ (En 5/ hay un máimo, pues la derivada es positiva a la izquierda de este valor y es negativa a su derecha). Por tanto, el lado del cuadradito es 5/. Si la altura no puede pasar de dm; es decir, si (0, ), obtenemos el mismo resultado: 5/. 7 Dado r > 0, prueba que entre todos los números positivos e y tales que + y r, la suma + y es máima cuando y. Como + y r y nos dicen que y > 0, entonces: y r Así, la suma es: S + y + r Tenemos que maimizar la función S() + r : S'() + r r r r S'() 0 r r r r Como >0 r (En r hay un máimo, pues S'() > 0 a la izquierda de ese valor y S'() < 0 a su derecha). Hallamos y: y r r r r Por tanto, la suma es máima cuando y. r Unidad. Aplicaciones de las derivadas

44 8 El valor, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t viene dado por f(t) 9 (t ), 0 t,5. Deduce en qué valor de t alcanzó su máimo valor y en qué valor de t alcanzó su valor mínimo. Derivamos la función f (t): f'(t) (t ) Los puntos críticos son: f'(t) 0 (t ) 0 t 0 t La función f tiene un punto crítico en (, 9). f''(t) f''(t) < 0 (, 9) es un máimo. Además, como la función es una parábola con las ramas hacia abajo, el mínimo se alcanzará en uno de los etremos del intervalo: f (0) 5 f (,5),75 (,5;,75) es un mínimo. Por tanto, el máimo se alcanza para t y el mínimo para t,5. 9 De todas las rectas que pasan por el punto (, ), encuentra la que determina con los ejes de coordenadas, y en el primer cuadrante, un triángulo de área mínima. Las rectas que pasan por el punto (, ) son de la forma: y + m( ) (, ) Hallamos los puntos de corte con los ejes de la recta: Con el eje Y 0 y m Punto (0, m) Con el eje X y 0 Punto ( m m ), 0 El área del triángulo es: A(m) ( ) ( ( m) ) ( m ) + m m m m Hallamos el mínimo de la función: A'(m) ( ) + m + m m m (no vale) A'(m) 0 m + 0 m (m no vale, pues no formará un triángulo en el primer cuadrante la recta con los ejes). Unidad. Aplicaciones de las derivadas

45 (En m hay un mínimo, pues A'(m) < 0 a la izquierda de ese valor y A'(m) > 0 a su derecha). Por tanto, la recta es: y ( ); es decir: y + 50 Calcula la generatriz y el radio que debe tener un bote cilíndrico de leche condensada, cuya área total (incluyendo las dos tapas) es de 50 cm, para que su volumen sea máimo. g Área total πrg + πr 50 cm g 50 πr πr Volumen πr g πr 50 πr 75r πr πr r Tenemos que maimizar el volumen: V(r) 75r πr ; V'(r) 75 πr V'(r) 0 75 πr 0 r 75 5 π π (Solo consideramos la raíz positiva, pues r > 0). 5 π 5 (En r hay un máimo, pues V'(r) > 0 a la izquierda de ese valor y π V'(r) < 0 a su derecha). 5 Por tanto: r y g π 0 π 5 Dos postes de y 8 m de altura distan entre sí 0 m. Se desea tender un cable que una un punto del suelo entre los dos postes con los etremos de estos. Dónde hay que situar el punto del suelo para que la longitud total del cable sea mínima? La longitud total del cable es: m 8 m L() + + (0 ) + 8 ; es decir: 0 0 m L() L'() ( 0) + ( + ) ( 60 + ) Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

46 L'() ( 0) ( 0) + ( 60 + ) ( 0) ( + ) 60 + ( )( + ) ± ± ± 7 60 (no vale) (En hay un mínimo, pues L'() < 0 a la izquierda de ese valor y L'() > 0 a su derecha). Por tanto, el punto del suelo debe situarse a m del poste de m (y a 8 m del poste de 8 m). 5 Calcula el punto de la curva y + en el que la pendiente de la recta tangente sea máima. La pendiente de la recta tangente a f () hallar el máimo de f'(). f'() ( + ) + en es f'(). Tenemos que f''() ( + ) + ( + ) ( + ) + 8 ( + ) ( + ) f''() ± 6 ( + ) f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 f'() f'() 0 + En hay un máimo (absoluto) de f'() y en hay un mínimo (absoluto) de f'(). Por tanto, el punto en el que la pendiente de la recta tangente es máima es: ( ), Unidad. Aplicaciones de las derivadas 6

47 5 Dentro del triángulo limitado por los ejes OX y OY y la recta + y 8, se S inscribe un rectángulo de vértices (a, 0), (0, 0), (a, b) y (0, b). Determina el punto (a, b) al que corresponde el rectángulo de área máima. 8 b + y 8 (a, b) El punto (a, b) es un punto de la recta + y 8. Por tanto, a + b 8; es decir, b 8 a. Como el rectángulo está inscrito en el triángulo, a (0, ). El área del rectángulo es: Área a b a (8 a) 8a a, a (0, ) a Tenemos que maimizar la función: A(a) 8a a, a (0, ) A'(a) 8 a 0 a b (En a hay un máimo, pues A'(a) > 0 a la izquierda de este valor y A'(a) < 0 a su derecha). Por tanto, el punto es (, ). 5 Calcula, utilizando la regla de L Hôpital, los siguientes ites, que son del S 0 tipo ( 0 ) : a) + sen b) ln (e + ) c) 0 0 cos a d) b arctg e) f) 0 0 sen 0 ln ( + ) g) ln (cos ) h) i) sen j) ( sen ) 0 a) b) ln (e + ) e e + sen cos c) 0 cos 0 sen Hallamos los ites laterales: cos cos ; + 0 sen 0 + sen e e sen cos cos () Unidad. Aplicaciones de las derivadas 7

48 a d) b a ln a b ln b a ln a ln b ln 0 0 b 6 arctg ( + e) + ( + ) ) 0 sen 0 cos 0 sen 0 cos e f) e e e sen cos sen 0 cos 0 sen e e sen cos + e sen sen 0 0 cos sen cos tg g) ln (cos ) ( + tg ) 9 0 ln ( + ) + h) ( + ) i) cos () cos () sen () sen sen sen sen cos 0 0 cos sen + cos sen cos + cos sen j) ( ) Calcula los siguientes ites: a) cos ln (tg ) b) (cos + sen ) / (π/) 0 c) (tg ) cos d) (e + ) / π/ 0 e) ( + ) / + f) ln ( ) + g) ( sen ) cotg h) ( ) tg Unidad. Aplicaciones de las derivadas 8

49 a) cos ln (tg ) (0 + ) ( ) (π/) + tg tg + tg cos ( + tg ) (π/) sen (π/) tg (π/) tg cos cos tg cos ( + ) 0 0 (π/) (π/) ln (tg ) cos + + b) (cos + sen ) /. Tomamos logaritmos: 0 ln (cos + sen ) / ln (cos + sen ) sen + cos cos + sen Por tanto: (cos + sen ) / e 0 c) (tg ) cos. Tomamos logaritmos: π/ ln (tg ) cos cos ln (tg ) π/ π/ (*) 0 (*) (ver apartado a)) Por tanto: (tg ) cos e 0 π/ d) (e + ) /. Tomamos logaritmos: 0 ln (e + ) / ln (e + ) e e + Por tanto: (e + ) / e 0 e) ( + ) /. Tomamos logaritmos: + ln ( + ) / ln ( + ) Por tanto: ( + ) / e 0 + f) ln ( ) ln ( + ) ln ( + ) + ln [ ( + ) ] ln e Unidad. Aplicaciones de las derivadas 9

50 g) ( sen ) cotg ( sen ) /tg. Tomamos logaritmos: 0 0 cos ln ( sen ) /tg ln ( sen ) sen 0 0 tg 0 ( + tg ) Por tanto: ( sen ) cotg e / 0 h) ( ) tg. Tomamos logaritmos: 0 0 ln ( ) tg tg ln ( ) sen ( ln ) [tg ( ln )] 0 0 cos ln sen cos sen 0 0 cos sen sen Por tanto: ( ) tg e Halla los siguientes ites: S tg 8 a) b) c) cos + cos 0 e π/ sec a) cos sen 0 0 e 0 e tg 8 cos b) π/ sec + 0 π/ sen π/ sen cos c) cos + sen + cos Página 5 57 Calcula los siguientes ites: tg a) ( ) b) ( ) 0 sen π/ cos (/π) c) e ( ) e e Unidad. Aplicaciones de las derivadas 50

51 a) ( ) 0 sen cos + cos sen b) ( ) π/ sen cos 0 tg (/π) sen sen 0 cos sen + cos (/π) tg cos π/ (cos ) ( (/π)) /π cos + tg sen cos π/ sen ( (/π)) + cos ( /π) /π 0 Hallamos los ites laterales: π/ f (), f () + ( siendo f () ). e e e e e e + e (e e)( ) e e (e e)( ) c) ( ) π/ + cos tg (/π) e e e e e ( ) + (e e) e ( ) + e + e e 58 Calcula: a) (e / + e / ) b) (e / + e / ) a) (e / + e / ). Tomamos logaritmos: 0 + ln (e / + e / ) ln (e / + e / ) (0 + ) e / ( / ) + e / ( / ) ln (e / + e / ) e / + e / 0 + / 0 + / e / + e (*) e / + / 0 + e / + e / 0 + e / + ( (*) Dividimos numerador y denominador entre e / ). Por tanto: (e / + e / ) e 0 + b) (e / + e / ). Tomamos logaritmos: 0 0 ln (e / + e / ) ln (e / + e / ) (0 ) 0 Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

52 ln (e / + e / ) e / + e (*) + e / / 0 / 0 e / + e / 0 + e / ( (*) Dividimos numerador y denominador entre e / ). Por tanto: (e / + e / ) e e 0 CUESTIONES TEÓRICAS 59 La gráfica adjunta corresponde a la función derivada, f', de una función f. a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f y di si tiene máimo o mínimo. f'() b) Estudia la concavidad y conveidad de f. Tiene punto de infleión? a) Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f'( ) 0 Por tanto, la función f es decreciente en (, ) es creciente en (, + ) tiene un mínimo en. b) Como f'() es una recta con pendiente, entonces f''() > 0. Por tanto, f es una función cóncava. No tiene puntos de infleión. 60 Encuentra una función f cuya gráfica no sea una recta y en la que eistan infinitos puntos en los que la recta tangente a la gráfica de f sea y. f () cos Veamos que la recta tangente a f () en los puntos de la forma πk, con k Z, es y. f (πk) cos (πk) f'() sen f'(πk) sen (πk) 0 La recta tangente es: y Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

53 b 6 Sea f () a +, con a y b números positivos. Demuestra que el valor mínimo de f en (0, + ) es ab. f'() a b a b f'() 0 a b 0 ± f''() b f''( ) > 0 b a en b a hay un mínimo. f''( ) < 0 b a en b a hay un máimo. Además, f () + y f () b a Luego, en b a se encuentra el mínimo absoluto de f (). Este mínimo vale: b a b a a b b a f ( ) a a b Es decir, el mínimo de f () en (0, + ) es ab. b b/a ab ab ab 6 Si la función f tiene derivadas primera y segunda y es f'(a) 0 y f''(a) 0, puede presentar f un máimo relativo en el punto a? En caso afirmativo, pon un ejemplo. Sí puede presentar un máimo. Por ejemplo: f () en 0 es tal que: f' > 0 f' < 0 0 f'() f''() Por tanto: f'(0) 0 y f''(0) 0 En (0, 0) hay un máimo relativo. 6 Una función f es decreciente en el punto a y derivable en él. Puede ser f'(a) > 0? Puede ser f'(a) 0? Puede ser f'(a) < 0? Razónalo. Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

54 Si f es decreciente en a y es derivable en él, entonces f'(a) 0. Lo probamos: f decreciente en a signo de [ f () f (a)] signo de ( a) f () f (a) < 0 a f () f (a) Por tanto, f'() 0; es decir: f'(a) 0 a a Ejemplo: f'(a) es decreciente en Á y tenemos que: f'() f'(0) 0 (y f () es decreciente en 0) f'(0) < 0 para 0 6 Si la derivada de una función f es positiva en el punto 0, es decir, f'(0) > 0, para qué valores de h se puede afirmar que el incremento f (h) f (0) es negativo? f'(0) h 0 f (h) f (0) h > 0 signo de [ f (h) f (0)] signo de h (para h próimo a cero ) Luego, si f (h) f (0) < 0, ha de ser h < La función (valor absoluto de ), presenta un mínimo relativo en algún punto? En qué puntos es derivable? Razónalo. si 0 si < 0 f () ; f'() si > 0 si > 0 f () no es derivable en 0, pues f'(0 ) f'(0 + ). Por tanto, f es derivable para 0. y Pero f () presenta un mínimo relativo en 0, pues f (0) 0 < f () si 0. De hecho, es el mínimo absoluto de f (). 66 En la ecuación de la recta y m + b, eplica cómo se determinarían los números m y b para que sea tangente a la gráfica de la función y f () en el punto en que esta tiene de abscisa p. La ecuación de la recta tangente a y f () en p es: y f (p) + f'(p) ( p); es decir: y f'(p) +[f (p) p f'(p)] Unidad. Aplicaciones de las derivadas 5

55 Por tanto, si la recta es y m + b, tenemos que: m f'(p); b f (p) p f'(p) 67 Un polinomio de er grado a + b + c + d tiene un máimo relativo en S el punto p. Ese máimo relativo, puede ser máimo absoluto de la función? Razónalo. Un polinomio de tercer grado no tiene máimo absoluto. Veamos por qué: Si f () a + b + c + d, con a > 0, entonces: f () + f () no tiene máimo absoluto. + Si f () a + b + c + d, con a < 0, entonces: f () + f () no tiene máimo absoluto. 68 Si la derivada de una función f es positiva para todos los valores de la variable, puede haber dos números distintos, a y b, tales que f (a) f (b)? Razónalo. No es posible, si la función es derivable (y nos dicen que lo es, pues f'() > 0 para todo ). Lo probamos por reducción al absurdo: Supongamos que eisten dos números distintos, a y b, tales que f (a) f (b). f () es derivable para todo. Por el teorema de Rolle, habría un punto c, en el que f'(c) 0. Esto contradice el que f'() > 0 para todo. 69 Si f''() > 0 para todo del dominio de f, qué podemos decir de la gráfica de f? Será una función cóncava. 70 De una función f sabemos que f'(a) 0, f''(a) 0 y f'''(a) 5. Podemos S asegurar que f tiene máimo, mínimo o punto de infleión en a? f tiene un punto de infleión en a. Veamos por qué: f'''(a) 5 > 0 f'' es creciente en a. Como, además, f''(a) 0, tenemos que f''() < 0 a la izquierda de a y f''() > 0 a su derecha. Es decir, f () cambia de convea a cóncava en a. Por tanto, hay un punto de infleión en a. Unidad. Aplicaciones de las derivadas 55

56 7 Si f'(a) 0, cuál de estas proposiciones es cierta? S a) f tiene máimo o mínimo en a. b) f tiene una infleión en a. c) f tiene en a tangente paralela al eje OX. Si f'(a) 0, solo podemos asegurar que f tiene en a tangente horizontal (paralela al eje OX). Podría tener un máimo, un mínimo o un punto de infleión en a. Por tanto, solo es cierta la proposición c). Página 6 7 Si y f () es una función creciente en a, se puede asegurar que g() f () es decreciente en a? f () f (a) f () es creciente en a > 0. a Como g() f (), tenemos que: g() g(a) a f () + f (a) a g() es decreciente en a f () f (a) a ( ) < 0 7 Se tiene la función: S f () si si 0 Prueba que f satisface la hipótesis del teorema del valor medio en [, 0] y calcula el o los puntos en los que se cumple el teorema. Veamos que f () es continua en [, 0]: Si f () es continua, pues está formada por dos funciones continuas. Si : + f () ( ) f () ( ) f() es continua en f() Por tanto, f () es continua en [, 0]. Unidad. Aplicaciones de las derivadas 56

57 Veamos que f () es continua en [, 0]: Si y (, 0), f es derivable. Su derivada es: si < < f'() si < < 0 En, tenemos que: f'( ) f'( + ) Por tanto f () es derivable en (, 0). Su derivada es: si < f'() si < 0 Como f () cumple las hipótesis del teorema del valor medio en [, 0], eiste f (0) f ( ) / ( /) algún punto, c (, 0) tal que f'(c). 0 ( ) Calculamos c: f'() si < f'() si < 0 (, 0) Por tanto, hay dos soluciones: c y c (, ) (, ) 7 Es posible calcular a, b, c para que la función: 5 + si < f () a + b + si cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, c]? Calculamos a y b para que f () sea continua y derivable. Continuidad: Si f () es continua, pues está formada por dos polinomios. En, tenemos que: Unidad. Aplicaciones de las derivadas 57

58 f () (5 + ) 6 f () (a + b +) a + b + + f() a + b + Para que sea continua, ha de ser: a + b + 6, es decir, a + b. Derivabilidad: Si f () es derivable. Además: f'() En, tenemos que: 5 si < a + b si > f'( ) 5 f'( + ) a + b Para que sea derivable, ha de ser: a + b 5 Con las dos condiciones obtenidas, hallamos a y b para que f () sea continua y derivable: a + b a + b 5 b a a + a 5 a b Con estos valores de a y b, queda: 5 + si < 5 si < f () f'() + + si + si f'() > 0 para todo Á f () es creciente No eiste ningún valor de c tal que f (0) f (c) No eiste ningún c tal que f () cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en [0, c]. 75 La función y 5 +, cumple las hipótesis del teorema del valor S medio en el intervalo [0, ]? En caso afirmativo, di cuál es el 0 que cumple la tesis. f () 5 + es continua en [0, ] y derivable en (0, ); luego cumple las hipótesis del teorema del valor medio en [0, ]. Veamos en qué punto, o puntos, cumple la tesis: f'() 0 + f () f (0) 6 ( ) f'() ± ± 5 0 ± ± Hay dos puntos: 0 5 y 5 + Unidad. Aplicaciones de las derivadas 58