Universidad Carlos III de Madrid

Transcripción

1 Uiversidad Carlos III de Madrid. El mudo físico: represeació co señales y sisemas Señales: Fucioes co las que represeamos variacioes de ua magiud física Volaje, iesidad, fuerza, emperaura, posició r () r ()

2 . El mudo físico: represeació co señales y sisemas () i x() Sisema Sisemas: rasforma señales Puede modelar el comporamieo de Geeralizació V V () = { V() } o i { x( ) } y( ) =... Ua plaa química, u sisema hidráulico, u circuio elécrico, u caal de comuicacioes,.... El mudo físico: represeació co señales y sisemas Sisemas: rasforma señales Ejemplo: caal amosférico λ = c f x() m m λ HF Geeralizació y () = α x ( ) Sisema x() α { }

3 . Clasificació de señales Por la auraleza de la variable idepediee Defiidas e iempo coiuo Noació: x() x() es ua fució de variable real Ejemplos: x : R C x( ) emperaura e fució de la alura Volaje seoidal x() x(46) x(64,98343). Clasificació de señales Por la auraleza de la variable idepediee Defiidas e iempo discreo Noació: x[] x[] es ua fució de variable discrea x : Z C x[ ] x[] No exise x [ ] x[] x[] x[]

4 . Clasificació de señales Por la auraleza de la variable idepediee Defiidas e iempo discreo Idicadores ecoómicos: IBEX día Predicció: xˆ [ + ] = F( x[ ], x[ ], x[ ], ). Clasificació de señales Por la auraleza de la fució Reales.99 ( ) = x e si(), r () x [ ] = α α α - - x[] α α α α - - α x[] α α α

5 . Clasificació de señales Por la auraleza de la fució Complejas x[ ] = Re x[ ] + jim x[ ] Cojugado Re [ ] [ ] [ ] * { x } = ( x + x ) * { x } = ( x x ) Im [ ] [ ] [ ] j ( { }) ( { }) { } { } x [ ] = Re x [ ] + Im x [ ] { x } { x } Im [ ] arg( x [ ]) = a Re [ ] { } { } x * [ ] = Re x [ ] j Im x [ ] x[ +] Im { } x[] ω ( + ) ω Re{} El plao complejo (Plao z, o de Gauss) { } Im Eje imagiario z θ x Módulo: z y Eje real z = x + y ambié llamado valor absoluo (el módulo de u real es su valor absoluo) Re { } Fase: θ : arg z z arca y = = = x

6 Represeació de úmeros complejos Dibujar el úmero complejo z = -3-j e el plao complejo y evaluar módulo y fase 3 r 3 j Im { } θ Re { } Módulo r = z = Fase = 3 ( 3) + ( ) θ = arg z = arca = arca 3 3 = { 46.3, 33.7, 3.7, } La calculadora o disigue 3.73 rad Suma y resa de úmeros complejos e el plao complejo Im { } z z z z z + z Re { } E la suma (y la resa) los úmeros complejos se compora como vecores

7 Desigualdad riagular Im { } z + z z + z z z z + z z + z z z Re { }.3 Propiedades de las señales Simería Par Impar x( ) = x( ) x[ ] = x[ ] x( ) = x( ) x() = x[ ] = x[ ] Pare (im)par de ua señal x par ( ) = ( x( ) + x( ) ) x impar ( ) = x( ) x( ) ( ) α α α α - - x() x( ) = x ( ) x ( ) par + impar

8 Simería.3 Propiedades de las señales Calcular la pare par e impar de... x() Periodicidad.3 Propiedades de las señales >, x( ) = x( + ), N >, N N + { :,,3,...}, x[ ] = x[ + N],.8.6 x( ) = cos π >, x( ) = x( + ),? x ( ) = x ( + ) cos π = cos π( + ) 3 3 cos π+ π = cos π+ πk =

9 Periodicidad.3 Propiedades de las señales >, x( ) = x( + ), N >, N N + { :,,3,...}, x[ ] = x[ + N], Si x() es periódica de periodo, ambié lo es de periodo, 3, Periodo fudameal: Meor valor de (ó N) para el que se cumple que x()=x(+) (ó x[]=x[+n]) x( ) = x( + ) = x( + ) = Valor medio Media parcial.4 Caracerizació de señales + N + = N x ( ) = x( ) d x[ ] = x[ ],, N + N + Iervalo de iegració x() +

10 Valor medio Media oal.4 Caracerizació de señales x( ) lim = + x( ) d x[ ] + N lim = N N + = N x[ ] Señales periódicas: se cosiderará la media parcial resrigida a u periodo. Ejemplo: x[]=x[+n] x[ ] = x[ + 5] + N x[ ] x[ ], N N α α α = α α = Iervalo de suma Caracerizació de señales Poecia media de ua señal Señales aperiódicas + lim PX = x( ) d Señales periódicas de periodo (ó N) P X = + x( ) d P X + N lim = N N + = N P X = N + N = x[ ] x[ ] Eergía media de ua señal EX = x () d E X = = x [ ]

11 .4 Caracerizació de señales Señales defiidas e eergía: So aquellas para las que EX = x() d < E Señales defiidas e poecia So aquellas para las que lim + PX = x() d < X = x[ ] < = Señales periódicas PX = x() d < +.4 Caracerizació de señales Valor eficaz (valor cuadráico medio) xeff = xrms = x() d Señales siusoidales + π x() = Vpcos( ω) = Vpcos V p x( ) = Vp cos ( ω) = + cos( ω) [ ] ( ) x EFF = N + N x() = [ x() ] x [ ] x EFF Vp 4π Vp xeff = x() d cos d = + =

12 .4 Caracerizació de señales Poecia media e circuios + v () i () R i () v () -5 v () = V cos( ω) [V] p v () p () = vi ()() = [W] R v () V R R V V V = ( cos( )) d R + ω = = R R P PR = d = cos ( ω) d P P EFF p () P R Operacioes básicas co señales rasformacioes (lieales) de la variable idepediee Reflexió (abaimieo) e = x() x( ) - - Escalado x() Operació reversible e iempo coiuo a x(a) a x(a) a a > compresió a a < expasió

13 .5 Operacioes básicas co señales rasformacioes (lieales) de la variable idepediee Ejemplo: Reflexió (abaimieo) e =.5 Operacioes básicas co señales rasformacioes (lieales) de la variable idepediee Escalado emporal Ejemplo: Dado x(), ecorar y() = x().

14 .5 Operacioes básicas co señales rasformacioes (lieales) de la variable idepediee Escalado emporal Ejemplo: Dado x(), ecuera z() = x(/)..5 Operacioes básicas co señales rasformacioes (lieales) de la variable idepediee Escalado emporal: Dada y(), ecuera w() = y(3); v() = y(/3).

15 .5 Operacioes básicas co señales rasformacioes (lieales) de la variable idepediee Escalado (iempo discreo) y [ ] = x[] x[] a > compresió y [ ] = x[4] - Imporae: Operació o reversible! x, múliplo de k y[ ] = k, e oro caso y [ ] = x[] a < expasió.5 Operacioes básicas co señales rasformacioes de la variable idepediee Escalado (iempo discreo) Diezmado x[] - Ierpolació x[] y [ ] = x[] Malab >> y = x(::legh(x)); a > compresió y [ ] = x[4] y [ ] = x[] - a < expasió Malab >> y=zeros(*legh(x),); >> y(::*legh(x)) = x;

16 Diezmado por u facor Diezmado de señales Operacioes básicas co señales rasformacioes (lieales) de la variable idepediee Desplazamieo x() x( ) < > + + x[] x[ + 3] α α - - α α α α α - - α α 3

17 .5 Operacioes básicas co señales rasformacioes (lieales) de la variable idepediee Desplazamieo: Dada x(), ecuera x(- ) Regla: Haz - = desplazar el orige de x() hasa. x(+ ) Regla: Haz + = desplazar el orige de x() hasa -..5 Operacioes básicas co señales Combiacioes de escalado y desplazamieo: Ejemplo: Ecuera x(+) dode x() es: Méodo I: x(a+b) Desplazamieo: v()=x(+b) Escalado: y() =v(a)= x(a+b).

18 .5 Operacioes básicas co señales Combiacioes de escalado y desplazamieo: Ejemplo: Ecuera x(+) dode x() es: Méodo II: Escalado: w() = x(a ) Desplazamieo: y()=w(+b/a) = x(a ( + b/a)) = x(a + b): Ejercicios.5 Operacioes básicas co señales x() Ecorar x( +) x ( ) 3 x