TEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y

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1 Álgebra II: Tema 8. TEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y NúMERO DE CONDICIóN Índice. Introducción 2. Norma vectorial y norma matricial Norma matricial inducida por normas vectoriales Algunos ejemplos de normas matriciales inducidas Número de condición de una matriz Caso de matrices normales Introducción Frecuentemente, el estudio de un sistema físico pasa por la resolución de un sistema de ecuaciones lineales Ax b (que se supone compatible determinado en todo este tema). Sin embargo, incluso asumiendo que este modelo lineal representa perfectamente la realidad, las matrices à y b de las que se dispone no son idénticas a las A y b reales, principalmente debido a errores numéricos de redondeo o errores en la medición de parámetros físicos. Así, en lugar de obtener la solución exacta x 0 del sistema Ax b, en realidad se obtiene la solución x 0 del sistema Ãx b. Naturalmente, interesa tener una aproximación de la distancia (en un sentido aún por precisar) entre x 0 y x 0. El objetivo de este tema es precisamente profundizar en esta idea. En las próximas secciones se verá que dicha distancia depende esencialmente de una característica de la matriz A a la que se denomina condicionamiento o número de condición. Ejemplo. El sistema de ecuaciones [ 0 4 [ x x 2 [ 2 tiene como solución (con 7 decimales de precisión) [ x x 2 [, , Sin embargo, una resolución mediante el método de Gauss (con una precisión de solo 3 decimales) proporcionaría la solución [ x x 2 [ 0,

2 Álgebra II: Tema 8. 2 que no parece una aproximación suficiente a la solución anterior. Este error se puede reducir mediante pivoteo parcial o total. Ejemplo 2. Un ejemplo clásico de matriz mal condicionada es la matriz de Hilbert: 2 3 n n+ H n+2, n n+ n+2 2n que es muy sensible a errores numéricos. 2. Norma vectorial y norma matricial. Definición Sea (E, K, +, ) un espacio vectorial. Una norma en E es cualquier aplicación : E R que verifique λ K y z, w E las siguientes propiedades: N) z 0, y z 0 z 0. N2) λz λ z N3) z + w z + w (Desigualdad triangular). Ejemplo 3. Tres ejemplos clásicos de norma en E C n son: norma : z z + + z n norma 2 o euclídea: norma o norma del supremo: z 2 z z n 2 z máx { z,, z n }. Por supuesto, se debe verificar que cada una de las expresiones anteriores satisfacen las tres condiciones de la definición de norma. Detallamos la comprobación para la norma a continuación y dejamos la norma al lector. La norma 2 se discute un poco más abajo en el contexto de normas inducidas por un producto escalar.

3 Álgebra II: Tema 8. 3 N) N2) z z + + z n 0 y además 0 z z z n 0 z 0. λz λz + + λz n λ ( z + + z n ) λ z. N3) z + w n z i + w i i n z i + i n w i i z + w. Además, las normas y 2 son casos particulares de la norma p, definida p N como z p ( z p + + z n p ) p. Observación.- Todo norma en E induce una distancia d(z, w) : z w en E. En particular, la norma euclídea en R n induce la distancia habitual. Definición 2 Se dice que dos normas, en E son equivalentes si existen α, β > 0 tales que u E, α u u β u. Proposición.- En dimensión finita, todas las normas son equivalentes. Observación.- Todo producto escalar, en E induce una norma en E, definida como z : + z, z. Es trivial comprobar que esta definición satisface las condiciones N y N2, consecuencia de la sesquilinealidad hermítica en C (bilinealidad simétrica en R) y definición positiva del producto escalar. N3 se demuestra empleando la desigualdad de Schwarz. En particular, la norma 2 anteriormente mencionada coincide con la norma inducida por el producto escalar estándar en C n, es decir: z 2 z h z.

4 Álgebra II: Tema 8. 4 Ejemplo 4. Es conocido que la forma sesquilineal (es decir, lineal en la primera componente y antilineal en la segunda), : C m n C m n C (A, B) tr(b h A) constituye un producto escalar en C m n. La norma inducida por este producto escalar es A F m n tr(a h A) a ij 2, denominada norma de Frobenius. 2.. Norma matricial inducida por normas vectoriales. Definición 3 Sean, dos normas en C m, C n respectivamente. Se denomina norma matricial en C m n inducida por dichas normas vectoriales a : C m n R i j A A : sup x 0 Ax x. La definición anterior verifica las propiedas de norma. Efectivamente: N) ( x C n, Ax ) 0 A 0, x y A 0 x C n, Ax 0 x C n, Ax 0 A [0. N2) λax λa sup x 0 x Ax λ sup x 0 x λ A. N3) Ax + Bx A + B sup x 0 x [ Ax sup x 0 x + Bx x Ax Bx sup + sup x 0 x x 0 x A + B.

5 Álgebra II: Tema 8. 5 Nota: Hasta el momento se ha insistido en la existencia de dos normas vectoriales, (diferentes, en general) y una norma matricial. En adelante, frecuentemente se omitirán los subíndices y para evitar una notación recargada. El lector deberá deducir del contexto qué norma es la aplicada en cada caso (y, por supuesto, si es vectorial o matricial). Además, será también frecuente que ambas normas y sean del mismo tipo (es decir, por ejemplo, ambas la norma p) pero en C m y C n respectivamente. Observación.- Como consecuencia trivial de la definición, x C n, Ax A x. Observación.- Se verifica Ax sup x 0 x sup x 0 x Ax sup Ax. Observación.- es decir, El cociente Ax x alcanza su supremo en S {x Cn : x }, x C n : x, Ax A. Demostración: Por un lado, un subconjunto de C n es compacto si y solo si es cerrado y acotado. El conjunto S es cerrado (por ser complementario de un abierto) y acotado, luego compacto. Por otro lado, las aplicaciones y C n C m x Ax C m R y y son ambas continuas. Puesto que la composición de dos aplicaciones continuas es continua, la aplicación C n R x Ax

6 Álgebra II: Tema 8. 6 también lo es. Finalmente, toda función continua definida sobre un compacto alcanza sus extremos en puntos del compacto, quedando así probada la observación. Corolario.- El cociente Ax también alcanza su supremo en x Cn \{0}. La observación y el corolario anterior permiten sustituir el término supremo por el término máximo y escribir A máx x 0 Ax x máx Ax, expresión que se empleará en el resto del tema. Proposición.- entonces Si es una norma en C n n inducida por normas vectoriales, Demostración: A, B C n n, AB A B x C n, ABx A Bx A B x AB máx ABx máx A B x A B. Observación.- Si m n y las normas y coinciden, la norma en C n n inducida por ella(s) verifica I máx x 0 Ix x. De esto se deduce que la norma de Frobenius no es inducida por ninguna norma vectorial, pues I F n. (Nota: se puede demostrar que tampoco es inducida por dos normas vectoriales, aunque éstas sean distintas) Algunos ejemplos de normas matriciales inducidas. Ejemplos relevantes de normas matriciales inducidas por normas vectoriales son los siguientes: Norma : Si las normas y son la norma en C m y C n respectivamente, { m } A máx Ax máx a jk. x k n j

7 Álgebra II: Tema 8. 7 Norma 2: Si las normas y son la norma 2 en C m y C n respectivamente, A 2 máx Ax 2, x 2 también denominada norma espectral, y tratada en la próxima proposición. Norma : Si las normas y son la norma en C m y C n respectivamente, { n } A máx Ax máx a jk. x j m k Proposición.- Sea A C m n. Entonces, A 2 ρ(a h A), donde ρ representa el radio espectral. Demostración : Recordamos que A h A es hermítica, y por tanto diagonalizable unitariamente con autovalores reales λ... λ n. Además, dichos autovalores son no negativos: si λ es autovalor de A h A, Au 2 2 (Au) h Au u h A h Au u h λu λ u 2 2 λ Au 2 2 u 2 2 También sabemos que para todo v no nulo se verifica: 0. λ mín De este modo, u h A h Au A 2 máx vh A h Av v h v Au 2 u 2 máx máx u h A h Au u h A h Au λ n. λ n. Proposición.- verifica Cualquier norma en C n n inducida por normas vectoriales A ρ(a). Demostración: Sean λ,..., λ n los valores propios de A, con λ λ n. Sea u un vector propio de A asociado a λ n. Entonces: A Au u λ nu u λ n ρ(a).

8 Álgebra II: Tema Número de condición de una matriz Sea A C m n, con rg(a) n m. Se define el número de condición de A asociado a una norma como c(a) máx Ax mín Ax. Comentario: El cociente anterior está bien definido, porque mín Ax 0 x 0, Ax 0 rg(a) < n. En el caso rg(a) < n, se define c(a). El número de condición proporciona una cota superior para el error en la resolución de un sistema de ecuaciones. Veámoslo en dos casos. Perturbación del término independiente b. Se considera el sistema Ax b, con A C m n y rg(a) n m. Supongamos que tiene solución única x 0 0. Se desea estudiar la variación del vector solución x 0 ante variaciones del vector b. De este modo, se considera el sistema Ax b + b, y se asume que también tiene solución única x 0 + x 0. Se pretende estimar x 0. Observamos Restando ambas ecuaciones, Ax 0 b A (x 0 + x 0 ) b + b. A ( x 0 ) b. Denotando M máx Ax y m mín Ax, se tiene: Ax m mín x 0 x A x 0 x 0 b x 0 x 0 b m Ax M máx x 0 x Ax 0 x 0 b x 0 x 0 M b. Multiplicando ambas inecuaciones, x 0 x 0 M m b b c(a) b b. En conclusión, el número de condición proporciona una cota superior para la amplificación del error relativo.

9 Álgebra II: Tema 8. 9 Perturbación de la matriz A. De nuevo se considera el sistema Ax b, que (se asume) tiene solución única x 0 0. Ahora se desea estudiar la variación del vector solución x 0 ante variaciones de la matriz A. De este modo, se considera el sistema (A + A)x b. Supongamos que este nuevo sistema sigue teniendo solución única x 0 + x 0, con x 0 0. En este caso se verifica x 0 x 0 + x 0 c(a) A A. La demostración se omite. De nuevo, el número de condición proporciona una cota superior para la amplificación del error relativo. Observación.- Si A C n n es regular y es una norma matricial inducida por una norma vectorial, entonces c(a) A A. Demostración: Si A es regular, A máx x 0 máx y 0 ( mín y 0 A x x y Ay Ay y ) ( mín Ay ), y de donde se obtiene inmediatamente la expresión anterior. 3.. Caso de matrices normales. Si A C n n es normal, U C n n unitaria tal que con λ... λ n. Además U h AU D diag(λ,..., λ n ), U h A h AU (U h A h U)U h AU D h D diag( λ 2,..., λ n 2 ). Empleando de nuevo que el cociente de Rayleigh asociado a A h A verifica

10 Álgebra II: Tema 8. 0 se deduce λ 2 mín u h A h Au uh A h Au máx u h A h Au λ n 2, A 2 λ n y c 2 (A) λ n λ, donde c 2 (A) representa el número de condición asociado a la norma 2, que también se denomina número de condición espectral.