Una ecuación diferencial lineal de orden superior general tendría la forma. (1) dx dx

Transcripción

1 .7 Ecuacioes difereciales lieales de orde superior 6.7 Ecuacioes difereciales lieales de orde superior Ua ecuació diferecial lieal de orde superior geeral tedría la forma d y d y dy a( ) a ( )... a ( ) a ( ) y f( ) () d d d Escrita de otra maera, siedo homogéea y de coeficietes costates tiee la forma de ( ) ( ) ay a y... ay ay ay () Para resolver ua ecuació de orde superior deberíamos resolver u poliomio de orde, tal como lo observamos e la secció aterior am a m... am am a () De tal maera si sus raíces fuera reales y diferetes la solució geeral sería y ce c e c e (4) m m m... Para las ecuacioes lieales de primer orde, se tiee ua costate arbitraria e la solució geeral, para las de segudo orde se tiee dos, por lo tato se esperaría teer costates arbitrarias e ua ecuació diferecial de orde. [] Para cada uo de los casos maejados e la ecuació de segudo orde tedríamos algo similar e las ecuacioes de orde superior, au a pesar de lo difícil que pueda ser resolver ua ecuació de orde superior, pero si se tuviera raíces reales repetidas teemos tambié el factor de multiplicidad, o podemos teer combiació de los casos, por ejemplo e ua ecuació de orde se puede dar el caso de raíces reales diferetes, raíz diferete y u par cojugado (complejas), raíz diferetes y ua raíz repetida. E ua ecuació de orde 4 se puede dar el caso de 4 raíces reales diferetes, raíces diferetes y u par cojugado (complejas), raíces diferetes y u par de raíces repetidas, podemos teer u par de raíces complejas, y así de acuerdo al orde. Podemos teer como solució para ua raíz de multiplicidad j y ce c e c e c e (5) m m m j m... j

2 .7 Ecuacioes difereciales lieales de orde superior 7 E ua ecuació de tercer orde, podríamos teer el caso de raíz diferete y u par cojugado (complejas), y su solució sería ( β ) ( β ) m α y ce e c cos cse (6) O e la forma de Euler ( α βi ) ( α β ) m i (7) y ce c e c e Tambié podríamos teer el caso de raíz diferete y u a raíz repetida, y su solució sería m m [ ] y ce e c c (8) E ua ecuació de cuarto orde podemos teer, raíces complejas co multiplicidad, y su solució geeral sería α ( β ) ( β ) cos( β ) y e c c se e c c se α cos 4 β (9) Podríamos teer dos raíces reales diferetes, y u par cojugado, su solució geeral sería ( β ) ( β ) y ce c e e c cos c se () m m α 4 O bie, podríamos teer dos raíces reales e iguales, y u par cojugado, su solució geeral sería ( β ) m m y ce ce e α c cos c4se β () E fi, depediedo del tipo de raíces será la solució, o combiació de solucioes. Ejemplo.7. Resolver la ecuació de tercer orde y y y y Su ecuació característica sería se idica e (). m m m como se vio e la secció.6.., Utilizado la divisió sitética, teiedo posibles ceros ±, ±

3 .7 Ecuacioes difereciales lieales de orde superior 8 Co el residuo volvemos a realizar la divisió sitética Teiedo como factores ( m )( m )( m ) Sus raíces reales y diferetes m, m, m m m De tal maera que la solució geeral sería y ce c e c e Sustituyedo las raíces, cabe mecioar que o importa el orde e que se tome las raíces, la solució es m y ce ce c e () Ejemplo.7. Resolver la ecuació de tercer orde y 6 y y 6y Su ecuació característica sería m 6m m 6, utilizado la divisió sitética, teiedo posibles ceros ± 6, ±, ±, ±, por lo que quedado ua ecuació del tipo m Teiedo como factores fialmete ( 6) diferetes m 6, m, m m m m, sus raíces reales y m m De tal maera que la solució geeral sería y ce c e c e Sustituyedo las raíces, repitiedo que o importa el orde e que se tome las raíces m

4 .7 Ecuacioes difereciales lieales de orde superior 9 6 y ce ce c e () Ejemplo.7. Resolver la ecuació de tercer orde y 7 y 7 y 5y Su ecuació característica sería m 7m 7m 5, utilizado la divisió sitética, teiedo posibles ceros ± 5, ±, ± co el residuo uevamete, teiedo como factores ( m 5)( m )( m ), sus raíces reales y diferetes, m 5, m, m Sustituyedo las raíces la solució sería y ce c e c e 5 (4) Ejemplo.7.4 Resolver la ecuació de tercer orde w w 4 w w Su ecuació característica sería m m 4m Utilizado la divisió sitética, teiedo posibles ceros ±, ± 4 obteiedo del residuo ua ecuació del tipo m m De tal maera que m, ± 4 Teiedo como factores m 8 siedo m, ± m ( m )

5 .7 Ecuacioes difereciales lieales de orde superior Sus raíces reales y diferetes m ( ), ( ) Sustituyedo las raíces, la solució sería m, m ( ) ( ) y ce c e c e (5) Ejemplo.7.5 Resolver la ecuació de tercer orde y y y y Su ecuació característica sería m m m Utilizado la divisió sitética, teiedo posibles ceros ±, uevamete, teiedo como factores ( m )( m )( m ), sus raíces reales e iguales m,, Sustituyedo las raíces resulta la solució y ce ce c e (6) Observar el factor de multiplicidad IV Ejemplo.7.6 Resolver la ecuació de cuarto orde w 6 w 5 w 4 w 6y La ecuació característica sería m m m m Si factorizamos utilizado Mathcad, obteemos m 4 6m. 5m. 4. m 6 ( m ).( m ).( m ) O sea las raíces sería m, m m,4, etoces la solució

6 .7 Ecuacioes difereciales lieales de orde superior y ce c e c e c e 4 (7) IV Ejemplo.7.7 Resolver la ecuació de cuarto orde z 6 z z z 4z La ecuació característica sería 4 m 6m m m 4 Si factorizamos utilizado Mathcad, obteemos m 4 6m.. m. m 4 m.( m ) O sea las raíces sería m,, m,4, dos pares de raíces repetidas, etoces la solució ( ) ( 4 ) (8) y c c e c c e Co codicioes iiciales Ejemplo.7.8 Resolver la ecuació de tercer orde y y 6 y, co codicioes iiciales y (), y () y y () 7 Su ecuació característica sería 6 m m m Factorizado teemos ( m m m 6) por lo cual m quedado m m 6 Dode obteemos ( m 6) ( m 6) por lo que casos I y II. m, 6, e este ejemplo se mezcla los Dado ua solució y ce c e c e m i m m o lo que es lo mismo ( ) ( 6) y ce c e c e 6, o bie y c c e c e (9) Obteiedo la primera derivada de (9), y 6c e 6c e c e, quedado

7 .7 Ecuacioes difereciales lieales de orde superior 6 y 6c c e 6c e () Obteiedo de (9) la seguda derivada 6 ( 6 y 6 6c c e 6c 6e e ) Quedado 6 y 6c c e 6c e () Sustituyedo codicioes iiciales e (9) teemos c c e c e resulta 6 6 c c () Sustituyedo e () (e la primera derivada) 6 c c e 6c e resulta 6 6 6c c () Sustituyedo e la seguda derivada (), 7 6c c e 6c e resulta c c (4) Por lo tato obteemos tres ecuacioes (), () y (4) que podemos resolverlas por elimiació Gaussiaa, o el método que se prefiera. Teiedo c c, 6c c y 6c c 7 Co los coeficietes obteemos u sistema matricial de la forma Al cual le realizamos operacioes de fila 6 R R

8 .7 Ecuacioes difereciales lieales de orde superior 6 R 6 resultado Ahora aplicamos R R R 6 6 R R, resultado (5) Obteiedo del sistema (5), que c 6 Sustituyedo e el regló del sistema (5), obteemos que c c, por lo que c, del regló, teemos que c c por lo que c De tal maera que uestra solució particular quedaría como 5 5 y e e (6) 5 6