SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA

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1 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA - Septiemre de 03 -

2 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio Noiones de Trigonometrí: L trigonometrí se dedi l estudio de ls reliones que existen entre ls medids de los ángulos y ldos de un triángulo. Definimos l ángulo omo l porión de plno omprendid entre dos semirrets que tienen el mismo origen. Ese punto, origen de ms semirrets, es el vértie del ángulo; ls dos semirrets son los ldos del ángulo. Cundo ls dos semirrets son perpendiulres, l ángulo se le llm reto, y undo un de ells es prolongión de l otr, el ángulo es llno. Los ángulos menores que un ángulo reto son ángulos gudos, y ángulos myores que un ángulo reto, pero menores que un ángulo llno son ángulos otusos. Dos ángulos son omplementrios si sumn un ángulo reto. Dos ángulos son suplementrios si sumn un ángulo llno. Podemos medir ángulos en: Grdos sexgesimles Rdines En el sistem sexgesiml, un ángulo reto mide 90 grdos, un grdo equivle sesent minutos y un minuto sesent segundos. En diho sistem: 360º es el ángulo determindo por un vuelt omplet 80º es l mitd del ángulo de un vuelt 90º es /4 del ángulo de un vuelt º es /360 del ángulo de un vuelt En el sistem rdil (ó irulr) se utiliz l longitud del ro omo medid del ángulo. L unidd de medid se denomin rdián. Trigonometrí

3 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio Un rdián es l medid de un ángulo entrl que r un ro uy longitud es igul l longitud del rdio de l irunfereni onsiderd. El sistem rdil es muy utilizdo en físi y que es muho más prátio y direto que trjr on grdos. Ángulo de rdián L mgnitud de un ángulo medido en rdines está dd por l longitud del ro de irunfereni que sutiende, dividido por el vlor del rdio. El vlor de este ángulo es independiente del vlor del rdio; por ejemplo, l dividir un diso en n setores igules, el ángulo de d n-ésimo setor irulr es el mismo pr d setor, independiente del rdio del diso. De est form, se puede lulr fáilmente l longitud de un ro de irunfereni; solo st multiplir el rdio por el ángulo en rdines. Long. ro de irunfereni = [Ángulo en rdines] x [Rdio de l irunfereni] Y que onoemos el perímetro de un irunfereni de rdio unitrio ( r = ), entones el ángulo de un vuelt omplet, medido en rdines es. Como demás semos que este mismo ángulo, medido en grdos mide 360º, entones podemos estleer l siguiente equivleni: = 360º rdin = 57º 7 44,8 A prtir de est iguldd, determinmos que: Equivleni entre los ángulos en rdines y grdos sexgesimles Tl de equivlenis entre ángulos Grdos sexgesimles Rdines 90º = / 60º = /3 45º = /4 30º = /6 Trigonometrí 3

4 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio Ejemplo: ) Clul l medid en grdos, minutos y segundos de un ángulo de rdines. Soluión Medinte un regl de tres: Rt.: rd 4º35'9' ' rd 360º rd x rd.360º x x 4º35'9'' rrd ) Enuentr ongruente on 3º tl que 0< <360º. Soluión Dividimos por 360º: 3º / 360º = 5, vuelts. Restndo ls vuelts omplets qued: 0,897 x 360º = 33º Rt.: =33º Reliones fundmentles: SENO, COSENO Y TANGENTE y oseno. El triángulo OAC es un triángulo retángulo y lo usremos pr definir ls funiones seno Trigonometrí 4

5 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio En un triángulo retángulo, sen es l rzón entre l medid del teto opuesto l ángulo y l medid de l hipotenus, os es l rzón entre l medid del teto dyente l ángulo y l de l hipotenus. En un irunfereni unitri (on rdio igul uno), l medid de l hipotenus del triángulo es igul, entones ls reliones que estleen los vlores del seno y oseno de un ángulo son: AC AC sen = = = AC OC os = OA OA = = OA OC L relión entre el ldo opuesto y el ldo dyente se llm tngente del ángulo. tn = OA AC sen = os Podemos verifir que ulquier triángulo ABC se puede dividir siempre en dos triángulos on un ángulo reto, es deir dos triángulos on un ángulo igul 90. L sum de los tres ángulos interiores de un triángulo es 80º, por onsiguiente en un triángulo on un ángulo reto y on ángulos gudos y = 80 gudo Restndo 90 en mos miemros se otiene: + De est mner, ddo el vlor de un ángulo es igul = 90 en un triángulo retángulo, el otro ángulo Llmndo,, los ldos de un triángulo, y orrespondiéndose d uno de ellos on el nomre del ángulo opuesto él, entones: sen = B os = C 90º A Trigonometrí 5

6 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio Pr ulquier ángulo ( senaˆ' ) (os A ˆ' ) El Teorem de Pitágors en este triángulo retángulo puede ser expresdo omo: Entones, plindo Pitágors y operndo: ( senaˆ' ) ( senaˆ' ) ( senaˆ' ) (os A ˆ' ) (os A ˆ' ) (os A ˆ' ) Oservión importnte: ( sen Aˆ') (os Aˆ'), por lo que tnto sen omo os deerán ser números en vlor soluto menores ó igules que, es deir: sen A ˆ y os A ˆ L medid de d teto es siempre menor que l medid de l hipotenus. Seno, oseno y tngente de lgunos ángulos notles ángulo grdos ángulo rdin sen() 0 os() 3 tn() Trigonometrí 6

7 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio Ejemplo: 3) Ddo el siguiente triángulo retángulo lul seno, oseno y tngente del ángulo en l siguiente figur: 3 n n Soluión Clulndo l longitud de l hipotenus medinte el Teorem de Pitágors: h = n + (3n) h = n + 9n 0n 0n h 0 n 0n sen 3n 0n n os 0n 3n tg 3 n Verifi que sen + os = y que sen = tg os Os: omo h represent l medid de l hipotenus, tommos + 0 n 4) Un plno inlindo tiene un longitud de 8m. Desde l se l ltur máxim es de m. Si se dese que l ltur máxim se de,5m. Cuántos metros hy que lrgr el plno inlindo sin mir el ángulo de inlinión? x,5m 8m m Soluión Pr este triángulo, m sen 8 m 4 Trigonometrí 7

8 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio Al extender el plno,,5m sen 4,5m 8m x 0m x 0m 8m m 8m x 4 Rt.: Hy que lrgr el plno inlindo sin mir el ángulo del plno en m. Resoluión de todo tipo de triángulos Pr resolver ulquier tipo de triángulos, según los dtos que dispongs, puedes utilizr: ) Teorem del seno. ) Teorem del oseno. B A fig. C ) Teorem del seno: En todo triángulo ls longitudes de los ldos son proporionles los senos de los ángulos opuestos, es deir: senaˆ senbˆ sencˆ Ejemplo: 5) En el triángulo ABC (fig.) se tiene: A 45º, B 30º elementos. ˆ ˆ y =40m, otener los demás Soluión C = 80 - ( ) = 05 Trigonometrí 8

9 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio senaˆ senbˆ sencˆ, por lo tnto: senbˆ senaˆ y sencˆ senaˆ Operndo: m senbˆ 40 40m sen30º m m 0 0 senaˆ sen45º 0 m 8, 8m 40m sen05º 54, 64m sen45º Rt.: C = 05, = 8,8m y =54,64m ) Teorem del oseno: En todo triángulo el udrdo de un ldo es igul l sum de los udrdos de los otros dos, menos el dole produto de ellos por el oseno del ángulo que determinn. Es deir: = + os = + os = + os B C Ejemplo: 6) Clulr el perímetro del triángulo ABC (fig) siendo: = 0m, = m y B = 60 Soluión = + os B = 00m + 44m.0m.m.os60º =,4m perímetro = ++= 0m + m +.4 m = 33,4m Rt. El perímetro es 33,4m Trigonometrí 9

10 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio Ejeritión propuest ) Expres los siguientes ángulos en rdines: ) 90º ) 45 ) 30º d) 75º e) 50º f) giros g) 300º h) 0 ) Ps los siguientes ángulos l sistem sexgesiml: ) ) / ) /4 d) 3/4 e) 7/36 f) / 3) Resuelve los siguientes triángulos retángulos: i) = 7,6 m iii) = 75 m ii) = 40 57' 4" = 4,8 m = 33,40 m = 30 9' 47" iv) = 4,0 m = 7,5 m 4) En un triángulo ABC, dos de sus ldos ( y ) miden respetivmente 4 m y 5 m. Además el ángulo que formn y es de 30º. Se pide: ) L medid, en el sistem rdil, del ángulo que formn y. ) Se puede elegir l medid del terer ldo, o y está definid? ) Cuánto deerí medir pr que el triángulo resulte retángulo? d) L superfiie del triángulo en este último so. e) Un ejemplo de un situión rel que te llevrí relizr el álulo del punto d). 5) Un poste telegráfio está situdo 3 m de l orill de un nl. En l mrgen opuest se enuentr un oservdor que dirige un visul horizontl hi el poste, y luego otr oliu hi el extremo superior del mismo, que formn un ángulo de 3º 30. El oservdor se lej del nl 5 m y dirige otr visul, pero hor on un ángulo de 7º Clul l ltur del poste y el nho del nl, siendo que l ltur del oservdor es de,6 m, y que el poste y ls dos posiiones del oservdor están en un mism perpendiulr ls márgenes del nl, según muestr l figur. Trigonometrí 0

11 Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio 6) Cuál es el lrgo de l somr de un edifiio de 30m undo el sol está 0 sore el horizonte? 7) En un remte se venden dos terrenos. El primero en form de retángulo de 0 m de frente por 35,5 m de fondo, se vendió en $ , y por el segundo, de form de romo uy digonl myor es el dole de l digonl menor que mide 4 m, se otuvo $ ) Por uál de los dos se otuvo el mejor promedio por m? ) Cuál es el perímetro del segundo terreno? 8) L se myor de un trpeio isóseles mide 4 m. Los ldos no prlelos miden 0 m y los ángulos de l se miden 80º. ) Enuentr l longitud de un digonl ) Enuentr el áre. 9) En l figur se muestr un rue de lles, tods ells de 6 m de nho y un áre petonl tringulr. Clul el áre de est zon petonl. 0 m = 55º 0) Los ángulos de l se de un triángulo isóseles son de /6 y l ltur es 5m. Otener l longitud de l se. ) Hll l omponente vertil y horizontl de un fuerz de 0 N que form un ángulo on l horizontl de 39. Trigonometrí