SOLUCIONARIO Ángulos en la circunferencia SCUACAC037MT22-A16V1

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Daniel Cruz Torregrosa
hace 7 años
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2 TABLA DE CORRECCIÓN Ítem Alternativa 1 B E Comprensión 3 B 4 B 5 D 6 C 7 E 8 A 9 A 10 B 11 C 1 C 13 B 14 E 15 A 16 D 17 B 18 D Comprensión 19 D 0 C 1 A B 3 B 4 A ASE 5 C ASE

3 1. La alternativa correcta es B. El perímetro de una circunferencia de radio 6 cm es π 6 = 1π cm. El perímetro de un cuadrado es igual al cuádruple de su lado. Entonces, si un cuadrado tiene el mismo perímetro de la circunferencia (1π cm), la medida de su lado es 3π cm. La diagonal de un cuadrado es lado. Luego, la diagonal del cuadrado mide 3π cm.. La alternativa correcta es E. Comprensión Si el radio inicial es r, al aumentar al doble el radio final es r. Luego: I) Verdadera, ya que el diámetro final (4r) es el 00% del diámetro inicial (r). II) Verdadera, ya que el perímetro final (4πr) es el doble del perímetro inicial (πr). III) Verdadera, ya que el área final (4πr²) es el cuádruple del área inicial (πr²). Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 3. La alternativa correcta es B. Como AO = 8 cm, entonces AO = 4 cm. Luego, el área del círculo mayor es π 8 = 64π cm² y el área del círculo menor es π 4 = 16π cm². El área achurada equivale a la diferencia entre las áreas de los círculos. Por lo tanto, el área achurada mide (64π 16π) = 48π cm. 3

4 4. La alternativa correcta es B. La longitud de un arco de circunferencia de ángulo del centro α se calcula como: π radio α Arco 360º Por lo tanto, la longitud del arco AB mide π º π 360º 16 π π cm La alternativa correcta es D. El triángulo ABC tiene tres lados iguales, o sea es equilátero. Por lo tanto, cada uno de sus ángulos interiores mide 60. El área achurada se puede obtener como la diferencia entre el área del triángulo ABC y el área de los tres sectores circulares. 1 C 60 1 El área del triángulo equilátero se calcula como (lado) Área A B El área del sector circular de ángulo de centro α se calcula como Por lo tanto, el área de cada sector es Área π º Área 60 π 360º π 6 π (radio) 360º α Por lo tanto, el área achurada mide π Área triángulo 3 Área sector circular = 3 3 = 6 π 3 cm. 4

5 6. La alternativa correcta es C. El perímetro de la circunferencia se calcula como π radio. Si el perímetro de la circunferencia de la figura es 4π, entonces su radio mide cm. Luego, el largo del rectángulo EBCF mide 4 cm y su ancho mide cm. Por lo tanto, el área del rectángulo mide (4 ) = 8 cm. 4 A D O E F B C 4 7. La alternativa correcta es E. Si el ángulo BOA = 100, entonces el ángulo AOC mide 80º. Como es un ángulo del centro y subtiende el mismo arco que el ángulo inscrito ABC, entonces ABC = 40º. A O 40 B C 8. La alternativa correcta es A. Si Arco AB = Arco BC = Arco CA = x, entonces 3x = 360º x = 10º Como es ángulo inscrito, entonces mide la mitad del arco AB. Luego, si AB = 10º, 60 entonces = 60º. Por lo tanto, la cuarta parte de es = 15º 4 5

6 9. La alternativa correcta es A. Si el triángulo OBC es equilátero, entonces el ángulo BOC mide 60º y el arco BC = 60. Como el ángulo BAC es inscrito, mide la mitad del ángulo BOC (o la mitad del arco BC), entonces BAC = 30º. Por lo tanto, el 10% del ángulo BAC es el 10% de 30º, es decir, 3º. 10. La alternativa correcta es B. El arco BC tiene la misma medida del ángulo central BOC, que mide 140º por ser adyacente al ángulo AOB. 11. La alternativa correcta es C. Si AD es diámetro entonces x + x + 3x = 6x = 180º x = 30º Luego, como el Arco BA= 3x, entonces Arco BA = 3(30 )= 90º. 1. La alternativa correcta es C. La suma de todos los arcos es 360, luego = 15 = 360º = 4º Entonces, COB = = 48º 6

7 13. La alternativa correcta es B. 360 º Como los arcos son congruentes, entonces Arco AB = = 7º. Como es ángulo del 5 centro y subtiende el arco AB, entonces = 7º. Por otro lado, el ángulo mide la mitad de, ya que es inscrito y subtienden el mismo 7 º arcoab. Entonces, = = 36º. 14. La alternativa correcta es E. Si el arco AB mide 30º, el ángulo de centro AOB mide 30 y su opuesto por el vértice, DOC, también mide 30º, por lo tanto el arco DC mide 30º. El ángulo DBC, por ser inscrito, mide la mitad del arco DC, entonces DBC = 15º. 15. La alternativa correcta es A. La suma de los arcos AB, BC, CD y DA es 360º, entonces: AB + BC + CD + 90º + 100º + 110º + DA = 360º DA = 360º DA = 360º 300º DA = 60º (Reemplazando) El ángulo DCA es inscrito y subtiende el arco DA, entonces DCA = 30º 7

8 16. La alternativa correcta es D. α = β = 30, por ser ángulos inscritos que subtienden arcos iguales. Luego, + = 60º el quíntuple es 5(+ ) = 300º. 17. La alternativa correcta es B. Si AB es diámetro, al sumar los arcos de la figura resulta: (3x 10 ) + (x + 40 ) + (7x + 30 ) = 180 1x + 60 = 180 1x = 10 x = 10º Luego, el ángulo menor es = 3x 10 = = 0º 18. La alternativa correcta es D. Comprensión Como el heptágono es regular, sus lados y ángulos interiores son de igual medida, entonces 360 º cada uno de los siete arcos que determina mide º Por lo tanto, AOB =. 7 8

9 19. La alternativa correcta es D. Como HPI es ángulo interior, entonces se cumple que arco HI arco FG HPI = (Reemplazando) º = (Despejando) 40 = = 3 95 = Por lo tanto, la medida del arco FG es ( + 15 ) = ( ) = La alternativa correcta es C. Como PR es diámetro de la circunferencia, el arco RP mide 180, y como el arco SP mide 130, entonces el arco RS mide 50. Además, como arco QS = arco SP = 130, entonces el arco QR mide 80, lo que implica que el arco PQ mide 100. Por otro lado, es ángulo interior. Por lo tanto, la medida de es Arco PQ ArcoRS = = 75 9

10 1. La alternativa correcta es A. La medida de un ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos que subtiende. Luego: Arco CD Arco EB CAD = (Reemplazando) β Arco EB 10 = (Despejando) 0 = Arco EB Arco EB = 0 Por lo tanto, la medida del arco EB siempre se puede expresar como 0.. La alternativa correcta es B. Como TSOR es un rombo, entonces STR = ROS =. Dado que el ROS es un ángulo del centro, entonces Arco RS = ROS =. La medida de un ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos que subtiende. Luego: Arco PQ Arco RS STR = (Reemplazando) 144 = (Despejando) = = 144 = 48 Por lo tanto, la medida de es

11 3. La alternativa correcta es B. I) Falsa, ya que el arco AB podría tener variadas medidas, implicando variadas medidas para. No se indica que DA y CB sean paralelas, o que AC y DB sean diámetros, II) Verdadera, ya que = = 60. III) Falsa, ya que = = 30. Por lo tanto, solo en II el valor de es La alternativa correcta es A. ASE (1) + = 50º. Con esta información, se puede determinar la medida del arco AB, ya que se puede concluir que = = 5, y el arco AB mide el doble del ángulo inscrito que lo subtiende, es decir, 50. () =. Con esta información, no se puede determinar la medida del arco AB, ya que se desconoce la medida de alguno de los ángulos inscritos. Por lo tanto la respuesta es: (1) por sí sola. 11

12 5. La alternativa correcta es C. ASE (1) ACB = 80º. Con esta información, no se puede determinar la medida del arco BC, ya que el ángulo conocido no subtiende el arco BC. () AB AC. Con esta información, no se puede determinar la medida del arco BC, ya que no se entrega la medida de ningún ángulo. Con ambas informaciones, sí se puede determinar la medida del arco BC, ya que el triángulo ABC es isósceles en A, entonces ACB = CBA = 80º y BAC = 0º. Luego, el arco BC mide 40. Por lo tanto la respuesta es: Ambas juntas, (1) y (). 1

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