Tema 2. Oligopolio y Competencia Monopolística

Transcripción

1 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Introduccón.. El odelo de Cournot.... Duoolo.... Olgoolo (n eresas...3. Análss de benestar... El odelo de Bertrand.... Producto hoogéneo.... Producto heterogéneo..3. Lderazgo en la eleccón de la cantdad. Modelo de Stackelberg..4. Colusón y establdad de los acuerdos..4.. Colusón a corto lazo..4.. Establdad de los acuerdos. Horzonte teoral fnto e nfnto..5. La coetenca onoolístca 37

2 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Introduccón La Tª de los Juegos no Cooeratvos es de gran utldad ara odelar robleas econócos con uchos agentes caracterzados or nterdeendenca estratégca, en artcular ara analzar la coetenca entre las eresas de una ndustra. La coetenca erfecta y el onoolo uro (en el sentdo de no estar aenazado or la entrada son estructuras de ercado oco realsta. Lo frecuente son ndustras en las que esten ocas eresas o esten uchas ero un núero equeño de ellas roduce un orcentae uy elevado de la roduccón total. Con ocas eresas, la coetenca estará caracterzada or consderacones estratégcas: cada eresa toa sus decsones (reco, roduccón, ublcdad, gastos en I+D.. tenendo en cuenta o coneturando el coortaento de las deás. La coetenca en un olgoolo, la odeos ver or tanto coo un uego no cooeratvo donde las eresas son los ugadores. Así, adotareos una ersectva de Teoría de los Juegos ara analzar los dferentes odelos de olgoolo. Para cada caso nos reguntareos cuál es el uego que están ugando las eresas (nforacón, orden de uego, estrategas.. y cuál la nocón de equlbro. Una dferenca ortante entre los uegos del caítulo anteror y los que resolvereos en este caítulo es que aquéllos eran uegos fntos entras que éstos son uegos nfntos. 38

3 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca.. El odelo de Cournot... Duoolo ( Conteto. ( Reresentacón del uego en fora noral. ( Nocón de equlbro. (v Funcón de eor resuesta. Caracterzacón del equlbro. (v Eelo. Reresentacón gráfca. ( Conteto El odelo de duoolo de Cournot tene cuatro característcas báscas: a Consderaos un ercado en el que hay eresas. b Producto hoogéneo. Es decr, desde el unto de vsta de los consudores los roductos roducdos or las dos eresas son susttutvos erfectos. c Coetenca en cantdades. La varable de eleccón de cada eresa es el nvel de roduccón. Sean y los nveles de roduccón de las eresas y, resectvaente. d Eleccón sultánea. Las eresas tenen que elegr sultáneaente sus nveles de roduccón. Es decr, cada eresa tendrá que elegr su nvel de roduccón sn conocento sobre cuál será la eleccón del rval. Eleccón sultánea no sgnfca necesaraente que las eleccones se realcen en el so nstante de teo. Un conteto equvalente sería uno en el que una eresa elge rero su nvel de roduccón y luego una segunda eresa elge su roduccón ero sn observar la decsón adotada or la rera. En otros térnos, eleccón secuencal unto con nforacón erfecta (el ugador que uega en segundo lugar no observa lo que hace el que uega en rer lugar equvaldría a eleccón sultánea. 39

4 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca La funcón nversa de deanda es (, sendo ( < 0. Coo el roducto es hoogéneo, el reco al que uede vender su roduccón cualquera de las eresas deenderá de la roduccón agregada: ( = ( +. El coste de roduccón de la eresa es C (, =,. ( Reresentacón del uego en fora noral =,. (Jugadores 0. Coo estratega ara el ugador nos valdría cualquer cantdad no negatva (cualquer núero real no negatvo. De anera equvalente odeos reresentar las estrategas del ugador coo [0,, =,. 3 La gananca que obtene cada eresa dada la cobnacón de estrategas (, es: Π (, = ( + C ( Π = + = Π (, = ( + C( (, ( C (,,,,. ( Nocón de equlbro. Equlbro Cournot-Nash Es uy sencllo adatar la defncón de equlbro de Nash que consderaos en el caítulo anteror al nuevo conteto. s ( s,.., s n es un equlbro de Nash s: Π (s, s Π (s, s s S,, =,...,n. En el uego de duoolo de Cournot dreos: 40

5 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca (, es un equlbro de Cournot-Nash s Π Π =. (, (, 0,,,, Resultará ás útl la segunda defncón basada en las eores resuestas. s s s n (,.., es un equlbro de Nash s: s MR ( s, =,.., n donde MR (s = s S : Π (s,s Π (s,s {, s S,s s }.. En el uego de duoolo de Cournot dreos: (, es un equlbro de Cournot-Nash s = f (,, =,,. Donde f ( es la funcón de eor resuesta de la eresa ante las roduccones de la eresa. (v Funcón de eor resuesta. Caracterzacón del equlbro El rocedento que segureos ara obtener el equlbro de Nash será slar al que utlzábaos en el caítulo anteror. En rer lugar, calculareos la eor resuesta de cada ugador ante las osbles estrategas del rval y osterorente buscareos una cobnacón de estrategas que sean utuaente una la eor resuesta de la otra. Dada una estratega de la eresa buscareos aquella estratega que le dé ayores benefcos a la eresa. Es decr, dada la estratega 0 la eor resuesta de la eresa consstrá en elegr una estratega tal que: 4

6 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca a Π (, ( + C ( 0 Π = ( + + ( + C ( = 0 ( f ( Π = C < ( ( ( 0 Tenendo en cuenta la restrccón de no negatvdad, 0, o en térnos de teoría de uegos que la eor resuesta debe ertenecer al esaco de estrategas del ugador, la funcón de eor resuesta será: f = { f } ( a (,0. El equlbro de Cournot-Nash es una cobnacón de estrategas (, tal que la estratega de cada eresa es su eor resuesta ante la estratega del rval. Es decr, { } = f( = a f(,0 = f ( = a { f (,0},, =,,. = f( = a { f(,0} Vaos a olvdarnos ahora de la restrccón de no negatvdad y vaos a suoner que la funcón de eor resuesta está lenaente caracterzada or la condcón ( (solucón nteror. Por defncón la funcón de eor resuesta debe culr la condcón de rer orden: Π ( f (, = 0 la eor resuesta de la eresa ante 0 es f (. En el equlbro de Cournot-Nash se cule Π (, = 0 ya que = f (, =,. Teneos una fora senclla de corobar s una cobnacón de estrategas es un equlbro de Nash: calcular el benefco argnal de cada eresa corresondente a esa cobnacón de estrategas y s alguno es dstnto de cero no se culría la condcón de equlbro. 4

7 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Π ( ˆ, ˆ > 0 f ( ˆ ˆ ( ˆ, ˆ > no es equlbro de Cournot-Nash. Π ( ˆ, ˆ < 0 f ( ˆ ˆ ( ˆ, ˆ < no es equlbro de Cournot-Nash. (v Eelo. Reresentacón gráfca Vaos a consderar el caso de deanda lneal y coste argnal constante: ( = a b y C ( = c, =,. Suondreos ara slfcar que el coste argnal es gual ara abas: c = c > 0, =,. ( a > c ara que el eelo tenga sentdo. Coenzaos obtenendo la funcón de eor resuesta ara la eresa, =,. a Π (, ( + C ( [ a b( + ] c [ a c b( + ] 0 Π = ( + + ( + C ( = a b b c = 0 f ( = Π = b < 0 Luego la funcón de eor resuesta quedaría: a c b f ( = a { f (,0} = a,0. b En el equlbro de Cournot-Nash se cule: a c b = f ( = a,0 > 0 b ya que a> c a c b b Resolvendo el sstea: a c b = f( = a,0 > 0 b ya que a> c = f( = f( f( 43

8 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca a c b a c + b a c b a c + b a c = = = = =. b b b 4b 3b a c b b a c a c b a c b 3b ( a c a c = = = =. b b 6b 3b La roduccón total en el equlbro de Cournot-Nash es: ( a c = + = y el reco de 3b equlbro ( a c a + c = ( + = a b =. Por últo los benefcos son: 3b 3 a c a c ( a c Π = Π (, = [ ( + c] = = 3 3b 9b a c a c ( a c Π = Π (, = [ ( + c] = =. 3 3b 9b Reresentacón gráfca e f( 45º Equlbro de Cournot-Nash f( e 44

9 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca... Olgoolo ( Reresentacón del uego en fora noral. ( Nocón de equlbro. Funcón de eor resuesta. Equlbro de Cournot-Nash.. ( Índce de Lerner. (v Casos esecales. Coste argnal constante. ( Reresentacón del uego en fora noral =,,..., n. (Jugadores 0. De anera equvalente, [0,, =,,.., n. 3 La gananca que obtene cada eresa dada la cobnacón de estrategas (, es: Π (, = ( + C (, =,,..., n. La fora de reresentar el uego en fora noral ha varado lgeraente. Dada la cobnacón de estrategas (,,..., n lo relevante ara la eresa, =,,..., n, es la cantdad total roducda or el resto de las eresas, =. Por tanto, (, no es realente una cobnacón de estrategas y Π (, sería el benefco asocado a toda cobnacón de estrategas en la que la eresa está roducendo y el resto de eresas en agregado roducen (sendo rrelevante ara la eresa cóo se dstrbuye la roduccón entre las n - eresas. ( Nocón de equlbro. Funcones de eor resuesta. Equlbro Cournot-Nash En el uego de olgoolo de Cournot dreos que 45

10 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca (,,.., n (, es un equlbro de Cournot-Nash s: Π Π =. (, (, 0,,,,..., n. En térnos de eores resuestas la defncón es: (,,.., n (, es un equlbro de Cournot-Nash s = f (,, =,,.., n.. Donde f ( es la funcón de eor resuesta de la eresa ante todas aquellas cobnacones de estrategas de las deás eresas cuya roduccón total sea. Vaos a obtener la eor resuesta de la eresa ante todas aquellas cobnacones de estrategas de las deás eresas cuya roduccón total sea. La eor resuesta de la eresa consstrá en elegr una estratega tal que: a Π (, ( + C ( 0 Π = ( + + ( + C ( = 0 ( f ( Π = C < ( ( ( 0 Tenendo en cuenta la restrccón de no negatvdad, 0, o en térnos de teoría de uegos que la eor resuesta debe ertenecer al esaco de estrategas del ugador, la funcón de eor resuesta será: f = { f } ( a (,0. El equlbro de Cournot-Nash es una cobnacón de estrategas (,,.., (, tal n que = f (,, =,,.., n.. 46

11 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Vaos a olvdarnos ahora de la restrccón de no negatvdad y vaos a suoner que la funcón de eor resuesta está lenaente caracterzada or la condcón ( (solucón nteror. Por defncón la funcón de eor resuesta debe culr la condcón de rer orden: Π ( f (, = 0 la eor resuesta de la eresa ante 0 es f (. En el equlbro de Cournot-Nash se cule Π (, = 0 ya que = f (, =,,..., n. De nuevo odríaos corobar s una cobnacón de estrategas es un equlbro de Nash calculando el benefco argnal de cada eresa corresondente a esa cobnacón de estrategas y s alguno es dstnto de cero no se culría la condcón de equlbro. Π ( ˆ, ˆ > 0 f ( ˆ ˆ ( ˆ, ˆ > no es equlbro de Cournot-Nash. Π ( ˆ, ˆ < 0 f ( ˆ ˆ ( ˆ, ˆ < no es equlbro de Cournot-Nash. ( Índce de Lerner Suonendo que la solucón es nteror vaos a transforar la condcón ( hasta obtener el Índce de Lerner de oder de ercado. C ( + + ( + ( = 0 ( ( [ + ] C ( = 0 ( ( ( [ + ] C ( = 0 ( ε ( 47

12 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Defnendo la cuota de ercado de la eresa coo s = obteneos: s ε ( C ( [ ] ( = 0 Luego el Índce de Lerner de oder de ercado de la eresa queda ( C ( s = ( ε ( Luego el odelo de Cournot se encuentra entre el caso de onoolo ( s = y la C coetenca erfecta ( l = 0. s 0 (v Casos esecales. Coste argnal constante a Coste argnal constante: c > 0, =,.., n. En equlbro se tene que culr la condcón de rer orden de cada una de las eresas (solucón nteror: c = = n ( ( 0,..,. Suando las n condcones de rer orden: Es decr n n( + ( c = 0 = = n n n( + ( = c = 48

13 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Luego la roduccón agregada de la ndustra en el equlbro de Cournot-Nash deende eclusvaente de la sua de los costes argnales (en una solucón nteror con las n eresas roducendo cantdades ostvas, no de su dstrbucón entre las eresas. b Coste argnal constante coún: c = c > 0, =,.., n. El índce de Lerner es: s ( c = ( ε ( S teneos en cuenta que s el roducto es hoogéneo y el coste argnal es el so el equlbro de Cournot-Nash debe ser sétrco entonces: s = = =, =,.., n. n n S la elastcdad de la deanda fuera constante entonces: ( c = ( n ε Por tanto, según auenta el núero de eresas el argen reco-coste argnal relatvo (el índce de Lerner dsnuye y en el líte cuando n entonces c. 49

14 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca..3. Análss de benestar ( Enfoque del consudor reresentatvo. Utldad cuas-lneal. ( Dsoscón áa a agar y dsoscón argnal a agar. ( Funcón de deanda ndeendente de la renta. (v Funcón de benestar socal y nvel de roduccón azador del benestar socal. (v Ecedente total, ecedente del consudor y ecedente del roductor. (v Condcones de efcenca en resenca de varos consudores o ercados. (v Coaracón de la roduccón de Cournot con la roduccón efcente. ( Enfoque del consudor reresentatvo. Utldad cuas-lneal Para realzar análss de benestar y valorar desde el unto de vsta socal el coortaento del onoolo segureos el enfoque del consudor reresentatvo. Se suone en este enfoque que la curva de deanda del ercado ( se genera azando la utldad (cuas-lneal de un únco consudor reresentatvo. Consdereos una econoía en la que sólo hay dos benes: e y. Podeos ensar que el ben es el ben roducdo en el ercado (onoolístco que nos nteresa. Mentras que el ben y recoge todo lo deás : cantdad de dnero que le queda al consudor ara adqurr otros benes una vez que ha gastado la cantdad óta en el ben. Suondreos que el consudor reresentatvo tene una Funcón de Utldad Cuas-lneal: U y u y u u u (, = ( + ( (0 = 0; (. > 0; (. < 0 ( Dsoscón áa a agar y dsoscón argnal a agar 50

15 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Dsoscón áa a agar, R( : lo áo que estaría dsuesto a agar el consudor or undades del ben. Estará agando lo áo s usto queda ndferente entre consur undades agando R( y no consur el ben, dedcando su dotacón de renta,, al consuo del resto de los benes. Es decr: U (, R( = U (0, Nótese que el consudor debe quedar ndferente y, or tanto, se debe culr con gualdad la anteror condcón. S se dera el caso de que U (, R ( > U (0, entonces el consudor estaría dsuesto a agar una cantdad ayor que R ( y s U (, R ( < U (0, entonces R ( sería ayor que su dsoscón áa a agar. Coo la funcón de utldad es cuas-lneal: U (, R( = U (0, u( + R( = u(0 + R( = u( Por tanto, cuando la funcón de utldad es cuas-lneal: u( Dsoscón áa a agar Dsoscón argnal a agar: es el cabo en la dsoscón áa a agar ante una varacón nfntesal en la cantdad consuda. u ( Dsoscón argnal a agar ( Funcón de deanda ndeendente de la renta 5

16 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca L(, y, λ a u( + y, y a u( + y + λ y s. a y + =, y, λ [ ] L = u ( λ = 0 L = u ( Funcón nversa de deanda = λ = 0 y L = y = 0 λ La funcón drecta de deanda ( es la nversa de esta funcón y or tanto satsface la condcón de rer orden: = u ( ( Funcón de deanda Proedad de la funcón de utldad cuas-lneal: la funcón de deanda es ndeendente de la renta. Dervando con resecto a obteneos: = u ( ( ( ( = < 0 endente negatva u ( ( < 0 (v Funcón de benestar socal y nvel de roduccón azador del benestar socal En esta subseccón ustfcareos la utlzacón de W ( = u( C( coo funcón de benestar socal. Vaos a lantear el roblea de obtener la asgnacón que aza la utldad del consudor reresentatvo, con una restrccón de recursos: nterretaos el coste de 5

17 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca roduccón del ben coo la cantdad del ben y a la que habría que renuncar ara tener el ben. a u( + y, y s. a y = C( Susttuyendo y en la funcón obetvo: a u( + C( a u( C( constante Luego el roblea de azar el benestar socal consste en: a W ( a u( C( 0 0 W (0 = u (0 C (0 > 0 ( = ( ( = 0 ( = 0 (3 Condcón de rer orden. e W u C W ( = ( ( < 0 Funcón de benestar socal estrctaente cóncava (caso regular. W u C Por tanto, en el nvel de roduccón que aza el benestar socal o nvel de roduccón efcente se cule e e e W ( = 0 u ( = C (. Coo noralente suondreos que el coste argnal es constante la condcón de efcenca queda: e u ( = c, Es decr, en el nvel de roduccón efcente la dsoscón argnal a agar se guala con el coste argnal. (v Ecedente total, ecedente del consudor y ecedente del roductor La funcón W ( = u( C( uede nterretarse tabén coo el ecedente total; es decr, la dferenca entre la dsoscón áa a agar y el coste de roduccón. Por defncón se cule: 53

18 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca u( u(0 u ( z dz = 0 = 0 C( C(0 C ( z dz = 0 = F = 0 Por tanto, azar u( C( equvale a elegr aquel nvel de roduccón que ace el área debao de la nversa de deanda y enca del coste argnal. C ( C ( e u( e C( ( ( e e C ( e W ( ( e Sleente suando y restando el gasto en el ben odeos reescrbr el ecedente total coo: 54

19 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca [ ] [ ] W ( = u( C( = u( + c EC ( EP( El ecedente del consudor, EC(, de la dferenca entre la dsoscón áa a agar del consudor y lo que realente aga. El ecedente del roductor, EP(, de los benefcos (s no hay costes fos de la eresa. Por tanto, el nvel de roduccón efcente tabén aza la sua del ecedente del consudor y del ecedente del roductor. e EC( C ( e EP( ( e (v Condcones de efcenca en resenca de varos consudores o ercados Consderaos el roblea de obtener una asgnacón efcente en el sentdo de Pareto cuando en la econoía hay dos consudores que tenen funcones de utldad cuaslneal, u ( + y, y una dotacón de renta de, =,.. Vaos a azar la utldad de un agente (or eelo el consudor antenendo constante la utldad del otro (or eelo, el, dada una restrccón de recursos (suoneos que el coste argnal es constante e gual a c. 55

20 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca a u ( + y, y,, y s. a u ( + y = u y + y = + c.( + Deseando y de la segunda restrccón y susttuyendo en la rera, deseando entonces y y susttuyendo en la funcón obetvo, el roblea queda: a u ( + u ( c.( u, Desde las condcones de rer orden obteneos: e u ( c = 0 = = e e e u ( u ( c Condcón de efcenca (4 = u ( c 0 (v Coaracón de la roduccón de Cournot con la roduccón efcente. Vaos a realzar el análss de benestar ara el caso sencllo en que el coste argnal es constante y coún ara todas las eresas c = = n ( ( 0,..,. Suando las n condcones de rer orden: n + nc = ( ( 0 Consdereos el roblea de azacón del benestar socal. 56

21 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca a W ( a u( C( 0 0 W (0 = u (0 C (0 > 0 (0 > C (0 e W u C W ( = ( ( = 0 ( = 0 Condcón de rer orden. W u C ( = ( ( < 0 Funcón de benestar estrctaente cóncava. e W ( = 0 W (? W ( < 0 u ( W ( = u ( C ( = ( > 0 ( n < 0 Por defncón de roduccón de Cournot. e W ( = 0 e e W ( > 0 W ( < W ( > W ( < 0 dw ( W ( < 0 < 0 W ( d W W ( > 0 e W ( = 0 e 57

22 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca.. El odelo de Bertrand... Producto hoogéneo ( Conteto. ( Deanda resdual. ( Reresentacón del uego en fora noral. Nocón de equlbro. (v Paradoa de Bertrand. Caracterzacón del equlbro y uncdad. ( Conteto El odelo de Bertrand se caracterza or los sguentes eleentos: Consderaos una ndustra en la que hay eresas. Las eresas venden un roducto hoogéneo. 3 Coetenca en recos. 4 Eleccón sultánea. Cada eresa tene que elegr el reco ara su roducto sn conocer cuál es la eleccón de la eresa rval. De nuevo eleccón sultánea no sgnfca que la eleccón se realce en el so nstante de teo; lo relevante es que aunque una eresa uegue rero la que uegue desués no observe el coortaento de la rera. 5 Coste argnal constante y coún ara las dos eresas: c = c = c > 0. ( Deanda resdual Las eresas venden un roducto hoogéneo y coten en recos. Luego desde el unto de vsta de los consudores lo únco relevante es la relacón que esta entre los recos de las dos eresas; así los consudores corarán el ben a la eresa que venda ás barato. Es decr, s una eresa establece un reco nferor al de la otra, la rera se quedaría con 58

23 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca todo el ercado y la segunda no vendería nada. S abas establecen el so reco entonces los consudores estarían ndferentes entre corar a una eresa o corar a la otra. Para slfcar hareos el suuesto de que en caso de gualdad de recos cada eresa vendería a la tad del ercado. La deanda resdual de la eresa,, =,,, sería: ( < (, = ( = 0 > (, ( ( ( Reresentacón del uego en fora noral. Nocón de equlbro El uego en fora noral es: =,. (Jugadores 0. Coo estratega ara el ugador nos valdría cualquer reco no negatvo (cualquer núero real no negatvo. De anera equvalente odeos reresentar las estrategas del ugador coo [0,, =,. 3 La gananca que obtene cada eresa dada la cobnacón de estrategas (, es: Π (, = ( c (, Π (, = ( (,,, =,, Π (, = ( c (, c 59

24 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Donde la deanda resdual de la eresa,, =,,, es: ( < (, = ( =. 0 > En el uego de duoolo de Bertrand dreos que (, es un equlbro de Bertrand-Nash s: Π Π =. (, (, 0,,,, Para hacer ás sencllo el análss, utlzareos eclusvaente esta defncón ya que coo la deanda resdual de cada eresa es una funcón dscontnua del reco no odeos utlzar las técncas habtuales de otzacón (de hecho, en vez de obtener funcones de eor resuesta obtendríaos corresondencas de eor resuesta y el análss sería un oco ás coleo. (v Paradoa de Bertrand. Caracterzacón del equlbro y uncdad Vaos a deostrar que el únco equlbro de Nash del uego de Bertrand es: = = c Este resultado se conoce coo la aradoa de Bertrand: Bastan dos eresas cotendo en recos ara que se alcance un resultado coettvo. Deostracón Deostrareos que la cobnacón de estrategas = = c : a Es equlbro de Nash. b Es el únco equlbro de Nash. 60

25 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca a El benefco de cada eresa en la cobnacón de estrategas ( c, c es: Π ( c, c = ( c c ( c = 0, =,. S la eresa se desvía unlateralente fando un reco > c su benefco sería nulo ya que no vendería a nade. S baa el reco < c vendería a todo el ercado ero obtendría benefcos negatvos. Por tanto, Π ( c, c Π (, c 0,, =,, b Vaos a deostrar que nnguna otra cobnacón de estrategas uede ser equlbro de Nash. En el gráfco adunto aarecen los dferentes tos de cobnacones de estrategas que se ueden dar. Segureos el sguente rocedento ara corobar s una cobnacón de estrategas es equlbro o no: calculaos el benefco que obtene cada ugador en esa cobnacón de estrategas y nos reguntaos s alguno de los ugadores tene ncentvos a desvarse de anera unlateral. Para descartar una cobnacón de estrategas coo equlbro de Nash basta con corobar que al enos un ugador uede eorar desvándose unlateralente. > < = c c 6

26 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Precos guales: = a = > c EN? NO. En una cobnacón de estrategas coo ésta la gananca de cada eresa sería: Π (, = ( c (, = ( c (. Cualquer eresa tendría ncentvos a desvarse unlateralente. Por eelo, odeos elegr = ε (donde ε es una cantdad arbtrara ostva y lo sufcenteente equeña: ( c ( ( c (, (, (, ( c (, ( c (. De hecho estrían últles (nfntas desvacones tales que la eresa eora con una = = Π > Π = = desvacón unlateral. b = < c EN? NO. En una cobnacón de estrategas coo ésta la gananca de cada eresa sería: Π (, = ( c (, = ( c ( < 0. < 0 Cualquer eresa tendría ncentvos a desvarse unlateralente. Por eelo, cualquer > : = = Π > Π = = 0 ( c (, (, (, ( c (, ( c (. = 0 Precos dferentes: c > > c EN? NO. En una cobnacón de estrategas coo ésta la gananca de la eresa sería nula Π (, = ( c (, = 0 y la de la eresa sería 6

27 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Π (, = ( c (, = ( c ( > 0. Para la eresa cualquer desvacón unlateral tal que c < eleva benefcos: ( c ( ( (, (, (, ( (, ( 0 0. = c = Π > Π = c = c = s < Aunque heos deostrado ya que la cobnacón de estrategas (,, con > > c no uede ser equlbro odeos corobar que en uchos casos la eresa tabén tendría ncentvos a desvarse unlateralente. (Por eelo, s c > > cualquer desvacón unlateral > > eleva los benefcos de la eresa. Para los casos > > > c y c > > > es tabén nedato encontrar desvacones que elevan el benefco de la eresa. La únca stuacón en la que la eresa no tendría ncentvos a desvarse sería aquélla en la que c > = >. d Otros casos: - > c EN? NO. La eresa no tendría ncentvos a desvarse unlateralente entras que ara la eresa cuando > c > cualquer > eleva benefcos y s > c = elevando convenenteente el reco la eresa eleva benefcos. Por eelo, s > c = cualquer > > c eleva los benefcos de la eresa. S c > > = cualquer reco c > > (y otros uchos eleva los benefcos de la eresa. - c > EN? NO. La eresa no tendría ncentvos a desvarse unlateralente entras que ara la eresa cualquer > eleva benefcos 63

28 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca... Producto heterogéneo (roductos dferencados ( Producto heterogéneo. Deanda resdual. ( Reresentacón del uego en fora noral. ( Nocón de equlbro. Funcón de eor resuesta. Equlbro de Bertrand-Nash. ( Producto heterogéneo. Deanda resdual Vaos a antener el resto de los suuestos del odelo de Bertrand (dos eresas, eleccón sultánea, coste argnal constante e déntco, coetenca en recos ero ahora suondreos que las dos eresas venden roductos heterogéneos. Es decr, las eresas venden roductos que son susttutvos cercanos ero erfectos. La deanda del roducto roducdo or la eresa, la deanda resdual, vene dada or (,. Suondreos que < 0, > 0 y > ; es decr, la deanda del roducto es una funcón decrecente del reco del roducto, los roductos son susttutvos y tene ás efecto sobre la cantdad deandada del roducto el cabo en el reco de ese roducto que el cabo en el reco de un roducto susttutvo. ( Reresentacón del uego en fora noral. Nocón de equlbro El uego en fora noral es: =,. (Jugadores 0. Coo estratega ara el ugador nos valdría cualquer reco no negatvo (cualquer núero real no negatvo. De anera equvalente odeos reresentar las estrategas del ugador coo [0,, =,. 64

29 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca 3 La gananca que obtene cada eresa dada la cobnacón de estrategas (, es: Π (, = ( c (, Π (, = ( (,,, =,, Π (, = ( c (, c Ahora la deanda drgda a cada roducto es una funcón contnua de su reco. ( Nocón de equlbro. Funcón de eor resuesta. Equlbro de Bertrand-Nash En térnos de eores resuestas la defncón de equlbro de Bertrand-Nash es: (, es un equlbro de Bertrand-Nash s = g (,, =,,.. Donde g ( es la funcón de eor resuesta de la eresa ante el reco de la eresa rval. La eor resuesta de la eresa consstrá en elegr una estratega tal que: a Π (, ( c (, 0 Π = (, + ( c = 0 ( g ( Π = + ( < 0. c 65

30 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca.3. Lderazgo en la eleccón de la cantdad. Modelo de Stackelberg ( Conteto. ( Juego en dos etaas. Inforacón erfecta. Nocón de estratega. ( Induccón retroactva. Equlbro erfecto en subuegos. (v Eelo: deanda lneal y coste argnal constante. (v Otros equlbros de Nash no erfectos en subuegos. ( Conteto El odelo de duoolo de Stackelberg tene cuatro característcas báscas: a Consderaos un ercado en el que hay eresas. b Producto hoogéneo. Es decr, desde el unto de vsta de los consudores los roductos roducdos or las dos eresas son susttutvos erfectos. c Coetenca en cantdades. La varable de eleccón de cada eresa es el nvel de roduccón. Sean y los nveles de roduccón de las eresas y, resectvaente. d Eleccón secuencal. Una de las eresas (la líder, la eresa, elge rero su nvel de roduccón. A contnuacón la otra eresa (la segudora, la eresa, elge su nvel de roduccón desués de observar la roduccón elegda or la eresa. Desde el unto de vsta de teoría de uegos se trataría de un uego de nforacón erfecta. ( Juego en dos etaas. Inforacón erfecta. Estratega Las eresas van a ugar un uego en dos etaas: Etaa : la eresa elge su nvel de roduccón 0. 66

31 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Etaa : la eresa elge su nvel de roduccón 0 desués de observar cuál ha sdo la roduccón elegda or la eresa. Dado que abos ugadores deben ercbr el uego de la sa fora no sólo el ugador observa la eleccón del ugador sno que el ugador cuando toa su decsón sabe que el ugador observa su eleccón. Es decr, la nforacón es erfecta y abos ugadores tenen la sa ercecón sobre cóo es el uego. (Nota: un uego en dos etaas, es decr secuencal, ero donde el que uega en segundo lugar no observa la roduccón elegda or el que uega en rer lugar, es decr de nforacón erfecta, sería a todos los efectos equvalente a un uego sultáneo, coo lo es el uego de Cournot.. Los esacos de estrategas de los ugadores serían los sguentes: - 0 : coo estratega ara el ugador nos valdría cualquer cantdad no negatva (cualquer núero real no negatvo; de fora equvalente [0,. 67

32 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca - La descrcón de las estrategas del ugador es ás colea. Hay que recordar que una estratega es una descrcón coleta de lo que haría un ugador s es llaado a ugar en cada uno de sus nodos de decsón, con ndeendenca de que sea alcanzable dado el coortaento del otro o de los otros ugadores. En el uego que estaos consderando cada osble roduccón de la eresa genera un nodo de decsón dferente ara la eresa. Por tanto, una estratega de la eresa será una funcón ( que nos dga cuánto va a roducr la eresa ante cada osble roduccón de la eresa. ( Induccón retroactva. Equlbro erfecto en subuegos Aunque el uego arece uy coleo sabeos que en los uegos nforacón erfecta y s eates la nduccón retroactva roone una únca cobnacón de estrategas coo solucón, que concdrá con el equlbro erfecto en subuegos. El rocedento será slar al que utlzaos con los uegos fntos del caítulo anteror. Coenzareos stuándonos en los últos subuegos, es decr en la etaa. Etaa Vaos a elnar en cada subuego las aenazas no creíbles o accones donadas. Dada una roduccón de la eresa (un subuego la únca aenaza creíble consstrá en elegr or arte de la eresa el nvel de roduccón que ace benefcos: a Π (, ( + C ( 0 Π = C = f ( ( ( 0 ( ( Π = C < ( ( ( 0 68

33 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Tenendo en cuenta la restrccón de no negatvdad, 0, obteneos: { } f ( = a f (,0 Estratega de la eresa en el equlbro erfecto en subuegos. En los uegos fntos, el rocedento contnuaba elnando todas las aenazas ncreíbles y coutando el uego reducdo. En el uego que nos ocua elnar todas las aenazas ncreíbles equvale a elnar todas las estrategas del ugador dferentes a { } f ( = a f (,0. Etaa El ugador antca que la eresa se coortará en cada subuego de acuerdo con la estratega f { f } ( = a (,0. La funcón de benefcos en fora reducda ara la eresa es: Π(, f( ( + f( C(. Luego el roblea de la eresa será: a Π(, f( ( + f( C (. 0 d d Π = L ( + + [ + f( ] ( + C( = 0 ( d Π < 0 d Por tanto, el equlbro erfecto en subuegos es la cobnacón de estrategas (, f (. L 69

34 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca (v Eelo: deanda lneal y coste argnal constante Etaa Vaos a elnar en cada subuego las aenazas no creíbles o accones donadas. Dada una roduccón de la eresa (un subuego la únca aenaza creíble consstrá en elegr or arte de la eresa el nvel de roduccón que ace benefcos: a Π (, ( + C ( [ a b( + ] c 0 Π a c b = ( + + ( + C ( = 0 ( f ( = b Π = C = b < ( ( ( 0 Tenendo en cuenta la restrccón de no negatvdad, 0, obteneos: a c b f( = a { f(,0} = a,0 Estratega de la eresa en el EPS.. b Etaa El ugador antca que la eresa se coortará en cada subuego de acuerdo con la a c b f( = a f(,0 = a,0. b estratega { } La funcón de benefcos en fora reducda ara la eresa es: Π(, f( ( + f( C(. Luego el roblea de la eresa será: a c b a c b a Π (, f ( [ a c b( + f ( ] [ a c b( + ] [ ] 0 b dπ L a c = ( + + [ + f( ] ( + C ( = 0 ( a c b = 0 = d b d Π < 0 d 70

35 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Por tanto, el equlbro erfecto en subuegos es la cobnacón de estrategas (, f (. L e 45º s L EPS: (, f( f( L e Para calcular los benefcos que obtene cada eresa teneos que ugar el uego: a c L a c b s L a c b b a c = f( = = = b b 4b s L s a c a c 3( a c = + = + = b 4b 4b 3( 3 ( a c a + s = c s = a b s = a b = ; 4b 4 a c s c = 4 L s L ( a c ( a c ( a c s s s ( a c ( a c ( a c Π = ( c = = = ; Π = ( c = =. 4 b 8b 4 4b 6b 7

36 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca (v Otros equlbros de Nash no erfectos en subuegos e 45º { } ( = EN: (, ( NO EPS s f( L EPS: (, f( L e.4. Colusón y establdad de los acuerdos.4.. Colusón a corto lazo ( Modelo de Cournot. El acuerdo de colusón no es equlbro a corto lazo. ( Modelo de Bertrand. El acuerdo de colusón no es equlbro a corto lazo. ( Modelo de Cournot. El acuerdo de colusón no es equlbro a corto lazo S las eresas fueran a coludr estarían nteresadas en azar los benefcos agregados. a Π (, + Π (, ( + C ( + ( + C (, 7

37 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Π = ( + + ( + ( + C ( = 0 ( Π IM I = C = C = ( + + ( + ( + C( = 0 ( Cuando los costes argnales son guales y constantes las condcones ( y ( son déntcas. El sstea de dos ecuacones tendría nfntas solucones: cualquer ar de roduccones tal que + = azaría el benefco de la ndustra. En estos casos sere nos referreos al acuerdo de colusón sétrco en el que cada eresa roduce la tad de la roduccón de onoolo: =, =,. Vaos a corobar cóo el acuerdo de colusón no se uede antener coo equlbro cuando el uego se uega sólo una vez. Es decr, deostrareos que la cobnacón de estrategas (, no es un equlbro de Nash del uego de Cournot. Dada la estratega 0 la eor resuesta de la eresa consste en elegr una estratega tal que: a Π (, ( + C ( 0 Π = ( + + ( + C ( = 0 ( f ( Π = C < ( ( ( 0 73

38 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Tenendo en cuenta la restrccón de no negatvdad, 0, o en térnos de teoría de uegos que la eor resuesta debe ertenecer al esaco de estrategas del ugador, la funcón de eor resuesta será: f = { f } ( a (,0. Para corobar cóo la cobnacón de estrategas (, no es un equlbro de Nash calculaos el benefco argnal de cada eresa: Π (, = ( + + ( + C ( = ( + >0 < 0 Defncón de acuerdo de colusón. Luego artendo del acuerdo de colusón un auento en la roduccón eleva el benefco de la eresa, y or tanto la eresa tendría ncentvos a roer el acuerdo de colusón. Vsto de otra fora, dada la defncón de funcón de eor resuesta Π ( f (, = 0 y or tanto coo Π (, >0 entonces f ( >. Dado que conoceos cuál sería la desvacón óta de la eresa s decdera roer el acuerdo de colusón, f (, vaos a llaar Π al benefco que obtendría la eresa s ella se desvía ótaente del acuerdo de colusón y la eresa rval lo reseta. Es decr, Π = Π ( f (,. 74

39 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Análss gráfco: deanda lneal y coste argnal constante e f( 45º C-N Recta de colusón: + = Acuerdo de colusón sétrco: =, =, f( e Olgoolo Este resultado lo odeos generalzar nedataente al caso de n eresas. La condcón que defne el acuerdo de colusón (la cobnacón de estrategas que aza el benefco agregado sería: C n ( + + ( + ( + ( = 0 =,..,. Para corobar cóo la cobnacón de estrategas (,.., n no es un equlbro de Nash calculaos el benefco argnal de cada eresa: Π (, = C = + ( ( ( ( >0 Defncón de acuerdo de colusón. < 0 75

40 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Luego artendo del acuerdo de colusón un auento en la roduccón eleva el benefco de la eresa, y or tanto la eresa tendría ncentvos a roer el acuerdo de colusón. Vsto de otra fora, dada la defncón de funcón de eor resuesta Π ( f (, = 0 y or tanto coo Π (, >0 entonces f (. > Dado que conoceos cuál sería la desvacón óta de la eresa s decdera roer el acuerdo de colusón, f (, vaos a llaar Π al benefco que obtendría la eresa s ella se desvía ótaente del acuerdo de colusón y las deás eresas lo resetan. Es decr, Π = Π ( f (,. ( Modelo de Bertrand. El acuerdo de colusón no es equlbro a corto lazo Consderaos el odelo de Bertrand con roducto hoogéneo y coste argnal constante e déntco. La cobnacón de estrategas que reresenta el acuerdo de colusón sétrco es (,. La gananca que obtendría cada eresa sería: Π = Π (, = ( c ( = Π Ya vos cóo una cobnacón de estrategas del to = > c no era equlbro de Nash. Cualquer eresa tendría ncentvos a desvarse unlateralente. Por eelo, odeos elegr ε = (donde ε es una cantdad arbtrara ostva y lo sufcenteente equeña. Esten nfndad de desvacones tales que la eresa eora. 76

41 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca Es ás robleátco encontrar desvacón óta de la eresa. Lo eor es reducr el reco del rval en una cantdad ostva lo ás equeña osble, ε > 0, ε 0. Aunque no teneos ben defnda esta desvacón óta estareos tan cerca del reco de onoolo coo deseeos. Vaos a llaar Π al benefco que obtendría la eresa s ella se desvía ótaente del acuerdo de colusón y la eresa rval lo reseta. Es decr, Π = Π ( ε, = ( ε c ( ε ( c ( = Π ε Establdad de los acuerdos. Horzonte teoral fnto e nfnto Heos vsto que a corto lazo la colusón no se uede antener coo equlbro tanto s el uego de referenca es el de Cournot coo s es el de Bertrand. En esta seccón vaos a estudar las osbldades de cooeracón o colusón entre las eresas cuando el uego se rete. ( Horzonte teoral fnto Arguento de nduccón retroactva: la cooeracón o colusón no se uede sostener coo equlbro (en cada etaa las eresas se coortarán coo a corto lazo. El razonaento es equvalente al del dlea del rsonero. ( Horzonte teoral nfnto Hay dos foras de nterretar un horzonte teoral nfnto: ( Interretacón lteral: el uego se rete nfntos erodos. En este conteto, cuando un ugador coara una estratega con otra debería coarar el valor resente descontado de las 77

42 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca resectvas ganancas. Sea δ el factor de descuento, 0 < δ <. S r es el to de nterés, δ = + r. ( Interretacón nforaconal: no se conoce la duracón del uego. En cada etaa del uego este una robabldad 0 < δ < de que el uego contnúe. En este arco, cada ugador debería coarar el ago eserado (que tabén se odría descontar de las dferentes estrategas. Vaos a ver que la estenca de aenazas líctas de castgo uede servr ara antener la colusón coo equlbro del uego reetdo. En rer lugar nótese que hay un equlbro erfecto en subuegos del uego nfntaente reetdo en el que cada ugador uega la estratega de equlbro de Nash a corto lazo en cada erodo. En el odelo de Cournot consstría ara cada ugador en roducr la cantdad de Cournot en cada eríodo con ndeendenca de la hstora asada del uego. En el odelo de Bertrand consstría ara cada ugador en oner un reco gual al coste argnal en cada eríodo con ndeendenca de la hstora asada del uego. Vaos a ver s adeás del anteror equlbro, hay un equlbro erfecto en subuegos en el que los ugadores cooeren. Consdereos la sguente cobnacón de estrategas a largo c c lazo: s { st ( Ht } t=, =,, donde, 78

43 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca coludr c s ( "cooerar" s todos los eleentos de son guales a ("cooerar","cooerar" o t H Ht t t = = "no cooerar"(estratega de EN a corto lazo en caso contraro (en Cournot: s s todos los eleentos de H son guales a (, o t = = en caso contraro c t t ( Ht (en Bertrand: c s todos los eleentos de Ht son guales a (, o t = st ( Ht = c en caso contraro Nótese que estas estrategas a largo lazo ncororan aenazas líctas de castgo en caso de volacón del acuerdo (lícto de cooeracón. La aenaza ara que sea creíble debe ser equlbro de Nash. Para ver s en este conteto se uede sostener coo equlbro la cooeracón, teneos que corobar que los ugadores no tenen ncentvos a desvarse; es decr, que la cobnacón de estrategas (s c,s c consttuye un equlbro de Nash del uego reetdo. Notacón Π benefco bao colusón de la eresa en cada etaa del uego. Π benefco en la solucón a corto lazo de la eresa en cada etaa del uego. Π benefco de la eresa s las deás cooeran y ella se desvía. Π > Π > Π 79

44 Tea. Olgoolo y Coetenca Monoolístca El valor resente descontado de las ganancas futuras del ugador de cooerar vene dado or: c c Π π ( s, s = Π + δπ + δ Π +... = Π ( + δ + δ +... = δ S el ugador se desvía en el rer erodo, sus ganancas vendrían dadas or: c Π π ( s, s = Π + δπ + δ Π +... = Π + δ ( + δ + δ +... Π = Π + δ δ La cooeracón será equlbro de Nash s nnguno de los ugadores tene ncentvos a desvarse; es decr, s π ( s c, s c π ( s, s c. Es nedato corobar que s δ δ nnguno de los ugadores tene ncentvos a roer el acuerdo de colusón, donde δ Π Π =. Π Π 80