UNIDAD IV TRIGONOMETRÍA

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1 UNIDAD IV TRIGONOMETRÍA

2 Objetivos: Al finalizar esta unidad, el alumno deberá ser hábil en: Comprender las definiciones de las relaciones trigonométricas de un ángulo. Comprender la importancia de conocer los valores de las relaciones trigonométricas para diferentes aplicaciones, saber calcularlas. Conocer y aplicar las identidades trigonométricas. Recordar los criterios de igualdad y semejanza de triángulos. Interpretar y resolver problemas de naturaleza geométrica. Buscar fórmulas que expresen una cantidad en términos de otra. INTRODUCCIÓN La palabra trigonometría se refiere a la medición de triángulos (de origen griego: Trígonos= triángulo, Metría = medida) Es la parte de la Matemática que estudia y analiza la relación que existe entre las medidas de los lados de un triángulo y la medida de sus ángulos. El fin de la trigonometría es resolver triángulos. Un triángulo está constituido por tres lados y tres ángulos. Es necesario recordar algunos conceptos para obtener mejor comprensión de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones. Triángulo rectángulo Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo rectángulo se denomina hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. Para iniciar el estudio de trigonometría, es necesario, definir un concepto básico, que es el de ángulo. Ángulos orientados Se toman dos semirrectas OA y OB, llamando vértice al punto en común O. Si se mantiene fija a la semirrecta OA y se hace girar OB desde la posición inicial OA hasta la posición final OB, se dice que generó un ángulo AOB. Es decir, que ángulo es la porción del plano barrida por la semirrecta OA, denominada lado inicial hasta coincidir con la semirrecta OB llamada lado terminal. OB 48

3 O OA Como el ángulo no varía respecto a su posición en el plano, y con el fin de facilitar definiciones, propiedades y cálculos, es conveniente, referirlo a un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. Un ángulo está en posición normal si su vértice se ubica en el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el semieje de las abscisas. y II I 0 x III IV Los ejes coordenados cartesianos dividen al plano en cuatro partes denominadas cuadrantes (I, II, III, IV). Un ángulo pertenece a un determinado cuadrante si el lado terminal del ángulo se encuentra en él. La magnitud de un ángulo no tiene límite. Si el lado terminal de un ángulo rota en sentido antihorario un giro completo habrá generado un ángulo de 360º. De acuerdo a esto, dos ángulos cuyos lados terminales e iniciales coinciden, se encuentran en la misma posición pero pueden diferenciarse en cuanto a la cantidad de giros rotados; es decir: 360º. Por lo tanto: Dos ángulos orientados son iguales si y sólo si están generados por la misma rotación. B c a A b C Triángulo rectángulo ABC hipotenusa: a catetos: b, c Triángulo de Pitágoras En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a b c 49

4 Razones trigonométricas del triángulo rectángulo El ángulo indicado es B c a A b C D Dado cualquier triángulo rectángulo ABC se pueden plantear las siguientes razones trigonométricas entre sus lados: b c b a a c Dado un triángulo rectángulo semejante al ABC, como el DBF De acuerdo a esto, se puede aseverar: b DF c BD b DF a BF a BF c BD Las razones entre los lados de un triángulo rectángulo no dependen de la longitud de los lados, sino de la medida del ángulo, y se las denomina razones trigonométricas. Las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo pueden definirse como: F 50

5 Relación entre las razones trigonométricas cateto opuesto a b sen hipotenusa a cateto adyacente a c cos hipotenusa a cateto opuesto a b tg cateto adyacente c cateto adyacente a c cotg cateto opuesto b hipotenusa a sec cateto adyacente a c hipotenusa a cosec cateto opuesto a b sen tg cos cos cotg sen 1 sec cos 1 cosec sen Ecuación fundamental de la trigonometría: 2 2 sen cos 1 Sistemas de medición de ángulos La medida del ángulo será positiva si el lado terminal rota en sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si rota en sentido horario. Se utilizan generalmente dos sistemas de medición a saber: sistema sexagesimal y sistema radial. Sistema sexagesimal: Es un sistema muy antiguo utilizado por los babilonios, ellos pensaban que el año tenía 360 días, lo que los llevó a pensar que podían emplear como unidad angular la 360 ava parte de un ángulo de un giro. La unidad de este sistema es el grado ( ) que se obtiene de dividir la circunferencia en 360 partes. El ángulo recto mide 90 y la novena ava parte de un ángulo recto representa un grado sexagesimal. Cada grado está dividido en 60 minutos y se denota 1 = 60 y cada minuto comprende 60 segundos y se escribe 1 = 60. La calculadora científica trabaja este sistema en modo DEG. Sistema radial: 51

6 Los ángulos en este sistema se miden en radianes que son números reales. Existe una relación biunívoca entre los números reales y los radianes, es decir, entre el sistema numérico y el sistema circular, cada número real representa un ángulo en radianes y cada ángulo en radianes representa un número real. La unidad es el radián (rad), unidad oficial del SI y del SIMELA. El modo RAD es el que se coloca en la calculadora. r s r s s La medida de un ángulo en radianes (rad) se define como, donde r s: la longitud del arco que abarca dicho ángulo r: el radio. Este sistema se basa en que dado un ángulo la relación entre s y r es constante e independiente del radio, s y r deben estar en la misma unidad de longitud. Un radián es aquel ángulo cuya longitud de arco es igual a la longitud del radio. La longitud de la circunferencia es 2 r, si se divide por r da como resultado que 360 equivale a: arco s s ' ( rad) radio r r ' 2 r ,28...( rad) r 180 3,14159( rad) ( ) 0, (rad)= 57, '45'' 180 rad OBSERVACIÓN: El número π 3,14159 representa un número irracional y no es un ángulo 180. La palabra radián es un nombre y no una unidad (seudo-unidad), ya que el cociente arco/radio es adimensional, por lo tanto no es necesario colocar (rad) a continuación del número, excepto que sea necesario aclarar que se trata de la medida de un ángulo. Ángulos complementarios: Dos ángulos son complementarios si y si solo si su suma es igual a 90. Ángulos suplementarios: Dos ángulos son suplementarios si y solo si su suma es igual a 180. Circunferencia trigonométrica Circunferencia que tiene centro en el origen de coordenadas y su radio es igual a la unidad. 52

7 Razones trigonométricas de una circunferencia trigonométrica II cuadrante y 90 = π/2 I cuadrante r P(x,y) 180 = π 0 = 0 x radio de la circunferencia = 1 III cuadrante 270 = 3 π/2 IV cuadrante ordenada y sen = y radio r abscisa x cos = x radio r ordenada y tg = para x 0 abscisa x De acuerdo a lo observado en el gráfico anterior, el sen coincide con la ordenada del punto P(x,y) y el cos coincide con la abscisa del mismo punto. En el siguiente gráfico, se puede observar los segmentos que representan a cada una de las líneas trigonométricas: 53

8 El siguiente cuadro expresa los valores de las líneas trigonométricas de ciertos ángulos 54

9 Signos de las razones trigonométricas en la circunferencia trigonométrica El sen y el cos toman valores entre -1 y 1. La tg toma valores entre y. La cotangente varía también entre y. La secante y la cosecante toman valores mayores e igual 1 y menores e igual a -1. razón I II III IV cuadrante sen cos tg Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo significa establecer los elementos desconocidos de acuerdo a ciertos datos y relaciones entre ellos. Se puede expresar que para resolver un triángulo rectángulo es suficiente tener como datos dos de sus elementos, de los cuales uno debe ser necesariamente un lado. Ejemplo 1: Se tiene un triángulo rectángulo con los siguientes datos: 60º(ángulo ABC ) y a 2cm. Resolver dicho triángulo. 55

10 B c a k A b C Para recordar: En todo triángulo la suma de los ángulos interiores suman 180 grados. En un triángulo rectángulo la suma de dos ángulos agudos da un ángulo recto. Se calculan los elementos restantes: Para obtener el cateto b, se sabe que: Se calcula el cateto c: 180º (90º 60º) 180º 150º 30º b 3 sen b a. sen 2 cm. sen30º 2 cm. 3 cm a 2 c 1 cos c a.cos 2 cm. 1 cm a 2 El perímetro del triángulo es la suma de los lados: P a b c cm cm El área del triángulo es: b Área xc 3x1cm 3 cm 2 Ejemplo 2: Resolver el triángulo rectángulo cuyos datos son: a=10 cm y b=6 cm (considerar el gráfico del ejemplo anterior). Aplicando el Teorema de Pitágoras, se puede calcular c: 56

11 a b c c a b c a b c cm Para calcular el ángulo B, se utiliza la línea trigonométrica seno del ángulo: b b 6 3 sen B B ar cos en ar cos en ar cos en 36º 52'12'' a a 10 5 Al calcular el ángulo C se pueden seguir dos caminos: 1.- Empleando la línea trigonométrica del coseno: c c 8 4 cos C C arccos arccos arccos 53º 7'48'' b b O utilizando que en todo triángulo rectángulo la suma de dos ángulos agudos da un ángulo recto: C 90º B 90º 36º 52'12'' 53º 7'48'' El perímetro del triángulo es: P a b c (10 68) cm 24 cm El área del mismo es: bc x 6x8 48 Área cm cm 24 cm Resolución de triángulos no rectángulos En el caso de tener que resolver triángulos no rectángulos, se utilizan dos teoremas: Teorema del seno y Teorema del coseno. Teorema del seno b a 6 C A c B a b c sen sen sen En todo triángulo, los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. 57

12 Teorema del coseno Observando el triángulo del teorema anterior: a b c bc b a c ac c a b ab 2 cos 2 cos 2 cos En todo triángulo, el cuadrado de unos de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que determinan. Identidades trigonométricas En la práctica es frecuente hallar problemas que incluyen dos o más ángulos y que comúnmente están relacionados con operaciones aritméticas (suma o resta de dos ángulos, múltiplos o fracciones de ángulos, etc.). Encontrar los valores de las funciones trigonométricas en estos casos, es todo un arte; en su desarrollo entran en juego el manejo y conocimiento de las identidades trigonométricas. Recordemos que: una ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas que puede involucrar funciones trigonométricas o de otro tipo, y que puede o no tener solución; por el contrario una identidad es un caso particular de ecuación que es cierta para todos los valores de la variable. Las siguientes identidades se conocen como identidades pitagóricas: 2 2 a) sen cos b)1 tan sec 2 2 c)1 cot cos ec Otras identidades a tener en cuenta: a)cos( ) cos b) sen( ) sen c)cos( ) cos.cos sen. sen d) sen( ) sen.cos cos.cos tan tan e) tan( ) 1 tan tan Existen muchas otras identidades trigonométricas que no son tan frecuentes y a las que se pueden acceder con facilidad en cualquier libro de matemática que incluya identidades trigonométricas. Funciones trigonométricas Una función trigonométrica es la que se define por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos valores de la variable independiente expresada en radianes. También son llamadas funciones circulares. Éstas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante. Para cada una de ellas se pueden definir funciones circulares inversas: arco seno, arco coseno, arco tangente, etc., las cuales permiten obtener el valor del ángulo. Los gráficos de las funciones trigonométricas se obtienen a partir de la circunferencia trigonométrica. A cada línea trigonométrica, como se vió anteriormente, se le asocia un segmento cuya longitud varía de acuerdo al ángulo que se considera, y dicha longitud se 58

13 traslada a un sistema de ejes coordenados cartesianos ortogonales. En este sistema, en el eje x se representan los ángulos en radianes y en el eje y la longitud del correspondiente. Suponiendo que es la función seno la que se pretende graficar, tenemos: y 1 1 rrrr π/2 π 3π/2 2π x (radianes) -1-1 De la misma manera se procede con cada una de las funciones trigonométricas en cuanto a la construcción de sus gráficas. Función seno y f ( x) sen Gráfico Propiedades La función sen periódica con período 2 : sen sen( 2 ). Está definida para todos los números reales. Es una función continua. dominio sen. 59

14 Es una función acotada en el eje y, ya que sus ordenadas están comprendidas en el intervalo [-1,1], es decir imagen de sen = [-1,1]. Es simétrica con respecto al origen, se cumple que sen ( ) sen. El gráfico de la función corta al eje x en todos los puntos de coordenadas (kπ,0) con k ε. El gráfico corta al eje y en el origen de coordenadas (0,0). Función coseno y f ( x) cos Gráfico Propiedades La función cos periódica con período 2 : cos cos( 2 ). Está definida para todos los números reales. Es una función continua. dominio cos. Es una función acotada en el eje y, ya que sus ordenadas están comprendidas en el intervalo [-1,1], es decir imagen de cos = [-1,1]. Es simétrica con respecto al eje y, se cumple que cos ( ) cos. El gráfico de la función corta al eje x en todos los puntos de coordenadas ((2k+1)π/2,0) con k ε. El gráfico corta al eje y en el punto (0,1). 60

15 Función tangente y f ( x) tg Gráfico Propiedades La función tg periódica con período : tg tg( ). No está definida para todos los números reales. Es una función discontinua. dominio tg x / x 2k 1 con k 2. La función no está acotada en el eje y, es decir la imagen de tg - Es simétrica con respecto al origen, se cumple que tg ( ) tg. El gráfico de la función corta al eje x en todos los puntos de coordenadas (kπ,0) con k ε. El gráfico corta al eje y en el punto (0,0). En general, se puede representar una función trigonométrica de la siguiente forma: y f ( x) A sen ( Bx C) D A: amplitud B: pulsación T: período y es igual 2π/B C: ángulo de fase y es igual (-C/B) D: desplazamiento en el eje y 61

16 Frecuencia = B, indica cantidad de ondas en un período Ejemplo: Graficar la siguiente función trigonométrica: y 3 sen 2x 1 2 Amplitud es 3. Pulsación es 2. Período es π y se obtiene como 2π/B. Ángulo de fase es (- π/4), una onda de la gráfica se inicia en (-π/4). Frecuencia es 2 y se obtiene como B Desplazamiento en el eje y es -1 Las diferentes carreras de ingeniería emplean esta teoría para especificar, por ejemplo, ángulos de aterrizaje de aviones de acuerdo a la posición del mismo, armado de cartas de navegación, diseños de diferentes estructuras y piezas de máquinas, construcción de carreteras, puentes, modelado, simulación y control de sistemas eléctricos y varias aplicaciones más. 62