Universidad Vladimir Ilich Lenin Las Tunas TRIGONOMETRÍA. Milagros Riquenes Rodríguez; Arsenio Celorrio Sánchez; Salvador Ochoa Rodríguez

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1 Universidad Vladimir Ilich Lenin Las Tunas TRIGONOMETRÍA Milagros Riquenes Rodríguez; Arsenio Celorrio Sánchez; Salvador Ochoa Rodríguez

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3 PÁGINA LEGAL 7.85-Riq-P Riquenes Rodríguez, Milagros Trigonometría en: problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior / Milagros Riquenes Rodríguez; Raul Hernández Fidalgo; Salvador Ochoa Rodríguez. -- La Habana (Cuba) : Editorial Universitaria,. -- ISBN pág.. Universidad Vladimir Ilich Lenin Las Tunas.. Matemáticas en la enseñanza media: libros de teto ISBN (obra completa) Digitalización: Dr. C. Raúl G. Torricella Morales, (torri@reduniv.edu.cu) Depósito Legal: Milagros Riquenes Rodríguez; Arsenio Celorrio Sánchez; Salvador Ochoa Rodríguez, Universidad de Las Tunas - Editorial Universitaria del Ministerio de Educación Superior, La Editorial Universitaria (Cuba) publica bajo licencia Creative Commons de tipo Reconocimiento, Sin Obra Derivada, se permite su copia y distribución por cualquier medio siempre que mantenga el reconocimiento de sus autores y no se realice ninguna modificación de ellas. Calle entre F y G, No. 56. El Vedado, Ciudad de La Habana, CP, Cuba torri@reduniv.edu.cu En acceso perpetuo:

4 TABLA DE CONTENIDO. Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales Ecuaciones Lineales. Ecuaciones Cuadráticas. Ecuaciones con radicales, eponenciales y logarítmicas reducibles a ecuaciones lineales y cuadráticas. Inecuaciones Lineales. Inecuaciones Cuadráticas. Sistema de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones y dos incógnitas. Método de adición algebraica. Método de Sustitución. Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. Sistemas de Ecuaciones Cuadráticas. Ejercicios. Problemas que conducen a sistemas de ecuaciones lineales. Trigonometría (este capítulo). Ángulos y medición de ángulos Fórmulas de reducción Función Periódica Gráfico de la Función y sen en [, ] y sus propiedades Funciones de la forma y a sen b con a R y b R y sus propiedades Gráficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente y sus propiedades Algunas identidades trigonométricas Demostración de identidades trigonométricas Ecuaciones trigonométricas Ejercicios

5 PRÓLOGO DE LOS AUTORES El libro: Problemas de matemáticas para el ingreso a la Educación Superior tiene el objetivo de ayudar a los estudiantes a prepararse para las pruebas de ingreso a la Educación Superior. Se compone de tres capítulos: Problemas sobre ecuaciones e inecuaciones lineales. Sistema de ecuaciones lineales y Trigonometría (este capítulo). El libro presenta un sistema de conceptos, ejemplos resueltos, una metodología de trabajo y ejercicios propuestos con problemas de aplicaciones; todo esto en un lenguaje claro y sencillo. Contiene un gran número de ejemplos resueltos, en los que se ejemplifica la metodología de trabajo empleada, lo cual constituye un aporte metodológico al estudio de las matemáticas. Los autores, junio

6 . Trigonometría Milagros Riquenes Rodríguez, Arsenio Celorrio Sánchez y Salvador Ochoa Rodríguez

7 Ángulos y medición de ángulos. Un ángulo orientado es un par ordenado (h, k) de rayos h y k de origen común. En lo sucesivo supondremos que el rayo k tiene una rotación de sentido positivo, que es el sentido contrario a las manecillas del reloj (Fig. ) ( h,k ) AOB ( k,h ) BOA Vértice del ángulo Medidas de ángulos. Dentro de las unidades de medidas de ángulos mas usadas, tenemos el radián y el grado, estas medidas pertenecen a los sistemas circular y seagesimal de medidas de ángulos respectivamente. Ambos sistemas se relacionan de la siguiente forma: 8º o arc αº αº 8 arc αº αº ; ó, donde arc α es la arc αº αº αº 8º arcα 8º medida en radianes del ángulo α y α la medida en grados del ángulo α. Ejemplos a) Convertir º en radianes. b) Convertir en grados. Solución: a) o 8 o. o o 8 6 o o 8 8. o 8 ( ) o b) 5 En conclusión, para convertir del sistema seagesimal al circular y viceversa se utiliza 8º la relación como se mostró en los ejemplos a) y b). Cuando se convierte arc αº αº del circular al seagesimal, puede hacerse sustituyendo por 8 y se calculan las o 8 ( ) o operaciones indicadas, es decir: 5 O Fig. k h B A

8 Ejemplos. a) Para llevar 5º al sistema circular: Trigonometría o 8 o 5. o o 5 8 b) Para llevar ( ) 5 al sistema seagesimal: 6 5 Ampliación del concepto de ángulo. Si un rayo realiza una vuelta completa y rota hasta quedar en una posición que determina un ángulo al que se le asocia la medida α, entonces el ángulo determinado por esta rotación se le asocia la medida α + 6, la medida α +. 6 en la segunda vuelta y la medida α + n. 6 con n Z en la enésima vuelta. A los ángulos cuyas amplitudes en grados se diferencian sólo en un múltiplo entero de 6 se les llama coterminales. Ejemplos Los ángulos 8º y 5º son coterminales porque 5º - 8º 7º.6º Los ángulos 58º y 6º no son coterminales porque 58º - 6º º no es divisible por 6º º y -5º son coterminales porque y son coterminales porque - º - (-5º) 8º 6. 6º. Determinemos a qué ángulo α ( α 6 ) es coterminal cada uno de los siguientes ángulos. a) 75º b) c) -8º Soluciones: a) 75 º n ( 6º) + α Para hallar los valores de n y de α, realizamos la división 75º : 6º donde el cociente es el valor de n y el resto es el valor de α es decir: 75º.6º + 85º R/ 75º es coterminal con 85º ya que n y α 85

9 b) En este caso, epresamos el ángulo en el sistema seagesimal y posteriormente apliquemos el procedimiento anterior. ( 8 ) b). 6 + R / es coterminal con ó Nota: Sugerimos que el ángulo coterminal esté epresado en el mismo sistema (seagesimal o circular) que el ángulo dado. c) - 8º 5(-6º ) - º. R/ - 8º es coterminal con - º. Los ángulos º, 9º,8º y 7º (,, y ) Los ángulos: º, 5º y 6º, y 6 se denominan ángulos notables. Definición de las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente, cotangente, secante, y cosecante de un ángulo cualquiera. En la enseñanza media se dan las definiciones de seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo α como relación de los lados de un triángulo rectángulo. (Fig. ). a cateto opuesto sen α : c hipotenusa b cateto adyacente cos α : c hipotenusa tan α cot α a b : cateto opuesto cateto adyacente b cateto adyacente : a cateto opueto se denominan ángulos aiales. B β c a δ α C b Fig. A 5

10 Como estas definiciones corresponden solamente a un ángulo agudo α ( α 9 ), no se puede hablar de seno, coseno, tangente y cotangente de ángulos tales como : º, 9º,º, etc., ya que el ángulo agudo de un triángulo rectángulo no puede tomar estos valores por lo que daremos a continuación una nueva definición de estas magnitudes de manera que ellas correspondan a cualquier ángulo. Sea C(O, r) una circunferencia de centro O en el origen de coordenadas y radio r, tomemos un ángulo central de la misma y un punto P de la circunferencia de coordenadas (u, v). (Fig.) El triángulo OPQ rectángulo en OQ u, PQ v y OP r, se cumple: sen cos PQ r OQ r v r u r v PQ v r sen tan OQ u u cos r POQ, siendo u OQ u r cos Fig. cot PQ v v sen r A continuación se presentan las definiciones de cada una de estas funciones trigonométricas: Definición. La función seno es el conjunto de los pares ordenados de números reales (; sen ) con R y se denota por y sen ó f ( ) sen. Definición. La función coseno es el conjunto de los pares ordenados de números reales ( ; cos ) con R y se denota por y cos. y P (u;v) O Q 6

11 Definición. La función tangente es el conjunto de los pares ordenados de números reales ( ; tan ) con R ; ( k + ), k Z y se denota por y tan. Definición. La función cotangente es el conjunto de los pares ordenados de números reales ( ;cot ) con R ; k, k Z y se denota por y cot. De forma análoga se define las funciones trigonométricas secante y cosecante: y sec con ( k + ), k Z cos y csc con k, k Z. sen TABLA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE LOS ANGULOS NOTABLES (N) Y AXIALES (A). º (A) º (N) 5º (N) 6º (N) 9º (A) 8º (A) 7º (A) 6 sen / / / - cos / / / - tan / - - cot - / - sec / csc - / - - Todo ángulo α y sus coterminales α + n. 6 con n Z, tienen el mismo valor para cada función trigonométrica. El círculo trigonométrico ( r u ) está dividido en cuatro cuadrantes (Fig. ). Primer cuadrante (IC), segundo cuadrante (IIC), tercer cuadrante (IIIC) y cuarto cuadrante (IVC). 7

12 Si º < < 9º I C y Si 9 º < < 8º II C o Si 8 < < 7º III C II C IC Si 7º < < 6º IV C O IIIC IVC Fig. Signo de las funciones trigonométricas en cada cuadrante. I II III IV sen cos tan cot sec csc Reducción de las funciones trigonométricas al primer cuadrante. Fórmulas de reducción. Reducir un ángulo al primer cuadrante, es determinar el ángulo α del primer cuadrante, cuyas funciones trigonométricas sean iguales en magnitud aunque pueden diferir en el signo con respecto a las funciones del ángulo.. Si II Cuadrante 8 -α ó α sen (8º - α ) sen α cos ( 8º - α ) cos α ( 8 ) tan α tan º - α cot (8º - α ) cot α sec (8º - α) sec α csc (8º - α) csc α 8

13 . Si III Cuadrante 8 + α ó + α sen cos tan cot sec csc ( 8º + α) sen α ( 8º + α) cos α ( 8º + α) tan α ( 8º + α) cot α ( 8º + α) sec α ( 8º + α) csc α. Si IV Cuadrante 6 α ó α ó α sen cos tan cot sec csc ( 6º α ) sen α ( 6º α) cos α ( 6º α) tan α ( 6º α) cot α ( 6º α) sec α ( 6º α) csc α Ejemplos. Calcular: a) cos º c) cos ( 5 ) e) s en b) tan 5º d) sen sen 5 / cos 5 / f).. cos / 6 cos / 6 sen / Solución: Para calcular el valor de cada una de las funciones trigonométricas de un ángulo que no está en el primer cuadrante ( I C), se debe conocer: En qué cuadrante está situado el lado terminal del ángulo para usar la fórmula de reducción correspondiente y con ello hallar el valor de α. Qué signo tiene la función en el cuadrante dado. a) cos º º II C, porque 9 < < 8 cos º < º 8º -α α 8 α 6 9

14 Como cumple: a) tan 5 Trigonometría º II C, y para todo ángulo del segundo cuadrante se cos(8º - α) cos α cos º -cos 6º, cos º -/ 5º III C tan 5º > tan 5º tan 5º 5º 8º + α, α 5 8, α 5 tan 5º a) sen º IV C 6 -α y sen < α 6, α 6 sen º -sen 6º sen º b) cos (-5º) - 5 IV Cuadrante cos (-5º) > y por la forma en que está epresado el ángulo tomaremos convenientemente para el IV Cuadrante la fórmula -α - 5º -α α 5 cos (-5º ) cos (5º ) b) sen es.8. + α III C sen α sen sen sen 5 / cos 5 / f).. cos / 6 cos / 6 sen / < Observa que si el ángulo esta epresado en el k sistema circular en la forma donde k y n n son números enteros diferentes de cero, entonces α n o ( ) o IV s en sen Cuadrante (Aquí el seno es negativo)

15 IV Cuadrante (Aquí el coseno es positivo), III Cuadrante (Aquí el coseno es negativo), sen cos 6 6 es un ángulo aial es un ángulo notable Sustituyendo en la epresión original se tiene: sen 5 / cos 5 /.. cos / 6 cos / 6 sen / cos cos cos cos / /. /. /. /. / 6 / Función Periódica. Una función y f () se llama periódica si eiste un número k ( k R) tal que para todo ( k R) se cumple: f ( + k ) f (). - Al número k se le denomina período de la función. - El menor intervalo de valores positivos de que corresponde a un ciclo completo de la función, se le llama período principal de la función. y - Las funciones trigonométricas seno y coseno tienen período principal y las funciones tangente y cotangente. / Gráfico de la Función y sen en [, ] / (Fig. 5) y sus propiedades fundamentales - sen - Fig. 5

16 Algunas propiedades Dominio de la función(dom f Trigonometría ) : R Imagen de la función (Im f ):- y Período principal (PP) : Ceros : k ; k Z, para, k {,, } y los ceros en su período principal,, son: { } Monotonía: Creciente para Decreciente para < < ó < < < < tiene un punto de máimo tiene un punto de mínimo ; -. Valores de las abscisas de los etremos: En ; y en Funciones de la forma y a sen b con a R y b R y sus propiedades Para representar gráficamente este tipo de función es necesario conocer: El conjunto imagen, ceros y valores de las abscisas de los etremos así como período principal. Imagen: -a y a Los ceros en el dominio de la función se obtienen resolviendo la ecuación: b k, con k Z y con valores tales que Dom f. Las abscisas de los puntos etremos se obtienen resolviendo la ecuación b k +, con k Z, es decir, los ceros y las abscisas de los puntos de etremos ( ) k se obtienen con la epresión, si k es un número par se obtiene un cero y si k es b impar se obtiene la abscisa de un punto de etremo. Para los etremos debe tenerse en cuenta lo siguiente: El primer etremo a la derecha es máimo si el signo del producto de a por sen b es mayor que cero o mínimo si el producto es menor que cero y los restantes etremos alternan. Período principal: b

17 Ejemplos Representar gráficamente las siguientes funciones. a) y sen en [, ] b) y sen en [, ] c) y,5sen en y d) y sen en [, ] / / Solución: a) y sen en [, ] a y b (Fig. 6) Imagen: - y - Fig.6 k Ceros: Para k {,,, 6, 8} Ceros:,,,, Nota: obsérvese que los valores de k dependen del dominio de la función, en este caso k. Cada cero se obtiene sustituyendo en la epresión por cada uno de los valores de k Abscisas de los etremos: :,, 5, 7 Ma. Min. Ma. Min. b) y sen en [, ] (Fig.7) k para k:{,, 5, 7} a ; b / Imagen: [ -, ] k k Ceros: k b ( ) Ceros:{, } con k : {,} Abscisa de los etremos: y / / - Fig. 7

18 k k k b ( ) { : má, : mín) } f ( ) sen Ma( ; ) con k : {, } y,5 f ( ) sen Min ( ; ) c) y,5sen con / 5/6 /6 7/6 / /6 5/ /6 7/6 a -.5 y b -,5 (Fig.8) Imagen:[,5;,5], k k k con b () 6 k :,,, 6, 8,,,, 6, 8 { } Fig Ceros:,,,,,,,,, Abscisas de los etremos: k k k con b () 6 k :,, 5, 7, 9,,, 5, 7 { } y ,,,,,,,, / / d) y sen en [, ] - a y b (Fig. 9) Fig.9 Imagen: [-, ]

19 Ceros: con k : {} k k k k b Abscisas de los etremos: : ; k b Trigonometría k k k con k :{, } En este caso, en los límites del dominio de la función la misma no posee valor etremo, ni se hace cero por lo que es necesario que se evalúe la función para los valores límites: - f (- ) sen ( ) - sen f ( ) sen ( ) sen.86. Dado los siguientes datos, obtenga la ecuación de la función y a sen b a) Imagen: -, y, PP: b) Imagen: -,7 y, 7 5 PP: Solución: a) Como la imagen está dada por -, y, a, PP por esto se tiene b b, b b y, sen b) Como -,7 y, 7 a.7 5 b 5

20 6 b 5 6 y.7 sen 5 Trigonometría Gráficas de las funciones: Coseno, Tangente y Cotangente. b) y cos (Fig.) cos y / - - / / / Fig. Algunas propiedades Dom f : R Im f: - y y Período principal: Monotonía: Creciente (, ) Decreciente (, ) Ceros: R / (k + ) : k Z -/ / c) y tan (Fig. ) (k + ) : k Z en - < < - / / Fig. tan - 6

21 El gráfico de la función se obtiene en los intervalos (, );(, ) y y así sucesivamente, es decir, es periódica en k ; k Z ; y su período principal es. Domf: R / (k + ) : k Z Im f: y R - -/ / Monotonía: Creciente en los intervalos de la forma ( k ) < < ( k + ),k Z Fig. d) y cot, { R : k, k Z} para - < < (Fig. ) Propiedades Dom f: { R : k, k Z} Im f: y R Período principal: Monotonía: Decreciente en los intervalos de la forma: Ceros: (k + ), k Z 7 ( k ) < < (k + ), k Z Algunas identidades trigonométricas. En esta sección daremos al estudiante algunas identidades trigonométricas, tan importantes, que recomendamos memoricen. ) sen + cos sen ) tan con (k + ) : k Z, cos cos ) cot con k; k Z sen ) sen. csc 5) cos. sec 6) tan.cot 7) + sec tan

22 8) + csc cot 9) sen sen. cos ) cos cos - sen ) cos - sen sen ( cos ) ) cos cos - cos ( + cos) Ejemplos.. Sea un ángulo del intervalo Eiste eactamente un valor en este intervalo para el que se cumple: sen. Calculemos cos, tan y cot Solución: sen + cos cos + cos 9 5 cos como II cuadrante se cumple: cos < 9 5 cos 9 5 tan cot sen cos cos sen / 5 / 5 / /. 5 /. / Demostración de identidades trigonométricas. 5 5 En la trigonometría se tropieza frecuentemente con dos epresiones de diferentes aspectos, pero, para todos los valores admisibles de los ángulos, adquieren iguales valores numéricos. Estas dos epresiones se llaman idénticas y la igualdad entre ellas se llama identidad trigonométrica. Para comprobar que la igualdad dada es una identidad 5 5 8

23 trigonométrica no eisten reglas de validez general que lo permitan, no obstante, recomendamos que se tenga en cuenta:. Iniciar la demostración por el miembro que ofrece mayor posibilidad para transformarlo en el otro, sino trabaje en ambos miembros por separado para luego concluir que son iguales.. Si es posible, utilice la descomposición factorial y la simplificación.. Si no encuentra un camino propicio para empezar las transformaciones, reduce todas las funciones trigonométricas a senos y cosenos.. Tenga en cuenta que todas las transformaciones efectuadas sean válidas en el dominio de la identidad. Ejemplos. Demuestre las siguientes identidades para los valores admisibles de la variable. a) (sen + cos ) + (sen - cos ) b) sen α ( + cot α) sen c) tan + cos Soluciones: a)mi sen b) + sen. cos + cos + sen sen. cos + cos ( sen + cos ) + ( sen + cos ) + MD MI s en α ( + cot α) sen α.csc α sen α. MD c) MD sen ( cos ) ( + cos )( cos ) sen ( sen ) sen sen tan MI sen. cos sen. cos sen sen cos Otra vía de solución: sen sen. cos sen tan + cos + cos cos α ( cos ) sen.cos ( cos ) MI sen cos Ecuaciones trigonométricas. Una ecuación se llama trigonométrica si ella contiene la incógnita (o variable) sólo bajo los signos de las funciones trigonométricas y se satisfacen para algunos de los valores admisibles de la variable. 9

24 Ejemplos a) sen b) tan c)sen + cos No es ecuación trigonométrica: + sen ya que la incógnita se encuentra no solo bajo el signo seno. Resolver una ecuación trigonométrica significa hallar todos los ángulos que satisfacen dicha ecuación, es decir que reducen la ecuación a una proposición verdadera después de la sustitución de la incógnita. Para resolver una ecuación trigonométrica debemos tener en cuenta los siguientes pasos: Epresar todas las funciones trigonométricas que aparecen en la ecuación con el mismo argumento aplicando identidades. Epresar toda la ecuación en términos de una sola función trigonométrica. Resolver la ecuación, haciendo transformaciones algebraicas considerando como incógnita la función trigonométrica en que quedó epresada la ecuación (factorizando o de cualquier otra forma). Determinar los valores de la incógnita que satisfacen las ecuaciones transformadas. Ejemplos a) sen ; b) cos - c) cos α sen α d) sen t - cos t Solución: a) sen ; En este caso no hay que hacer ninguna transformación porque la función sen está despejada. Para hallar los valores de, se debe analizar en qué cuadrantes está situado el ángulo teniendo en cuenta el signo de la función, como en este caso sen es positivo, se cumple que pertenece al primer cuadrante (IC) o pertenece al segundo cuadrante (IIC) I C: α α es un ángulo del primer cuadrante cuyo seno es I C : 6º α 6.

25 II C : 8º - α 8 º - 6º º S { 6 ; } ó S ; b) cos - cos cos ó cos - Racionalizando en ambos casos se tiene: cos ó cos - α 5º cos IC ó IVC I C : α 5 IVC : 6º - α 6º cos II C : III C : - IIC ó IIIC 8º - α º + α 8º Como todo ángulo y sus coterminales tienen el mismo valor para cada función trigonométrica, al dar el conjunto solución se debe tener en cuenta. Si el dominio de la o variable no está restringido a cada solución se le debe sumar k ó 6 k con k Z. { k, k, k, k }, k Z S. Observe que la diferencia entre cada solución y su consecutiva es de 9º por lo que la solución anterior se puede simplificar epresándose en la forma siguiente: k S k { 5 + k 9 } ó + con Z c) cos α sen α En este ejemplo para epresar la ecuación en función de una sola función trigonométrica, es necesario sustituir a sen α. cos α ( cos cos α + cos α) α

26 cos cos cos α cosα α α + cosα α 6 + cosα cosα cosα cosα cosα (cosα )(cosα + ) cosα como cosα es I C: - IV C : α 6-6 cosα + cosα imposible ya que positivo, se tiene que α I C ó α IV C - < cosα < S {(6 + 6 k); ( + 6 k), k Z} 5 S + k ; + k, k Z Sistema circular d) sen t - cos t Sistema seagesimal En este ejemplo debe transformarse la ecuación de forma tal que en la misma se utilice el mismo argumento para cada función. sen t cos t- cos cos t(sen t - ) cos t cos t t t t (k + ) ; k Z t ó sen t - sen t t IC ó t IIC α 6 IC : t α 6 5 II C : t -α S + k; k; 6 (k + ) ; k Z

27 Ejercicios Ejercicio # ) Determine si los pares de ángulos siguientes son coterminales o no. a) 65º y 57º b) 7º y 5º c) 8º y º d) 7º y -9º ) Calcule el valor numérico de las epresiones siguientes: a) cos cot 6 6 b) sec + cos 5 c) csc sen + sen 6 6 cot 6 tan -sen5 d) cos sen ) Si a, b, c, 6 epresiones siguientes: sen 7 tan e) sec 6 f) sen cos + tan sec 5 cos + cot 6 - tan - sen g) 6 sec 6 cos cot + sec 6 h) csc 6 sen 7 d, e5º y f. Halla el valor numérico de las a. b. sen a + cosb cot c send 5 senb 7csc c + 5cos d tan a. sec b c. d. sen f. cos a cot e cot f. senc cos a + csc f sec f tan a e. cosb + cot f tan a send. sec a

28 ) Probar que: o a) cot.cos.sen 8 6 tan /. senº b) / cot / + cot 6º c) sen α. cscα cot α cot d) sen + sec cos α cos α e) cot α cos α sen α secα 5) Halla: a) 7 cot b) o 5 csc c) cot d) cos e) sen 6 6) Calcula el valor numérico de las restantes funciones trigonométricas del ángulo : a) b) cos tan y sen < y csc > c) sen 5 y cos < d) e) 5 tan sen y sec > y cot < 7) Halle el valor numérico de las epresiones siguientes: a) cot 5/. tan 5/. csc/ cos. sec5/ 6 sen5 / cos5 / b)..cos / 6 cos / 6 sen / c) csc5 / 6. cos7 / 6. sec / sen /. tan /

29 cos / cos / 6 d). sec5 / tan / sen / 8.-Prueba que: a) sen / 6. csc5 / 6. cos cot 5 /. sen / b) senº + sec º + cot 5º 6 / c) cos / + sen 5 / csc7 / 6 d) csc /. cos /. tan 7 / sen / sec5 / 6 e) cot( º ) + cos cot( º ) f) sen /. cos / 6. sen / cot /. sec / / 9.- Calcule el valor numérico de las epresiones siguientes con los valores dados para a: a. cosα cos( / α) cot( α) ; sec( + α) α / 6 b. cos( + α) + cot / ; sen( / α) sen( α) α / c. cosα tan( / α) ; sen α sen( / α) cot α α / d. cos( / α) sen( / α). csc( + α); tan α cot( α) α / 6.- Representa gráficamente las siguientes funciones: a) y,5 sen b) y sen c) y,5 sen d) y,5 sen 5

30 e) y sen 5.- Demuestra las siguientes identidades para los valores admisibles de las variables. i. ( senα cosα) senα ii. cot cos + ( cot. cos ) iii. sen + cos ( sen + cos )( sen. cos ) + cos iv. cos cos α v. tan α senα cos y + sen y vi. cot y cos y vii. ( tan )( sen ) ( sen)( + sen) cos + cos + viii. cos cos + ( ) 8) Resolver las siguientes ecuaciones: a. s en + sen b. cos + cos + c. cos + sen d. sen + cos e. sen α - cos α + / f. sen + cos g. cos sen h. cos sen i. cot. sen cos j. sen + sen. cos k. Sen cos l. Cos + cos - m. sen + sen n. ( + cos ) [/(sen ) - ] 9) Resuelve las siguientes ecuaciones sabiendo que a. sen cos b. cos sen c. ( + cos ) sen. tan d. cos + 5cos 6

31 e. cos + sen cos 5sen f. sen sen g. cos cos + sen para sen sen h. sen + ( sen + cos ) ) Si cos y pertenece al primer cuadrante, hallar: sen ; tan ; sen y cos ) Si sen y es un ángulo del segundo cuadrante: Halle cos y sen ) Si. Calcule sen. tan ) Si tan 5 ; cos y ; Hallar sen, cos, y sen 5 ) 7 o Halle el valor de tan + cos5 5) Halle los valores de, que satisfagan la ecuación tan 6) Sea cos, a) Determine el valor de sen. b) Determine el valor de cot. 7) Compruebe que para los valores admisibles de, se cumple que : cos( ).cos( + ).tan( ) sen( + ).sen( ) 8) Pruebe que: tan.sen cot. cos 6 + cos sen 6 9) Calcule. o o sen5 + cos9 a ) b) 7 tan 5 sen o 5 cos + tan o 9 cot56 + tan 7

32 ) Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: I ) sen + 5cos en el intervalo [; ] II) sen - 5cos + III) IV) sen - cos sen cot cos cos ) Hallar los valores de ; < < que son soluciones de la ecuación: sen - 5sen - cos -. Dar la respuesta en grados seagesimales. ) Para qué valores de, las funciones f ( ) cos y g() sen alcanzan el mismo valor. sen cos ) Sean las funciones: f ( ) y g() -. Determine los valores de para los cuales se cumple que f()g(). ) Sea la ecuación: sen ( k + ) sen + con 9 a) Halla las soluciones de esta ecuación para k. b) Para qué valor positivo de k la ecuación tiene una sola solución? 5) Halle los valores de ( ) que satisfacen la ecuación: log cos ( sen )( cos sen + 7 cos + 5) y g ( ) + sen 6) Sean: f ( ) sen tan a) Calcula f b) Halla los valores de para los cuales se cumple que f ( ) g( ) 7) Halla la abscisa ( < < / ) del punto donde se cortan los gráficos de las funciones dadas por las ecuaciones: f ( ) + 9 cos y g( ) + cos A + cos 8) Dada la igualdad Acot sen a) Demuestre que para A la igualdad que se obtiene es una identidad para todos los valores admisibles de la variable. b) En la igualdad toda considera A ½ y resuelve la ecuación obtenida. 8

33 BIBLIOGRAFÍA Álvarez Socarrás Ada Matemática para curso Introductorio/ Ada Álvarez Socarrás.- Camagüey: /s.c/,/s.a/. 9p. Ballester, Sergio: Cómo Sistematizar los conocimientos matemáticos. Editorial Academia. Ciudad de la Habana Ballester, Sergio y C. Arango: Cómo Consolidar Conocimientos Matemáticos. Editorial Academia. Ciudad de la Habana Campistrus, Pérez L. Y otros: Matemática. Orientaciones Metodológicas grado. Editorial Pueblo y Educación 989. Cuadrado González, Zulema. Matemática mo grado / Zulema Cuadrado González, Richard Nerido Castellanos y Celia Rizo Cabrera. La Habana: Editorial Pueblo y Edición, 99. 5p. 9

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