GESTION FINANCIERA. TEMA 4º. El INTERES COMPUESTO. 1.- Capitalización compuesta.

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1 GESTION FINANCIERA. TEMA 4º. El INTERES COMPUESTO. 1.- Capitalización copuesta. Concepto de capitalización copuesta. Térinos a utilizar en la capitalización copuesta. Cálculo del capital final o ontante. Cálculo del capital inicial. Cálculo de los intereses totales. Es la ley financiera según la cual los intereses de cada periodo de capitalización se agregan al capital para producir nuevos intereses. C 0 es el capital inicial. n es la duración de la operación. i es el tanto de interés de la operación expresado en tanto por uno, ó lo que es lo iso, el interés que produciría un euro en un año. i s es el interés del año S, para cuyo cálculo se ha hecho C s-1 * i. I T es el interés total, para cuyo calculo se ha hecho: I T = I 1 +I 2 + I I n C n es el capital final o ontante. Para el cálculo del capital final o ontante aplicaos la siguiente fórula: C n = C 0 ( 1 + i) n Ejeplo nº 1, pag. nº 62 Para el cálculo del capital inicial despejaos C 0 de la fórula anterior. C n C 0 = ( 1 + i) n Que tabién se puede expresar coo. C 0 = C n * ( 1 + i) - n ( 1 + i) -n recibe el nobre de factor de actualización, porque cuando se aplica sobre el capital final, perite obtener el capital actual. Tabién podeos afirar que I T = C n - C 0 C 0 = C n - I T Ejeplos nº 1, pag nº 62. Partiendo de la fórula: I T = C n - C 0 Sustituyendo C n por su valor, resultaría. I T = C 0 * (1 + i) n - C 0 Sacando factor coún C 0, resultaría: I T = C 0 *( (1 + i) n 1) Ejeplo nº 3, pag. Nº 63. 1

2 Cálculo del tipo de interes. Cálculo del tiepo. A partir de la fórula C n = C 0 ( 1 + i) n Despejando la (1+i) n C n = (1 + i ) n C 0 De donde podeos afirar que: Cn n =1+ i C0 Cn n 0 1 = i C Ó lo que es lo iso: Cn 1/n i = -1 C0 Ejeplo nº 4, pag. nº 63. Para el cálculo del tiepo, partios de la fórula del ontante: C n = C 0 ( 1 + i) n Toando logaritos en abos iebros: log C n = log C 0 ( 1 + i) n Desarrollando la forula anterior resulta: log C n = log C 0 + n * log ( 1 + i) log C n - log C 0 = n * log ( 1 + i) Despejando la n, obteneos. log C n - log C 0 n = log ( 1 + i) Ejeplo nº 5 y ejeplo nº 6, pag. nº 64 2

3 2.- Tantos equivalentes en interés Introducción. Concepto de tantos equivalentes. Interés noinal. Interés efectivo ó tasa anual de equivalencia T.A.E. Cálculo de i, en función de i. Cálculo de i, en función de i. Tantos equivalentes en interés El tipo de interés y el tiepo debe estar expresado en la isa unidad de tiepo. Hasta ahora heos edido el tiepo en años y el tipo de interés lo heos establecido anual. Pero en ocasiones el tipo de interés debe venir referido a periodos de tiepo inferiores al año, coo por ejeplo: seestres, triestres, biestres, eses, e incluso, días. Son aquellos que, aplicados a un iso capital, producen idéntico ontante o capital final durante el iso intervalo de tiepo, aunque se refieran a distintos periodos de capitalización. Entendiendo por periodos de capitalización: días, seanas, eses, biestres, triestres, seestres, etc. El interés anual proporcional, lo vaos a denoinar J, el cual se obtiene ultiplicando el tipo de interés fraccionado i, por el núero de periodos. Por lo tanto podeos afirar que: J = i * Donde es el núero de periodos fraccionados de un año. Conocido J, ó interés anual, podreos calcular el interés fraccionado, despejando i. J i = Es el tipo de interés i realente abonado ó cargado a las operaciones financieras en un año. Para calcular el ontante de un capital de un euro a interés copuesto, durante un año, se haría: C n = 1 * (1+i) 1 Ese iso euro cuando el periodo de capitalización está referido a un periodo fraccionario sería. C n1 = 1 * (1+i ) Para que los tantos sean equivalente los ontantes han de ser iguales C n = C n1 Por lo tanto: 1 * (1+i) 1 = 1 * (1+i ) (1+i) 1 = (1+i ) Operando resulta: i = (1+i ) - 1 De donde podeos obtener el valor el interés efectivo anual i, en función del interés fraccionado. Para calcular el tipo de interés fraccionado i, en función del tipo de interés efectivo anual i, partios de la fórula siguiente. 3

4 (1+i) = (1+i ) (1+i) 1/ = 1+i Despejando i,, resulta: i = (1+i) 1/ 1 Coparación entre el tipo de interés noinal i y el efectivo i. Convenio lineal y convenio exponencial. Para calcular el tipo de interés efectivo en función del interés noinal, basta con sustituir en la fórula de equivalencia de tantos: i = (1 + i ) 1 J Siendo i = Por lo tanto J i = ( ) 1 Podeos afirar que i es ayor que J. La fórula para el cálculo del ontante, quedaría de la siguiente anera, al sustituir la i por su valor en la fórula de C n. J C n = C 0 ( 1 + ( ) -1) * n de donde: J C n = C 0 ( ) * n Por lo tanto: C n = C 0 ( 1 + i ) n * Donde: C n es el ontante C 0 es el capital inicial. i es el tanto fraccionado referido al periodo de capitalización. n * es la duración de la operación edida en periodos fraccionarios de año. Ejeplo nº 9, nº 10 y nº 11, pag. nº 67. En el convenio exponencial se realiza el cálculo del ontante con la forula vista anteriorente: C n = C 0 ( 1 + i ) n * En el convenio lineal, la fórula a aplicar supone una parte a interés copuesto, aquella parte que son años enteros y una parte a interés siple, la parte que está fraccionada en el tiepo. La fórula a aplicar sería: C n = C 0 ( 1 + i ) n (1 + *i) Donde n es la parte que está en años y es la parte fraccionaria de años. Ejeplo nª 12, pag. nº 68. Ejeplo nº 13, pag. nº 69. 4

5 3.- Actualización ó descuento Concepto Descuento racional a interés Descuento coercial a interés La actualización ó descuento copuesto es toda operación financiera consistente en la sustitución de un capital futuro por otro con venciiento presente. Partiendo de: C n = C 0 (1 + i ) n El descuento viene expresado por: D = C n C 0 Llaando: D = descuento. C n = noinal. C 0 = Efectivo D r = C n C 0 Sustituyendo C n y C 0, por sus respectivos valores obteneos: D r = C 0 (1 + i ) n - Co Sacando factor coún C o, resulta: D r = C 0 [(1 + i ) n - 1] Esto nos perite calcular el D r en fución del capital inicial. Si sustituios en la fórula: D r = C 0 [(1 + i ) n - 1] C o, por su valor en funcion del noinal, obteneos: C n D r = [(1 + i ) n -1] (1 + i ) n Pasando el denoinador coo (1 + i ) n, nos quedaría: D r = [ C n [ ( 1 + i ) n - 1] ] ( 1 + i ) - n Desarrollando la operación, nos resulta. D r = [C n ( 1 + i ) n - C n ] ( 1 + i ) - n Continuando desarrollando los paréntesis, nos resulta: D r = C n ( 1 + i ) n ( 1 +i ) n - C n ( 1 + i ) n Coo ( 1 + i ) n ( 1 +i ) n, desaparece: D r = C n - C n ( 1 + i ) n Sacando factor coún C n, quedaría: D r = C n [ 1 - ( 1 + i ) n ] Con esta forula podeos calcular el D r conocido el capital final. El descuento en el oento 1, vendría dado por: C 1 = C n ( C n * d ) = C n ( 1 d ) Donde d es el tanto por uno de descuento. En el oento 2, el descuento sería: C 2 = C 1 ( C 1 * d ) = C 1 ( 1 - d ) = C 1 ( 1 d) ( 1 d ) = C 1 ( 1 d ) 2 En el oento 3 C 3 = C 2 ( C 2 * d ) = C 2 ( 1 * d ) = C n ( 1 d ) 2 ( 1 d ) = C 3 ( 1 d) 3 Por lo tanto en el oento n: C 0 = C n ( 1 d ) n 5

6 Descuento coercial a interés Cálculo del tipo de descuento d y del tipo de interés i. Si expresaos el descuento en función del noinal: D c = C n - C n ( 1 d ) n Sacando factor coún C n, obtendríaos: D c = C n [ 1 - ( 1 d ) n ] Para ello igualaos D r y D c. C n [ 1 - ( 1 d ) n ] = C n [ 1 - ( 1 + i ) n ] Eliinando Cn, nos quedaría: 1 - ( 1 d ) n = 1 - ( 1 + i ) n Cabiando de iebro el 1 del segundo iebro quedaría: ( 1 d ) n = - ( 1 + i ) n Siplificando: - ( 1 d ) n = - ( 1 + i ) n Cabiando de signo, ultiplicando abos iebros por enos 1, nos quedaría: ( 1 d ) n = ( 1 + i ) n Quitando el exponente negativo: 1 ( 1 d ) n = ( 1 + i ) n Eliinando los exponentes: 1 ( 1 d ) = ( 1 + i ) Por lo que : 4.- Tanto edio en capitalización copuesta. TANTO MEDIO EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA. Tanto edio en capitalización copuesta. Dado un cojunto de capitales C 1,C 2, C 3, C n, colocado durante un tiepo identico n, a unos tipos de interes i 1, i 2,i 3, i n, existe un tipo de interés i h, produce un idéntico ontante, a este tipo de interés que designareos por i h, lo denoinareos tanto edio: Partiendo de la fórula del ontante: C 1 ( 1 + i h ) n + C 2 ( 1 + i h ) n +..+ C n ( 1 + i h ) n = C 1 ( 1 + i 1 ) n + C 2 ( 1 + i 2 ) n +..+ C n ( 1 + i n ) n Siplificando la expression: C s ( 1 +i h ) n = C s ( 1 +i s ) n Esta forula la podeos expresar de la siguiente anera: ( 1 +i h ) n C s = C s ( 1 +i s ) n 6

7 Despejando ( 1 +i h ) n, nos quedaría. C s ( 1 +i s ) n ( 1 +i h ) n = C s Quitando el exponente del prier iebro. C s ( 1 +i s ) n ( 1 +i h ) n = { } 1/ n C s Con lo que nos quedaría: C s ( 1 +i s ) n ( 1 +i h ) = { } 1/ n C s Despejando i h, resultaría: C s ( 1 +i s ) n i h = { } 1/ n - 1 C s Siendo i h, el tanto edio en capitalización copuesta: Ejeplo nº 16, pag. nº Equivalencia de capitales en capitalización copuesta- EQUIVALENCIA DE CAPITALES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA. Concepto de equivalencia de capitales en capitalización copuesta. Dos ó ás capitales son equivalentes en capitalización copuesta, cuando sus valores actuales son equivalentes para un iso tipo de interés, referido a un iso oento del tiepo. 7

8 6.- Sustitución de varios capitales por uno único. SUSTITUCIÓN DE VARIOS CAPITALES POR UNO ÚNICO. Sustitución de varios capitales por uno único. Venciiento coún en interés Dado un conjunto de capitales C 1, C 2, C 3, C n ; colocados a un tanto i, cuyos venciientos son n 1, n 2, n 3, n k, que se van a sustituir por uno único C n, con venciiento en el oento n siepre que exista equivalencia financiera. Para su cálculo partios de la fórula siguiente: C n C 1 C 2 C n = ( 1 + i ) n ( 1 + i 1 ) n1 ( 1 + i 2 ) n2 ( 1 + i k ) nk Esta expresion tabien se puede ponerde la siguiente anera C n ( 1+ i ) n = C 1 ( 1 + i 1 ) - n1 + C 2 ( 1 + i 2 ) - n2 + + C n ( 1 + i k ) - nk Abreviando el segundo térino, obteneos. C n ( 1+ i ) n = C s ( 1 + i ) ns Despejando C n, obteneos: C s ( 1 + i ) ns C n = ( 1+ i ) n Ó lo que es lo iso: C n = C s ( 1 + i ) n ns Ejeplo nº 17, pag. nº 73. Hablaos de venciiento coún cuando en un oento n del tiepo se sustituyen varios capitales con diferente venciiento por uno único C n. En este caso lo que trataos de averiguar es el oento del tiepo en el que se efectua el venciiento. Partiendo de la fórula: C s ( 1 + i ) ns C n = ( 1+ i ) n Toando logarito en abos iebros. C s ( 1 + i ) ns log C n = log ( 1+ i ) n Operando, resulta: log C n = log C s ( 1 + i ) ns log ( 1+ i ) n Cabiando de iebro el siguiente factor log C s ( 1 + i ) ns Resulta: log C n - log C s ( 1 + i ) ns = - log ( 1+ i ) n Cabiando de signo el segundo iebro, obteneos: log C n - log C s ( 1 + i ) ns = log ( 1+ i ) n Operando en el segundo iebro resulta: 8

9 log C n - log C s ( 1 + i ) ns = n log ( 1+ i ) Despejando el valor de n, obteneos: log C n - log C s ( 1 + i ) ns n = log ( 1+ i ) Ejeplo nº 18, pag. nº 74. Venciiento edio en interés El caso del venciiento edio lo que trataos de averiguar es el oento n en el que se lleva a cabo la sustitución de varios capitales por uno único, pero considerando el caso especial de que la sua de los capitales sustituidos es igual al capital que los sustituye, es decir: C 1 + C 2 + C C k = C n Por lo tanto la fórula anterior quedaría: log C n - log C s ( 1 + i ) ns n = log ( 1+ i ) Donde C s = C 1 + C 2 + C C k Ejeplo nº 19 y nº 20, pag. nº 75. 9

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