CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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1 MATEMÁTICA I Capítulo CRIPTOGRAFIA BASICA Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Las matrices iversas se puede usar para proporcioar u procedimieto simple y efectivo para codificar y decodificar mesajes. Para codificar u mesaje los elemetos que se requiere so: u emisor, u receptor, u mesaje y u código. Cuado hablamos de código, estamos hablado de u método de codificació, es decir algú algoritmo biuívoco (ua fució biyectiva), que asige a cada carácter del mesaje otro carácter. Este método hace que el mesaje eviado por el emisor se trasforme e ua cadea de símbolos ilegibles para el resto de los receptores que o sea legales. Depediedo de la calidad del método de codificació, el mesaje será más o meos difícil de descifrar si es capturado por receptores ilegales. Método de ecriptació: * A las letras del alfabeto se le asiga los úmeros del al 7. Al espacio e blaco se le asiga el úmero 8, para poder separa palabras. Esta es ua posibilidad, tambié podría asigarse las letras e orde decreciete o comezado por el úmero, etc. * Cualquier matriz cuyos elemetos sea eteros positivos y sea ivertible se puede usar como matriz de codificació. * Si la matriz de código es de x se costruye co el mesaje ua matriz de filas y tatas columas como sea ecesarias, escribiedo los úmeros por columa y relleado al fial co espacios e blaco si fuera ecesario. * Luego se multiplica a izquierda por la matriz de código y el resultado es el mesaje codificado. * Para recuperar el mesaje se multiplica la matriz aterior a izquierda por la iversa de la matriz de código. Ejemplo: Mesaje a codificar: vuelvo mañaa Secuecia que le correspode: Matriz de código, se elige cualquiera que sea ivertible, debe ser coocida por el emisor y el receptor : C= Costrucció de la matriz A (tedrá dos filas): Multiplicado CA, se obtiee: B=

2 El receptor es quie recibe esta matriz y debe coocer la iversa de la matriz de código para recuperar el mesaje. E este caso C - = 5 5 etoces al realizar el producto C -.B= C -. C. A= I. A=A y se recupera 5 5 el mesaje e forma matricial. Es evidete que el receptor debe coocer tato la primera fase de la codificació, es decir que úmero le correspode a cada letra, como la seguda fase, es decir la matriz de código... Notació matricial de u Sistema. Solucioes. Dado u sistema de m ecuacioes lieales co icógitas ax + a x + a x a x = b ax + ax + ax ax = b ax + ax + ax ax = b... a x + a x + a x a x = b m m m m m se distigue las siguietes matrices: a a a a4... a a a a a4... a A = a a a a4... a am am am am4... a m m R, x b x b x = x, b= b x b m m R A es la matriz de coeficietes, b la matriz de térmios idepedietes, e ambas sus etradas so úmeros, x es la matriz de ua columa de las icógitas x, x,..., x. Coociedo el producto de matrices, el sistema puede escribirse e forma equivalete: a a a a4... a x b a a a a4... a x b a a a a4... a. x = b am am am am4... a m x b m que idicaremos e forma breve A.x=b. La matriz ampliada ( A b) del sistema es la matriz A de coeficietes a la que se agrega como última columa la matriz b de térmios idepedietes.

3 Ua solució del sistema es ua -upla ( c, c,..., c ) de úmeros tales que reemplazado respectivamete x por c, x por c,..., x por c e cada ua de las ecuacioes, se cumple la igualdad e todas ellas... Operacioes elemetales y sistemas de ecuacioes lieales Si A.x=b es u sistema de ecuacioes, aplicado operacioes elemetales de fila a la matriz A ampliada co la columa b de térmios idepedietes, se obtiee ua matriz equivalete, el sistema de ecuacioes correspodiete tiee las mismas solucioes que el de partida.... Proposició. Si A.x = b es u sistema de ecuacioes lieales y e es ua operació elemetal de fila, etoces el sistema e(a).x= e(b) tiee las mismas solucioes que A.x = b. Demostració Sea c = ( c, c,..., c ) ua solució de A.x = b, Caso : e es multiplicar F i por escalar α R, α 0 Vale la igualdad a i c + a i c a i c = b i por ser c solució, tambié vale la igualdad multiplicado ambos miembros por α : α (a i c + a i c a i c )= α b i, luego c es solució del sistema e(a).x = e(b), para este caso. Caso : e es reemplazar F i por F i + αf k, etoces so válidas las siguietes igualdades a i c + a i c a i c = b i y tambié a k c + a k c a k c = b k Multiplicado la seguda por α y sumádola a la primera se coserva la igualdad, factoreado c i e cada sumado, queda lo siguiete: ( a i + α a k ) c (a i + α a k ) c = b i + α b k tambié queda probado para e del segudo tipo. Caso : e es permutar F i co F k, imediato ya que es solamete permutar dos ecuacioes de lugar. El euciado quedó probado para cuado se aplica ua operació elemetal de cualquiera de los tres tipos que hay. Tambié vale cuado se aplica a las matrices A y b del sistema u úmero fiito de operacioes elemetales de fila. e (A).x = e (b) tiee las mismas solucioes que A.x=b, es decir : so sistemas equivaletes. Si se aplica ua seguda operació elemetal, resulta e oe (A).x = e oe (b) equivalete a e (A).x=e (b), luego tambié equivalete al sistema A.x=b. Siguiedo, si se aplica k operacioes elemetales e e... e e ( A). x = e e... e e ( b) tiee las mismas solucioes que A.x = b. k k k k... Aplicació a los distitos tipos de Sistemas lieales El objetivo es ecotrar las solucioes (o bie decidir que o hay) del sistema dado A.x=b. Las operacioes elemetales se aplicará a la matriz ampliada (A b), es decir a A y a b simultáeamete hasta llevar a la matriz A de los coeficietes a su matriz reducida equivalete R. A

4 x + y + z = 4 Ejemplo Resolver el sistema x y z = x + y - z = - 4 Se forma la matriz ampliada ( A b) = y se le aplica ua sucesió de operacioes elemetales (o ecesariamete úica) para llevarla a ( RA b ) dode R A es la reducida equivalete co A y b la columa resultate de esa misma sucesió de operacioes elemetales. ( RA b ) es úica cualesquiera sea las operacioes elemetales elegidas para reducir A. 4 F F F F F 0, 0, F 0 F F, F F F 0, F F La última matriz obteida es la más simple equivalete a la matriz ampliada del sistema dado. La matriz R A reducida equivalete a A e este caso es la idetidad. El sistema así obteido da las solucioes del sistema dado. El sistema equivalete al de partida co otació usual y co la matricial es el siguiete: 0 0 x 0 0. y =, 0 0 z x + 0y + 0z = 0x + y + 0z = 0x + 0y + z = La solució úica de este sistema dado es : x =, y = -, z =, es u sistema compatible determiado. E el Ejemplo el sistema tiee solució úica. Esto o ocurre siempre. Si u sistema o tiee igua solució es icompatible. Si tiee solució es compatible, y existe dos posibilidades: que haya ua úica solució (como e el Ejemplo ) e cuyo caso se llama compatible determiado, o que el cojuto de solucioes sea ifiito, e este caso el sistema es compatible idetermiado. Observació : La palabra "idetermiado" sugiere que las solucioes o puede coocerse, esto o es así : las ifiitas solucioes de u sistema compatible idetermiado sigue todas ua misma "ley" (que suele llamarse solució geeral), a partir de la cual se puede obteer cualquier solució

5 particular. E u ejemplo se verá que tambié esa solució geeral se ecuetra aplicado operacioes elemetales a la matriz ampliada (A b), hasta llevar A a su matriz equivalete R A reducida por filas. Ejemplo. Ejemplo de u sistema co ifiitas solucioes (compatible idetermiado), se ecotrará el cojuto de sus ifiitas solucioes : x + y z + 4t = 5 x + y z + t = x + y 4z t = Se costruye la correspodiete matriz ampliada ( A b) y se le aplica operacioes elemetales hasta obteer ( RA b ) dode R A es la reducida equivalete a A y b la columa que resulte habiedo aplicado a b la misma secuecia de operacioes elemetales. A b F F ( ) =, , F. F F F , F F ( RA b + = ) E este como e todos los casos, la sucesió de operacioes elemetales aplicada o es úica, o debe ecesariamete ser la que se muestra ahí arriba, pero cualesquiera sea las operacioes elemetales y el orde e que se aplique, la matriz fial obteida ( R b ) es siempre la misma, ésa es úica. A La matriz ( RA b ) es la matriz ampliada correspodiete a u sistema equivalete (es decir: co las mismas solucioes) que el euciado. Escrito e forma matricial y e la forma corriete queda: x y = 7 z t x + y 0t = 9 z 7t = 7 del que se obtiee x = 9 y + 0t z = 7 + 7t Las letras y, t so variables libres, puede adoptar cualquier úmero real, esto se idica co: y, t R. E cambio x, z so depedietes (depede de los valores elegidos para y y para t). El hecho de que haya al meos ua variable libre, que recorre todos los úmeros reales, hace que el cojuto de solucioes del sistema sea ifiito.

6 E este ejemplo el cojuto de ifiitas solucioes (la solució geeral) del sistema origial plateado es S = { ( 9 y + 0 t, y, t, t) ; y, t R } Si se quiere obteer ua solució particular, se asiga úmeros determiados a las libres (e este ejemplo y, t) y co esos valores se obtiee los de x y z. Observació. Ates de dar u ejemplo de aplicació de operacioes elemetales a u sistema icompatible, e este ejemplo secillo se ve qué sigifica la icompatibilidad : x + x = x + x = 0 Usado el método corriete de despejar e igualar, se obtiee al despejar y de ambas ecuacioes : x = x equivalete a = 0 (Falso). Siempre se llega a ua falsedad cuado se quiere resolver u sistema icompatible. E este ejemplo simple la icompatibilidad surge del hecho de que la seguda ecuació pide que el doble de x sea el opuesto de x (que es úico), e la primera ecuació se está pidiedo que el doble de x sumado a x sea. No existe igú par de úmeros reales (i complejos) que cumpla simultáeamete ambas codicioes. E esto reside la icompatibilidad : pedir e ua ecuació (E i ) ua determiada relació umérica, tal que, para por lo meos otra ecuació (E k ) del mismo sistema, igua de las solucioes de la ecuació (E i ), puede satisfacer la ecuació (E k ). Ejemplo. Ejemplo de u sistema icompatible, aplicado operacioes elemetales de fila a la matriz ampliada. x + y + z = x + y + z = 5 x + y z = F F F F 0 5 F F E el sistema equivalete que se obtiee, queda la última ecuació 0x + 0y + 0z =, imposible de resolver, equivale (cualesquiera sea x, y, z ) a la igualdad falsa 0 = -... El siguiete teorema permite establecer comparado el rago de la matriz de coeficietes co el de la matriz ampliada si el sistema es compatible o icompatible.

7 ... Teorema (Rouché, Frobeius). Sea A x = b u sistema de m ecuacioes lieales co icógitas, ax + a x + a x a x = b ax + ax + ax ax = b ax + ax + ax ax = b... am x + amx + amx amx = bm A x = b es compatible si y sólo si r( A) = r( A b) Además, si r( A) = r( A b) = (úmero de icógitas), etoces la solució es úica, (sistema compatible determiado), si r( A) = r( A b) <, etoces tiee ifiitas solucioes (sistema compatible idetermiado). Ejemplo x + y + z = Para el sistema x + y + z = 5 del Ejemplo de la secció.., es r( A ) = < r( A b)=, de x + y z = acuerdo co el teorema el sistema es icompatible. Observació: Este teorema permite clasificar el sistema, o obteer las solucioes e caso que exista..4. Sistemas homogéeos de ecuacioes lieales.4.. Defiició. U sistema de ecuacioes lieales es homogéeo si todos los térmios idepedietes so ceros. Su otació matricial es A.x =O dode O idica ua matriz columa ula..4. Observació Todo sistema homogéeo es compatible : la solució trivial es aquella e la que se reemplaza todas las icógitas por ceros, esta solució ula la tiee todos los sistemas homogéeos, por esa razó se llama trivial. Si el sistema homogéeo es determiado, tiee ua úica solució que debe ecesariamete ser la trivial. Si es idetermiado tedrá, además de la trivial, otras ifiitas solucioes. Aplicado el teorema.. a u sistema homogéeo los ragos de ambas matrices siempre coicide debido a que la columa que se agrega para costruir la matriz ampliada es ula. Este úmero puede coicidir co el úmero de icógitas (compatible determiado) o ser meor que (compatible idetermiado). U sistema homogéeo se resuelve mediate operacioes elemetales como los ateriores.

8 .4. Teorema. Sea A.x=O u sistema homogéeo dode A R mx, O es la matriz ula mx y x la matriz columa de icógitas x i, i =,...,. Sea c y c dos solucioes del sistema y k R, etoces c + k.c tambié es ua solució del sistema dado. Demostració. Siedo c y c solucioes las siguietes so igualdades : A.c = O y A. c = O. Se debe probar que sustituyedo x por (c + k. c ) tambié se obtiee ua igualdad : A (c+k. c ) = A.c + A. k. c = A. c + k. A. c = O + k.o = O (porque A.c = O y A. c = O), luego c + k. c es solució de A. x = O... EJERCICIOS 0 0 ) Utiliza la siguiete matriz de código C= 0 0, para decodificar el siguiete mesaje: (la biyecció es la que asiga los úmeros del al 7 a las letras y 8 al espacio blaco) ) Supogamos que iterceptas el siguiete mesaje: Se ha filtrado la iformació de que la primer letra del mesaje es ua S, las letras está a umeradas del al 7 y que la matriz de código es x co la siguiete forma Puedes 0 descifrar el mesaje? ) Represetar e el plao los siguietes sistemas, idicar qué observa e cada caso x + y = 0 x + 6y = 8 x y = x + y = x + y = 4 6x y = 5 4) Verificar que los valores dados so solucioes de los sistemas plateados. E cada caso clasifique el sistema. x y = 0 x + y = 5 (a) x=, y = para (b) x=, y= para x + y = x y = x y = (c) {(x,y) ; x = -y} para x + y = 0 x 9y = 0 x + 6y = 0 (d) x=, y=0, z= - para x + y + z = y + 4z = 4 x y z = (e) {(x, y, z) ; x =+y, z=y} para x + y z = x y = 5) Aplicar el teorema de Rouché-Frobeius a los siguietes sistemas. Resolverlos : x + y = x x + x = x + y z = u + u + u = x y = a) x x = 6 b) c) x + y + z = 0 d) u u = x + x = 4 x y = 0 x + y + z = 4

9 e) x + y + z = 7 x + 5z = 4 x + y + z = f) x x + x = x + 5x x + x4 = g) x y + z w = 0 x 7 y z + 4w = 0 4x + y + 5z + w = 0 6) Aalizar la verdad o falsedad de las siguietes afirmacioes. Fudametar la respuesta a) Todo sistema homogéeo tiee al meos ua solució. b) Los sistemas homogéeos tiee siempre ifiitas solucioes. c) U sistema homogéeo que o tiee ua úica solució, tiee ifiitas solucioes. d) Si u sistema o homogéeo o tiee solució úica, debe teer ifiitas solucioes. e) Si u sistema tiee más de ua solució, etoces tiee ifiitas. f) La ecuació x + y = 0 o tiee solució. g) Si para cada ecuació del sistema hay algua solució, etoces el sistema tiee solució. h) Si u sistema es icompatible, etoces cada ecuació del mismo tampoco tiee solució. 7) Determiar (si existe ) los valores de b para que los siguietes sistemas sea i) compatible (e tal caso resolverlo, expresar la solució e la forma adecuada) ii) icompatible x + x x + x4 = r s + 7t = 5 x y + z w = 8 a) x + x + 7x4 = 5 b) 4 r + t = b c) x x + x + 4x4 = b 5r + s t = 7 x + y z + 6w = b 8) Determiar qué relació debe haber etre a, b y c para que este sistema sea compatible: x + y z = a x + 6y z = b x y + 7z = c x x + x = a 9) Si la tera (,, ) es ua solució de x + x = b x + x = c hallar todas las solucioes del sistema. (piese dóde debe reemplazar, y -) 0) E cada caso determiar, si existe, los valores de k tales que el sistema resulte, respectivamete: compatible determiado compatible idetermiado icompatible (a) x + x = 4 x + k. x = k + (b) x + x = 4 x + ( k ). x = k (c ) x + x + x = k x + k. x + x = (d) x + x + x = k x + k. x + x = k. x =

10 MATEMÁTICA I - 0 Capítulo DETERMINANTE DE UNA MATRIZ.. Determiate de ua matriz. El determiate de ua matriz A de orde se calcula de la siguiete maera: det a a a a = a. a a. a Tambié se idica co barras A = a. a a. a Se defie a cotiuació, por recurrecia, el determiate de cualquier matriz cuadrada. Si A está e R x el deta es u úmero de R, se puede pesar el determiate como ua fució det: R x R que a toda matriz A e R x le asiga el úico úmero deta R.... Defiició. Sea A= ( a ij ) matriz de R x, Si =, A = ( (a ) ), se defie deta = a Se supoe deta está defiido para toda matriz ( ) ( ) Sea ahora A, Sea A( i / j ) la matriz que se obtiee sacado de A la fila i y la columa j, esta matriz A( i / j ) es de orde ( ) ( ) luego para ella está defiido det A( i / j ) Se llama adjuto (o cofactor) del coeficiete a ij al valor α i j = ( ) i+ j. det A( i / j ) El determiate de A es la suma de los productos de los coeficietes de ua fila (o ua columa) cualquiera de A por sus respectivos cofactores, es decir, desarrollado por la fila i, es deta = aij. αij = a i.α i + a i.α i ai. j= α i... Observació. El determiate está bie defiido: el valor deta es úico cualquiera sea la fila o la columa de A que se elija para calcularlo.

11 Ejemplo: Calcular deta siedo A = 0 por la fila, deta =. a. α + a. α + a. α, calculado primero los cofactores α j : α = ( - ) +. det A(/) = ( - ). det = - α = ( - ) +.deta(/) = det 0 = - 9 α = (- ) +. det A(/) = ( ). det = - 0 deta =. (- ) + (- ). ( - 9) + (- ). (- ) = El mismo valor se obtiee calculado deta por cualquier otra fila o por cualquier columa. Tomado por ejemplo la primera columa: det A =.(- ) +.det +.( - ) +. det + 0 =.. Propiedades del determiate A cotiuació se eucia alguas propiedades de los determiates. Existe además otras propiedades o icluidas e los coteidos de esta asigatura. Sea A R x, A = ( a ij)... Propiedad ) deta = det A T La demostració es imediata por la defiició del determiate y por el hecho de que el valor deta es úico cualquiera sea la fila o columa que se elija para calcularlo (Recordar: la fila i de A es la columa i de A T )....Corolario de la Propiedad. Toda propiedad de los determiates que se eucie para las filas vale tambié para las columas de la matriz.

12 ... Propiedad ) Si se multiplica todos los coeficietes de ua fila (respectivamete ua columa) de A por u escalar c etoces el deta queda multiplicado por c. Demostració. Llamado B a la matriz que se obtiee multiplicado la fila k de A por c, B está c.( A) ij si i = k dada por. ( B) ij = ( A) ij si i k Se calcula el detb por la fila k, detb = k + j ( B) kj.( ).det B( k / j) = () j= Por la defiició de B, es det B( k / j) = det A( k / j), porque e ambas se suprime la fila k que es la úica e la que difiere, etoces se tiee: a. = j= k j c.( A).( ) +.det A( k / j) = c.det A. kj..4.corolario de la Propiedad Si cosideramos la matriz c. A ( producto del escalar c por la matriz A), etoces det( c. A)= c.det A...5. Propiedad ) Si ua fila (respectivamete ua columa) de A tiee todos sus coeficietes iguales a 0 etoces deta = 0. Demostració. Sea F k = (0,0,...,0) la fila ula, se desarrolla el determiate por fila k, det A = akj. αkj = 0 porque a kj = 0 para k fijo, j =,...,.. j= A B = A B..6. Propiedad 4) Sea A, B matrices de R etoces det(. ) det.det Observacioes ) Dado u fijo, la propiedad 4 de..6 se geeraliza a cualquier úmero fiito de matrices Si M, M,..., M k so matrices, etoces det( M. M... Mk ) = det M.det M...det Mk. ) Esta propiedad del determiate citada e..6 es, tal como se idica, para el producto de matrices, o existe igua co relació a la suma de matrices ) Para la matriz idetidad I, deti =, cualquiera sea...7. Propiedad 5) A tiee iversa si y sólo si det( A ) es distito de 0

13 ..8. Propiedad 6) Si la matriz A tiee iversa A, etoces det( A ) = [det A] = det A Demostració. - - Por hipótesis A tiee iversa, es decir A. A = A. A = I, A A = A A = I = A = det A ( ) det. det.det det, luego det Propiedad 7) Dado u sistema de ecuacioes co icógitas x x A.x=b, siedo A matriz de los coeficietes, x = x matriz de ua sola... x b b columa de las icógitas y b= b matriz de ua sola columa de los térmios idepedietes,... b el sistema A.x=b tiee ua solució úica (es compatible determiado) si y sólo si la matriz A tiee iversa. (Esquema de la demostració A es cuadrada de orde, el sistema tiee úica solució si y sólo si la matriz reducida equivalete R = I si y sólo si A tiee iversa.). EJERCICIOS A a b c ) Sea A = d e f tal que deta= 5 calcular los determiates de las siguietes matrices: g h i a b c a 4b 5c a). d. e. f b) 0d 40e 50 f Idicar las propiedades usadas. g. h. i g 4h 5i )Si A es ua matriz x co deta = 5, Cuál es el det de A T, de A, de. A, de -A, de A, de (A T ), de (A) 4? Idicar las propiedades usadas. ) Sea B R 5x5 tal que detb=. Idicar cuál es el valor del determiate de la matriz que se obtiee si se multiplica la fila por 4 y la columa por. 4) a) Probar que det(a - )= det A b) Sea A, B, C matrices x, tales que C tiee iversa y A = C.B.C -. Probar que deta = detb. Fudametar cada paso de la prueba.

14 c) Si A es 5x5 y el det A = k, cuál es el det (8.A)? cuál es el de d) Si B es x y el det B = 0, idicar cuál es el det (.B). Explicar. 4 e) Si D es 6x6 y el detd = 5 ( ) 4, idicar cuál es el det de las matrices 9 (6.A)? Explicar. 4 0.D, 0.D (explique la diferecia etre ambas), idicar los determiates de.d,.d (explique la diferecia etre ambas) ) Si A, B, C so matrices 5x5, det A =, detb= y detc=6, idicar cuáto vale: T a) det A. B. A. B 5 T T b) ( ) 4 det B. A.( B. A) 4 5 T T c) det ( B. C). B. A.( C. B. A) Mecioar todas las propiedades usadas e cada paso. Justificar todas las respeuestas. 6) Decidir si las siguietes matrices tiee o o iversa : 0 A = B = 0 C = ) Hallar los valores de k para que las siguietes matrices tega iversa k k + A = B = 0 0 ( k ) 0 k + 5 8)Sea A, B matrices x. Decidir por propiedades del determiate si las siguietes afirmacioes so V o F. Justificar. a) Si A o tiee iversa, etoces A.B o tiee iversa b) Si A tiee iversa y B o, etoces A.B o tiee iversa. c) Si A.B o tiee iversa, etoces i A i B tiee iversa. d) Si A.B o tiee iversa, etoces al meos ua de las dos, A o B, o tiee iversa. 9) Decidir si hay valores de k (y ecotrarlos) para los que el siguiete sistema sea compatible determiado, justificar la respuesta. ( k + 5). x + 9. x x = b 6. x +. x = b 5. x + ( k). x + x = b