Tema 1.3_A La media y la desviación estándar

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1 Curso 0-03 Grado en Físca Herramentas Computaconales Tema.3_A La meda y la desvacón estándar Dónde estudar el tema.3_a: Capítulo 4. J.R. Taylor, Error Analyss. Unv. cence Books, ausalto, Calforna 997. * Nuestro problema: upongamos que efectuamos una medda (admtendo que las fuentes de ncertdumbre son aleatoras, no hay error sstemátco) de una magntud físca y que, para asegurarnos del resultado, la repetmos, pero obtenemos un resultado dferente. egumos reptendo la medda a ver qué sucede, 5 0 veces. Cómo nterpretamos el conjunto de resultados eventualmente dstntos unos de otros? Cuál es la mejor estmacón de la magntud? justfcar la utlzacón de la meda y la desvacón estándar de la muestra de meddas. Admtmos, en lo que sgue, que la medda está lbre de error sstemátco La meda y la desvacón estándar Ejemplo : (pg 99T) se mde, repetdamente, el valor de una magntud x en certas undades y se obtene Cuál es la mejor estmacón de x? El valor medo (la meda) <x> =Σ x /5=7.8 (undades) * Las lustracones están tomadas de este lbro.

2 Curso 0-03 Grado en Físca Herramentas Computaconales Propedades de la meda = 0 ( x) x la suma de las desvacones (respecto de la meda) es cero Por tanto, la meda de las desvacones no caracterza la confabldad de las meddas ( X ) x es mínmo s X = x, es decr, la suma del cuadrado de las desvacones respecto de la meda es mínmo. Por esto, usar la meda como mejor estmacón es consstente con el prncpo de los mínmos cuadrados. Cuál es la ncertdumbre que se asoca a la medda x? La desvacón o resduo de la medda x es d = x <x>. Nos nforma de cuánto dfere la -ésma medda de la meda, ( d << x pequeño sgnfca meddas precsas). Para caracterzar la confabldad de las meddas, promedamos los resduos al cuadrado y obtenemos la estmacón de la varanza (varance en kaleda) x / =.8/5=0.56 x = ( X ) N Tomando la raíz cuadrada de este promedo, obtenemos la estmacón de la desvacón estándar: x La estmacón de la desvacón estándar: x =(0.56) / 0.7 es una ncertdumbre promedo (la raíz cuadrátca meda, RM, de las desvacones d ) del conjunto de meddas realzadas. (es std devaton en kaleda) Exsten argumentos teórcos para reemplazar en la expresón anteror N por N-, que produce una cota de ncertdumbre algo mayor, defnendo x =

3 Curso 0-03 Grado en Físca Herramentas Computaconales Al hacer una sola medda, x = <x> y la desvacón estándar sería x =0/=0 que sgnfcaría que x es una medda exacta (absurdo). Al dvdr por N-, x =0/0. Esta ndetermnacón pone de manfesto la gnoranca total que se tene sobre el valor de la ncertdumbre asocada con la aleatoredad de la medda, cuando se hace una únca medda. (Relaconar, más adelante, con la dvsón por N- en la ncertdumbre asocada a los dos parámetros de la mejor recta, m y b por razones semejantes). En el ejemplo, en el que N=5, utlzar N-, sgnfca x 0.8 cuya dferenca con 0.7 no es demasado mportante. No obstante, en el laboratoro utlzamos esta últma. La desvacón estándar como ncertdumbre en la dstrbucón de una medda se mde una magntud x muchas veces, usando sempre el msmo método, y s todas las fuentes de error son pequeñas y aleatoras, entonces (observado empírcamente) los resultados se dstrburán en torno al valor verdadero X,según una dstrbucón normal, o curva en forma de campana, de manera que el 68% de los resultados caerán dentro de una dstanca x a cada lado de X, es decr, en el ntervalo X ± x. Esto equvale al sguente enuncado: Al realzar una únca medda de x, usando el msmo método, la probabldad de que el resultado esté a menos de x del verdadero valor X de esa magntud es de 68%. Aplcacón: Una caja de muelles smlares, de los que queremos conocer su constante recuperadora k. olo para uno de ellos, repetmos varas veces la medda y calculamos x. Con los demás muelles, hacemos una sola medda y le aplcamos la msma ncertdumbre x. Hacemos 0 meddas con el prmer muelle: K/(N/m) : 86,85,84,89,85,89,87,85,8,85. Calculamos la meda y la desvacón estándar <k>= 85.7, x. =.6 en N/m; así que <k>= 86 ± N/m Para el segundo muelle, hago una sola medda : K=7 N/m y como se dstrbuye gual que las anterores escrbo, sn hacer más meddas, k = 7 ± N/m. La desvacón estándar de la meda de un conjunto de meddas es <x> = x / N (es std error en kaleda) La meda tambén pertenece a una dstrbucón normal en torno al msmo valor verdadero X que cada medda pero con una desvacón estándar menor. egún esto, aumentar N, reduce la ncertdumbre de la meda. En la práctca, debdo a la presenca de errores sstemátcos, esta mejora tene un límte y es mejor ntentar mejorar la técnca de medda para rebajar x. que aumentar N ndefndamente. Ejemplo : (pg 03T) Cnco meddas de la carga de un electrón: 5,7,8,4,6 (x 0-0 C). Resultado? 3

4 Curso 0-03 Grado en Físca Herramentas Computaconales Ejemplo 3: (pg. 04T) Con kaleda statstcs. Expresa A correctamente(a=.±0.4 mm ). Meda ponderada de un conjunto de meddas Ejemplo 4 (pg 45B): Dez observadores dferentes nforman sobre la ntensdad de una lámpara, medda con un fotómetro de comparacón. us resultados, en undades arbtraras (ua), se muestran en la tabla sguente observador meda Desvacón estándar observador meda Desvacón estándar

5 Curso 0-03 Grado en Físca Herramentas Computaconales Cuál es el resultado de este expermento? e utlza la meda ponderada, para dar más peso a las meddas con menor error estándar x x = y la correspondente desvacón estándar de esta meda ponderada es = ( x x) ( N ) resultado= x ± x (= 0) x / / (x -<x>) / Resultado: ntensdad = ± ±0.3 ua 5