Ley del Coseno 1. Ley del Coseno. Dado un triángulo ABC, con lados a, b y c, se cumple la relación:
|
|
- Belén Blázquez Poblete
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Ley del Coseno 1 Ley del Coseno Dado un triángulo ABC, on lados a, b y, se umple la relaión: = a + b abosc (Observe que la relaión es simétria para los otros lados del triángulo.) Para demostrar este teorema, dibujemos nuestro triángulo ABC, y traemos la altura AD haia el lado BC. b C D a A B Es fáil observar que el triángulo ABD es retángulo en D. Por lo tanto, por el teorema de Pitágoras, tenemos que: = AD + BD = AD + (a CD) = + + a (AD CD ) acd CD = + = b a b abosc Note que osc. Apliando el mismo proedimiento a los otros lados del triángulo obtenemos las siguientes relaiones: = a + b abosc = + a b bosa = + b a aosb No hay que olvidar la importania de este teorema, pues nos puede servir en algún momento para hallar las longitudes de iertos lados de triángulos o en oasiones onoer la medida del ángulo que forma dos retas. Vemos ómo funiona, on unos uántos ejemplos:
2 Ley del Coseno Ejemplo 1. Dos lados de un triángulo miden 6 y 10, y el ángulo que forman es de 10. Determine la longitud del terer lado. Soluión. Supongamos que a = 6, b = 10, C= 10, y el terer lado es. Entones por la Ley de Cosenos tenemos que: Por lo tanto = 14. a b abosc ( )( ) = + = ( )( 10)os10 1 = = 196 Ejemplo. Un triángulo ABC tiene lados AB = de sus ángulos. 3, BC = 1 y AC =. Determine las medidas Soluión. En este aso, tenemos que = 3, a = 1 y b =. Entones apliando la ley de Cosenos obtenemos: = a + b abosc Por lo tanto C= 60. Por otra parte tenemos que: ( ) 3 = osc= 1 a b bosa ( )( )osc ( 1) = + ( 3) ( )( 3) osa= = + 3 osa Por lo tanto A= 30. Así, alulamos el terer ángulo: B= 180 A C= = 90. Luego, el triángulo tiene ángulos de 30, 60 y 90.
3 Ley del Coseno 3 Ejeriios 1. Muestra que en un triángulo de lados 4, 5, 6 uno de los ángulos es el doble del otro.. Si en un triángulo ABC se umple C= B, demuestre que = ( + ). a bb 3. La siguiente figura está formada por seis uadrados de áreas S1, S, S3, T1, T, T3. 1 Demuestre que S1+ S+ S3 = ( T1 + T + T3) ABC es un triángulo tal que a = 1, b + = 18 y os A = que a = b +. 7 osa=. Demuestre 38 Ley del Paralelogramo En un paralelogramo, la suma de los uadrados de las diagonales es igual a la suma de los uadrados de los lados. En otras palabras, lo que tenemos es lo siguiente: Dado un paralelogramo ABCD, se umple la relaión: AC + BD = AB + BC + CD + DA. Lo ual podemos esribirla en la forma + = +. AC BD (AB BC ) Vamos a demostrarlo de la forma fáil, usando Ley de Cosenos.
4 Ley del Coseno 4 D C A B Fijémonos en los triángulos ABC y ABD que ontienen preisamente las diagonales AC y BD. Apliando la ley de Cosenos en el triángulo ABC obtenemos: = + (1) AC AB BC (AB)(BC)osABC Ahora, apliando la ley de Cosenos al triángulo ABD obtenemos: = + () BD AB AD (AB)(AD)osBAD Sumando (1) y () miembro a miembro obtenemos: (Usando que BC= AD y osabc = osbad por ser ángulos suplementarios.) = + AC AB BC (AB)(BC)osABC = + BD AB AD (AB)(AD)osBAD + = + + AC BD AB BC BC (AB)(BC)osABC (AB)(BC)( osabc) AC + BD = AB + BC + = + AC BD (AB BC ) Con esto ompletamos la demostraión de la Ley del Paralelogramo. Teorema de Stewart Si X es un punto sobre el lado BC (o su prolongaión) de un triángulo ABC, tal que BX m =, entones: XC n Demostraión. AX bm+ n amn = m+ n (m+ n) Considere un triángulo ABC y el punto X sobre el lado BC, tal que BX = m, XC n omo muestra la figura..
5 Ley del Coseno 5 A b B p X a q C Sea BX = p y CX = q. Entones podemos estableer p = km y q = kn. Además, notemos que los ángulos AXB y AXC son suplementarios, es deir: os AXB= os AXC. En el triangulo ABX, obtenemos: = AX + p AXposAXB = + AX k m AXkmosAXB (1) En el triángulo AXC, tenemos: b = AX + q AXqosAXC = + + b AX k n AXknosAXB () Despejando osaxb de (1) y () obtenemos: k m + AX b k n AX os AXB= = AXkm AXkn + = k mn AX n n bm k nm AX m + = + + AX (m n) bm n k mn(m n) bm+ n a AX = k mn pero p+ q= k(m+ n) = a k = m+ n (m+ n) + m+ n (m+ n) bm n amn AX = Este teorema puede ser muy útil a la hora de determinar longitudes desde un vértie a un punto que divide al lado opuesto en una razón dada.
6 Ley del Coseno 6 Ejeriios 1. Calula la longitud de la mediana de un triángulo en funión de sus lados.. Calula la longitud de la bisetriz de un triángulo en funión de sus lados. 3. Calula la longitud de la altura de un triángulo en funión de sus lados. 4. Considera un triángulo, tal que dos de sus lados miden a y b, y el ángulo que forman es de 10. Calula la longitud de la bisetriz de ese ángulo en funión de a y b.
Tema 6: Semejanza en el Plano.
Tema 6: Semejanza en el Plano. 6.1 Semejanza de Polígonos. Definiión 6..1.- Cuatro segmentos a, b, y d son proporionales si se umple la siguiente igualdad: a =. A ese oiente omún se le llama razón de proporionalidad.
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es
Más detallesRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resolver un triángulo consiste en determinar la longitud de sus tres lados y la amplitud de sus tres ángulos. Vamos a recordar primero la resolución para triángulos rectángulos
Más detallesSoluciones oficiales de los problemas de la Final de la XXI Olimpiada Nacional de Matemática 2009
Soluciones oficiales de los problemas de la Final de la XXI Olimpiada Nacional de Matemática 009 Comisión Académica 1 Nivel Menor Problema 1. Considere un triángulo cuyos lados miden 1, r y r. Determine
Más detallesGUIA DE TRABAJO Materia: Matemáticas. Tema: Geometría-8a- Soluciones de relaciones métricas en los triángulos Fecha: Profesor: Fernando Viso
GUIA DE TRAJO Materia: Matemáticas. Tema: Geometría-8a- Soluciones de relaciones métricas en los triángulos Fecha: Profesor: Fernando Viso Nombre del alumno: Sección del alumno: CONDICIONES: Trabajo individual.
Más detallesEjercicios Resueltos: Geometría Plana y del Espacio
Ejercicios Resueltos: Geometría Plana y del Espacio 1. Determine el valor del ángulo en el triángulo de la figura: Ejercicios extraídos de pruebas parciales. Roberto Vásquez B. x x 4x x x 180º 1x 180º
Más detallesSeminario de problemas-eso. Curso Hoja 10
Seminario de problemas-eso. Curso 011-1. Hoja 10 5. Dado un triángulo cualquiera, demuestra que es posible recubrir el plano con infinitos triángulos iguales al dado, de forma que estos triángulos no se
Más detallesUNIDAD II. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. Tema. Funciones trigonométricas
UNIDAD II. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Tema. Funciones trigonométricas FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Introducción: Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo
Más detallesUNIDAD 8 Geometría analítica
Pág. 1 de 5 I. Sabes hallar puntos medios de segmentos, puntos simétricos de otros y ver si varios puntos están alineados? 1 Los puntos A( 1, 3), B(2, 6), C (7, 2) y D( 5, 3) son vértices de un cuadrilátero.
Más detallesTEOREMAS, POSTULADOS Y COROLARIOS DE GEOMETRIA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL FRANCISCO MORAZÁN CENTRO UNIVERSITARIO REGIONAL DE LA CEIBA COMITÉ NACIONAL DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DE HONDURAS ACADEMIA TALENTOS MATEMÁTICOS DE ATLÁNTIDA TEOREMAS, POSTULADOS
Más detallesLEY DE SENOS. Ya hemos visto como resolver triángulos rectángulos ahora veremos todas las técnicas para resolver triángulos generales.
LEY DE SENOS Ya hemos visto omo resolver triángulos retángulos ahora veremos todas las ténias para resolver triángulos generales a γ α Este es un triángulo el ángulo α se esrie en el vértie de, el ángulo
Más detallesSeminario de problemas. Curso Hoja 10
Seminario de problemas. Curso 015-16. Hoja 10 55. A un fabricante de tres productos cuyos precios por unidad son de 50, 70 y 65 euros, le pide un detallista 100 unidades, remitiéndole en pago de las mismas
Más detallesA'' D'' C'' B'' A' C' Figura 1. Verdadera Magnitud de ángulos de rectas.
Tema 5: Ángulos entre retas y planos. Triedros Angulo de dos retas. El ángulo de dos retas es una de las magnitudes de las formas planas, y para obtener su verdadera magnitud se aplia el ambio de plano,
Más detallesTALLER # 4 DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA SEMEJANZAS Y RELACIONES MÉTRICAS. Universidad de Antioquia
TALLER # 4 DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA SEMEJANZAS Y RELACIONES MÉTRICAS Universidad de Antioquia Profesor: Manuel J. Salazar J. 1. El producto de las medidas de las diagonales de un cuadrilátero inscrito es
Más detalles. M odulo 7 Geometr ıa Gu ıa de Ejercicios
. Módulo 7 Geometría Guía de Ejercicios Índice Unidad I. Conceptos y elementos de geometría. Ejercicios Resueltos... pág. 02 Ejercicios Propuestos... pág. 09 Unidad II. Áreas y perímetros de figuras planas.
Más detalles4. GEOMETRÍA // 4.3. PROPIEDADES DE LOS
4. GEOMETRÍA // 4.3. PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS. COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2010-2011 4.3.1. Dos nuevas demostraciones del teorema de Pitágoras. 4.3.1. Dos nuevas
Más detallesCap. 3: relaciones en un triángulo
PROBLEMAS DE TRIGONOMETRÍA (Traducido del libro de Israel M. Gelfand & Mark Saul, Trigonometry ) Cap. 3: relaciones en un triángulo Notas: 1. Los ejercicios marcados con * están resueltos en el libro.
Más detalles1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice?
Pág. 1 Puntos 1 Si los puntos ( 6, 2), ( 2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, cuál es el cuarto vértice? 2 Los puntos ( 2, 3), (1, 2) y ( 2, 1) son vértices de un rombo. Cuáles son las coordenadas
Más detallesNIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : GEOGRAFÍA AYUD. C. ESCOBEDO C. AÑO : 2009 GEOMETRÍA ANALÍTICA
UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA DE GEOGRAFÍA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA CONSTRUCCIÓN ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS
Más detallesPROPORCIONES Y SEMEJANZA. LA RAZON entre dos cantidades es el cociente indicado entre ellas, la razón de a y b se escribe b. a b.
Proporiones y Semejanza 1 PROPORCIONES Y SEMEJANZA LA RAZON entre dos antidades es el oiente indiado entre ellas, la razón de a y b se esribe b a y se lee: a es a b. PROPORCION: Es la igualdad de dos razones.
Más detalles4. Resolver un triángulo rectángulo e isósceles en el que la hipotenusa tiene 9 pies de longitud.
7 CAPÍTULO SIETE Ejercicios propuestos 7.5 Triángulos 1. Construya de ser posible los siguientes triángulos ABC. En caso de que existan, determine sus cuatro puntos característicos empleando regla y compás.
Más detallesEn esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos.
2.2 Triángulos Oblicuángulos En esta unidad también es importante estudiar problemas cuya solución exige la relación con un triangulo no rectángulo o sea triángulos oblicuángulos. Dependiendo de la información
Más detalles1. Producto escalar. Propiedades Norma de un vector. Espacio normado. 1.2.Ortogonalidad. Ángulos. 1.4.Producto escalar en V 3.
. Producto escalar. Propiedades... Norma de un vector. Espacio normado...ortogonalidad. Ángulos..3.Producto escalar en V..4.Producto escalar en V 3.. Producto vectorial de dos vectores de V 3...Expresión
Más detallesCÁLCULO II ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B
ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS CÁLCULO II VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B b) A B + C c) 4A 3B d) 4(A + B) 5C e) 1 2 (A B) + 1 4 C 2. Sean
Más detallesDEPARTAMENTO DE GEOMETRIA ANALITICA SEMESTRE 2016-1 SERIE ÁLGEBRA VECTORIAL
1.-Sea C(2, -3, 5) el punto medio del segmento dirigido AB. Empleando álgebra vectorial, determinar las coordenadas de los puntos A y B, si las componentes escalares de AB sobre los ejes coordenados X,
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA EJERCITARIO DE FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN
UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA CURSO PREPARATORIO DE INGENIERÍA (CPI) EJERCITARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA (ÁLGEBRA VECTORIAL - PRÁCTICA) AÑO 2014 ÁLGEBRA VECTORIAL - EJERCICIOS
Más detalles4, halla sen x y tg x. 5
TRIGONOMETRÍA 1º.- Sabiendo que 90 º < x < 70 º y que 4, halla sen x y tg x. 5 a) sen x? ; de la fórmula fundamental sen x + cos x 1 se obtiene sen x 1 - cos x. 9 5 de donde sen x 5 3, solución positiva
Más detallesMódulo 17. Capítulo 4: Cuadriláteros. 1. En las siguientes figuras (1 al 9) determine el valor de cada variable. Figura 1 Figura 2.
Módulo 17 1. En las siguientes figuras (1 al 9) determine el valor de cada variable. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 210 Capítulo 4: Cuadriláteros Figura 7 Figura 8 Figura 9 2. En
Más detallesMATEMÁTICA-PRIMER AÑO REVISIÓN INTEGRADORA. A) Reproduce la siguiente figura, luego trace las bisectrices de los ángulos ACD y BCD.
Universidad de Buenos Aires Instituto Libre de Segunda Enseñanza MATEMÁTICA-PRIMER AÑO REVISIÓN INTEGRADORA Construcciones con regla no graduada y compás A) Reproduce la siguiente figura, luego trace las
Más detallesTEMARIO PARA EL EXAMEN DE RECUPERACIÓN 4TO AÑO SECUNDARIA 2013
TEMARIO PARA EL EXAMEN DE RECUPERACIÓN 4TO AÑO SECUNDARIA 2013 1.- FUNCIONES: Dominio y rango, función real de variable real, operaciones con funciones, composición de funciones. 2.- ÁNGULOS: congruencia
Más detallesdonde n es el numero de lados. n APOTEMA: Es la altura de un triangulo formado por el centro del polígono regular y dos vértices consecutivos.
Polígonos regulares 1 POLIGONOS REGULARES DEFINICION: Un polígono regular es el que tiene todos sus lados y sus ángulos congruentes. DEFINICION: Un polígono esta inscrito en una circunferencia si sus vértices
Más detalles1. Teoremas válidos para triángulos rectángulos
1. Teoremas válidos para triángulos rectángulos Sea ABC triángulo rectángulo en C, entonces: El lado opuesto al ángulo recto, AB, es llamado HIPOTENUSA, y los lados AC y BC, CATETOS. cateto hipotenusa
Más detallesSolución: I.T.I. 96, 98, 02, 05, I.T.T. 96, 99, 01, curso cero de física
VECTORES: TRIÁNGULOS Demostrar que en una semicircunferencia cualquier triángulo inscrito con el diámetro como uno de sus lados es un triángulo rectángulo. Solución: I.T.I. 96, 98, 02, 05, I.T.T. 96, 99,
Más detallesSOLUCIÓN PRIMERA ELIMINATORIA NACIONAL NIVEL C
XXIV OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMÁTICA MEP ITCR UCR UNA UNED - MICIT SOLUCIÓN PRIMERA ELIMINATORIA NACIONAL NIVEL C 01 1. Un factor de la factorización completa de corresponde a mx y + 9y m x y x 4
Más detallesAreas y perímetros de triángulos.
Areas y perímetros de triángulos. Teorema de Pitágoras. Propiedades de las medidas de los lados de todo triángulo. Area de un triángulo rectángulo y cualquiera. Perímetro y semiperímetro de un triángulo
Más detallesACTIVIDADES PROPUESTAS
GEOMETRÍA DINÁMICA ACTIVIDADES PROPUESTAS 1. Dibujar un pentágono y trazar sus diagonales. 2. A partir de una circunferencia c y de un punto exterior A, trazar la circunferencia que tiene centro en el
Más detallesPotencia y eje radical Carmela Acevedo
Potencia y eje radical Carmela Acevedo Potencia Definición: La potencia de un punto P respecto a una circunferencia Γ es el producto P A P B, donde A y B son los puntos de corte de una recta secante a
Más detallesTeorema de Stewart y Círculo de Apolonio. Mauricio Marcano
Teorema de Stewart y Círculo de Apolonio Mauricio Marcano 1. Teorema de Stewart Sean a,b,c las longitudes de los lados BC, AC y AB respectivamente, del triángulo ABC. Sea D un punto dentro del segmento
Más detallesAdemás de la medida, que estudiaremos a continuación, consideraremos que los ángulos tienen una orientación de acuerdo con el siguiente convenio:
Trigonometría La trigonometría trata sobre las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. El concepto fundamental sobre el que se trabaja es el de ángulo. Dos semirrectas con un origen
Más detallesDISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO.
RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN Determina la distancia entre pares de puntos. Calcula las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son dos puntos dados. Halla la pendiente de una recta. COMUNICACIÓN
Más detallesValores de las funciones trigonométricas en los ángulos múltiplos de π 4 y de π 6
Valores de las funciones trigonométricas en los ángulos múltiplos de y de Vamos a recordar como se deducen los valores del cos y sen del ángulo. Preliminares de geometría. Teorema de Pitágoras. Denotemos
Más detallesDibujar un rombo de diagonal BD y lado AB dados. Se dibuja la diagonal DB y se trazan arcos con centro en sus extremos y radio AB, para hallar A y C.
Algunos problemas de cuadriláteros Propiedades Para la resolución de problemas de cuadriláteros es necesario conocer algunas de sus propiedades : - Las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus respectivos
Más detallesOlimpiada Costarricense de Matemáticas. II Eliminatoria Curso preparatorio Nivel A. Elaborado por: Christopher Trejos Castillo GEOMETRÍA
Olimpiada Costarricense de Matemáticas II Eliminatoria 011 Curso preparatorio Nivel A Elaborado por: Christopher Trejos Castillo GEOMETRÍA La notación que utilizaremos en este trabajo es la siguiente:
Más detallesUn paralelogramo es un cuadrilátero con sus lados opuestos paralelos. Los paralelogramos gozan de las siguientes propiedades PROPIEDAD 1
1.1. PARALELOGRAMO Definiión Un paralelogramo es un uadrilátero on sus lados opuestos paralelos o Los paralelogramos gozan de las siguientes propiedades PROPIEDAD 1 En todo paralelogramo, los lados opuestos
Más detallesm n a c b d 2.a.b.c.d. Cos A C.
GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO.- ARTÍCULO ESPECIAL CON MOTIVO DE LA EDICIÓN DEL NÚMERO 700 DE LA REVISTA. ALGUNOS TEOREMAS OLVIDADOS: BRETSCHNEIDER Y POMPEIU. Florentino Damián Aranda Ballesteros, profesor del
Más detallesCurso Curso
Problema 84. Sea AB el diámetro de una semicircunferencia de radio R y sea O el punto medio del segmento AB. Con centro en A y radio OA se traza el arco de circunferencia OM. Calcular, en función de R,
Más detallesSolución: Observamos que los números de la sucesión se pueden escribir de la siguiente L de esta manera la suma de los primeros
roblema : uánto suman los primeros 008 términos de la suesión 0,,,,, L? Soluión: Observamos que los números de la suesión se pueden esribir de la siguiente 0 manera,,,,, L de esta manera la suma de los
Más detallesTutorial MT-b8. Matemática 2006. Tutorial Nivel Básico. Triángulos II
134567890134567890 M ate m átia Tutorial MT-b8 Matemátia 006 Tutorial Nivel Básio Triángulos II Matemátia 006 Tutorial Triángulos II Maro teório: 1. Triángulo retángulo: Es aquel triángulo que posee un
Más detallesPROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta
PROBLEMAS MÉTRICOS Página 3 REFLEXIONA Y RESUELVE Diagonal de un ortoedro Halla la diagonal de los ortoedros cuyas dimensiones son las siguientes: I) a =, b =, c = II) a = 4, b =, c = 3 III) a =, b = 4,
Más detallesMatriz Inversa. 1. Transpuesta de una matriz. 2. Matriz identidad. 3. Matriz inversa
Matriz Inversa Transpuesta de una matriz Si A es una matriz m x n entones la transpuesta de A denotada por A T se dene omo la matriz n x m que resulta de interambiar los renglones y las olumnas de A Si
Más detallesHexágono. Los polígonos de cuatro lados, como rectángulos y cuadrados, se llaman cuadriláteros. Los cuadriláteros tienen propiedades especiales.
CUADRILÁTEROS " Wow!" Exlamó Juanita mirando una estrutura de ristal a las afueras del museo de arte. "Vamos a ver eso," le dijo a su amiga Samantha. Samantha se aeró a ver lo que Juanita estaba observando
Más detalles5 Geometría analítica plana
Solucionario Geometría analítica plana ACTIVIDADES INICIALES.I. Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A(, ) y B(8, ). El punto medio es M(, 8)..II. Dibuja un triángulo isósceles
Más detalles1. (D) La siguiente figura muestra un triángulo ABC, donde BC = 5 cm, B = 60º, C = 40º.
MATEMÁTICAS NM TRIGONOMETRÍA 1. (D) La siguiente figura muestra un triángulo ABC, donde BC = 5 cm, B = 60º, C = 40º. a) Calcule AB. b) Halle el área del triángulo. 2. (D) La siguiente figura muestra una
Más detallesB) Solo II C) I y II D) I y III E) I, II y III. A) 8 cm 2 B) 15 cm 2 C) 40 cm 2 D) 60 cm 2 E) 120 cm 2
EJERCICIOS DE ÁREAS Y PERÍMETROS DE TRIÁNGULOS 1. En el triángulo ABC es isósceles y rectángulo en C. Si AC = 5 cm y AD = cm, cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera (s)?: I) Área
Más detallesVECTORES vector Vector posición par ordenado A(a, b) representa geométricamente segmento de recta dirigido componentes del vector
VECTORES Un vector (Vector posición) en el plano es un par ordenado de números reales A(a, b). Se representa geométricamente por un segmento de recta dirigido, cuyo punto inicial es el origen del sistema
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN ANGULOS Y TRIANGULOS
MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN ANGULOS Y TRIANGULOS CONCEPTOS BÁSICOS Punto, línea recta y plano: son conceptos que no de nimos pero utilizamos su representación grá
Más detallesPolígonos Polígonos especiales: Cuadriláteros y triángulos
Polígonos Polígonos especiales: Cuadriláteros y triángulos 1) a) Busca información sobre polígonos equiláteros, equiángulares y regulares. Lista semejanzas y diferencias. b) Haz una lista de los polígonos
Más detallesSeminario de problemas. Curso Hoja 5
Seminario de problemas. Curso 2014-15. Hoja 5 29. Encuentra los números naturales N que cumplen las siguientes condiciones: sus únicos divisores primos son 2 y 3, y el número de divisores de N 2 es el
Más detallesB7 Cuadriláteros. Geometría plana
Geometría plana B7 Cuadriláteros Cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Lados opuestos son los que no tienen punto común. Ejemplo AB y CD, AD y BC. Lados contiguos son los que tienen un extremo común.
Más detallesDibujo Técnico Triángulos
12. TRIÁNGULOS 12.1. Características generales Un triángulo ABC es una figura plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos, determinando los segmentos AB, AC y BC que son los lados del triángulo.
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA RESUELTOS 1.- Dada la recta r: 4x + 3y -6 = 0, escribir la ecuación de la recta perpendicular a ella en el punto de corte con el eje de ordenadas. : - Hallamos el punto de corte
Más detallesLlamamos área o superficie a la medida de la región interior de un polígono. Figura Geométrica Perímetro Área. p = a + b + c 2 2.
GUÍA GEOMETRÍA PERÍMETRO Y AREA DE FIGURAS PLANAS Llamamos área o superficie a la medida de la región interior de un polígono. El perímetro corresponde a la suma de los lados del polígono. Figura Geométrica
Más detallesUNIDAD 14 CONJUNTOS. Objetivo 1. Recordarás la definición de un conjunto y sus elementos.
UNIDAD 14 CONJUNTOS Objetivo 1. Recordarás la definición de un conjunto y sus elementos. Ejercicios resueltos: 1. {2, 4, 6} es un conjunto. Los elementos que forman este conjunto son: 2, 4, 6 2. Cuántos
Más detallesEl teorema de Euclides tiene dos enunciados que conocemos con los nombres de teorema del cateto y teorema de la altura.
El teorema de Euclides tiene dos enunciados que conocemos con los nombres de teorema del cateto y teorema de la altura. Teorema del cateto: El cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre
Más detallesUniversidad del istmo INGENIERÍA EN SISTEMAS CON ÉNFASIS EN SEGURIDAD INFORMATICA
Universidad del istmo INGENIERÍA EN SISTEMAS CON ÉNFASIS EN SEGURIDAD INFORMATICA ASIGNATURA: Cálculo Diferencial e Integral I PROFESOR: José Alexander Echeverría Ruiz CUATRIMESTRE: Segundo TÍTULO DE LA
Más detallesTEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRÍA
Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato TEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRÍA UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS EJERCICIO a Pasa a radianes los siguientes ángulos: y 7 b) Pasa a grados los ángulos: 7 rad
Más detallesTEMA 3. TRIGONOMETRÍA
TEMA 3. TRIGONOMETRÍA Definiciones: 0 30 45 60 90 180 270 360 Seno 0 1 0-1 0 Coseno 1 0-1 0 1 Tangente 0 1 0 0 Teorema del seno: Teorema del coseno: Fórmulas elementales: FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS. Suma
Más detallesRELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
TUTORIAL DE PREPARAIÓN MATEMATIA 009 RELAIONES MÉTRIAS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO I.- MARO TEORIO DEPTO. DE MATEMATIA Ls relciones métrics en un triángulo rectángulo son 5 relciones plicles sólo este tipo
Más detalles2. Cuál es el valor del cociente de la suma entre la diferencia de los senos de dos ángulos?
1. Qué relaciones ligan las razones trigonométricas de (45º-a) y (45º+a) 2. Cuál es el valor del cociente de la suma entre la diferencia de los senos de dos ángulos? 3. Demostrar la fórmula: 4. Expresar
Más detallesMYP (MIDDLE YEARS PROGRAMME)
MYP (MIDDLE YEARS PROGRAMME) 2014-2015 Fecha 19/05/2015 APUNTES DE GEOMETRÍA 2º ESO 1. EL TEOREMA DE PITÁGORAS El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa
Más detallesGEOMETRIA EUCLIDEA. 3.-Determinar m para que el producto escalar de u=(m,5) y v=(2,-3) sea la unidad.
PRODUCTO ESCALAR GEOMETRIA EUCLIDEA 1.-Dados los vectores u,v y w tales que u*v=7 y u*w=8, calcular: u*(v+w); u*(2v+w); u*(v+2w) 2.-Sea {a,b} una base de vectores unitarios que forman un ángulo de 60.
Más detallesTALLER DE POLÍGONOS Y CÍRCULOS (Areas y Perímetros)
3 TALLER DE POLÍGONOS Y CÍRCULOS (Areas y Perímetros) Ejemplo 1: Un rectángulo tiene 60 m de área y 3m de perimetro. Hallar sus dimensiones.. Ejemplo : La base de un rectángulo es el triple de su altura
Más detallesTriángulos. 1. En todo triángulo la suma de sus ángulos interiores es En todo triángulo la suma de los ángulos exteriores es 360
Triángulos Es un polígono formado por tres segmentos cuyos tres puntos de intersección no están en línea recta. Triángulo ABC A,B y C son vértices del triángulo α, β, γ s interiores. a, b y c, longitud
Más detallesFundación Uno. 2x La gráfica que se muestra en la figura siguiente corresponde a la función:
ENCUENTRO # 49 TEMA: Ángulos en Geometría Euclidiana. CONTENIDOS: 1. Introducción a Geometría Euclidiana. 2. Ángulos entre rectas paralelas y una transversal. 3. Ángulos en el triángulo y cuadriláteros.
Más detallesCUENCA DEL ALTO PARANÁ Soluciones - Primer Nivel
CUENCA DEL ALTO PARANÁ Soluciones - Primer Nivel Problema 1: Si se traza una recta m paralela a r que pase por el centro del rectángulo, éste quedará seccionado en dos trapecios iguales. En efecto, trazando
Más detallesMatemática 3 Colegio N 11 B. Juárez
Unidad 4: RAZONES Y PROPORCIONES Definición de RAZÓN: Se denomina razón entre dos números racionales a y b, al cociente (división) entre ambos, siendo b distinto de 0. a se denomina antecedente Ejemplo
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS GEOMETRÍA
PROBLEMAS RESUELTOS GEOMETRÍA ) Uno de los vértices de un paralelogramo ABCD es el punto A(, ) y dos de los lados están sobre las rectas r : 3x -y- =, s : 6x -7y- =. Calcula los demás vértices. Como el
Más detallesParte II. Geometría.
Parte II Geometría. 71 Capítulo 6 El Tangram. 6.1 Tipos y reglas de uso. Un antiguo pasatiempo chino conocido también como La Tabla de las Siete Sabidurías o Siete Vivezas. Rompecabezas cuyo carácter
Más detallesTriángulos isóceles y simetría
CHAPTER 5 Triángulos isóceles y simetría 35. Teoremas. (1) En un triángulos isóceles la bisectriz del ángulo en el vértice es al mismo tiempo la mediana y la altura. (2) En un triángulos isóceles los ángulos
Más detallesUniversidad de Antioquia
1 Olimpiadas Regionales de Matemática, 2015. Universidad de Antioquia www.gkmath.com AVISO: Los textos aquí publicados son responsabilidad total de sus creadores. Estos son materiales en construcción.
Más detallesAYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA
AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA AYUDA : Grafiquemos la función Solución: Se debe escoger algunos números que representan a la variable x, para obtener el valor de la variable y respectivamente así: El proceso:
Más detallesEjercicios para 1 EMT geometría (extraídos de los parciales y exámenes)
Ejercicio 1 Construya con regla y compas un triángulo ABC conociendo: { Indicar programa de construcción. Ejercicio 2 Dado ABC tal que: { se pide a) Construir todos los puntos P que cumplan simultáneamente:
Más detallesTRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
PR SER TRJDO EL 09 y 16 DE GOSTO 2011 RZONMIENTO Y DEMOSTRIÓN Selecciona los procedimientos a seguir en la resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos. RESOLUIÓN DE PROLEMS Resuelve problemas
Más detallesUn triangulo oblicuángulo es aquel que tiene tres ángulos agudos, o dos ángulos agudos y un ángulo obtuso.
1 Un triangulo oblicuángulo es aquel que tiene tres ángulos agudos, o dos ángulos agudos y un ángulo obtuso. Cuando se tiene un triángulo oblicuángulo se pueden presentar los siguientes casos: Se conoce
Más detallesMINISTERIO DE EDUCACIÓN Concurso Nacional de Matemática Educación Preuniversitaria Curso 2009 2010 Temario por Grados
MINISTERIO DE EDUCACIÓN Concurso Nacional de Matemática Educación Preuniversitaria Curso 009 010 Temario por Grados Nombre: Grado: Escuela: Provincia: Municipio: Número C.I.: Calif: La distribución de
Más detallesPreparación para la XLVII Olimpiada Matemática Española (II) Soluciones
Preparación para la XLVII Olimpiada Matemática Española (II) Soluciones Eva Elduque Laburta y Adrián Rodrigo Escudero 5 de noviembre de 010 Problema 1. Construir un triángulo conocidos 1. un lado, su ángulo
Más detallesConjugados Armónicos
Conjugados Armónicos Sofía Taylor Febrero 2011 1 Puntos Conjugados Armónicos Sean A y B dos puntos en el plano. Sea C un punto en el segmento AB y D uno sobre la prolongación de AB tal que: donde k es
Más detallesLa razón entre los lados homólogos es la razón de semejanza. Si dos figuras son semejantes la razón entre sus áreas es:
TEMA 7: SEMEJANZA FIGURAS SEMEJANTES Dos figuras son semejantes si sus segmentos correspondientes, u homólogos, son proporcionales y sus ángulos iguales. Es decir; o son iguales, o tienen "la misma forma"
Más detallesContenidos. Triángulos I. Elementos primarios. Clasificación. Elementos secundarios. Propiedad Intelectual Cpech
ontenidos Triángulos I Elementos primarios lasificación Elementos secundarios Triángulos Es un polígono de tres lados. Posee tres vértices, tres lados, tres ángulos interiores y tres ángulos exteriores.
Más detalles13. PROBLEMAS DE CUADRILÁTEROS
13. PROBLEMAS DE CUADRILÁTEROS 13.1. Propiedades. Para la resolución de problemas de cuadriláteros es necesario conocer algunas de sus propiedades: - Las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus
Más detallesUNIDAD 12. CUADRILÁTEROS
UNIDAD 12. ESQUEMA DE LA UNIDAD FICHA DE TRABAJO A FICHA DE TRABAJO B SOLUCIONES 12 ESQUEMA DE LA UNIDAD Nombre y apellidos:... Curso:... Fecha:... Un cuadrilátero puede ser:, si tiene dos pares de lados
Más detallesINSTITUTO DE FORMACIÓN DOCENTE DE CANELONES REPARTIDO Nº 6. 3) Calcular la diagonal de un cuadrado de 7 cm de lado.
REPARTIDO Nº 6 1) Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los catetos miden 6 cm y 8 cm respectivamente. 2) Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y uno de sus catetos
Más detallesTRIÁNGULOS: RELACIONES DE DESIGUALDAD ENTRE SEGMENTOS Y ÁNGULOS
TRIÁNGULOS: RELACIONES DE DESIGUALDAD ENTRE SEGMENTOS Y ÁNGULOS Introducción.- Anteriormente, a partir de la congruencia de triángulos, hemos estudiado las condiciones que han de verificarse para que dos
Más detalles67.- El triángulo ABC es equilátero; BD y DE son bisectrices. Entonces AED =?
GUIA 4 MEDIO MATEMATICA UNIDAD 3: GEOMETRIA. CONTENIDOS: Calculo de ángulos NOMBRE: 65.- Fecha:.. 66.- En el triángulo ABC de la figura, AC BC. Entonces α + β =? A) 90º B) 180º C) 240º D) 270º E) 290º
Más detallesLíneas paralelas. Se llaman líneas paralelas las que se hallan en un mismo plano y no se intersectan por mas que se prolonguen.
1.1 ngulos entre paralelas. apítulo 1. onceptos ásicos de Geometría Líneas paralelas. Se llaman líneas paralelas las que se hallan en un mismo plano y no se intersectan por mas que se prolonguen. Si una
Más detallesSegmentos proporcionales
Septiembre Diciembre 2008 INAOE 9/1 Hallar las razones directas e inversas de los segmentos a y b, sabiendo que: (1) a = 18 m, b = 24 m (3) a = 25 cm, b = 5 cm (5) a = 2.5 dm, b = 50 cm (7) a = 5 Hm, b
Más detallesPOLIGONOS. Nº DE LADOS NOMBRE 3 Triángulos 4 Cuadriláteros 5 Pentágonos 6 Hexágonos 7 Heptágonos 8 Octógonos 9 Eneágonos 10 Decágonos
1 POLIGONO POLIGONOS Polígono es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. Lados Vértices Polígono regular es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales, mientras que polígono irregular
Más detallesSESIÓN DE APRENDIZAJE
INSTITUCIÓN EDUCATIVA INMACULADA DE LA MERCED SESIÓN DE APRENDIZAJE APRENDIZAJE ESPERADO Determina la regla de orrespondenia de una funión Representa e Identifia funiones Resuelve operaiones on funiones
Más detalles8 GEOMETRÍA DEL PLANO
EJEROS PROPUESTOS 8.1 alcula la medida del ángulo que falta en cada figura. 6 A 145 15 105 160 130 En un triángulo, la suma de las medidas de sus ángulos es 180. Ap 180 90 6 8 El ángulo mide 8. En un hexágono,
Más detalles