UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR LINEAS DE ESPERA USB PS4161 GESTION DE LA PRODUCCION I LINEAS DE ESPERA

Transcripción

1 UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR LINEAS DE ESPERA 1

2 Contenido Características de un sistema de líneas de espera Características de las llegadas Características de la línea de espera Características del dispositivo de servicio Medida del funcionamiento de las colas Costos de las colas 2

3 Contenido Tipos de modelos de colas Modelo A: modelo de cola de canal único y tiempos exponenciales de servicio Modelo B: modelo de cola muticanal Modelo C: modelo de tiempo de servicio constante Modelo D: modelo de población limitada Otrosenfoquesde lascolas Modelos de decisión de colas 3

4 Objetivos de aprendizaje Cuando haya completado este capítulo, debe ser capaz de: Identificar o definir: Supuestos de los cuatro modelos básicos de líneas de espera Describir o explicar: Cómo aplicar los modelos de líneas de espera Cómo dirigir un análisis económico de colas 4

5 Usted ha estado ahí antes Gracias por esperar. Hola,... está usted ahí? La otra línea siempre va es más rápida. Si usted cambia de línea, la que dejó de utilizar comenzará a ir más rápido que la nueva Corel Corp. 5

6 Sistema de líneas de espera Llegadas Línea de espera Sistema de servicio Dispositivo de servicio 1995 Corel Corp. 6

7 Ejemplos de líneas de espera Situación Llegadas Servidores Proceso de servicio Banco Clientes Cajero Depósito, etc. Consulta Pacientes Doctor Tratamiento del médico Cruce Coches Luz Paso controlado de tráfico Cadena Piezas de de montaje Montaje Trabajadores 7

8 Líneas de espera Estudiadas por primera vez por A. K. Erlang en 1913: Análisis de los servicios telefónicos. Área de conocimiento denominada teoría de colas: Cola es otra denominación para línea de espera. Problema de decisión: Equilibrio entre el costo de suministrar un buen servicio y el costo de tiempo de espera de los clientes. 8

9 Costos de las líneas de espera Costo Costo esperado total Costo por servicio (operación) Costo del tiempo en cola (clientes( clientes) Óptimo Nivel de servicio 9

10 Terminología de las líneas de espera Cola: línea de espera. Llegada de clientes: una persona, máquina, pieza, etc. que llega y demanda un servicio. Disciplina de cola: reglas para determinar el orden en el cual las llegadas (clientes) reciben el servicio. Canal: número de líneas de espera o unidades de servicio. Fase: número de pasos a seguir en el servicio. 10

11 Características de la llegada Población Línea de espera Dispositivo de servicio Características de la llegada Distribución de la llegada: Poisson Otras Patrón de las llegadas: Aleatoria Secuencia conocida Tamaño de la población: Limitada Ilimitada Comportamiento de las llegadas: Ponerse a la cola y esperar a ser servido Se niegan a colocarse en la cola Reniegan, abandonan la cola 11

12 Características de las llegadas Origen de las llegadas (población) Tamaño Ilimitado 12

13 Características de las llegadas Origen de las llegadas (población) Número fijo de aviones para revisión Tamaño Ilimitado Limitado 1995 Corel Corp. 13

14 Características de las llegadas Origen de las llegadas (población) Tamaño Patrón de llegadas Ilimitado Limitado Aleatorio No aleatorio 14

15 Características de las llegadas Origen de las llegadas (población) Tamaño Patrón de llegadas Ilimitado Limitado Aleatorio No aleatorio Poisson Otros 15

16 Llegadas aleatorias Los clientes llegan de forma aleatoria Distribución discreta x es el número de llegadas durante una unidad de tiempo determinada (una hora, un minuto) E{x} = número promedio de llegadas por unidad de tiempo 16

17 Distribución de Poisson Número de llegadas que ocurren en un intervalo de tiempo: Ejemplo: número de clientes que llegan en 15minutos. Media = λ (por ejemplo: 5/hora) 0,6 P(X) λ = 0,5 0,3 0, ,6 P(X) λ = 6,0 0,3 0, X X 17

18 Distribución Poisson La función de probabilidad: e P ( x = k ) = λ λ k! La media y la varianza son: k E{ x} = λ Var{ x} = λ 18

19 Distribuciones de Poisson para los tiempos de llegada 0,30 0,30 0,25 0,25 0,20 0,20 Probabilidad ,10 Probabilidad 0,15 0,10 0,05 0,05 0, x 0, x λ=2 λ=4 19

20 Probabilidad de llegada de clientes En una instalación de servicio llegan los clientes de acuerdo a una distribución Poisson con una tasa de 4/minuto. Cuál es la probabilidad de que al menos un cliente llegue en cualquier intervalo dado de 30 segs.? 20

21 Probabilidad de llegada de clientes λ = 4 / 2 = 2clientes / 30segs. 30segs P ( x = 0 ) = e 2 2 0! 0 = P { x 1 } = 1 P{ x = 0} = =

22 Características de las llegadas Origen de las llegadas (población) Tamaño Patrón de llegada Comportamiento Ilimitado Limitado Aleatorio No aleatorio Paciente Impaciente Poisson Otros 22

23 Características de las llegadas Origen de las llegadas (población) Tamaño Patrón de llegada Comportamiento Ilimitado Limitado Aleatorio No aleatorio Paciente Impaciente Poisson Otros Rehúsa 23

24 Origen de las llegadas La cola era demasiado larga! Línea de espera Sistema de servicio Dispositivo de servicio Rehusar 1995 Corel Corp. 24

25 Características de las llegadas Origen de las llegadas (población) Tamaño Patrón de llegada Comportamiento Ilimitado Limitado Aleatorio No aleatorio Paciente Impaciente Poisson Otros Rehúsa Reniega 25

26 Renegar Origen de las llegadas Línea de espera Sistema de servicios Dispositivo de servicio Me voy! 1995 Corel Corp. 26

27 Características de la línea de espera Población Línea de espera Dispositivo de servicio Características de la línea de espera Tamaño de la cola: Limitado (Ej. cola de proceso) Ilimitado (Ej. pedidos de correo) Prioridad del servicio: orden en el cual los clientes seleccionan una cola: FIFO (First In First Out) o FCFS (First Come First Served) LIFO (Last In First Out) o LCFS (Last Come First Served) SIRO (Service in Random Order) Otros (Prioridad Ej. Trabajos urgentes) 27

28 Características de la línea de espera Línea de espera Duración Ilimitada 1995 Corel Corp. 28

29 Características de la línea de espera Línea de espera Duración 1995 Corel Corp. Ilimitada Limitada 1995 Corel Corp. 29

30 Características de la línea de espera Línea de espera Duración Disciplina de cola Ilimitada Limitada FIFO (FCFS) Aleatorio (SIRO) Prioridad LIFO (LCFS) 30

31 Características del dispositivo de servicio Población Línea de espera Dispositivo de servicio Características del dispositivo de servicio Número de canales: Único (un solo servidor) Múltiple (varios servidores en paralelo) Número de fases en el sistema de servicio: Único Múltiple Distribución del tiempo de servicio: Exponencial negativo Otros 31

32 Características del servicio Dispositivo de servicio Configuración Canal único Multicanal Fase única 32

33 Atención al cliente aleatoria El tiempo de servicio es aleatorio Se modela mediante la distribución exponencial negativa La función de distribución es f = µ e µ t ( t) t 0 33

34 Distribución exponencial negativa Tiempo de servicio : Ejemplo: el tiempo de servicio es de 20 minutos. Tasa de servicio media = µ Por ejemplo: clientes/hora. Tiempo de servicio medio = 1/µ Probabilidad t>x 0,4 0,3 0,2 0,1 0 µ=1 µ=2 µ=3 µ= x 34

35 Distribución exponencial negativa Probability Probabilidad , ,05 0, , , , Tiempo de servicio medio = 1 hora µ=1 cliente/hora Tiempo de servicio medio = 20 minutos µ=3 cliente/hora Service time (minutes) Tiempo de servicio (minutos) 35

36 Tiempo de servicio Probabilidad P( x > t) = e µ t La media y la varianza 1 E {} t = Var{} t = 2 µ 1 µ 36

37 Tiempo de servicio Una máquina de servicio presenta un promedio de una falla cada 40 minutos. Determine el número promedio de fallas en una semana, si el servicio se ofrece 24 horas, los 7 días de la semana. Determine la probabilidad de que la siguiente falla no ocurra dentro de 3 horas. 37

38 Tiempo de servicio µ = 60 = fallas / hora E { fallas / semana} = 1.5*24*7 = 252 f / sem P ( x 3) = e 1.5*3 =

39 Recuerde: λ y µ son valores λ = número medio de llegadas por período de tiempo. Ejemplo: 3 unidades/hora µ = número medio de personas o artículos servidos por período de tiempo. Ejemplo: 4 unidades/hora Si el tiempo de servicio medio es 15 minutos, entonces µ es 4 clientes/hora T/Maker Co. 1/µ = 15 minutos/unidad 39

40 Sistema de un canal, una fase Llegadas Cola Sistema de servicio Dispositivo de servicio Unidades servidas Barcos en el mar Sistema de descarga de barcos Línea de espera de los barcos Bahía Barcos vacíos 40

41 Sistema de un canal, multifase Llegadas Cola Sistema de servicio Dispositivo de servicio Dispositivo de servicio Unidades servidas Autos en el área Ventanilla de servicio a automóviles de McDonald s Autos en cola Pago Recogida Autos y comida 41

42 Sistema multicanal, una fase Llegadas Cola Sistema de servicio Dispositivo de servicio Unidades servidas Dispositivo de servicio Ejemplo: los clientes del banco esperan en una única cola para ser atendidos en alguna de las diferentes ventanillas. 42

43 Sistema multicanal, multifase Llegadas Cola Sistema de servicio Dispositivo de servicio Dispositivo de servicio Unidades servidas Dispositivo de servicio Dispositivo de servicio Ejemplo: en una lavandería, los clientes utilizan una de las diferentes lavadoras y después, una de las diferentes secadoras. 43

44 Definiciones Número de clientes en el sistema= n Tasa de llegada nominal de clientes = λ Tasa de llegada efectiva de clientes = λ efectiva λ= λ efectiva + λ pérdida Tasa de salida de clientes = µ ρ = λ efectiva / µ suponemos ρ<1 (estabilidad) Probabilidad de n clientes en el sistema = p n 44

45 Medidas de rendimiento Tiempo medio en la cola, W q. Longitud media de la cola, L q. Tiempo medio en el sistema, W s. Número medio de clientes en el sistema, L s. Probabilidad de que el dispositivo de servicio esté desocupado, p 0. 45

46 Medidas de rendimiento Tamaño de las colas L = s np n n=1 L = +( n c) q p n n= c 1 Fórmulas de Little L s = λ eff W s L q = λ eff W q 46

47 Medidas de rendimiento Tiempo en el sistema y tamaño de la cola: W = W s q + 1 µ L = L + s q λ efectiva µ 47

48 Medidas de rendimiento Número promedio de servidores ocupados: c c = L L = s q λ efectiva Porcentaje de utilización de los servidores: c c *100 µ 48

49 Notación Kendall a = descripción de la distribución de llegadas (M = Poisson) b = descripción de la distribución de salidas (M = Exponencial negativa, D= tiempo constante) c = número de servidores paralelos d = disciplina de la cola (FIFO, LIFO, SIRO, GD) e = número máximo de clientes permitido en el sistema (N) f = tamaño de la fuente generadora de clientes (N o :) ( a / b / c) : ( d / e / f ) 49

50 Características del modelo de colas básico Las llegadas se sirven con disciplina primero que llega, primero que se sirve (FIFO). Las llegadas son independientes de las llegadas anteriores. Los patrones de llegada se describen mediante una distribución de probabilidad de Poisson. Los clientes provienen de una población muy grande. Los tiempos de servicio varían de un cliente a otro y son independientes entre sí, pero se conoce el tiempo de servicio medio. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial negativa. El ritmo de servicio es mayor que el de llegadas (ρ<1). 50

51 Tipos de modelos de colas Simple (M/M/1) : (GD/:/:) Ejemplo: ventanilla de información en unos almacenes. Multicanal (M/M/c) : (GD/:/:) Ejemplo: mostrador de venta de billetes de una línea aérea. Servicio constante (M/D/1) : (GD/N/:) Ejemplo: túnel de lavado de autos. Población limitada (M/M/c) : (GD/N/N) Ejemplo: departamento que tiene sólo 7 taladradoras. Auto servicio (M/M/:) : (GD/:/:) 51

52 Características del modelo simple (M/M/1) : (GD/:/:) Modelo: sistema de un canal, una fase. Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega. Distribución de llegada: Poisson. Cola: ilimitada, una sola cola. Disciplina de cola: FIFO (FCFS). Distribución del servicio: exponencial negativa. Relación: servicio y llegada independientes. Ritmo de servicio > ritmo de llegada 52

53 Ecuaciones del modelo simple (M/M/1) : (GD/:/:) Número medio de unidades en cola: Tiempo medio en el sistema: Número medio de unidades en cola: Tiempo medio en cola: Utilización del sistema: W s L L s q W q = λ = µ - λ 1 = µ - λ 2 λ = µ (µ - λ ) λ µ (µ - λ ) ρ = λ µ 53

54 Ecuaciones de probabilidad simple (M/M/1) : (GD/:/:) Probabilidad de que haya 0 unidades en el sistema, es decir, que el sistema esté desocupado: λ P = 1- ρ = 1-0 µ Probabilidad de que haya más de k unidades en el sistema, = P n>k ( ) λ µ k+1 donde n es el número de unidades en el sistema. 54

55 Características del modelo de cola multicanal (M/M/c) : (GD/:/:) Tipo: sistema multicanal. Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega. Distribución de llegada: Poisson. Cola: ilimitada, colas múltiples. Disciplina de cola: FIFO (FCFS). Distribución del servicio: exponencial negativa. Relación: servicio y llegada independientes. Σ Ritmo de servicio > ritmo de llegada 55

56 Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/c) : (GD/:/:) Probabilidad de que haya cero personas o unidades en el sistema: Número medio de personas o unidades en el sistema: Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema: 1 λ n! µ p 0 L W s s = = c 1 n= 0 n λµ λ µ 1 1 λ + c! µ c p cµ cµ λ λ ( )( ) 0 c 1! cµ λ µ µ λ µ = p c ( c 1 )(! cµ λ) µ c

57 Ecuaciones del modelo de cola multicanal (M/M/c) : (GD/:/:) Número medio de personas o unidades esperando en la cola para recibir el servicio: Tiempo medio que una persona o unidad permanece en la cola: L q W q = = L s W s λ µ 1 µ 57

58 Características del modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1) : (GD/:/:) Modelo: sistema de un canal, una fase. Origen de la llegada: ilimitado, no rehúsa, no reniega. Distribución de llegada: Poisson. Cola: ilimitada, una única cola. Disciplina de cola: FIFO (FCFS). Distribución del servicio: exponencial negativa. Relación: llegada y servicio independiente. Σ Ritmo de servicio > ritmo de llegada 58

59 Ecuaciones del modelo de tiempo de servicio constante (M/D/1) : (GD/:/:) Número medio de personas o unidades esperando para recibir servicio: Tiempo medio que una persona o unidad permanece en la cola: Número medio de personas o unidades en el sistema: Tiempo medio que una unidad permanece en el sistema: L q W L s W q s = = = = 2µ 2µ L q W λ 2 ( µ λ) q λ ( µ λ) + λ µ + 1 µ 59

60 Características del modelo de población limitada (M/M/c) : (GD/N/N) Modelo: sistema de un canal, una fase. Origen de la llegada: limitado, no rehúsa, no reniega. Distribución de llegada: Poisson. Cola: ilimitada, una única cola. Disciplina de cola: FIFO (FCFS). Distribución del servicio: exponencial negativa. Relación: servicio y llegada independientes. Σ Ritmo de servicio > ritmo de llegada 60

61 Modelos de decisión de colas Modelos de costos Modelo de aspiración de nivel Utilizan las medidas de rendimiento desarrolladas para conseguir un balance entre los factores en conflicto: Nivel de servicio Espera 61

62 Modelos de costos Intentan balancear dos costos en conflicto donde: El costo de ofrecer el servicio El costo de retraso en la oferta del servicio (tiempo de espera del cliente) ETC (x) = EOC(x) + EWC(x) x= nivel de servicio (medido por µ o por c) ETC = Costo Total esperado por unidad de tiempo EOC = Costo esperado de operación por unidad de tiempo EWC = Costo esperado de espera por unidad de tiempo 62

63 Costos de las líneas de espera Costo por Unidad de tiempo Costo esperado total (ETC) Costo por servicio (operación))(eoc) Costo del tiempo en cola (clientes( clientes) (EWC) Óptimo Nivel de servicio (x) 63

64 Modelo siguiendo funciones lineales Las formas más simples son: EOC(x) = C 1 x donde: C 1 C 2 EWC(x) = C 2 L s = costo marginal por unidad de x por unidad de tiempo = costo de espera por unidad de tiempo por cliente (en espera) x = medido por µ o por c 64

65 Modelo de nivel de aspiración Trabaja directamente con las medidas de rendimiento arrojadas por el modelo de colas. Se determina el rango aceptable para el nivel de servicio (medido por µ o por c) especificando límites razonables sobre las medidas de rendimiento en conflicto. Estos límites son los niveles de aspiración que se desea lograr. 65

66 Ilustración de nivel de aspiración Para el modelo de servidor múltiple: Medidas de desempeño: W s = tiempo de espera promedio en el sistema X = porcentaje de ociosidad de los servidores X = ( c c) c ( L L ) c s q λ * 100 *100 = 1 fectiva = *100 c cµ 66

67 Ilustración nivel de aspiración El modelo se reduce a determinar el número de servidores c tal que Ws α y X β donde α y β son los niveles de aspiración especificados por el responsable de las decisiones 67

68 Gráfico de valores de aspiración W s y X se grafican en función del nivel de servicio c. Si las dos condiciones no se satisfacen simultáneamente, entonces una o ambas restricciones deben liberarse. Ws α Rango aceptable para c X β c 68