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1 Bloque 3. ECUACIONES Y SISTEMAS (En el libro Temas 4 y 5, páginas 63 y 81) 1. Ecuaciones: Definiciones. Reglas de equivalencia. 2. Ecuaciones de primer grado: (sencillas, con paréntesis, con denominadores). 3. Ecuaciones de segundo grado. Número de soluciones. (completas, incompletas b=0, incompletas c=0). 4. Ecuaciones bicuadradas. 5. Ecuaciones factorizadas. 6. Ecuaciones de grado >2 7. Ecuaciones racionales. 8. Ecuaciones irracionales. 9. Sistemas de ecuaciones: Definiciones: nº ecuaciones, grado, incógnitas, coeficientes, término independiente. Reglas de equivalencia. Clasificación según el nº de soluciones. Sistemas homogéneos. 10. Sistemas de ecuaciones de primer grado. 11. Sistemas de ecuaciones de 2º grado. 12. Problemas de ecuaciones y sistemas. 1. Ecuaciones: Definiciones. Reglas de equivalencia. Una igualdad se compone de dos expresiones unidas por el signo igual. Ejs: 5x = 3x +1, 3y= 6x Una identidad es una igualdad que es cierta para cualquier valor de las letras. Ejs: identidades notables. (x+2) 2 = x 2 +4x+4 Una ecuación es una igualdad que se cumple para algunos valores de las letras. x + 1 = 2 x = 1 Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones que aparecen a ambos lados del signo igual. Las soluciones son los valores que deben tomar las letras para que la igualdad sea cierta. En la ecuación anterior, si sustituimos x por la solución: 1+1 = 2 1

2 El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros. Reglas de equivalencia: 1ª) Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. x + 3 = 2 ; x= -5 x = 2 3 x= -5 2ª) Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad, la ecuación es equivalente a la dada. 5x + 10 = 15 (5x + 10) : 5 = 15 : 5 x + 2 = 3 x + 2 2= 3 2 x = 1 2. Ecuaciones de primer grado: Pasos en general: 1º Quitar paréntesis 2º Si hay denominador, hallar el mcm de los denominadores, dividir dicho mcm por cada denominador y multiplicar por el numerador 3º Situar las x en un miembro y los números en otro, cambiando de signo al pasar de un lado a otro 4º Agrupar términos 5º Despejar la incógnita (Ejemplos de ecuaciones sencillas, con paréntesis y con denominadores) 3. Ecuaciones de segundo grado. Número de soluciones: Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma: ax 2 + bx +c = 0, con a 0 (si a=0 sería una ecuación de primer grado) Hay tres tipos: 1º) a, b y c 0. Ecuación completa. Se resuelven mediante la siguiente fórmula: b 2 4ac es el discriminante. 2

3 Ejemplo: Si b 2 4ac < 0 la ecuación no tiene solución, si b 2 4ac = 0 tiene dos soluciones reales iguales (Una solución llamada raíz real doble), si b 2 4ac > 0 tiene dos soluciones 2º) a y b 0, c= 0. Ejemplo: 3º) a y c 0, b=0. Ejemplo: X 2-100=0, x= Ecuaciones bicuadradas: Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar. Son del tipo: ax 4 + bx 2 + c = 0 Para resolver ecuaciones bicuadradas, efectuamos el cambio x 2 = t, x 4 = t 2 ; con lo que se genera una ecuación de segundo grado con la incógnita t: at 2 + bt + c = 0 Por cada valor positivo de t habrá dos valores de x: Ejemplo: 3

4 El mismo procedimiento podemos utilizar para resolver las ecuaciones del tipo: ax 6 + bx 3 + c = 0 ax 8 + bx 4 + c = 0 ax 10 + bx 5 + c = 0 5. Ecuaciones factorizadas: Para resolver una ecuación factorizada se resuelve cada paréntesis por separado. Ejemplo: Resuelve las ecuaciones: a) (x - 3) (x - 2) = 0 x-3=0, x=3; x-2=0, x= 2 4

5 b) x (x + 3) (x 2-3x + 2) = 0 x=0, x+3=0, x= -3, x 2-3x + 2, resolviendo: x=1, x=2 6. Ecuaciones de grado >2: Para resolver una ecuación de grado superior a 2 aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini. Ejemplo: x 3 + 3x 2 4x 12 = 0 Div (12)= {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 } P(1) = P( 1) = ( 1) ( 1) 2 4 ( 1) 12 0 P(2) = = = = 0 (x 2) (x 2 5x +6) = 0 x 2 5x +6 = 0 (x 2) (x + 2) (x +3) = 0 Las soluciones son : x = 2, x = 2, x = 3 7. Ecuaciones racionales. Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que aparecen fracciones polinómicas. Para resolverlas se multiplican ambos miembros de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores. 5

6 Debemos comprobar las soluciones, para rechazar posibles soluciones provenientes de la ecuación transformada (la resultante de multiplicar por el mínimo común múltiplo), pero que no lo son de la ecuación original. Comprobamos la solución: La ecuación no tiene solución porque para x = 1 se anulan los denominadores. 6

7 La solución es: 8. Ecuaciones irracionales. Las ecuaciones irracionales, o ecuaciones con radicales, son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical. Pasos para resolverlas: 1º Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales. 2º Se elevan al cuadrado los dos miembros. 3º Resolvemos la ecuación: 4º Comprobamos: La ecuación tiene por solución x = 2. 7

8 La ecuación tiene por solución x = Sistemas de ecuaciones: Definiciones: nº ecuaciones, grado, incógnitas, coeficientes, término independiente. Reglas de equivalencia. Clasificación según el nº de soluciones. Sistemas homogéneos. Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común. La solución de un sistema es un par de números tales que sutituyéndolos por x e y se cumplen las dos ecuaciones (poner ejemplos de sistemas de ecuaciones con diferente número de ecs, grado, incógnitas ) Reglas de equivalencia: 1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente. x = 2, y = 3 2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente. x = 2, y = 3 3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado. 8

9 x = 2, y = 3 4º Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero. 5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente. Clasificación según el nº de soluciones: 1º) Sistema compatible determinado. Tiene una sola solución. Gráficamente la solución es el punto de corte de las dos rectas. x = 2, y = 3 Gráficamente la solución es el punto de corte I (x,y) de las dos rectas. 9

10 2º) Sistema compatible indeterminado. = El sistema tiene infinitas soluciones. Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solución. x + y = 1 2x + 2y = 2 3º)Sistema incompatible. No tiene solución. Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas. No tiene solución Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas. 10

11 Sistemas homogéneos: Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo. Sólo admite la solución trivial: x 1 = x 2 =... = x n = Sistemas de ecuaciones de primer grado a) Método de sustitución: Pasos: 1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones. 2º Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo un ecuación con una sola incógnita: 3º Se resuelve la ecuación. 4º El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada. 5º Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema b) Método de igualación: 11

12 Pasos: 1º) Despejamos la misma incógnita, por ejemplo la x, en ambas ecuaciones 2 Igualamos ambas expresiones: 3 Resolvemos la ecuación: 4 Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que tenemos despejada la x: 5 Solución: c) Método de reducción: Pasos: 1º Se multiplica a una de las dos ecuaciones (o a las dos) para que los coeficientes de la x o de la y aparezcan cambiados de signo (poner otro ejemplo distinto a éste) 12

13 Sumamos las ecuaciones: Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación inicial. Solución: d) Método de reducción doble: consiste en aplicar dos veces el método de reducción, una vez para calcular x y la segunda vez para calcular y 11. Sistemas de ecuaciones de 2º grado. Son aquellos sistemas en los cuales al menos una de las ecuaciones es de segundo grado. Ej: La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método de sustitución. Pasos: 1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, preferentemente en la de primer grado. y = 7 x 2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación. x 2 + (7 x) 2 = 25 3º Se resuelve la ecuación resultante. x x + x 2 = 25 2x 2 14x + 24 = 0 x 2 7x + 12 = 0 13

14 4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra incógnita. x = 3 y = 7 3 y = 4 x = 4 y = 7 4 y = 3 Otro ejemplo: (en este caso lo resolveremos por igualación) 3x 2-6y 2 = -3 2x 2 +5y 2 = Problemas de ecuaciones y sistemas. Para resolverlos, tenemos que seguir los siguientes pasos: 1º Leer detenidamente el enunciado anotando los datos 2º Determinar las incógnitas 3º Escribir la ecuación o ecuaciones correspondientes 3º Resolver la ecuación o sistema 14

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