Trabajo No 1. Derivados Financieros

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1 Trabajo No 1. Derivados Financieros Norman Giraldo Gómez Escuela de Estadística - Universidad Nacional de Colombia ndgirald@unal.edu.co Marzo, Introducción Este trabajo consiste de un punto asignado de los cuatro siguientes. La asignación de los puntos está en una Tabla al final del tema. 2. Problemas 1. Denote C(K) el precio de una OCE con un precio de ejercicio K. Se tienen dos OCE con la misma fecha de maduración T y con precios de ejercicio K 1,K 2 a) Compruebe usando un argumento de ausencia de arbitraje que si K 1 < K 2 entonces se debe tener que C(K 2 ) < C(K 1 ). Use la relación de paridad putcall para obtener una desigualdad correspondiente con los precios de las OPE, P (K 2 ) <P(K 1 ). b) Un diferencial alcista (bull-spread) es un tipo de derivado definido como la combinación de dos OCE con distintos precios de ejercicio, K 1 <K 2, idéntica fecha de vencimiento y sobre el mismo activo subyacente. Se forma comprando la OCE con el precio menor K 1, y vendiendo la OCE con precio mayor K 2. Entonces se tiene un portafolio que en t = 0 vale C(K 1 ) C(K 2 ). Encuentre el valor de este portafolio en t = T. 2. Una OPE sobre una acción de Ecopetrol tiene precio de ejercicio K = $7000, y el precio de la acción es S 0 = $7200. En la fecha de vencimiento, a los 4 meses, el precio de la acción es de S T = $6200, y por tanto se ejerce. La tasa de interés continua sin riesgo en la fecha de compra de la OPE es r =0.1. Y la volatilidad anual en la misma fecha es σ = Encuentre lo siguiente: 1

2 a) La prima P pagada por el comprador. b) Balance neto en la fecha de vencimiento = Pago de la opción - Prima c) rendimiento de la opción al vencimiento = 100((Balance neto)/prima - 1) d) rendimiento de la prima colocada a la tasa de interés durante el período de la opción. e) Note que la OPE estaba otm (ver la Notas). Repita los puntos anteriores para el caso de una OPE que hubiera estado itm, con S 0 = $7200, K = $7500. f ) Dé una conclusión. 3. El precio de una acción es actualmente de S 0 = $ , su rentabilidad media logarítmica anual es µ =0.12 y su volatilidad anual es de σ =0.3. Suponga una OPE con precio de ejercicio K = $5000 sobre esta acción, con vencimiento a 4 meses (T =4/12). La tasa de rendimiento efectiva anual es de r = Responder lo siguiente. a) Encuentre la prima de esta OPE. b) Cuál es la distribución de probabilidades del precio de esta acción dentro de 2 meses, S(2/12), si se asume el modelo Log-Normal con parámetros (µ, σ). c) Calcule la media y la desviación estándar de este precio, E(S(2/12)),Var(S(2/12)). d) Encuentre la predicción del valor de la acción dentro de 2 meses, si al final del primer mes el valor fué S(1/12) = $4700. Sugerencia: la predicción es S(2/12) = E(S(2/12) S(1/12)). e) Encuentre el precio de esta OPE al final del primer mes. Sugerencia: use la fórmula BS pero cambiando el precio S(0) por S(1/12) y la duración T = 4/12 por T =3/ El precio de la carga de papa sabanera en la Bolsa Nacional Agropecuaria se modela con un modelo LogNormal(µ, σ) (ver fórmula (1) en las Notas) tal que el rendimiento esperado efectivo anual es µ =0.16 y la volatilidad anual es σ =0.35. El precio actual es de $ La tasa de interés continua anual es r =0.1. a) Cuál es la probabilidad de que una opción europea de venta (OPE) sobre la carga, con un precio de ejercicio de K = $62.320, y vencimiento a 6 meses, se ejerza? b) Calcule el valor de la prima BS de esta OPE. c) Calcule el valor esperado de la OPE, es decir, calcule E((K S(T )) + ). Sugerencia: una expresión para este valor esperado está en la fórmula (4) en las Notas, pero para el modelo LogNormal con parámetros (µ σ 2 /2,σ 2 ). Adapte esta expresión para el caso de una LogNormal con parámetros (µ, σ 2 ) reemplazando µ por µ + σ 2 /2 en la fórmula (4). 2

3 d) Descuente el valor anterior utilizando la tasa r, y compare con el valor que se obtiene por medio de la fórmula de Black-Scholes para la OPE, obtenida en el numeral b). 5. El Banco de la República comenzó a vender Opciones de Venta (OPE) sobre el precio en pesos colombianos de 1 dólar americano, a comienzos de Suponga los datos siguientes. El precio 1 USD en pesos colombianos (COLP) es hoy S(0) = , la tasa continua sin riesgo en COLP es δ =0.0453, y la tasa continua sin riesgo en USD es δ A =0.03. La volatilidad anual de la tasa de cambio es σ = a) Encuentre el valor de P, si el plazo de la OPE es de 3 meses y el precio de entrega K, calculado por el Banco como el promedio del precio de compra durante las últimas 4 semanas, es K = Use la fórmula (2) de las Notas, la cual corresponde a la fórmula BS para divisas. b) Use la relación de paridad para el precio C de una OCE, y el precio P de una OPE, sobre divisas: C + Ke δt = P + S 0 e δ AT, para calcular C. c) Considerando que entre los clientes potenciales de estas OPE sobre USD se encuentran Importadores y Exportadores, a cuál estaría dirigida esta oferta del Banco? Es decir, a cuál de los dos beneficia más?. 6. Suponga que el Municipio de Envigado requiere comprar el 10 de junio de 2010 equipos médicos para dotación del Hospital MUA, por valor de USD La tasa de cambio hoy es de COLP por 1 USD. El pago se debe efectuar el 7 de Septiembre de Es decir, en esta fecha el municipio debe comprar USD a la tasa de cambio de esa fecha. Para enfrentar el riesgo de una subida del precio del dolar, el Municipio compra OCE a 6 meses con el Banco ABC. a) Para encontrar el valor de la OCE encuentre primero el valor de P de una OPE, con un precio de entrega K = Use la fórmula (2) de las Notas. La tasa continua sin riesgo en COLP es δ =0.0453, y la tasa continua sin riesgo en USD es δ A =0.03. La volatilidad anual de la tasa de cambio es σ = b) Use la relación de paridad para el precio C de una OCE, y el precio P de una OPE, sobre divisas: C + Ke δt = P + S 0 e δ AT, para calcular C. c) Si cada contrato OCE sobre el dolar es por USD 1000, cuántos contratos se deben comprar y cuánto cuestan? 7. Consulte en libros y/o Internet acerca de la sonrisa de volatilidad (en inglés, volatility smile ). Haga un resumen de lo que encontró, no más extenso de 1 página. 3

4 3. Notas 1. El modelo LogNormal para los precios, ó modelo de marcha aleatoria geométrica con rendimientos normales, con parámetros (µ, σ) se define por S(t) =S(0) exp(µt + σx(t)), (1) donde X(t) N(0,t). Un modelo alterno, equivalente es asumir que los parámetros son (µ σ 2 /2,σ). En el primero se cumple que E(S(t)) = S(0) exp((µ + σ 2 /2)t), mientras que en el segundo E(S(t)) = S(0) exp(µt). 2. Una OCE se dice que está itm (in-the-money) si S 0 >K. Que está atm (at-themoney) si S 0 = K, y que está otm (out-the-money) si S 0 <K. De manera similar se hacen las definiciones para una OPE. 3. Fórmula de Black-Scholes para el precio C de una Opción de Compra Europea (OCE): C = S 0 φ(d 1 ) Ke rt φ(d 2 ) donde r se define como una tasa tal que e r 1=dtf, con dtf la dtf efectiva anual, σ es la volatilidad, K el precio de ejercicio, S 0 el valor inicial del activo, y T es la duración del contrato en fracción de año. d 1 = ln(s 0/K)+(r + σ 2 /2)T d 2 = ln(s 0/K)+(r σ 2 /2)T 4. La relación de paridad OPE-OCE es C + Ke rt = P + S Fórmula de Black-Scholes para el precio P de una Opción de Venta Europea (OPE): P = ke δt φ( d 2 ) S 0 φ( d 1 ) 6. La fórmula Black-Scholes para una OPE sobre una divisa es: P = Ke δt φ( d 2 ) S 0 e δ AT φ( d 1 ) (2) d 1 = ln (S 0/K)+(δ δ A + σ 2 /2)T d 2 = d 1 (3) donde la tasa continua sin riesgo en COLP es δ, y la tasa continua sin riesgo en USD es δ A. 7. La relación de paridad para el precio C de una OCE, y el precio P de una OPE, sobre divisas es: C + Ke δt = P + S 0 e δ AT. 4

5 8. El valor esperado de una OCE con base en el modelo LogNormal(µ σ 2 /2,σ), está dado por la expresión ( ) ln(s(0)/k)+(µ + σ E((S(T ) K) + ) = S(0)e µt 2 /2)T φ ( ) ln(s(0)/k)+(µ σ 2 /2)T + Kφ σ (4) T 4. Presentación y Valor del trabajo La presentación se sugiere que sea con formato de artículo, es decir, título, autores (nombre, carnet, carrera, resumen, en la primera página y luego: desarrollo, conclusiones, bibliografía, con páginas numeradas. Elaborado en lo posible en world o latex. Se solicita no empastar (las pastas son un desperdicio de papel). El valor de este trabajo es 25 %. La fecha de entrega se fijó en clase. Referencias [1] Liang, Mathematical Modeling and Methods of Option Pricing. World Scientific Press. [2] Ruppert, D. (2004). Statistics and Finance: An Introduction. Springer Verlag. New York. 5