INSTITUTO TÉCNICO MARÍA INMACULADA 2011 FORMANDO LÍDERES ESTUDIANTILES PARA UN FUTURO MEJOR

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1 ESTANDARES: INSTITUTO TÉCNICO MARÍA INMACULADA 2011 FORMANDO LÍDERES ESTUDIANTILES PARA UN FUTURO MEJOR Identifico y resuelvo situaciones que involucren los números enteros, sus operaciones y propiedades. Represento en el plano cartesiano la relación entre dos variables enteras. Reconozco ángulos y segmentos semejantes, utilizo sus propiedades para resolver problemas prácticos relacionados con estos. Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones, construcciones, propiedades y postulados geométricos. Estimo y analizo frecuencias en un conjunto de datos ayudándome de herramientas como tablas, listas, diagramo de tallo y hojas, entre otros. INDICADORES DE DESEMPEÑO: Identificar y utilizar números enteros en la solución de diversas situaciones. Efectuar operaciones con números enteros aplicando correctamente sus propiedades. Aplicar los números enteros para ubicaciones en el plano cartesiano. Resolver problemas utilizando operaciones, propiedades y ecuaciones con números enteros. Identificar y utilizar definiciones y postulados de la geometría de rectas y ángulos. Realizar construcciones geométricas utilizando los instrumentos adecuados. Utilizo algunas herramientas estadísticas para organizar datos. INTRUDUCCIÓN Esta guía está estructurada para un bimestre y está basado en el Conjunto de los Números Enteros, reglas y propiedades para desarrollar operaciones del mismo. Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural). Los números enteros (Z) El hombre siempre tuvo la necesidad de contar. Para hacerlo, creó lo que se conoce como números naturales. Sin embargo, estos números no le fueron suficientes para representar algunas cantidades, ni distinguir ciertas situaciones de otras. Por ejemplo, las temperaturas sobre cero y bajo cero, las pérdidas o los años transcurridos antes y después de Cristo. El conjunto de los números enteros (Z) está formado por los números positivos y los números negativos junto con el 0. Este conjunto suele representarse como sigue: Z... 3, 2, 1, 0,1, 2, 3,... EN GENERAL POSITIVO Tener dinero Ganar Subir Años después de Cristo Temperatura sobre cero Altitud sobre el nivel del mar Ir a la derecha Ir al norte NEGATIVO Deber dinero Perder bajar Años antes de Cristo Temperatura bajo cero bajo el nivel del mar Ir a la izquierda Ir al sur OBSERVE Y ANALICE EL VIDEO 1, LUEGO RESUEVA EL TALLER 1 TALLER 1. CONCEPTO DE NÚMERO ENTERO 1. Encuentra el numero entero que describe cada una de las siguientes situaciones: a. Tu fecha de nacimiento b. b. El nacimiento de Jesucristo c. La acción de la empresa multivalores se cotiza a 500 a la baja d. La acción de Ecopetrol cotiza a 600 a la alza e. La temperatura en la sabana de Bogotá en época de invierno puede llegar a los 8 C bajo 0 f. Un submarino de la armada Nacional de Colombia puede navegar a distancia de 200 m bajo el nivel del mar g. Vila del Rosario se encuentra a una altitud de 320 m sobre el nivel del mar h. La tienda la ultima lagrima tuvo un total de ventas por día de i. Arquímedes fue un gran geómetra que nació en el año 640 antes de Cristo

2 2. Escribe un número entero que describa la situación propuesta. a. El monte Everest se encuentra a una altitud de m sobre el nivel del mar b. Villa del Rosario presenta una temperatura promedio de 20 grados centígrados c. Un submarino se encuentra a a una profundidad de 200 metros bajo el nivel del mar d. Villa del Rosario y Cúcuta se encuentran separados por una distancia de 8 km. e. María debe al señor de la tienda $ Completa según la imagen: La gaviota está volando a m el nivel del mar. El niño está buceando a m el nivel del mar. El pez está nadando a m El cangrejo se encuentra a m El pelícano vuela a m. 4. Dibuja una recta numérica y ubica en ella, los siguientes números enteros: a) 4 b) 7 c) +2 d) 0 e) 5 Entre a la siguiente página y mecanice el tema anterior. INTERACCION Entre a las subpáginas y realice as actividades propuestas en las mismas: El ascensor y los números enteros Las altitudes y los números enteros El termómetro y los números enteros La recta real. ANOTA TUS RESUTADOS EN EL CUADERNO MÉTODO DE ESTUDIO. OPUESTO DE UN NÚMERO Es evidente que: lo contrario de deber dinero es tener dinero. lo contrario de ir hacia la derecha es ir hacia la izquierda. lo contrario de bajar es subir. Por eso resulta fácil que entiendas el significado de opuesto. el opuesto de -3 es +3 y lo escribiremos así: Op (-3) = +3 el opuesto de +6 es -6 y lo escribiremos así: Op (+6) = -6 El opuesto de un número entero es su simétrico respecto del cero. Lo escribiremos así: Op (+a) = -a Op (-a) = +a VALOR ABSOLUTO Ubica el 3 y el -3, el 2 y el -2, el 1 y el -1, en la recta numérica Se ve que cada número está a igual distancia del 0 que su opuesto. La distancia de un número al cero se llama valor absoluto o módulo, y para indicarlo se encierra al número entre barras. Ejemplo: 3 3, 3 3,

3 ORDEN EN EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS Se presentan tres situaciones al ordenar números enteros: Si ambos enteros son positivos siempre será mayor el de mayor cantidad, en la recta se puede ver como el más alejado del 0. Si ambos enteros son negativos siempre será mayor el de menor cantidad, en la recta se puede ver como el más cercano a cero, más a la derecha, ejemplo -10< -5 Si un números es positivo y el otro negativo siempre será mayor el positivo, más a la derecha, por ejemplo: -4 < 2 OBSERVE El VIDEO No 2, LUEGO RESUEVA EL TALLER NO. 2 TALLER NÚMERO 2 1. Ubica cada entero y su opuesto en la recta numérica: 7; -13; 3; -(-4); 0; Cuál es el valor absoluto de 5; -6; -(-4); 0; 12? 3. Cuál de estas opciones es imposible? a) a 0 b) a 0 4. Complete con < o > según corresponda: a) b) 3. 2 c) d) e) Escribe los números enteros que cumplan las condiciones en cada caso. a) Mayores que 8 y menores que 6 b) Mayores que 10 y menores que 15 c) Menores que 4 y mayores que 12 d) Mayores que 7 y menores que 0 6. Ordena de mayor a menor los siguientes números: - 2, - 9, 10, 4, - 4, 8, 7, - 2, Determina el valor absoluto de cada número: a) 4 b) 8 c) 400 d) 900 e) 100 INTERACCIÓN 5.htm UBICACIÓN DE LOS ENTEROS EN EL PLANO CARTESIANO El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas que se cortan en forma perpendicular: la recta horizontal se lama abscisa y a vertical ordenada. En ambos ejes se pueden representar los números enteros y se cruzan en el cero. La ubicación de un punto cualquiera del plano se determina midiendo su distancia respecto de los ejes x e y. El primer número del par ordenado ( -3, 1 ) determina el desplazamiento horizontal respecto del cero: positivo para los puntos ubicados a la derecha negativo para los puntos ubicados a la izquierda El segundo número del par ordenado ( -3, 1 ) determina el desplazamiento vertical respecto del cero: positivo para los puntos ubicados hacia arriba negativo para los puntos ubicados hacia abajo OBSERVE El VIDEO LUEGO RESUEVA EL TALLER NO Ubica las siguientes coordenadas en el plano cartesiano. a) (2,-4) b) (3, - 5) c) (-6, -2) d) (7, 2) e) (0, 3) f) (-2, 0) g) ( 4, -1)

4 2. Encuentra a qué coordenada corresponde cada punto del plano En este tema harás la interacción utilizando el software Geogebra. Para sumar números enteros: SUMA DE NÚMEROS ENTEROS 1. S i l o s s u m a n d o s s on d e l m i s m o s i g n o, s e s u m a n l o s v a l o r e s a b s o l u t o s y a l r e s u l t a d o s e l e p o n e e l s i g n o c o m ú n. E j = 8 ; ( 3 ) + ( 5 ) = 8 2. S i l o s s u m a n d o s s on d e d i s t i n t o s i g n o, s e r e s t a n l o s v a l ores a b s o l u t o s ( a l m a y o r l e r e s t a m o s e l m e n o r ) y a l r e s u l t a d o s e l e p o n e e l s i g n o d e l n ú m e r o d e m a y o r v a l o r a b s o l u t o. E j = 2 ; 3 + ( 5 ) = 2 Propied ades de la sum a de nú me r os ent ero s 1. I n t e r n a ( m od u l a t i v a ) : E l r e s u l t a d o d e s u m a r d o s n ú m e r o s e n t e r o s e s o t ro n ú m e r o e n t e r o. a + b 3 + ( 5 ) 2. A s ociativa: E l m o d o d e a g r u p a r l o s s u m a n d o s n o v a r í a e l r e s u l t a do. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ( ) + ( 5 ) = 2 + [ 3 + ( 5 ) ] ; 5 5 = 2 + ( 2 ) ; 0 = 0 3. C on m u t a t i v a : E l o r d e n d e l o s s u m a n d o s n o v a r í a l a s u m a. a + b = b + a 2 + ( 5 ) = ( 5 ) + 2 ; 3 = 3 4. E l e m e n t o neut r o : E l 0 e s e l e l e m e n t o n e u t r o d e l a s u m a p o r q u e t o do n ú m e r o s u m a d o c o n é l d a e l m i s m o N ú m e r o. a + 0 = a ; ( 5 ) + 0 = 5 5. E l e m e n t o op u e s t o D os números s o n opue s t o s s i a l s u m a r l os obtene m o s c omo re s u l t a d o el cero. a + ( - a ) = 0 ; 5 + ( 5 ) = 0 E l opuesto del opuest o d e u n n ú m e r o es igual al mismo número. ( 5 ) = 5 SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS La sustracción es una operación binaria que se efectúa entre dos números, llamados minuendo y sustraendo. El resultado de una sustracción o resta se lama diferencia a b = a + ( b) ; 7 5 = 2 Propied ades de la re sta de n úmeros ent ero s 1. I n t e r n a : L a r e s t a d o s n ú m e r os enteros e s o t r o nú m e r o entero. a b ; 1 0 ( 5 ) 2. N o es Conm u t a t i v a : a b b a ;

5 OBSERVE los videos: LUEGO RESUEVA EL TALLER NO Resuelva los siguientes ejercicios: a) 9-28= b) 12-50= c) 39-47= d) 0-27= e) = f) -45-6= g) -5-17= h) 4-(+11) i) -10-(-2)= j) -6-(+13)= k) 9-(-5)= l) -3+(-4)= TALLER Nro. 4 ll) = m) (-1)+(-4)-(-2)+7= n) 11+(-3)-(+2)-8= o) 9-(-15)+2-8= 2. Anota el número de la columna A que corresponda en la B : A B 1) = 5 Conmutativa 2) = Asociativa 3) = 0 Neutro aditivo 4) (-4 + 6) + -2 = -4 + (6 + -2) Inverso aditivo RECUERDA: El signo + delante de paréntesis, corchetes o llaves, confirma su contenido y el signo delante, niega su contenido. 3. Suprimí (, [, { y luego resuelve la suma algebraica Suprimí (, [, { y luego resuelve la suma algebraica. PROBLEMAS DE NÚMEROS ENTEROS 1. U n e m p e r a do r r o m a no n a c i ó e n e l a ñ o 63 a. C. y m u r i ó e n e l 1 4 d. C. C u á n t o s a ñ o s v i v i ó? R t a. 7 7 a ñ o s 2. U n a b o m b a e x t r a e el p et r ól eo de u n p ozo a 97 5 m d e p ro f u n d i d a d y lo el e v a a u n d e p ó si to s i t u a d o a 4 8 m de altura. Qué nivel supera el petról eo? R t a m e t ro s 3. Q u é d i f e r e n c i a d e t e m p e r at u r a s o p o rt a u n a p e r s o n a q u e p a s a d e l a c á m ar a d e c o n s e r v a c i ó n d e l a s v e r d u r a s, q u e s e e n c u e n t r a a 4 º C, a l a de l pe s c a d o co n g e l a do, q u e e s t á a 1 8 º C? Y s i p a s a r a d e l a c á m a r a d e l p e s c a do a l a d e la verdura? R t a. 4. L a t e m p e r at u r a d e l ai r e b a j a s e g ú n s e a s c i e n d e e n l a a t m ó s f era, a r a z ó n d e 9 º C c a d a m et r o s. S i l a temperatura a l n i v e l de l m a r e n u n p u n t o d e t e r mi n a d o e s de 0ªC, a q u é a l t u r a v u e l a u n a v i ó n s i l a t e m p e r a t u ra d e l a i r e e s d e 8 1 º C? 5. E n u n d e p ó s i to h a y l de a g u a. P o r l a p a r t e s u p e r io r u n t u b o v i e r te e n e l de p ó sit o 25 l p o r m i n u t o, y p o r la p a r t e i n f e r i o r po r ot r o t u b o s al e n 3 0 l po r m i n u t o. C u á n t o s l i t ro s d e a g u a h a b r á e n e l d e p ó si to d e s p u é s d e 1 5 m i n u t o s d e f u n c i o n a m i e n t o. R t a l it r o s

6 INTERACCIÓN En general, la multiplicación y división de enteros responde a los mismos procedimientos (algoritmos) para operar con los naturales, el cambio se da en el sentido de la estructura de estos números y el manejo de las reglas de tipo formal y operativos con los signos. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS La m u l t i p l i c a c i ó n d e v a r i o s n ú m e r o s e n t e r o s e s o t r o n ú m e r o e n t e r o, que t i e n e c o m o v a l o r a b s o l u t o e l p r o d u c t o d e l o s v a l o r e s a b s o l u t o s y, c o m o s i g n o, el que se obtiene de la aplicación de la r e g l a d e l o s s i g n o s. R egl a de los signo s E j e m p l o s : 4. 8 = 3 2 ; = 4 2 ; = ; = O b s e r v e e l vi d e o : h t t p : / / w w w. y out u b e. c om/watc h? v = 5 m k L k N y v h J s & f e a t u r e = m f u _ i n _ orde r & l i s t = U L T A L L L E R 5 1. E f e c t ú a l a s s i g u i e n t e s m u l t i p li c a c i o n e s : a) b ) 5 ( - 34) c ) ( - 68) d ) ( ) 6 e ) f)-13(-17 ) ( - 2) g ) ( 3 7 ) h ) - 23(-7 ) ( - 14) i ) - 25(-19 ) 6 2. R e a l i z a l a s s i g u i e n t e s d i v i s io n e s : a ) ( - 15) b ) c) d ) e ) ( - 60) f ) g ) U n a e m p r e s a s e e n c u e n t r a v e n d i e n d o acciones de su compañía en la bosa de V a l o r e s, e l c o r r e do r i n f o r m a q u e c a d a a c c i ó n p r e s e n t a u n v a l o r d e $ S i u n I n v e r s i o n i s t a d e s ea comprar todas las accio n e s, c u á n t o d e b e i n v e r t i r p a r a e ll o? 5. S i e l m i s m o i n v e r s i o ni s t a s e d a c u e n t a q u e t i e n e s o lo $ , r e s p o n d e : a) C u á n t a s a c c i o n e s p u e d e c o m p r a r? b) C u á n t a s a c c i o n e s q u e d a n p a r a l a v e n t a? I N T E R A C C I Ó N h t t p : / / w w w. a a a m a t e m a t i c a s. c o m / g 76 _ m ux 1. h t m Propied ades de la multip lic ación de núm ero s enteros 1. I n t e r n a : E l r e s u lt a d o de m u l t i p l i c a r d os núme r os enteros e s o t r o n ú m e r o entero. a b ; 2 ( 5 ) = A s o c i a t i v a : E l m od o d e a g r u p a r l os f a c t ores n o v a r í a e l r e s u l t a d o. S i a, b y c s o n n ú m e r os e n t e r os c u a l e s q u i e r a, s e c u m p l e q u e : ( a b ) c = a ( b c ) ( 2 3 ) ( 5 ) = 2 [ ( 3 ( 5 ) ] ; 6 ( 5 ) = 2 ( 1 5 ) ; 3 0 = C on m u t a t i v a : E l or d e n d e l os factore s n o varía el producto. a b = b a ; 2 ( 5 ) = ( 5 ) 2 ; = - 10

7 4. E l e m e n t o n e u t r o : E l 1 e s e l el e m e n t o n e u t r o d e l a m u l t i p l i c a c i ón p o r q u e to d o n ú m e r o m u l t i pl i c a do p o r é l da el mismo número. a 1 = a ; ( 5 ) 1 = ( 5 ) 5. D i s t r i b u t i v a : E l p r o d u c t o d e u n n ú m e r o p o r u n a s u m a e s i g u a l a l a s u m a d e l o s p r o d u c to s d e d i c h o n ú m e r o p o r c a d a u n o d e l o s s u m a n d o s. a ( b + c ) = a b + a c ; ( 2 ) ( ) = ( 2 ) 3 + ( 2 ) 5 ( 2 ) 8 = ( 6 ) + ( 1 0 ) ; 1 6 = 1 6 Propied ades de la div is ión d e n úmeros ent ero s 1. N o es una operaci ó n i n t e r n a : E l r e s u l t a d o d e d i v i d i r d os nú m e r o s e n t e r os n o s i e m p r e e s o t r o n ú m e r o ente r o. ( 2 ) 6 2. N o es Conm u t a t i v o : a b b a ; 6 ( 2 ) ( 2 ) 6 1. Resuelve los siguientes cálculos combinados: a) (-14). (+6) : (-21) + (-9) = b) [- (-36) : (-4)]- (-5-8)- (-6) = c) {-24 : (-9+3) [ -7. (-11)] -1} : (-2) = 2. Resuelve aplicando la propiedad distributiva: a) -4. ( ) = b) ( ). (-6) = TALLER 6 c) ( ) : (-5) = 3. ( 60 x 2) : ( 10 x 2) 4. 7 { -3 [ -5 (1 9) + 4] 6} Resolvé aplicando la propiedad distributiva: a) -4. ( ) = b) ( ). (-6) = c) ( ) : (-5) = Potenciación de números enteros Sabemos resolver la potencia de un número natural, entonces: Si ; ( 2) ; 27 Según si el exponente es par o impar podemos expresar las siguientes reglas: Las potencias de exponente par son siempre Las potencias de exponente impar de bases positivas negativas par par impar impar 1. a 0 = 1 ; e j e m p l o: a 1 = a ; E j e m p l o Propied ades 3. Produc t o de pot e n c i a s c on la mism a b a s e : E s o t r a p ot e n c ia c o n l a m i s m a b a s e y c u y o e x p o n e n t e e s l a s u m a d e l os e x p onentes. a m a n = a m + n ; E j e mp l o : D i v i s i ón de potenci a s c on la misma ba s e : E s o t r a p o t e n c i a c o n l a m i s m a b a s e y c u y o e x p onente e s l a d i f e r e n c i a d e l os e x p one n t e s. a m a n = a m n E j e m p l o : P otencia de un a p otencia : E s o t r a p ot e n c i a c o n l a m i s m a b a s e y c u y o e x p one n t e e s e l p r od u c t o de los expone n t e s ( a m ) n = a m n 2 6 Ejemplo: P r od u c t o d e p ote n c i a s c o n e l m i s m o expone n t e : E s o t r a p o tencia con el m i s m o e x p onente y c u y a b a s e e s e l p r odu c t o de las bases a n b n = ( a b ) n ; E j e m p l o: ( 2 ) 3 ( 3 ) 3 = ( 6 ) 3 = C ociente de pote n c i a s c o n e l m i s m o expon e n t e : a n b n = ( a b ) n ( 6 ) 3 : 3 3 = ( 2 ) 3 = 8 2 8

8 8. Potencias de exponente entero negativo Ejemplos: ; Observe el video: y luego resuelva el taller no Calculá aplicando la regla de la potenciación: a) (-1) 8 = b) (-3) 5 = c) 9 3 = d) 11 2 = 2. Expresá como productos y resolvé las siguientes potencias: a) (-3) 2 = b) (-3) 3 = c) (-3) 4 = d) (-3) 5 = 3. Calculá aplicando la regla de la potenciación: a) a) (-1) 8 = b) (-3) 3 = c) 9 3 = d) 11 2 = INTERACCIÓN RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS Para sacar la raíz de un cierto número (radicando), buscamos el número que elevado al índice me de por resultado el radicando PROPIEDADES 1) a) Es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la DIVISION. EJEMPLOS: En la multiplicación En la división b) NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA. EJEMPLOS: En la suma En la resta 2) a) Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos resultados, uno positivo y otro negativo, para este nivel usamos el resultado positivo. EJEMPLO:

9 b) Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el mismo signo que el radicando. EJEMPLO: 3) Si tengo una raíz de raíz se multiplican los índices. EJEMPLO: Observe el video y luego resuelva el taller no Completa: Taller número 8 2. Calcula las raíces cuando sea posible 3. Estos cálculos están mal resueltos. Rodea los errores cometidos: ECUACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Una ecuación es un enunciado matemático que tiene dos expresiones separadas por un signo igual. La _expresión de la izquierda del signo igual tiene el mismo valor que la _expresión de la derecha. Una o ambas expresiones pueden contener variables. Resolver una ecuación implica trabajar con las expresiones y encontrar el valor de las variables. Un ejemplo podría ser: x = Esta ecuación se puede resolver sumando 4 y 8 para encontrar que x = 12. Resuelva el taller número 9 Plantea los siguientes problemas y resuelve las ecuaciones 1. En un rectángulo de 68 cm. de perímetro, la base es 5 cm mayor que la altura. Cuál es la longitud de la altura? 2. La suma de un número entero y su siguiente es 53. Cuál es ese número? 3. La edad de la nieta es un tercio de la edad de la abuela y la diferencia de edades es 48. Cuántos años tiene la abuela? 4. A un número se le suma 3 y se obtiene la diferencia entre su doble y 1. Cuál es ese número? 5. Si al triple de un número se le suma 4, se obtiene el mismo resultado que si a la mitad de 6 se le suma el doble de ese número. cuál es ese número? 6. La base de un rectángulo es el doble de un número entero y la altura es el número aumentado en tres unidades. Cuál es el número si la base del rectángulo mide 8 cm? 7.El doble del anterior de un número x es igual al triple de su siguiente. Cuál es ese número?

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