Introduccion. TEMA 6: MODELOS DE FILAS DE ESPERA (Waiting Line Models) (Capítulo 12 del libro) Modelos de Decisiones

Transcripción

1 Modelos de Decisioes TEMA 6: MODELOS DE FILAS DE ESPERA (Waitig Lie Models) (Capítulo 2 del libro) Itroduccio.. Estructura de u Sistema de Filas de Espera 2. Modelo Sigle-Chael co tasa de llegadas tipo Poisso y Tiempos de Servicio Expoecial 3. Modelo Multiple-Chael co tasa de llegadas tipo Poisso y Tiempos de Servicio Expoecial 4. Relacioes Geerales 5. Aálisis Ecoómico 6. Otros modelos. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE FILAS DE ESPERA (F.E.). ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E. CUERPO DE CONOCIMIENTOS RELACIONADO CON MODELOS CUANTITATIVOS DE LA OPERACIÓN DE SISTEMAS DE ESPERA (COLAS O FILAS). COLA (QUEUE) Sistema al que llega clietes para recibir u servicio. Si los servidores está ocupados, los clietes que llega tiee que esperar e la cola. Al cocluir u servicio, se seleccioa al siguiete cliete por ateder, de acuerdo co la disciplia de la cola. PARA ILUSTRAR LOS CONCEPTOS RELACIONADOS CON LOS PROBLEMAS DE FILAS DE ESPERA, SE PRESENTA EL SIG. EJEMPLO SOBRE UN RESTAURANTE QUE VENDE HAMBURGUESAS (FAST-FOOD)

2 . ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E. SINGLE-CHANNEL WAITING LINE EN LA OPERACIÓN ACTUAL DEL RESTAURANTE DE FAST FOOD, SE RECIBE LA ORDEN, SE CALCULA EL COSTO, SE COBRA Y SE ENTREGAN LOS ALIMENTOS.. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E. DISTRIBUCIÓN DE LLEGADAS. Defiir el proceso de llegadas para u modelo de filas de espera sigifica determiar la distribució de probabilidad para el úmero de llegadas e u determiado lapso de tiempo. LLEGADAS DE CLIENTES SISTEMA LÍNEA DE ESPERA (FILA O COLA) SERVIDOR EL CLIENTE SALE, UNA VEZ CONCLUÍDO EL SERVICIO Las llegadas suele ser idepedietes y aleatorias, por lo que o es posible predecir co exactitud cuado ocurrirá ua llegada.. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E. DISTRIBUCIÓN DE LLEGADAS. LOS ESTUDIOSOS DEL TEMA HAN DESCUBIERTO QUE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON SUELE PROPORCIONAR UNA BUENA DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA. LA PROBABILIDAD DE QUE LLEGUEN x CLIENTES AL SISTEMA EN UN PERIODO DE TIEMPO (, t) ES: f(x) P(x) ( ) x e x! x: NÚMERO DE LLEGADAS EN EL INTERVALO DE TIEMPO. : NÚMERO PROMEDIO DE LLEGADAS POR UNIDAD DE TIEMPO (INTENSIDAD DEL PROCESO DE LLEGADAS) e: ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E. DISTRIBUCIÓN DE LLEGADAS. Supoga que el restaurate de fast-food ha aalizado datos de llegada de sus clietes y cocluido que la tasa media de llegadas es de 45 clietes por hora. Para u periodo de -miuto, la tasa media de llegadas sería 45 clietes/6 mi.75 clietes / mi. La posibilidad de que X clietes llegue e miuto sería: f(x) P(x) ( ) x e x! x e x!

3 . ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E. DISTRIBUCIÓN DE LLEGADAS. Para u periodo de -miuto, la tasa media de llegadas sería 45 clietes/6 mi.75 clietes / mi.. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E. DISTRIBUCIÓN DE LLEGADAS. Filas_de_espera.xls F(x) Los siguietes cálculos idica la posibilidad de que llegue, y 2 clietes detro de u lapso de miuto:.75 (.75) e P().75 e!.75 (.75) e P()! e P(2) 2! (Número de llegadas e el itervalo de tiempo, X). ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E. DISTRIBUCIÓN DE TIEMPOS DE SERVICIO. Se refiere al tiempo que pasa el cliete e el servicio, mietras es atedido. SI EL TIEMPO DE DURACIÓN DEL SERVICIO OFRECIDO POR UN SERVIDOR SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL, ENTONCES, LA PROBABILIDAD DE QUE EL TIEMPO DE SERVICIO SEA MENOR QUE t ES: F(t) P[ T t] - e -t. ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E. DISTRIBUCIÓN DE TIEMPOS DE SERVICIO. SUPONGA QUE EL PROCESO DE TOMAR LA ORDEN-COBRAR- ENTREGAR LO REALIZA EL CAJERO A UNA TASA PROMEDIO DE 6 CLIENTES POR HORA. DETERMINE LA PROBABILIDAD DE ATENDER A UN CLIENTE EN: (A) MENOS DE.5 MINUTOS, (B) MINUTO, (C ) 2 MINUTOS O MENOS. P[ service time.5] - e -.5 P[service time.] - e - : NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES ATENDIDOS POR UNIDAD DE TIEMPO P[service time 2.] - e -2

4 . ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE F.E. DISTRIBUCIÓN DE TIEMPOS DE SERVICIO. P (T<t) MEDIDAS DE DESEMPEÑO EXPRESAN LA MANERA EN LA QUE FUNCIONA UN SISTEMA O LÍNEA DE ESPERA. LAS MÁS COMUNES SE RELACIONAN CON: (tiempo de referecua, t) UTILIZACIÓN DE SERVIDORES. LONGITUD (LENGTH). TIEMPO DE ESPERA (WAITING TIME). PROBABILIDAD. MEDIDAS DE DESEMPEÑO: UTILIZACIÓN MEDIDAS DE DESEMPEÑO: LONGITUDES ρ Lq : NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN LA COLA. FRACCIÓN DE TIEMPO EN QUE LOS SERVIDORES ESTÁN OCUPADOS Average Time i System Variability Icreases L : NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA. T p L Lq + PROMEDIO DE CLIENTES QUE ESTÁN SIENDO ATENDIDOS Utilizatio (ρ) % ρ

5 MEDIDAS DE DESEMPEÑO: TIEMPOS DE ESPERA (WAITING TIMES) MEDIDAS DE DESEMPEÑO: PROBABILIDADES Wq : TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE ESPERA EN LA COLA. : PROBABILIDAD DE QUE NO HAYA CLIENTES EN EL SISTEMA. W : TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN EL SISTEMA. P W : PROBABILIDAD DE QUE UN CLIENTE QUE LLEGA TENGA QUE ESPERAR PARA QUE SEA ATENDIDO. W Wq + TIEMPO PROMEDIO DE ATENCIÓN EN EL SERVIDOR P : PROBABILIDAD DE QUE HAYA CLIENTES EN EL SISTEMA. RELACIONES ENTRE MEDIDAS DE DESEMPEÑO ECUACIONES DE FLUJO DE LITTLE L W Lq Wq RELACIÓN: TIEMPO EN SISTEMA--TIEMPO DE SERVICIO W Wq+ /

6 NOMENCLATURA GENERAL PARA MODELOS DE FILAS DE ESPERA A / B / k Dode: A idica la distribució de probabilidad de las llegadas B idica la distribució de probabilidad para el tiempo de servicio K idica el úmero de servidores ASI PUES, LA SIG. NOTACIÓN SE EMPLEARÁ: M idica distribució de llegadas Poisso o tasa de servicio expoecial D idica que las llegadas o el tiempo de servicio so determiísticas o costates. G idica que las llegadas y el tiempo de servicio tiee ua distribució ormal co media y variaza coocidas. 2. MODELO SINGLE-CHANNEL MODELO M/M/ LLEGADAS DE CLIENTES SISTEMA DE ESPERA CON: LLEGADAS POISSONIANAS. TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL. UN SOLO SERVIDOR. DISCIPLINA FIFO. SISTEMA LÍNEA DE ESPERA (FILA O COLA) SERVIDOR EL CLIENTE SALE, UNA VEZ CONCLUÍDO EL SERVICIO MEDIDAS DE DESEMPEÑO, MODELO M/M/ MEDIDAS DE DESEMPEÑO, MODELO M/M/ UTILIZACIÓN DEL SERVIDOR: ρ SE REQUIERE QUE ρ < PROBABILIDAD DE QUE NO HAYA CLIENTES EN EL SISTEMA Lq 2 ( ) NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN LA COLA: 2 ρ ρ ρ L Lq + NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA: ρ ρ PROBABILIDAD DE QUE UN CLIENTE ESPERE PARA QUE LO ATIENDAN: Pw ρ

7 MEDIDAS DE DESEMPEÑO, MODELO M/M/ MEDIDAS DE DESEMPEÑO, MODELO M/M/ Wq TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN LA COLA: Lq ρ ( ρ) TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN EL SISTEMA: PROBABILIDAD DE QUE HAYA CLIENTES EN EL SISTEMA: P P ( ρ) ρ W Wq + ( ρ) EJEMPLO: MODELO M/M/ EJEMPLO: MODELO M/M/ EN SU OPERACIÓN ACTUAL, UN RESTAURANTE DE HAMBURGUESAS CUENTA CON UNA ÚNICA CAJA DE PAGO. EL CAJERO TOMA EL PEDIDO, DETERMINA EL COSTO TOTAL, RECIBE EL DINERO DEL CLIENTE Y SURTE EL PEDIDO. UNA VEZ CUBIERTO EL PEDIDO DE UN CLIENTE, EL EMPLEADO TOMA EL PEDIDO DEL SIGUIENTE CLIENTE EN LA COLA. SI LLEGA UN CLIENTE CUANDO EL CAJERO SE ENCUENTRA AÚN TOMANDO UN PEDIDO, EL CLIENTE QUE LLEGA SE FORMA EN LA FILA. LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45 CLIENTES/HORA. EL TIEMPO DE SERVICIO ES EXPONENCIAL (SERVICIO PROMEDIO: 6 CLIENTES/HORA). NÚMERO DE SERVIDORES: k SERVIDOR PROCESO DE LLEGADAS: POISSONIANO : NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES QUE LLEGAN POR UNIDAD DE TIEMPO 45 CLIENTES/HORA.75 CLIENTES/MINUTO TIEMPO DE SERVICIO: EXPONENCIAL : NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES ATENDIDOS POR UNIDAD DE TIEMPO 6 CLIENTES/HORA CLIENTE/MINUTO

8 ρ EJEMPLO: MODELO M/M/ UTILIZACIÓN DEL SERVIDOR: PROBABILIDAD DE QUE NO HAYA CLIENTES EN EL SISTEMA PROBABILIDAD DE QUE UN CLIENTE ESPERE PARA QUE LO ATIENDAN: Pw ρ.75 ρ SE REQUIERE QUE ρ < 2 Lq L ( ) Lq + EJEMPLO: MODELO M/M/ NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN LA COLA: 2 ρ ρ NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA: ρ ρ 2.25 CLIENTES 3 CLIENTES EJEMPLO: MODELO M/M/ EJEMPLO: MODELO M/M/ Wq TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN LA COLA: Lq ρ ( ρ) 3 MINUTOS PROBABILIDAD DE QUE HAYA CLIENTES EN EL SISTEMA: P P ( ρ) ρ W TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN EL SISTEMA: Wq + ρ ( ) 4 MINUTOS P o más.2373

9 ALTERNATIVAS PARA EL MEJORAMIENTO DEL SERVICIO. AUMENTAR LA TASA PROMEDIO DE SERVICIO, (HACIENDO CAMBIO EN EL DISEÑO DEL SISTEMA O EN LA TECNOLOGÍA EMPLEADA). 2. AÑADIR SERVIDORES EN PARALELO, K (PARA PODER ATENDER MÁS CLIENTES A LA VEZ). Tema 3: Aálisis de Sesibilidad NOMENCLATURA GENERAL PARA MODELOS DE FILAS DE ESPERA A / B / k Dode: A idica la distribució de probabilidad de las llegadas B idica la distribució de probabilidad para el tiempo de servicio K idica el úmero de servidores 3. MODELO MULTIPLE-CHANNEL MODELO M/M/k SISTEMA DE ESPERA CON: LLEGADAS POISSONIANAS. TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL. K SERVIDORES (IDÉNTICOS). DISCIPLINA FIFO (First-I-First-Out). ASI PUES, LA SIG. NOTACIÓN SE EMPLEARÁ: M idica distribució de llegadas Poisso o tasa de servicio expoecial D idica que las llegadas o el tiempo de servicio so determiísticas o costates. G idica que las llegadas y el tiempo de servicio tiee ua distribució ormal co media y variaza coocidas. LLEGADA DE CLIENTES SISTEMA LÍNEA DE ESPERA (FILA O COLA) SERVIDOR SERVIDOR K EL CLIENTE SALE, UNA VEZ CONCLUÍDO EL SERVICIO

10 MEDIDAS DE DESEMPEÑO, MODELO M/M/k UTILIZACIÓN DE CADA SERVIDOR: NÚMERO PROMEDIO DE SERVIDORES OCUPADOS: ρ SE REQUIERE QUE ρ < B k PROBABILIDAD DE QUE NO HAYA CLIENTES EN EL SISTEMA k k B B k +! k! k UNA MONSERGA DE CALCULAR!!! Tambié se puede usar la tabla del libro PROBABILIDAD DE QUE UN CLIENTE ESPERE PARA QUE LO ATIENDAN: Lq L MEDIDAS DE DESEMPEÑO, MODELO M/M/k NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN LA COLA: k B ( k )! ( k ) Lq + P 2 NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA: Lq + B Pw k k B P k! k Wq W P MEDIDAS DE DESEMPEÑO, MODELO M/M/k TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN LA COLA: Lq TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN EL SISTEMA: Wq + PROBABILIDAD DE QUE HAYA CLIENTES EN EL SISTEMA: B P! B P ( k k!k ) para k para > k EJEMPLO: MODELO M/M/k LA GERENCIA DEL RESTAURANTE DEL EJEMPLO ANTERIOR DESEA MEJORAR EL SERVICIO. ESTÁ CONSIDERANDO LA ALTERNATIVA DE PONER UN CAJERO ADICIONAL (IDÉNTICO AL ACTUAL). LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45 CLIENTES/HORA. EL TIEMPO DE SERVICIO ES EXPONENCIAL (SERVICIO PROMEDIO: 6 CLIENTES/HORA).

11 EJEMPLO: MODELO M/M/k NÚMERO DE SERVIDORES: k 2 SERVIDORES PROCESO DE LLEGADAS: POISSONIANO EJEMPLO: MODELO M/M/k UTILIZACIÓN DE CADA SERVIDOR: NÚMERO PROMEDIO DE SERVIDORES OCUPADOS: ρ.375 SE REQUIERE QUE ρ < B.75 k PROBABILIDAD DE QUE NO HAYA CLIENTES EN EL SISTEMA : NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES QUE LLEGAN POR UNIDAD DE TIEMPO 45 CLIENTES/HORA.75 CLIENTES/MINUTO k k B B k +! k! k.4545 UNA MONSERGA DE CALCULAR!!! USAR TABLA TIEMPO DE SERVICIO: EXPONENCIAL : NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES ATENDIDOS POR UNIDAD DE TIEMPO 6 CLIENTES/HORA CLIENTE/MINUTO Pw PROBABILIDAD DE QUE UN CLIENTE ESPERE PARA QUE LO ATIENDAN: k k B P k! k EJEMPLO: MODELO M/M/k EJEMPLO: MODELO M/M/k NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN LA COLA: TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN LA COLA: Lq k B ( k )! ( k ) P Wq Lq.636 miutos NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA: TIEMPO PROMEDIO QUE UN CLIENTE PASA EN EL SISTEMA: L Lq + Lq + B W Wq miutos

12 EJEMPLO: MODELO M/M/k COMPARACIÓN ENTRE ALTERNATIVAS DE DISEÑO P PROBABILIDAD DE QUE HAYA CLIENTES EN EL SISTEMA: B P! B P ( k k!k ) para k para > k B P! B P ( 2 2!2 ) para 2 para > 2 LAS DECISIONES RELACIONADAS CON EL DISEÑO DE LÍNEAS DE ESPERA PUEDEN HACERSE CON BASE EN:. EVALUACIÓN SUBJETIVA: A PARTIR SÓLO DE LAS MEDIDAS DE DESEMPEÑO DEL SISTEMA. 2. ANÁLISIS ECONÓMICO: INCORPORANDO COSTOS DEL SISTEMA. P o más.885 ANÁLISIS ECONÓMICO DE LÍNEAS DE ESPERA INCORPORA LOS COSTOS ASOCIADOS A LAS ALTERNATIVAS DE DISEÑO. SE PUEDE DEFINIR AL COSTO TOTAL (POR PERIODO), CT, COMO: ANÁLISIS ECONÓMICO DE LÍNEAS DE ESPERA POR LA NATURALEZA DE LAS FUNCIONES DE COSTOS: CT Cw L + Cs k SE SUELEN REPRESENTAR CON EL SIGUIENTE COMPORTAMIENTO: CT Cw L + Cs k COSTOS: $ COSTO TOTAL DONDE: Cw : COSTO (POR PERIODO) DE ESPERA POR CLIENTE QUE ESPERA. L: NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA. Cs : COSTO (POR PERIODO) DE CADA SERVIDOR. k : NÚMERO DE SERVIDORES. COSTO DE LA ESPERA NÚMERO ÓPTIMO DE SERVIDORES COSTO DEL SERVICIO NÚMERO DE SERVIDORES, k

13 FILAS DE ESPERA: OTROS MODELOS Tema 3: Aálisis de Sesibilidad MODELO M/G/ APLICABLE A SISTEMAS CON: LLEGADAS POISSONIANAS (M/). TIEMPO DE SERVICIO CON DISTRIBUCIÓN NORMAL (/G/). UN SERVIDOR (/). DISCIPLINA FIFO. MODELO M/G/: MEDIDAS DE DESEMPEÑO ρ - - ρ σ + ( / ) Lq 2( / ) L Lq + Lq + ρ σ + ρ 2( ρ) ρ < Wq L q W Wq + P W ρ

14 EJEMPLO EJEMPLO UN RESTAURANTE DE HAMBURGUESAS CUENTA CON UNA ÚNICA CAJA DE PAGO. EL CAJERO TOMA EL PEDIDO, DETERMINA EL COSTO TOTAL, RECIBE EL DINERO DEL CLIENTE Y SURTE EL PEDIDO. UNA VEZ CUBIERTO EL PEDIDO DE UN CLIENTE, EL EMPLEADO TOMA EL PEDIDO DEL SIGUIENTE CLIENTE EN LA COLA. SI LLEGA UN CLIENTE CUANDO EL CAJERO SE ENCUENTRA AÚN TOMANDO UN PEDIDO, EL CLIENTE QUE LLEGA SE FORMA EN LA FILA. LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45 CLIENTES/HORA). ρ.75/ ρ L Lq + Lq + ρ ρ < LA DURACIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL (SERVICIO PROMEDIO: 6 CLIENTES/HORA), CON DESVIACIÓN ESTÁNDAR DE 2 MINUTOS σ + ( / ) Lq 2( / ) σ + ρ 2( ρ) [(.75) 2 (2) 2 + (.75/) 2 ]/[2(.25)] EJEMPLO MODELO M/D/ APLICABLE A SISTEMAS CON: L Wq q 5.625/ MINUTOS LLEGADAS POISSONIANAS (M/). W Wq MINUTOS TIEMPO DE SERVICIO DETERMINISTA (/D/). UN SERVIDOR (/). DISCIPLINA FIFO. P W ρ.75

15 MODELO M/D/: MEDIDAS DE DESEMPEÑO ρ - - ρ 2 ( / ) Lq 2( / ) L Lq + Lq + ρ Wq L q W Wq + P W ρ 2 ρ 2( ρ) ρ < EJEMPLO UN RESTAURANTE DE HAMBURGUESAS CUENTA CON UNA ÚNICA CAJA DE PAGO. EL CAJERO TOMA EL PEDIDO, DETERMINA EL COSTO TOTAL, RECIBE EL DINERO DEL CLIENTE Y SURTE EL PEDIDO. UNA VEZ CUBIERTO EL PEDIDO DE UN CLIENTE, EL EMPLEADO TOMA EL PEDIDO DEL SIGUIENTE CLIENTE EN LA COLA. SI LLEGA UN CLIENTE CUANDO EL CAJERO SE ENCUENTRA AÚN TOMANDO UN PEDIDO, EL CLIENTE QUE LLEGA SE FORMA EN LA FILA. LAS LLEGADAS SON POISSONIANAS (PROMEDIO DE LLEGADAS: 45 CLIENTES/HORA). LA DURACIÓN DEL TIEMPO DE SERVICIO ES DETERMINISTA (CAPACIDAD DEL SERVICIO: 6 CLIENTES/HORA). EJEMPLO EJEMPLO ρ.75/ ρ L Lq + Lq + ρ.75/ ( / ) ρ Lq (.75) 2( / ) 2( ρ) 2 /[2(.25)].25 ρ < L Wq q W Wq MINUTOS P W ρ.25/.75.5 MINUTOS.75

16 MODELO M/G/k CON CLIENTES QUE ABANDONAN EL SISTEMA POR BLOQUEO APLICABLE A SISTEMAS CON: LLEGADAS POISSONIANAS (M/). TIEMPO DE SERVICIO CON CUALQUIER DISTRIBUCIÓN (/G/). K SERVIDORES (/k). DISCIPLINA FIFO. SI AL LLEGAR UN CLIENTE ENCUENTRA TODOS LOS SERVIDORES OCUPADOS, ABANDONA EL SISTEMA. MODELO M/G/k CON CLIENTES QUE ABANDONAN EL SISTEMA: MEDIDAS DE DESEMPEÑO PROBABILIDAD DE QUE HAYA j SERVIDORES OCUPADOS j ( / ) / j! k i ( / ) P j i! i PROBABILIDAD DE QUE TODOS LOS SERVIDORES ESTÉN OCUPADOS k ( / ) / k! P K k i ( / ) i! i NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA L ( - P K ) EJEMPLO EJEMPLO EL SERVICIO TELEFÓNICO DE ATENCIÓN A CLIENTES DE UNA EMPRESA CUENTA CON TRES LÍNEAS. LAS LLAMADAS LLEGAN DE MANERA POISSONIANA, CON UNA TASA DE 2 LLAMADAS/HORA. 2 LLAMADAS/HORA. 6 LLAMADAS/HORA. K 3 SERVIDORES. / 2/6 2 EN PROMEDIO, CADA UNO DE LOS ASESORES PUEDE ATENDER 6 CLIENTES/HORA. K i i ( / ) i! 2 /! + 2 /! /2! /3! 9/

17 EJEMPLO EJEMPLO PROBABILIDAD DE QUE HAYA j SERVIDORES OCUPADOS P j j ( / ) / j! k i ( / ) i 2 6 i! / 2 (2 /!)/(9/3) 3/ K 3 PROBABILIDAD DE QUE TODOS LOS SERVIDORES ESTÉN OCUPADOS 2 ( ) 3 / / 3! P 3 k i 4/ ( / ) i! i 6 / 2 K 3 P P 2 (2 /!)/(9/3) 6/ (2 2 /2!)/(9/3) 6/ NÚMERO PROMEDIO DE CLIENTES EN EL SISTEMA L ( - P K ) (2)( - 4/9) 3/ P 3 (2 3 /3!)/(9/3) 4/ MODELO M/M/ CON POBLACIÓN FINITA DE CLIENTES (MACHINE REPAIR PROBLEM) SISTEMA M/M/ CON UNA POBLACIÓN DE N CLIENTES ATENDIDOS. LLEGADAS POISSONIANAS (M/). TIEMPO DE SERVICIO EXPONENCIAL (/M/). UN SERVIDOR (/). N TAMAÑO DE LA POBLACIÓN DISCIPLINA FIFO. MODELO M/M//N: MEDIDAS DE DESEMPEÑO + Lq N L Lq + ( - ) Wq W Wq + P N ( N )! N! L q ( N L) N! ( ) P ( N )! ρ <

18 EJEMPLO EJEMPLO UNA EMPRESA TIENE SEIS EQUIPOS IDÉNTICOS DE MANUFACTURA. EL TIEMPO ENTRE FALLAS DE CADA UNO DE LOS EQUIPOS DE PRODUCCIÓN SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL, CON UN TIEMPO PROMEDIO ENTRE FALLAS DE 2 HORAS. PARA LA ATENCIÓN DE LAS FALLAS EN EL EQUIPO DE MANUFACTURA SE CUENTA CON UNA ÚNICA CUADRILLA DE MANTENIMIENTO. EL TIEMPO DE DURACIÓN DEL SERVICIO DE REPARACIÓN DE EQUIPO SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL, CON UNA MEDIA DE 2 HORAS/FALLA. N ( N )! N!.5.5 /. N 6 (6!/6!)(.) + (6!/5!)(.) + (6!/4!)(.) 2 + (6!/3!)(.) 3 + (6!/2!)(.) 4 + (6!/!)(.) 5 + (6!/!)(.) N (/2.6392).4845 N! ( N )! EJEMPLO EJEMPLO Lq N ( ) 6 - [(.5+.5)/.5]( ) MÁQUINAS.5 /. N L Wq q ( )/[( )(.5)] ( N L) HORAS.5 /. N L Lq + ( - ) ( ) W Wq / HORAS MÁQUINAS

19 EJEMPLO N! P P [6!/(6-)!](.) ( N )! (.48455).5.5 /. N N P Tema 3: Aálisis de Sesibilidad