BACHILLERATO FÍSICA A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA. Dpto. de Física y Química. R. Artacho

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1 BACHILLERATO FÍSICA A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA R. Artacho Dpto. de Física y Química

2 ÍNDICE 1. Áreas y volúmenes de figuras geométricas. Funciones trigonométricas 3. Productos de vectores 4. Desarrollo en serie de un binomio 5. Cálculo diferencial 6. Cálculo Integral

3 1 Áreas y volúmenes de figuras geométricas Figuras planas L = r Círculo de radio r A = r Cuadrado de lado a A = a Figuras espaciales Triángulo Cubo de lado a Esfera de radio r Cilindro de radio r y longitud l A = (base altura)/ A = 6a V = a 3 A = 4 r V = 4/3 r 3 A = rl A bases = r V = r l 3

4 Funciones trigonométricas 1,00 senα = cateto opuesto hipotenusa ; coscα = hipotenusa cateto opuesto 0,50 0,00-0,50-1,00 1,00 cosα = cateto contiguo hipotenusa ; secα = hipotenusa cateto contiguo 0,50 0,00-0,50-1,00 tgα = cotgα = cateto opuesto cateto contiguo = senα cosα cateto contiguo cateto opuesto = cosα senα 10,00 5,00 0,00-5,00-10,00 4

5 Funciones trigonométricas.1. Funciones trigonométricas de ángulos pequeños s θ = s r (ángulo en radianes) r Si es menor de 5º: θ sen θ tg θ Los valores del seno y la tangente de un ángulo pequeño coinciden con el del ángulo expresado en radianes 5

6 Funciones trigonométricas.. Identidades trigonométricas de interés sen a ± b = sena cosb ± senb cosa cos a ± b = cosa cosb sena senb sena + senb = sen a + b cos a b sena senb = sen a b cos a + b cosa + cosb = cos a + b cos a b cosa cosb = sen a + b sen b a 6

7 3.1. Producto escalar A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 3 Productos de vectores El resultado de multiplicar escalarmente dos vectores es el número que se obtiene multiplicando sus módulos por el coseno del ángulo que forman: b a b = ab cosα = a Proy a b Proy a b a Producto escalar en función de las componentes i i = j j = k k = 1 i j = j i = i k = k i = j k = k j = 0 a = a x i + a y j + a z k; b = b x i + b y j + b z k a b = (a x i + a y j + a z k) b x i + b y j + b z k = a x b x + a y b y + a z b z 7

8 EJERCICIO 1 A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 3 Productos de vectores Sean los vectores: a = 3 i j + k; b = i + 3 j k Calcular: a) El vector suma, a + b. b) Un vector unitario en la dirección del vector a + b. c) El producto escalar de los dos vectores. d) El ángulo que forman. 8

9 3.. Producto vectorial A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 3 Productos de vectores El resultado de multiplicar vectorialmente dos vectores es un nuevo vector cuyos atributos son: Módulo: a b = ab senα Dirección: Perpendicular al plano que forman los dos vectores Sentido: Que resulta de aplicar la regla de la mano derecha a b O π b h a B A C a b = ab senα = ah = Área (OACB) Cualquier superficie puede representarse mediante un vector perpendicular a ella y cuyo módulo sea igual al área de la misma. 9

10 3 Productos de vectores 3.. Producto vectorial Producto vectorial en función de las componentes i i = j j = k k = 0 k j i a = a x i + a y j + a z k; i j = k; j i = k i k = j; k i = j k = i; k j j = i b = b x i + b y j + b z k a b = (a x i + a y j + a z k) b x i + b y j + b z k = a y b z a z b y i + a z b x a x b z j + a x b y a y b x k a b = i j k a x a y a z b x b y b z 10

11 3 Productos de vectores 3.3. Aplicaciones del producto vectorial Momento de un vector respecto de un punto Se define el momento de un vector a aplicado a P, con respecto un punto O, como el producto vectorial entre el vector de posición, r = OP, y el propio vector a: M a,o 90 0 O a r P(x, y, z) M a,o = r a r = (x x 0 ) i + (y y 0 ) j + (z z 0 ) k 11

12 EJERCICIO A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 3 Productos de vectores Sean los puntos A (, 1, - 3), B (-, -1, -) y C (0, 3, -1). Calcular: a) El área del triángulo que forman los tres puntos. b) El ángulo que forman los vectores AB y AC. b) El momento del vector AB, respecto del origen de coordenadas. 1

13 4 Desarrollo en serie de un binomio a + b n = a n + n 1! an 1 b + n n 1! a n b n n 1 (n ) + 3! a n 3 b n! n! an n b n a + b = a + 1! a 1 b + 1! a b = a + ab + b 1 + x n = 1 + nx 1! + n n 1 x! + Si x<<1 1 + x n 1 + nx 13

14 4 Desarrollo en serie de un binomio EJERCICIO 3 Calcula x

15 5 Cálculo diferencial Sea y una función de x: y = y(x) y es una variable dependiente de x, que es la variable independiente. Para saber como varía una función y(x) en un determinado intervalo de x, haremos: Δy Δx Pero si x es extremadamente pequeño, estaremos analizando dicha variación en el límite en que el x se hace caso cero: Δy lim x 0 Δx Ese valor límite es lo que se conoce con el nombre de derivada de y con respecto a x: dy dx = lim Δy x 0 Δx = lim y x + x y(x) x 0 Δx 15

16 5 Cálculo diferencial 5.1. Cálculo de la derivada de la función y(x) = x n dy dx = lim Δy x 0 Δx = lim (x + x) n x n x 0 Δx x + x n = x n + nx n 1 x + n n 1 x n x + dy dx = lim x 0 x n + nx n 1 x + n n 1 Δx x n x + n x n = nxn 1 x Δx = nx n 1 d dx axn = an x n 1 d sen ax = a cos ax dx d dx cos ax = a sen ax d dx ln ax = a x 16

17 5 Cálculo diferencial 5.. Propiedades de las derivadas da dt = 0 d(f + g) dt = df dt + dg dt d(f g) dt = f dg dt + g df dt d(a f) dt = a df dt d dt f g = g df dg f dt dt g Si y = y x y x = x t, df dt = df dx dx dt 17

18 EJERCICIO 4 A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 5 Cálculo diferencial Sea la función f(x) = 3 (x 3 ) + x 3. Calcula: a) La derivada primera de la función respecto de x. b) El valor de la derivada primera en el punto x = 1. c) La derivada segunda de la función respecto de x. 18

19 5.3. Derivación parcial A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 5 Cálculo diferencial Sea f una función de x, y y z; derivar parcialmente la función f(x,y,z) con respecto a una sola de las variables consiste en derivar la función suponiendo que las otras son constantes: f(x, y, z) x Vector gradiente de una función escalar Si V(x,y,z) es una función escalar, se define el gradiente como: gradv x, y, z = V V V i + j + x y z k = V = x i + y j + k V z 19

20 EJERCICIO 5 A. HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS DE LA FÍSICA 5 Cálculo diferencial Sea la función f(x, y, z) = x 3 y z xz 3 + y Calcula: a) El vector gradiente de la función b) Un vector unitario en la dirección del vector gradiente en el punto (1,, -). 0

21 6 Cálculo integral La integración es la operación inversa a la derivación. Así, la integral de una función f(x) es otra función y(x) tal que: f x dx = y x + C dy x dx = f(x) dx = x + C En física las integrales deben resolverse entre dos límites definidos, en este caso la integral recibe el nombre de integral definida: a b f x dx = y x + C a b = y b + C y a + C = y b y(a) xdx = x + C x n dx = xn+1 n C senx dx = cosx + C cosx dx = senx + C 1 x dx = lnx + C 1

22 6 Cálculo integral EJERCICIO 6 Calcula las siguientes integrales inmediatas: x dx 0 π 4 senθdθ 4 3 x dx