1. MODELAMIENTO DE SISTEMAS: FUNDAMENTOS

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1 1. MODELAMIENTO DE SISTEMAS: FUNDAMENTOS 1.1 INTRODUCCION Un sstema representa una undad donde se hacen tratamentos físcos o químcos de materales que puede ser contrastada con un modelo que representa una descrpcón matemátca del sstema real. La dsposcón de varos sstemas undos entre sí por flujos comunes de materales y/o nformacón consttuye un proceso. La salda del proceso es una funcón no solamente de las característcas de sus sstemas (o subsstemas) sno tambén de sus nteraccones o nterrelacones. Una propedad del sstema o de su entorno a la que se le puede asgnar valores numércos arbtraros se denomna como un parámetro. Tambén puede ser una constante o el coefcente de una ecuacón. El estudo de un proceso, medante la manpulacón de su representacón matemátca o de su modelo físco, consttuye una smulacón. Los estudos cláscos de un proceso en estado estaconaro se complementan con un análss dnámco, lo que exge un conocmento de los crteros de establdad y de los métodos de operacón para evaluar extosamente el funconamento del proceso El análss de sstemas se refere al reconocmento y defncón de problemas, su planteamento o modelamento medante la aplcacón de prncpos centífcos y el desarrollo de procedmentos de solucón con cuyos resultados se adquera una total comprensón de la stuacón. El análss y la smulacón de procesos presentan las sguentes ventajas: 1. Expermentacón Contnua: Es posble estudar procesos exstentes en una forma mas rápda, económca y completa que en la planta real. La smulacón puede aumentar o reducr el tempo real de una forma análoga a como una cnematográfca acelera o retarda las mágenes; de esta forma se puede observar más fáclmente la operacón del sstema. 2. Extrapolacón: Con un modelo matemátco adecuado se pueden ensayar ntervalos extremos de las condcones de operacón, que pueden ser mpractcables o mposbles de realzar en una planta real. Tambén es posble establecer característcas de funconamento 3. Estudo de conmutabldad y evaluacón de otros planes de actuacón: Se pueden ntroducr nuevos factores o elementos de un sstema y suprmr otros antguos al examnar el sstema con el fn de ver s estas modfcacones son compatbles. La smulacón permte comparar dstntos dseños y procesos

2 2 que todavía no están en operacón y ensayar hpótess sobre sstemas o procesos antes de llevarlos a la práctca 4. Repetcón de expermentos: La smulacón permte estudar el efecto de la modfcacón de las varables y parámetros con los resultados producbles. En el modelo matemátco se puede ntroducr o retrar a voluntad un error, lo cual no es posble en la planta real 5. Control de cálculo: La smulacón consttuye una mportante ayuda materal para el estudo de los sstemas de control con lazos abertos y cerrados 6. Ensayo de sensbldad: Se puede ensayar la sensbldad de los parámetros de costos y báscos del sstema; por ejemplo, un ncremento de un 10 % en la velocdad de almentacón podrá tener, según los casos, un efecto mínmo o muy mportante sobre el funconamento del sstema 7. Estudo de la establdad del sstema: Se puede examnar la establdad de sstemas y subsstemas frente a dferentes perturbacones 1.2 TIPOS DE MODELOS DE SISTEMAS Debdo a su utlzacón en dversos campos de la cenca, es mposble nclur dentro de una sola defncón las dferentes acepcones de la palabra modelo. Un sstema se puede modelar medante, ya sea, una construccón físca o analógca, una representacón gráfca o un mapa, un enuncado teórco o un planteamento matemátco. Es decr, se pueden descrbr los sguentes tpos de modelos: 1. Modelos Físcos: Son construccones materales que representen sstemas como barcos, plantas plotos, maquetas de edfcos y otros 2. Modelos Analógcos: Son construccones materales que representen crcutos eléctrcos, electróncos o mecáncos 3. Teorías Provsonales: Son postulacones que explcan comportamentos fenomenológcos en sstemas como la de los gases deales o la de la gota de líqudo para la nucleacón 4. Gráfcos o Mapas: Son representacones medante símbolos convenconales de estructuras de sstemas que explcan en algunos casos su organzacón o su dstrbucón o su logístca, etc. Por ejemplo, la representacón de un proceso químco medante su dagrama de flujo Mach 2

3 3 5. Enuncados matemátcos y modelos en forma de símbolos: Son sstemas de ecuacones que expresan smbólcamente el fenómeno que se desarrolla en el sstema. Por ejemplo, el modelamento matemátco que exprese el flujo y los cambos de matera y energía a través de un reactor deal de mezcla completa. 1.3 MODELOS MATEMATICOS Los modelos matemátcos son los que mas utlza el ngenero químco para el análss de sus procesos. El tpo mas aplcado es el que modela los fenómenos de transporte de masa, energía y cantdad de movmento a través de un sstema, pero en algunos casos se hace necesaro el planteamento de un modelo del tpo balance de poblacón o el ajuste de una nformacón conocda a un modelo matemátco que empírcamente permta su análss. La descrpcón de cada uno de estos tpos de modelos matemátcos es la sguente: 1. Modelos de Fenómenos de Transporte: Se aplcan en sstemas donde se desarrollan fenómenos de transporte de entdades como matera, energía y cantdad de movmento, como el flujo de fludos en tuberías y el flujo de matera y calor en reactores y columnas de destlacón. 2. Modelos de Balance de Poblacón: Se aplcan en sstemas donde se hace necesaro plantear un modelo de balance de poblacón para descrbr las propedades de la masa reacconante en una localzacón puntual, como su concentracón, temperatura o tempo de resdenca. Por ejemplo, en un reactor agtado que no se cumple el dealsmo de un mezclado perfecto y, por lo tanto, no se cumple la consderacón de una gualdad de condcones en cada una de las localdades en la masa reacconante. 3. Modelos Empírcos: Se aplcan a un sstema del que se tene conjunto de datos dscretos de sus propedades y pueden ajustarse a una ecuacón matemátca que satsfaga la correspondenca dato a dato. Puede utlzarse como recurso de nterpolacón MODELOS DE FENOMENOS DE TRANSPORTE Para un ngenero químco, los sstemas que le competen son aquellos en los que se realzan transformacones físcas o químcas ya sea en forma contnua o dscontnua. Estos sstemas se pueden modelar aplcando los prncpos de conservacón de masa, energía y cantdad de movmento, es decr, como modelos de fenómenos de transporte. Mach 3

4 4 Los modelos de fenómenos de transporte son representacones matemátcas de los procesos reales en dstntos nveles de descrpcón que se relaconan con la complejdad del detalle físco nterno. Tpos de Modelos de Fenómenos de Transporte Una clasfcacón, en orden descendente, de acuerdo al grado de detalle de la descrpcón fscoquímca es: 1. Descrpcón Atómca y Molecular: Se caracterza porque trata un sstema arbtraro como s estuvese compuesto de entdades ndvduales, cada una de las cuales sgue certas leyes. En consecuenca, las propedades y las varables de estado del sstema se obtenen como suma de todas las entdades. La mecánca cuántca, la mecánca estadístca de equlbro y no equlbro, así como la mecánca clásca constturían métodos típcos de análss medante los cuales se podrían calcular teórcamente todas las propedades y formas de respuesta de un sstema. 2. Descrpcón Mcroscópca: Corresponde a un tratamento fenomenológco del problema y admte que el sstema puede consderarse como contnuo. Se gnoran las nteraccones moleculares detalladas y se plantean certas ecuacones de balance dferencal para matera, energía y cantdad de movmento. Cada balance, a través del sstema, puede expresarse en la sguente forma: Rapdez Neta Flujo Neto Flujo Neto Rapdez Neta Rapdez Neta de = de de + de de Acumulacón Entrada Salda Generacón Consumo Al construr el modelo se reemplaza cada uno de los térmnos anterores por expresones matemátcas que sean tan rgurosas y a la vez contengan tan pocos parámetros desconocdos como sea posble. Cada balance se plantea para cada una de las dreccones en el espaco en que se consdera el sstema y, por lo tanto, el modelo lo consttuye una ecuacón dferencal parcal. Se aplca, por ejemplo, a fenómenos de transporte lamnar y teorías estadístcas de la turbulenca. 3. Descrpcón de Gradente Múltple: En este nvel se ncorpora menos nformacón detallada acerca de las característcas nternas del sstema que en Mach 4

5 5 el caso de la descrpcón mcroscópca. Las formas de las ecuacones matemátcas están sugerdas y corresponden a las ecuacones de transporte mcroscópco pero con coefcentes modfcados. La característca esencal de la descrpcón de gradente múltple es que son mportantes uno o más térmnos de dspersón que deben ser retendos en el modelo, con o sn los térmnos convectvos. El modelo de gradente múltple se aplca en procesos con flujo turbulento o en el flujo con pasos muy complcados como el que tene lugar en lechos de relleno o medos porosos, procesos en los que no se puede medr n calcular el campo de velocdad local. 4. Descrpcón de Gradente Máxmo: Es una forma menos detallada de descrpcón que se puede consderar como un modelo smplfcado de gradente múltple en el que se suprmen los térmnos de dspersón y solamente se conserva una dervada en térmnos del flujo global. Cuando no se ntenta analzar el detalle nterno de los modelos de gradente múltple se realzan suposcones smplfcables adconales con lo cual se obtenen ecuacones matemátcas de fácl tratamento que resultan, no obstante, muy satsfactoras para numerosos fnes. En el modelo de gradente máxmo se despreca toda la dspersón y solamente el mayor componente (undmensonal) del gradente de la varable ndependente se consdera en cada balance. Por ejemplo, en la representacón de gradente máxmo de un reactor químco o sstema de absorcón de gases, solamente se consderan los gradentes de concentracón en la dreccón axal orgnados por el flujo global, mentras que los gradentes que los gradentes radales, la dspersón, etc, se gnoran. Los modelos de gradente máxmo son los generalmente consderados en los lbros elementales para los procesos contnuos y se pueden generalzar a un balance con los sguentes térmnos: { Acumulacón} + { Transporte Global} = { Generacón} + a Transporte traves de sup erfce la El balance de matera para cada espece y el balance de energía se expresan, respectvamente, con las sguentes ecuacones: Balance de matera de la espece, c t v c + z ( z ) ( t) = R + m Mach 5

6 6 Balance de energía T T ρ C p + vz = S R + E t z (t) La descrpcón del gradente máxmo reduce los prncpos fscoquímcos a ecuacones dferencales menos detalladas. El balance de cantdad de movmento se gnora puesto que normalmente se supone que la velocdad es constante o ben una funcón senclla de z. En el balance de energía el térmno S R representa la energía neta desprendda por el proceso durante la(s) reaccón(es) que se representa por R en el balance(s) de matera. El (t) térmno m tene en cuenta la velocdad de transferenca molar, por undad de volumen de la espece, a través de los límtes del sstema de área S (t) (t) ( m es postvo cuando se ntroduce matera). En el balance de energía E representa la transferenca de nterfase de energía a través de los límtes del sstema por undad de volumen por uno o ben una combnacón de los sguentes mecansmos: conduccón, conveccón, radacón, trabajo mecánco o transferenca de matera que le acompaña. Fnalmente, en el modelo de gradente máxmo es mportante recordar que las concentracones y temperaturas ya no son valores puntuales sno valores promedados para la seccón transversal y son funcones de una sola dreccón coordenada. La descrpcón del gradente máxmo reduce los prncpos fscoquímcos a unas ecuacones dferencales menos detalladas. 5. Descrpcón Macroscópca: En este nvel se gnora todo detalle dentro del subsstema especfcado y, en consecuenca, en el planteamento matemátco no ntervenen gradentes espacales. En los balances generales, solamente el tempo permanece como una varable dferencal ndependente. Las varables dependentes, tales como concentracón y temperatura, no son funcones de la poscón y, por tanto, representan valores medos para todo el volumen del subsstema. Esta pérdda de detalle smplfca grandemente la descrpcón matemátca, pero como contrapartda, lleva consgo una pérdda de nformacón concernente a las característcas del comportamento del sstema. Este tpo de modelo es el que se planteará en los sguentes capítulos para el análss dnámco de sstemas. 1.4 CARACTERIZACION DE UN MODELO MATEMATICO Dferentes crteros son sgnfcatvos para la caracterzacón de un modelo matemátco como determnístco o probablístco, de varable contnua o dscreta, en estado estaconaro o dnámco, de parámetro globalzado o dstrbudo. Mach 6

7 7 Según la caracterzacón del modelo se requerrán procedmentos y restrccones matemátcas específcas para su solucón. Un modelo de parámetro globalzado se plantea con una ecuacón dferencal ordnara mentras que uno de parámetro dstrbudo se expresa medante una ecuacón dferencal parcal. Un modelo en estado estaconaro no ncluye las varacones de las propedades del sstema en el tempo y, por lo tanto, su descrpcón puede ser una ecuacón algebraca en el caso de un modelo de parámetro globalzado o una ecuacón dferencal en el caso de un modelo de parámetro dstrbudo Modelo Determnístco y Modelo Probablístco Los modelos determnístcos son aquellos en los que cada varable y parámetro puede asgnarse a un número fjo defndo o una sere de números fjos para una sere dada de condcones. Por el contraro, en los modelos probablístcas o estocástcos se ntroduce el prncpo de ncertdumbre y, por lo tanto, las varables o parámetros utlzados para descrbr las relacones entrada-salda y la estructura de los elementos (y las restrccones) no son conocdos con precsón. Modelo de Varable Contnua Modelo de Varable Dscreta Un modelo es de varacón contnua s su varable dependente puede asumr cualquer valor ncludo dentro de un ntervalo de la varable ndependente, pero s solo puede tomar algunos valores, entonces el modelo es de varacón dscreta, por ejemplo, una varable que solo puede tomar valores enteros. En los procesos propos de la ngenería químca suelen encontrarse tanto varables contnuas como dscretas en un msmo problema, Por ejemplo, al optmzar un sstema de compresón de un gas se deben selecconar un número entero de etapas de compresón (varable dscreta) además de las presones de succón y descarga en cada etapa (varables contnuas). Modelo en Estado Estaconaro Modelo en Estado Dnámco El modelamento de un sstema en estado estaconaro se refere a su planteamento consderando que los térmnos correspondentes a la acumulacón en los dstntos balances son guales a cero. Otra forma equvalente de expresar la msma dea consste en decr que cuando el tempo tende haca el nfnto desaparecen los estados transtoros y el sstema es nvarante con respecto al tempo y, por lo tanto, los térmnos dervatvos se hacen guales a cero Los procesos en estado no estaconaro tambén se pueden llamar transtoros o dnámcos. Mach 7

8 8 Aun cuando ha sdo una práctca usual de los procedmentos de dseño de procesos, desarrollarlos para la operacón en estado estaconaro, cuando comenzó a estudarse amplamente el control de procesos se encontró que la operacón en estado no estaconaro era muy mportante. Por supuesto que el análss y el dseño de un proceso en estado no estaconaro requere mas tpos dferentes y detallados de nformacón que en el caso de estado estaconaro, pero el análss dnámco de la operacón prolongada suele con frecuenca conducr a un mejor dseño desde el punto de vsta económco, que al fn y al cabo, es lo que mporta. Un ejemplo típco de un proceso en estado no estaconaro puede ser la puesta en marcha de una columna de destlacón, que alcanzará eventualmente un conjunto de condcones de operacón en estado estaconaro. De hecho, cuando se examna con más detalle, se encuentra que la columna sempre opera en estado estaconaro con pequeñas fluctuacones de temperatura y concentracón, que se producen en todo momento, pero que posblemente osclan alrededor de los valores medos en estado estaconaro. El análss dnámco ayuda a mnmzar las desvacones de las especfcacones del producto durante la puesta en marcha, parada o cambos en los nveles de operacón. Modelo de Parámetro Globalzado Modelo de Parámetro Dstrbudo En un modelo de parámetro globalzado se gnoran las varacones espacales y las dstntas propedades y las varables dependentes se pueden consderar homogéneas en todo el sstema. En un modelo de parámetro dstrbudo se tenen en cuenta en forma detallada las varacones en el comportamento del sstema en todo su conjunto. Todos los sstemas reales son, por supuesto, dstrbudos porque exsten algunas varacones en todo el conjunto. Sn embargo, las varacones son con frecuenca relatvamente pequeñas de tal forma que se pueden gnorar y, entonces, el sstema se puede consderar globalzado. La respuesta a la pregunta de s la globalzacón de parámetros es válda dsta mucho de ser senclla. Una buena regla aproxmada es que s la respuesta del elemento, para todos los fnes práctcos, es nstantánea en el conjunto de todo el elemento, entonces el parámetro del elemento puede ser globalzado. S la respuesta presenta dferencas nstantáneas a lo largo del elemento, ya no sería globalzado. Por respuesta se entende la velocdad de propagacón de la señal de entrada a través del elemento. Así, para ver s debe utlzarse una ecuacón de parámetro dstrbudo o globalzado, es necesaro conocer algo acerca de los detalles nternos del elemento en cuestón. Debdo a que los procedmentos matemátcos para la resolucón de sstemas de parámetro globalzado son más sencllos que para los sstemas de parámetro dstrbudo, con frecuenca se aproxma este últmo por un sstema equvalente de Mach 8

9 9 parámetro globalzado. Mentras que la globalzacón resulta, con frecuenca, posble es precso tener mucho cudado en evtar el enmascaramento de las característcas sobresalentes del elemento dstrbudo (lo que dará lugar a la construccón de un modelo nadecuado) debdo a la globalzacón. Además, la varabldad o no lnealdad del modelo de parámetro globalzado puede dar lugar a un tratamento matemátco tan dfícl como el modelo orgnal no globalzado. Un ejemplo mportante es el tanque de mezcla que se emplea para el mezclado de fludos o para efectuar reaccones químcas. Generalmente, se basan los cálculos en la suposcón de que el tanque está perfectamente agtado de forma que todo el volumen del msmo consste en un materal homogéneo de característcas déntcas al producto que sale del tanque. Ahora ben, en un tanque real exsten placas deflectoras, esqunas, etc., y la mezcla no es perfecta en todas las regones, lo que conduce a falta de unformdad en el tanque. Con frecuenca se gnoran estas varacones y se emplean certos valores medos para las propedades del materal contendo en el tanque. Para muchos propóstos la suposcón globalzada resulta bastante satsfactora, aunque para certos tpos de reaccones químcas el mezclado no deal puede tener efectos mportantes. Las varacones espacales consderadas en los modelos de parámetro dstrbudo pueden ser para una dmensón solamente o para dos o tres. Por ejemplo, en los métodos habtuales de dseño de un absorbedor de gases con relleno se supone que las concentracones varían en forma contnua en la dreccón axal o de flujo, pero en cambo se gnoran en la dreccón radal. En un reactor tubular o de partículas de relleno se le consdera, generalmente, en la msma forma pero en este caso los gradentes radales de temperatura pueden ser mportantes. Para tener en cuenta lo anteror se hace necesaro utlzar un modelo de parámetro dstrbudo de dos o tres dmensonasen el que se consderen las varacones radal y axal de la temperatura y la concentracón. 1.5 ESTRUCTURA MATEMATICA DE UN MODELO Ecuacones Dferencales Ecuacones Algebracas El modelamento de un sstema en estado dnámco se plantea medante sstemas de ecuacones dferencales o ecuacones de dferencas de acuerdo a que el sstema sea de varacón contnua o dscreta. Los modelos de varacón contnua tambén se pueden plantear medante ecuacones ntegrales. Los modelos de varacón contnua tanto de parámetro globalzado en estado no estaconaro como de parámetro dstrbudo en estado estaconaro se expresan Mach 9

10 10 medante ecuacones dferencales ordnaras. En los de parámetro globalzado la varable ndependente es el tempo mentras que en los de parámetro dstrbudo es una dreccón espacal. Los modelos de varacón contnua de parámetro dstrbudo se expresan medante ecuacones dferencales parcales tanto para descrpcón en estado estaconaro como no estaconaro. S el modelo se descrbe en estado estaconaro, las varables ndependentes son las dreccones espacales y s su descrpcón es en estado no estaconaro se agrega el tempo como varable ndependente. Los modelos de varacón dscreta se expresan medante ecuacones de dferencas fntas, que tambén pueden ser undmensonales o multdmensonales según el número de conexones entre los subsstemas de parámetro globalzado. En condcones estaconaras, las ecuacones dferencales de un modelo de parámetro globalzado se transforman en ecuacones algebracas mentras que las ecuacones dferencales parcales de un modelo de parámetro dstrbudo se transforman en ecuacones dferencales que expresan las varacones del sstema con respecto a las dreccones espacales 1.6 MODELOS DE PARAMETRO GLOBALIZADO Los modelos de parámetro globalzado son modelos matemátcos de fenómenos de transporte descrtos macroscópcamente, es decr, que solo se consderan las varacones del sstema con el tempo y se omten las varacones espacales. En su planteamento se aplcan un conjunto de leyes fundamentales de la físca y la químca como los prncpos de conservacón de la masa, energía o cantdad de movmento, las ecuacones de transporte superfcal, las ecuacones de estado, las ecuacones de equlbro químco y físco y las ecuacones cnétcas de reaccones. Ecuacón de balance de matera total En el flujo total de matera a través de un sstema se cumple el prncpo de conservacón y su balance se puede expresar de la sguente manera: Flujo Másco de Entrada Flujo Másco Rapdez de Acumulacón = de Salda de Masa (1.1) Mach 10

11 11 En la ecuacón (1.1) cada uno de los térmnos expresa undades de masa por undad de tempo. El membro derecho de la ecuacón corresponde a un térmno rapdez de cambo de masa, es decr, a una dervada con respecto al tempo Ecuacones de balance de matera de componente En el flujo de matera a través de un sstema, el prncpo de conservacón de cada componente se plantea medante un balance que se puede expresar de la sguente manera: Flujo Molar FlujoMolar RapdezMolar RapdezMolar RapdezMolar de de + de de = de Entrada Salda Generacón Consumo Acumulac ó n (1.2) En la ecuacón (1.2) cada uno de los térmnos expresa una cantdad de moles de componente por undad de tempo. Los flujos molares de entrada y salda son tanto convectvos como dfusvos. Los térmnos Rapdez de Generacón, Rapdez de consumo y Rapdez de Acumulacón se expresan como dervadas con respecto al tempo. En el planteamento de un modelo se requeren tantos balances de matera como componentes estén presentes en el sstema. Ecuacón de balance de energía En el modelamento de un sstema aberto, el prncpo de la conservacón de la energía se expresa medante la prmera ley de la termodnámca de la sguente manera: Flujo Total FlujoTotal FlujodeCalor Trabajo Realzado Rapdezde Cambo de Energa de Energa + Añaddo al por el = de Energía Entrada Salda Sstema Sstema enel Sstema (1.3) En la ecuacón (1.3) cada uno de los térmnos expresa una cantdad de energía por undad de tempo. Los flujos energétcos totales de entrada y salda ncluyen energía nterna, cnétca y potencal tanto por conveccón como dfusón. El flujo calórco Mach 11

12 12 añaddo al sstema ncluye las transferencas por conduccón, radacón y de reaccón. El trabajo realzado por el sstema sobre los alrededores ncluye trabajo de eje y de tpo presón por flujo volumétrco. El térmno rapdez de cambo de energía en el sstema es la del cambo en energía nterna y potencal del sstema. Ecuacones de transferenca de masa y energía Para modelamento de parámetro globalzado, la ecuacón de transferenca de masa relacona el flujo másco superfcal con el cambo de concentracón mentras que la ecuacón de transferenca de energía relacona el flujo superfcal de calor con el cambo de temperatura. Las constantes de proporconaldad son los coefcentes globales de transferenca. Las ecuacones de transferenca de masa y energía se pueden escrbr así: FlujodeMasa = Superfcal FlujodeCalor = Superfcal { CoefcenteGlobaldeTransferenca}{ CambodeConcentracón} { CoefcenteGlobaldeTransferenca}{ CambodeTemperatura} (1.4) (1.5) Ecuacones de estado En el planteamento de un modelo pueden necestarse las relacones entre algunas propedades físcas o termodnámcas con la temperatura, presón o concentracón. Lo anteror se puede plantear con respecto a la densdad y a la entalpía de la sguente forma: { DensdadLí qudo} L = f ( P, T, x ) { DensdadVa por} V = f ( P, T, y ) { EntalpíaLí qudo} h = f ( P, T, x ) { EntalpíaVa por} H = f P, T, y ) = ρ (1.6) = ρ (1.7) = (1.8) = (1.9) ( Algunas smplfcacones que suelen hacerse sn afectar consderablemente la exacttud del modelo son: h = C T (1.10) P Mach 12

13 13 H = C P T + λ (1.11) V S se consdera la nfluenca de la temperatura en el valor del calor específco, se plantea algo más rguroso así: h C ( T ) dt (1.10) = T To P Suele consderarse una relacón polnomal entre el calor específco y la temperatura, de tal manera que dsponendo de los coefcentes de cada uno de los térmnos se puede ntegrar la ecuacón (1.10) y expresar una relacón entre la entalpía de líqudo y la temperatura. La entalpía de una mezcla de N componentes líqudos se puede calcular, desprecando los efectos calórcos de mezclado, medante un promedo de la sguente manera: h N = = N xh M 1 (1.11) = 1 x M Las densdades de los líqudos pueden asumrse como constantes sempre y cuando no se observen grandes cambos en ellas con los cambos de temperatura y composcón. Las densdades de los vapores no pueden consderarse constantes y para sus cálculos se aplca, generalmente, una ecuacón de estado. Consderando un comportamento deal, la densdad de un vapor se puede calcular con la ecuacón nm MP ρ V = = (1.12) V RT Estado de Equlbro La segunda ley de la termodnámca nos faclta las ecuacones que nos expresan las condcones de un sstema para que se mantenga en estado de equlbro, ya sea que Mach 13

14 14 se trate del equlbro de un sstema reacconante (Equlbro Químco) o del equlbro entre varas fases (Equlbro Físco) Equlbro Químco En una reaccón químca en estado de equlbro se cumple que la suma total de los potencales químcos de cada uno de los componentes de la reaccón es gual a cero (consderando al potencal de los reacconantes con sgnos negatvos y el de los productos con sgnos postvos). La forma usual de aplcar lo anteror es en térmnos de la constante de equlbro para una reaccón. Para una reaccón en fase acuosa de la forma aa + bb cc + dd (1.13) La expresón para la constante de equlbro es una relacón entre las concentracones de los componentes de la reaccón en equlbro escrta de la sguente manera: e c d [ C] e [ D] e a [ A] [ ] b e B e K = (1.14) Para una reaccón en fase gaseosa, se puede transformar la expresón en térmnos de las presones parcales de la sguente manera: K e P P = (1.15) P P c c, e a a, e d d, e b b. e Equlbro Físco El equlbro entre dos fases ocurre cuando el potencal químco de cada componente es el msmo en ambas fases. Para un sstema de dos fases líqudo y vapor se pueden aplcar las sguentes leyes o consderandos: Mach 14

15 15 Ley de Dalton: Para una fase vapor con comportamento deal se aplca la ley de Dalton que calcula la presón parcal de cada componente como el producto de la fraccón molar del componente en la fase vapor y la presón total P = y P (1.16) T Ley de Raoult: Para una fase líquda con comportamento deal se aplca la ley de Raoult en la cual se guala la presón parcal de un componente en la fase vapor con la presón de saturacón del componente puro en la fase líquda de la sguente manera: y P = x P (1.17) T o De lo anteror se puede demostrar que la presón total de la fase vapor se puede calcular en funcón de la composcón de la fase líquda con la sguente ecuacón: P T = N = 1 x P o (1.18) Las presones de vapor son funcón de la temperatura, solamente; y esta dependenca se puede expresar medante relacones como la de Antone. Volatldad Relatva: La volatldad relatva α j del componente con respecto al componente j se defne medante la sguente relacón; y / x α j = (1.19) y j / x j Las volatldades relatvas son constantes en un certo número de sstemas y son frecuentemente usadas debdo a esta ventaja. Mach 15

16 16 Al aplcar la ecuacón (1.19) a un sstema bnara para el componente más volátl con respecto al menos volátl se demuestra una ecuacón muy usual para calcular las composcones de la fase vapor en equlbro con una fase líquda y que es la sguente: αx y = 1+ ( α 1) x (1.20) Constantes de dstrbucón de fases: Las relacones entre la composcón de la fase vapor y la de la fase líqudo en equlbro son las denomnadas Constantes de dstrbucón de fases, Se utlzan amplamente, especalmente en la ndustra del petróleo y K = (1.21) x Las constantes de dstrbucón de fases dependen de la temperatura y la composcón y en menor extensón de la presón Cnétca Químca El modelamento de reactores requere del manejo de las relacones y la termnología que se utlza al descrbr la cnétca de las reaccones químcas medante sus ecuacones de velocdad de reaccón. Estas ecuacones expresan la dependenca de la velocdad de una reaccón con la concentracón de los reacconantes y la temperatura de la reaccón. Ley de accón de masas Esta ley establece que la velocdad global de una reaccón depende de la temperatura y de la concentracón de los reacconantes elevada a sus respectvas potencas. S la velocdad depende de la concentracón de los reacconantes A y B, suele expresarse medante la denomnada ecuacón de velocdad de reaccón con la sguente forma: [ A] a [ B] b r = k (1.22) Mach 16

17 17 Los exponentes a y b son los órdenes de la reaccón con respecto a cada uno de los reacconantes Con esta defncón suelen caracterzarse las reaccones desde el punto de vsta cnétco como de prmer orden, segundo orden, etc. Ecuacón de Arrhenus La dependenca de la velocdad de reaccón con la temperatura se ncluye en la constante específca de velocdad de reaccón. La ecuacón de Arrhenus es muy usual para consderar la nfluenca de la temperatura en la constante de velocdad de reaccón de la sguente forma: E k = Aexp (1.23) RT A es el denomnado factor preexponencal y E es la energía de actvacón de la reaccón, R es la constante de los gases (1.99 cal/mol-k) y T es la temperatura en grados K MODELOS DE PARAMETRO GLOBALIZADO: Característcas Al analzar un modelo de parámetro globalzado y para el desarrollo de su posble solucón, se hace necesaro dentfcar los parámetros, las constantes, las varables y el tpo de ecuacones que lo conforman. Esto hace que el sstema modelado se pueda caracterzar como unvarable o multvarable y lneal o no lneal Constantes, Parámetros y Varables Las constantes son los térmnos físcos o químcos ndependentes del tempo, las dreccones espacales y las condcones del sstema como la constante de los gases o el peso mol de una sustanca. Los parámetros son todos aquellos valores que pueden ser varables pero que en el sstema se toman como constantes como el dámetro y la altura de un recpente clíndrco. Las varables son aquellas propedades del sstema que pueden cambar medante algún efecto externo sobre ellas msmas o como consecuenca de los cambos externos realzados sobre algunas propedades del sstema. A las prmeras se les llama varables de entrada y a las segundas varables de salda Mach 17

18 18 Sstemas unvarables (SISO) y multvarables (MIMO) Un modelo de parámetro globalzado unvarable se expresa medante una ecuacón dferencal con una varable de entrada y una varable de salda. Esto suele referrse como un modelo SISO (Sngle Input Sngle Output). Un modelo multvarable ncluye varas varables de entrada o salda y se refere como un modelo MIMO (Multple Input Multple Output). Se requeren tantas ecuacones dferencales como varables de salda se dentfquen en el sstema. Las varables de salda son las propedades que camban con el tempo y, por lo tanto, los térmnos dervadas de dchas propedades con respecto al tempo se observan en las ecuacones dferencales. Orden y Lnealdad de un sstema El orden de la dnámca de un sstema unvarable está dado por el orden de la ecuacón dferencal que expresa su modelamento. S la ecuacón dferencal es lneal el sstema es lneal, en caso contraro es no lneal. La sguentes ecuacones dferencales son las forma estándares de escrbr los modelos dnámcos de un sstema unvarable lneal de prmer y segundo orden, respectvamente. Prmer Orden: dy ( t) τ + Y ( t) = KX ( t) dt (1.24) Segundo Orden: 2 2 d Y ( t) dy τ + 2ζτ + Y ( t) = KX ( t) 2 dt dt (1.25) Sendo τ, ζ y K, parámetros que caracterzan dnámcamente al sstema y que se calculan con algunas de sus característcas físcas. Y(t) es la varable de salda y X(t) es la varable de entrada Por ejemplo, la dnámca de algunas válvulas de control es de un modelo lneal de segundo orden con la forma de la ecuacón (1.25) pero con algunas consderacones se puede ajustar a un modelo lneal de prmer orden con la forma de la ecuacón (1.24) y hasta en algunos casos se puede desprecar el parámetro τ y, entonces, su dnámca solo se caracterza por el parámetro K. Algunos sstemas de flujo a través de un tanque se ajustan a un modelo no lneal porque al ntroducr algunas consderacones físcas en su planteamento, su Mach 18

19 19 descrpcón matemátca es una ecuacón dferencal no lneal de prmer orden, como por ejemplo, la sguente: dy ( t) τ + Y ( t) = KX ( t) (1.26) dt La solucón de un modelo no lneal puede hacerse en algunos casos por métodos analítcos, pero en casos complejos se tene que recurrr a la solucón medante métodos numércos. Es una práctca mportante la lnearzacón de los sstemas no lneales alrededor de un valor de referenca y la comparacón de los resultados encontrados en ambos casos. Lo anteror, es necesaro para smplfcar el dseño de los lazos de control de sstemas no lneales. 1.7 ANALISIS DINAMICO DE UN SISTEMA El análss dnámco de un sstema consste en su modelamento y la solucón matemátca correspondente para un determnado cambo en algunas de sus varables de entradas con respecto a sus valores nvarantes en el tempo mentras se encuentre en estado estaconaro. En sstemas lneales es usual expresar sus ecuacones dferencales de tal manera que las varables representen los cambos con respecto a sus valores ncales o en estado estaconaro. Estas representacones se denomnan Varables Desvacón y se smbolzan, generalmente, con el msmo de la varable pero en mayúscula. Es decr, que: X ( t) = x( t) x(o) (1.27) De la defncón (1.27) se deduce que el valor ncal de una varable desvacón es gual a cero. Esta transformacón permte que se analce la dnámca de un sstema observando las desvacones de sus varables de salda cuando las varables de entrada se desvían de sus valores ncales PERTURBACION Y RESPUESTA DE UN SISTEMA Se emplean los térmnos Perturbacón y Respuesta para referrse al tpo de cambo consderado en la varable de entrada y al perfl que muestran las varables Mach 19

20 20 desvacón de salda, respectvamente. Algunas perturbacones con respuestas de senclla solucón matemátca para el análss dnámco de un sstema son las denomnadas Paso, Pulso, Impulso, Rampa y Snusodal. Respuesta Paso o Escalón (Step) Las perturbacones paso son funcones que camban nstantáneamente desde un valor a otro y son, por lo tanto, constantes. S el cambo paso es de un tamaño x, la perturbacón se denomna Funcón Paso, x(t), y se defne como: x ( t) = x para t > 0 x ( t) = 0 para t 0 (1.28) La funcón paso en térmnos desvacón es: X ( t) = x para t > 0 (1.29) La representacón gráfca de una funcón paso es una línea recta horzontal como se observa en la Fgura 1.1.: Fgura 1.1. Funcón Paso (Rojo) S el tamaño del paso es gual a la undad, la perturbacón se Funcón Paso Untaro y se smbolza Mach 20

21 21 U ( t) = 1 para t > 0 (1.30) La respuesta de un sstema a una perturbacón paso en su varable de entrada se denomna Respuesta Paso o Respuesta Paso untaro según el tamaño del cambo paso. Respuesta Pulso (Pulse) Un pulso es una funcón de forma arbtrara (usualmente rectangular) que comenza y termna en el msmo valor. Un pulso rectangular es, smplemente, la suma de una funcón paso postva a partr de un tempo cero y una funcón paso negatva a partr de t o mnutos después, sendo t o el denomnado Tempo Muerto. Por lo tanto, una Funcón Pulso de altura h y anchura t o se expresa como x t) = h( t) h( t t ) (1.31) ( o La representacón gráfca de una funcón pulso rectangular con altura h y una anchura gual t o se observa en la Fgura 1.2: Fgura 1.2 Funcón Pulso Rectangular La funcón pulso rectangular de altura uno y anchura t o se expresa como Mach 21

22 22 x t) = u( t) u( t t ) (1.32) ( o Respuesta Impulso (Impulse) La funcón mpulso es un pulso de altura nfnta, longtud cero y área gual a k undades. Es como una fccón puramente matemátca pero de mucha utldad en certos tratamentos matemátcos para el análss dnámco de sstemas. Cuando el área del mpulso es gual a la undad, la funcón se defne como la Funcón Delta Drac, δ (t). La funcón mpulso de área k suele escrbrse como un factor de la funcón Delta Drac de la sguente manera: x( t) = kδ ( t) (1.33) La representacón gráfca de una funcón mpulso de área k se observa en la Fgura 1.3: Fgura 1.3 Funcón Impulso de área k Respuesta Rampa (Ramp) Las varacones rampas son funcones que camban lnealmente con el tempo de la sguente manera: x ( t) = kt (1.34) Mach 22

23 23 Sendo k, una constante. Este tpo de cambo se aplca, por ejemplo, en el modo de varar con el tempo del valor deseado de la presón o de la temperatura de un reactor operado por lotes La representacón gráfca de una funcón rampa de pendente k se observa en la Fgura 1.4: Fgura 1.4. Funcón rampa de pendente k Respuesta Snusodal La varacón snusodal de una varable de entrada se expresa como una funcón seno con una determnada frecuenca, w, y ampltud, A, de la sguente manera: x ( t) = ASen( wt) (1.35) La representacón gráfca de la funcón (1.35) se observa en la Fgura 1.5. Las varacones snusodales son muy poco aplcadas en los procesos de la ngenería químca. Sn embargo, las respuestas de un sstema a un cambo snusodal en sus varables de entrada son de una mportanca tan grande que su estudo ha ntroducdo unas estrategas adconales para el análss dnámco de sstemas conocdo como las respuestas en el domno de la frecuenca. Mach 23

24 24 Fgura 1.5. Funcón Seno de ampltud A y frecuenca w DOMINIOS PARA EL ANALISIS DINAMICO DE UN SISTEMA El estudo de la dnámca de un sstema en el Domno del Tempo sgnfca que las ecuacones dferencales que consttuyen el modelo matemátco se resuelven drectamente, es decr, en térmnos de las funcones dependentes del tempo. Pero s las ecuacones dferencales se transforman según la defncón de Laplace el análss dnámco o el comportamento del sstema se estuda en el Domno de Laplace. En capítulos posterores, se explcan los fundamentos que facltan un conjunto de conceptos y propedades para el análss dnámco de un sstema en el Domno de la Frecuenca y para el caso de sstemas cuyos modelos son multvarables se hace uso del álgebra matrcal para el análss dnámco de su respuesta en lo que se denomna el Espaco de los Estados. Domno Tempo En el domno del tempo, las varables se manejan drectamente en funcón del tempo y los métodos de solucón de las ecuacones dferencales, tanto analítcos como numércos, se resuelven drectamente en térmnos del tempo. Para cada uno de los cambos descrtos anterormente para una varable de entrada, las funcones empleadas son las defndas en funcón del tempo. Domno Laplace Al aplcar transformada de Laplace tanto a las varables de entrada como a las ecuacones dferencales, el análss no se plantea en térmnos del tempo sno de una nueva varable s. Para cada una de las perturbacones anterores las correspondentes transformadas de Laplace son: Mach 24

25 25 Respuesta Paso: x X ( s) = (1.36) s tos h( s) h( s) e h tos Respuesta Pulso: X ( s) = = (1 e ) (1.37) s s s Respuesta Impulso: X ( s) = k (1.38) k Respuesta Rampa: X ( s) = (1.39) 2 s Aw Respuesta Seno: X ( s) = (1.40) 2 2 s + w La transformada de Laplace solo puede aplcarse a ecuacones dferencales lneales y es de mucha utldad para el análss dnámco de sstemas lneales porque transforma una ecuacón dferencal de tal manera que su representacón es mucho más compacta y convenente que la correspondente representacón en funcón del tempo. Por ejemplo, la ecuacón dferencal en térmnos del tempo que modela a un sstema lneal de prmer orden con una varable de entrada y una varable de salda suele escrbrse en su forma estándar de la sguente manera: dy ( t) τ + Y ( t) = KX ( t) dt La correspondente transformada de Laplace se expresa de tal manera que muestre una relacón entre las varables de entrada y salda del sstema y que escrta como una funcón de transferenca es la descrpcón del sstema en el domno de Laplace: Y ( s ) X ( s ) = K τ s + 1 Domno Frecuenca El estudo dnámco de un sstema en el domno de la frecuenca se fundamenta en las característcas que muestra la respuesta de un sstema de prmer orden lneal ante una perturbacón snusodal de certa frecuenca y ampltud en su varable de Mach 25

26 26 entrada. A partr de estas característcas se defnen unas propedades que dependen de la frecuenca de la onda snusodal de entrada como son la relacón entre las ampltudes entre la funcón snusodal de entrada y la respuesta del sstema y el desfase entre ellas y a partr de estas se plantean unos conceptos como los de Bode y Nyqust muy útles y aplcables en el análss de cualquer sstema.los métodos de análss en el domno de la frecuenca son un poco más abstractos que los correspondentes en los otros domnos y se apoyan en el concepto de funcón de transferenca propo de los estudos en el domno de Laplace. Espaco de los Estados La escrtura de un modelo en forma del Espaco de los Estados se puede aplcar a sstemas lneales con múltples varables de entrada y salda. Lo anteror sgnfca que el modelo lo consttuyen tantas ecuacones dferencales lneales como varables de salda hayan y este conjunto puede compactarse en una escrtura matrcal de la sguente forma: X & = AX + Bu Y = CX + Du Cada una de las letras A, B, C, D representa una matrz. X es el vector de las varables de estado del sstema y el punto arrba smbolza el vector de sus dervadas con respecto al tempo; Y es el vector de las varables de salda del sstema y u es el vector de las varables de entrada. A y B son las matrces de los coefcentes de cada uno de los térmnos lneales en cada una de las ecuacones dferencales. C y D son matrces que expresan una relacón entre las varables de estado y de entrada con las de salda Bblografía Bequette W.B. Process Dynamcs. Modelng, Analyss and Smulaton. Prentce Hall Internatonal Seres Edgar T.F., Hmmelblau D.M. Optmzaton of Chemcal Processes. McGraw-Hll Internatonal Edtons Hmmelblau D.M., Bschoff K.B. Análss y Smulacón de Procesos. Edtoral Reverte S.A Luyben W.L. Process Modelng, Smulaton and Control for Chemcal Engneers. Second Edton. McGraw-Hll Internatonal Edtons Mach 26