ELEMENTOS DE GEOMETRÍA. Eduardo P. Serrano

Transcripción

1 ELEMENTOS DE GEOMETRÍA Eduardo P. Serrano Este Apunte de Clase está dirigido a los alumnos de la materia Elementos de Cálculo Numérico para Biólogos. Tiene por objeto exponer algunos conceptos básicos de la Geometría Educlídea en el plano y el espacio. El ayuda memoria ha sido preparado asumiendo que el alumno no posee aún los conocimientos de la estructura y las propiedades de los Espacios Vectoriales. En cambio, su lectura supone el conocimiento de los conceptos básicos de los sistemas de ecuaciones lineales y de las propiedades y de la aritmética de las matrices reales. Advertencia: Esta primera edición previa no ha sido aún revisada y es incompleta. No posee ejemplos ni gráficos. 1. Espacios Euclídeos El producto escalar euclídeo nos permite calcular distancias y ángulos entre vectores. En otras palabras, este producto induce una norma en R n. Denotamos E n al conjunto R n dotado de la norma euclídea. En particular los espacios euclídeos E 2 y E 3 constituyen el plano y el espacio de la geometría usual, respectivamente. En lenguaje geométrico, los elementos de E n se denominan puntos y se corresponden, en forma natural, con los vectores de R n. Diversos subconjuntos de E n constituyen las figuras, los cuerpos o las variedades. Por ejemplo, las rectas, los segmentos, los polígonos, los círculos y las curvas son variedades en el plano E 2. Estamos interesados aquí en las rectas E 2 y las rectas y los planos en E Direcciones en E n Dos vectores no nulos, v, w son colineales si w = αv para algún α R. Dado un par de vectores no nulos v, u, diremos que es linealmente independiente si no son colineales. De lo contrario, si alguno de los vectores es nulo o si son colineales, el par se dice linealmente dependiente. Notemos que el par de vectores es linealmente independiente si y sólo si: cos ω = v.u ±1 (1) v u o sea que el ángulo ω está definido y no es llano. En particular si los vectores no son nulos y v.u = 0 el ángulo es recto y los vectores se dicen normales. Dados tres puntos P, Q y S en E n, con n 3, decimos que son no alineados si el par de vectores (P S) y (Q S) es linealmente independiente. Dado un vector no nulo v R n, el conjunto de puntos {x = λv, λ R} constituye una dirección en el espacio E n. Por simplicidad, la llamamos dirección v. Decimos que dos direcciones son coincidentes si están generadas por vectores colineales. En rigor, se trata de una misma dirección, ya que cualquier vector colineal a v genera la misma dirección. Dados un par de direcciones v 1, v 2 linealmente independiente, una combinación lineal es un vector de la forma x = α 1 v 1 + α 2 v 2 con coeficientes α 1 y α 2 reales. El conjunto de todas las combinaciones lineales se dice el conjunto generado por el par de direcciones. 3. Direcciones normales Dada una dirección v, una dirección normal es aquella generada por un vector u, normal a v. 1

2 Dirección normal a una dirección en E 2 Dada la dirección v en el plano euclídeoe 2, existe una única dirección normal. Planteamos la ecuación homogénea: v 1 u 1 + v 2 u 2 = 0 (2) cuya solución general es u = α(v 2 ; v 1 ), α 0. El vector (v 2 ; v 1 ) es no nulo, normal a v y genera la única dirección normal. Direcciones normales a una dirección en E 3 Dada una dirección v en el espacio euclídeoe 3, existen ahora infinitas direcciones normales. Planteamos la ecuación homogénea: y analizamos sus soluciones para diferentes casos. v 1 u 1 + v 2 u 2 + v 3 u 3 = 0 (3) Si v 1 0, tenemos el par de vectores normales linealmente independiente u 1 = (v 2 ; v 1 ; 0) y u 2 = (v 3 ; 0; v 1 ). En otro caso, si v 1 = 0 y v 2 0 podemos tomar el par de vectores normales linealmente independiente u 1 = (1; 0; 0) y u 2 = (0; v 3 ; v 2 ). En otro caso, si v 1 = v 2 = 0, debe ser v 3 0 y podemos tomar el par de vectores normales linealmente independiente u 1 = (1; 0; 0) y u 2 = (0; 1; 0). En todos los casos el par de vectores genera el conjunto de vectores normales a v, soluciones del sistema. Dirección normal a un par de direcciones en E 3 Dado un par de direcciones v 1, v 2, linealmente independiente en el espacio eucídeo E 3, existe una única dirección normal, generada por el producto vectorial entre las direciones: u = v 1 v 2 = (v 12 v 23 v 13 v 22 ; v 13 v 21 v 11 v 23 ; v 11 v 22 v 12 v 21 ) (4) 4. Rectas en E 2 y E 3 Asumamos n = 2 ó n = 3. Dado un vector no nulo v R n y un punto cualquiera P E n, la recta de dirección v que pasa por P, consiste en el conjunto de puntos: L = {x E n /x = λv + P ; λ R} (5) Por simplicidad, caracterizamos la recta, escribiendo simplemente su representación paramétrica, o vectorial: Observemos que: L : λv + P (6) Si v es la dirección de la recta, también los es αv para cualquier α 0. Si P = 0, la recta pasa por el origen x = 0. Si Q es cualquier otro punto de la recta, λv +Q también es un punto de la recta, para cualquier λ R. Si P, Q son puntos distintos en E n, el vector P Q es no nulo y la recta generada: L : λ(p Q) + Q (7) contiene a ambos puntos. En efecto, para λ = 1, tenemos a P y λ = 0 tenemos a Q. 2

3 Más aún, si v es una dirección, siempre puede escribirse como diferencia de dos puntos de la recta. Tomemos el punto Q = v + P ; entonces v = P Q. Alternativamente, podemos representar las rectas dando las direcciones normales. Consideremos la recta L, de dirección v que pasa por P. En el plano E 2. Sea a un vector normal a v. Entonces, x L si y sólo si x es solución de la ecuación: a 1 x 1 + a 2 x 2 = b (8) donde b = a.p. La representación también puede escribirse en la forma normal: L 1 : a.x = b (9) Observemos que v genera las soluciones de la ecuación homogénea y P es una solución particular. Entonces, a.v = 0 y si x s es solución de la ecuación, puede escribirse como x s = λ s v + P para algún λ s R. Por lo tanto, el punto pertenece a la recta. Reciprocamente, si Q = λ s v + P, es un punto de la recta, a.q = λ s a.v + a.p = a.p = b. Entonces satisface la ecuación. En el espacio E 3 Sea ahora un par a 1, a 2 de vectores normales, linealmente independientes. Entonces, x L si y sólo si x es solución del sistema de ecuaciones: { a11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 (10) donde b 1 = a 1.P y b 2 = a 2.P. La representación se escribe en la forma normal: { a1.x = b L : 1 (11) a 2.x = b 2 La prueba es análoga al caso anterior, observando que ahora tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas. Dado que los vectores a 1 y a 2 son linealmente independientes, tenemos un único vector v que genera las soluciones de la ecuación de la homogénea, es decir a 1.v = a 2.v = 0. Entonces, si x s es solución de la ecuación, x s = λ s v + P para algún λ s R y pertenece a la recta. Reciprocamente, si Q = λ s v + P, tenemos que a 1.Q = λ s a 1.v + a 1.P = a 1.P = b 1 y a 2.Q = λ s a 2.v + a 2.P = a 2.P = b 2 y se satisfacen ambas ecuaciones. Es importante destacar, que el valor b = a.p es independiente del punto P en la recta o el plano, dado que a es ortogonal a las direcciones. Resumiendo, tanto en el caso del plano como en el del espacio euclídeo podemos representar una recta L en la forma paramétrica o vectorial (6), dando su dirección y un punto de pertenencia, o bien por las ecuaciones normales (9) ó (11), dando la dirección o el par de direcciones normales y las constantes correspondientes. 5. Planos en E 3 Dado un par de vectores linealmente independiente v 1, v 2 en R 3 y un punto P E 3, el plano de direcciones v 1, v 2 que pasa por P, consiste en el conjunto de puntos: Π = {x E 3 /x = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + P λ 1, λ 2 R} (12) Por simplicidad, caracterizamos el plano por su representación paramétrica: Observemos que: Π : λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + P (13) 3

4 Si v 1 y v 2 son las dirección del plano, el par es linealmente independiente. expresión (13) no representa un plano. Si P = 0, el plano contiene al origen x = 0. Si P, Q y S son puntos no alineados en E 3 el plano: En caso contrario, la Π : λ 1 (P S) + λ 2 (Q S) + S (14) contiene a los tres puntos. En efecto, para λ 1 = 1, λ 2 = 0 tenemos a P, para λ 1 = 0, λ 2 = 1 tenemos a Q y finalmente para λ 1 = 0, λ 2 = 0 tenemos a S. Recíprocamente, si v 1 y v 2 son direcciones del plano Π, entonces pueden expresarse a partir de tres puntos del plano no alineados. En efecto tomando en (13) λ 1 = 1 y λ 0 = 0 tenemos el punto S = v 1 +P y tomando en λ 1 = 1 y λ 0 = 1 tenemos el punto Q = v 1 + v 2 + P Entonces v 1 = P S y v 2 = Q S. Dada una dirección v y un par de puntos P, Q en E 3 distintos, y (P Q) no es colineal con v, entonces: Π : λ 1 v + λ 2 (P Q) + Q (15) es un plano que contiene a los dos puntos. En efecto, para λ 1 = 0, y λ 2 = 1 tenemos a P, para λ 1 = 0, λ 2 = 0 tenemos a Q. El plano Π también puede representarse dando su dirección normal. Si el plano está dado en forma paramétrica Π : λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + P, y a un vector normal a las dos direcciones, x Π si y sólo si x es solución de la ecuación: donde b = a.p. La representación normal es: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b (16) Π : a.x = b (17) Observemos v 1 y v 2 son soluciones de la ecuación de la homogénea, por ser a.v = 0. Entonces, si x s es solución de la ecuación, puede escribirse como una solución de la homogénea más una solución particular, x s = λ s1 v 1 + λ s2 v 2 + P con coeficientes λ s1, λ s2 R. Por lo tanto el punto x s, pertenece al plano Π. Ahora, si Q es un punto de la recta, Q = λ q1 v 1 + λ q2 v 2 + P, resulta que a.q = λ q1 a.v 1 + λ q2 a.v 2 + a.p = a.p = b y satisface la ecuación. En suma, podemos representar un plano Π, en la forma paramétrica (13), dando el par de direcciones y un punto de pertenencia o, alternativamente, dando la dirección normal y la constante, en la forma (17). 5. Posiciones relativas de dos rectas en E 2. Consideremos las rectas L 1 y L 2 en el plano E 2, representadas en forma paramétrica L 1 : λ 1 v 1 + P 1 y L 2 : λ 2 v 2 + P 2 y los vectores a 1 y a 2 normales a las direcciones v 1 y v 2, respectivamente. Definimos el ángulo entre las rectas como el ángulo ω que forman las direcciones, o equivalentemente, al que forman las direcciones normales, definido como: cos ω = v 1.v 2 v 1 v 2 = a 1.a 2 a 1 a 2 Remarquemos que 0 ω π/2. Decimos que las rectas son paralelas, L 1 L 2 si son distintas, L 1 L 2 y cos ω = 1. Es decir, siendo distintas, las rectas son paralelas si las direcciones o las direcciones normales son colineales. Si las rectas son coincidentes L 1 = L 2, claramente las direcciones son colineales y cos ω = 1. Si cos ω 1, entonces no son ni paralelas ni coincidentes. En particular, si cos ω = 0 las rectas están en ángulo recto y se dicen perpendiculares. Planteamos ahora la intersección L 1 L 2. Un punto x E 2 está en la intersección si es solución del sistema de ecuaciones: { a11 x 1 + a 12 x 2 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = b 2 (19) 4 (18)

5 donde b 1 = a 1.P 1 y b 2 = a 2.P 2. Si a 1 y a 2 no son colineales, el sistema tiene única solución x s. Es decir, las rectas se cortan en un único punto L 1 L 2 = x s. En este caso, decimos que las rectas son secantes. Si el sistema resulta incompatible, L 1 L 2 = las direcciones deben ser colineales y las rectas distintas. Entonces, son paralelas, L 1 L 2. Finalmente, si las direcciones son colineales y las rectas coinciden L 1 = L 2 el sistema es compatible indeterminado. 6. Posiciones relativas de dos rectas en E 3. Consideremos las rectas L 1 : λ 1 v 1 + P 1 y L 2 : λ 2 v 2 + P 2 en el espacio E 3, y el par de vectores a 1 y a 2 linealmente independiente, normales a la dirección v 1 y el par de vectores a 3 y a 4 linealmente independiente y normales a la dirección v 2. Definimos ahora el ángulo entre las rectas como el ángulo ω que forman las direcciones, definido por : cos ω = v 1.v 2 v 1 v 2 (20) Como antes, las rectas son paralelas, L 1 L 2, si son distintas, L 1 L 2 y cos ω = 1. Si las rectas son coincidentes L 1 = L 2 y claramente las direcciones son colineales y cos ω = 1. Si cos ω 1, entonces no son ni paralelas ni coincidentes. Pueden o no cortarse. Planteamos la intersección L 1 L 2. Un punto x E 3 está en la intersección si es solución del sistema de ecuaciones: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 a 41 x 1 + a 42 x 2 + a 43 x 3 = b 4 (21) donde b 1 = a 1.P 1, b 2 = a 2.P 1 b 3 = a 3.P 2 y b 4 = a 4.P 2. Este sistema tiene al menos dos ecuaciones independientes. Si el sistema es compatible determinado, el sistema tiene única solución x s. Las rectas son secantes, cortándose en un único punto, L 1 L 2 = x s. Éste es al caso en el cual existen exactamente tres ecuaciones independientes. El sistema es compatible indeterminado, si existen exactamente dos ecuaciones independientes y las rectas son coincidentes, L 1 = L 2. Si el sistema es incompatible y las rectas no se cortan, L 1 L 2 = Entonces, o bien son paralelas, L 1 L 2, si las direcciones son colineales, o bien, tiene direcciones distintas. En este último caso se llaman alabeadas. 7. Posiciones relativas de dos planos en E 3. Consideramos los planos Π 1 : λ 11 v 11 + λ 12 v 12 + P 1 y Π 2 : λ 21 v 21 + λ 22 v 22 + P 2 en el espacio E 3, y los vectores a 1 y a 2, sus respectivas direcciones normales. Definimos el ángulo entre los planos como el ángulo ω que forman las direcciones normales, dado por: cos ω = n 1.n 2 n 1 n 2 (22) Los planos son paralelos, Π 1 Π 2 si son distintos, Π 1 Π 2 y cos ω = 1. Son coincidentes si Π 1 = Π 2. En este caso, las direcciones normales son colineales. Si cos ω 1, entonces los planos no son ni paralelos ni coincidentes. En particular, si cos ω = 0, están en ángulo recto. Son perpendiculares. Planteamos la intersección Π 1 Π 2. Un punto x E 3 está en la intersección, si es solución del sistema de ecuaciones: { a11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 (23) 5

6 donde b 1 = a 1.P 1 y b 2 = a 2.P 2. Dado que hay dos ecuaciones y tres incógnitas, el sistema no pude tener ahora solución única. Si a 1 y a 2 no son colineales, el sistema representa una recta L en E 3. Estos vectores nos dan sus direcciones normales. Es decir, los planos se cortan en la recta L = Π 1 Π 2. Si el sistema es incompatible, las direcciones normales son colineales y los planos no tienen puntos en común. Entonces, son paralelos, Π 1 Π 2. Finalmente, si los planos coinciden, Π 1 = Π 2, las direcciones deben ser colineales y el sistema es compatible determinado. 8. Posiciones relativas de un plano y una recta en E 3. Consideramos los planos Π : λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + P 1 y L : λ 3 v 3 + P 3 en el espacio E 3, y los vectores a 1 normal al plano y el par a 2, a 3 normal a la recta. Definimos ahora el ángulo entre las recta y el plano, al complemento ω, del ángulo que forman las direcciones de la recta y el normal del plano definido como: sin ω = cos(π/2 ω) = a 1.v 3 a 1 v 3 (24) La recta es paralela al plano, L Π, si no está incluida en el mismo, esto es L Π, y sin ω = 0, es decir, la dirección de la recta y la normal del plano son ortogonales. Si la recta esá incluida en el plano L Π, resulta sin ω = 0. Por el contrario, sin ω 0, la recta no esta incluída ni es paralela. Si, en particular, sin ω = 1, la recta y el plano son ortogonales. Planteamos la intersección Π L. Un punto x E 3 está en la intersección, si es solución del sistema de ecuaciones: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3 (25) donde b 1 = a 1.P 1, b 2 = a 2.P 1 y b 3 = a 3.P 3. Las primera ecuación corresponde al plano y las otras dos a la recta. Estas últimas son linealmente independientes. Si el sistema es compatible determinado, la recta corta al plano en un único punto, Π L = x s. En este caso, las tres ecuaciones son independientes, lo que equivale a afirmar que la dirección de la recta y la normal del plano no son ortogonales. Si el sistema es compatible indeterminado por reducción puede eliminarse una ecuación y queda una recta solución. No es otra que la recta L, que, por lo tanto, está incluída en plano, L Π. Si el sistema es incompatible, la dirección de la recta y la normal del plano son ortogonales y no hay inclusión. La recta es paralela al plano, L Π. 9. Rectas y planos perpendiculares. Aplicando los resultados anteriores, podemos definir las siguientes relaciones de perpendicularidad. Rectas perpendiculares. Dada la recta L : λv + P, un punto Q L existe una única recta L, normal o perpendicular a L, que pasa por Q y que la corta en un punto S = L L. Esta afirmación es válida tanto en el plano euclídeo E 2 como en el espacio E 3. En efecto, dado que S L, la dirección (S Q) es normal a v, es decir, v.(s Q) = 0. Por otra parte, dado que S L, resulta que S = λ s v + P, para un valor del parámetro λ s. Para hallar este valor y, por ende, el punto de intersección, vemos que: v.(s Q) = λ s v 2 + v.(p Q) = 0 (26) 6

7 de donde deducimos el valor: λ s = v.(q P ) v 2 (27) A partir de este resultado, obtenemos el punto S, la dirección (S Q) y finalmente, la recta normal: donde γ R. En general, dada una dirección normal a, y un punto Q, la recta: L : γ(s Q) + Q; (28) L : γa + Q; (29) es perpendicular a L. En el plano E 2 la recta L es única y la corta. En cambio, en el espacio E 3 hay infinitas rectas que, pasando por Q, son normales a L. Excepto una, ellas no la cortan. Recta perpendicular a un plano. Dado el plano Π : λ 1 v 1 +λ 2 v 2 +P, y un punto Q Π, existe una única recta L, normal o perpendicular a Π, que pasa por Q y que lo corta en un punto S = Π L. Procedemos como antes. Dado que S L, la dirección (S Q) es normal a a las direcciones del plano, v 1 y v 2, esto es: v 1.(S Q) = v 2.(S Q) = 0. Dado que S Π, tenemos que S = λ 1s v 1 +λ 2s v 2 +P, para determinados valores de los parámetros. Para hallar este valor y, por ende, el punto de intersección, multiplcando escalarmente por las direcciones formamos el sistema de ecuaciones: v 1.(S Q) = λ 1s v λ 2s v 1.v 2 + v 1.(P Q) = 0 (30) v 2.(S Q) = λ 1s v 1.v 2 + λ 2s v v 2.(P Q) = 0 (31) de donde podemos despejar los valores λ 1s y λ 2s. A partir de éstos obtenemos el punto S, la dirección (S Q) y finalmente, la recta normal: para γ R. L : γ(s Q) + Q; (32) En general, dada la dirección normal del plano a, y un punto Q E 3, la recta perpendicular a Π, que pasa por Q es única y está dada por: con γ R. Plano perpendicular a una recta. L : γa + Q; (33) Dada la recta L : λv + P,y el par de direcciones normales a 1, a 2, linealmente independiente, y un punto Q E 3, el plano perpendicular a L, que pasa por Q está dado por: γ 1, γ 2 R. Planos perpendiculares. Π : γ 1 a 1 + γ 2 a 2 + Q (34) Dado el plano Π : λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + P, la dirección normal a 1, una dirección en el plano a 2 = α 1 v 1 + α 2 v 2 y un punto Q, existe un único plano Π perpendicular a Π: de direcciones a 1, a 2 y que pasa por Q. Π : γ 1 a 1 + γ 2 a 2 + Q (35) Observemos que un dirección normal de Π está dada por el vector u = a 1 a 2. Éste es un vector normal a la dirección a 1, normal del plano Π. Los plano son, por lo tanto, perpendiculares. 7

8 Recta perpendicular a un par de rectas alabeadas. Dado el par de rectas L 1 : λ 1 v 1 + P 1 y L 2 : λ 2 v 2 + P 2, alabeadas, entonces existe una única recta L perpendicular a ambas que las corta. Asumamos que Q 1 = L 1 L y Q 2 = L 2 L son los puntos de intersección. Entonces, la dirección (Q 1 Q 2 ), es normal a ambas rectas, valiendo v 1.(Q 1 Q 2 ) = v 2.(Q 1 Q 2 ) = 0. Por otra lado, tenemos que Q 1 = λ 1q v 1 + P 1, y Q 2 = λ 2q v 2 + P 2, para determinados valores de los parámetros. Para hallarlos multiplcando escalarmente formamos el sistema de ecuaciones: v 1.(Q 1 Q 2 ) = λ 1q v λ 2q v 1.v 2 + v 1.(P 1 P 2 ) = 0 (36) v 2.(Q 1 Q 2 ) = λ 1q v 1.v 2 + λ 2q v v 2.(P 1 P 2 ) = 0 (37) de donde podemos despejar los valores λ 1q y λ 2q. Obtenemos los puntos Q 1 y Q 2, la dirección (Q 1 Q 2 ) y la recta normal: para γ R. 10. Distancias entre puntos, rectas y planos. L : γ(q 1 Q 2 ) + Q 1 (38) Distancia entre dos puntos. Recordamos que la distancia entre dos punto en el plano o en el espacio euclídeo se define como: para n = 2 ó n = 3, respectivamente. La propiedades de esta distancia son: d(p, Q) = P Q = (p 1 q 1 ) (p n q n ) 2 (39) d(p, Q) 0; y vale 0, si y sólo si, P = Q (40) d(p, Q) = d(q, P ) (41) d(p, Q) d(p, T ) + d(t, Q), para todo punto T (42) Distancia entre un punto y una recta. Dada la recta L y el punto Q sea en el plano o en el espacio, podemos medir la distancia entre Q y cada punto de la recta P L. Para cierto punto P q L esa distancia se hace mínima. Justamente, esta mínima medida se define como la distancia entre Q y la recta: d(q, L) = min d(q, P ) (43) P L Claramente, si Q L, entonces d(q, L) = d(q, Q) = 0 En caso contrario, puede probarse que el punto P q L que minimiza la distancia, corresponde a la intersección de la recta normal L que pasa por Q y la recta, es decir P q = L L. Entonces, calculado este punto: d(q, L) = d(q, P q ) (44) Distancia entre un punto y un plano. Dada el plano Π y el punto Q la distancia, como antes, se mide como la mínima distancia entre Q y algún punto del plano. d(q, L) = min d(q, P ) (45) P Π Si Q Π, entonces d(q, Π) = d(q, Q) = 0 En caso contrario, el punto P q Π que minimiza la distancia, también corresponde a la intersección de la recta normal L que pasa por Q y el plano, o sea P q = Π L. Entonces: d(q, Π) = d(q, P q ) (46) 8

9 Distancia entre dos rectas no paralelas. Dadas las rectas L 1 y L 2, su distancia se mide como la mínima distancia entra los posibles pares de puntos, Q 1 L 1 y Q 2 L 2 : d(l 1, L 2 ) = min Q 1,Q 2 d(q 1, Q 2 ) (47) Si las rectas se cortan, su distancia es nula. Si son alabeadas, puede demostrarse que la distancia esta dada por la distancia entre los puntos de intersección con la recta normal L que las une, o sea Q p1 = L 1 L y Q p2 = L 2 L : Distancia entre dos rectas o planos paralelos. d(l 1, L 2 ) = d(q p1, Q p2 ) (48) Las rectas o planos paralelos están, simpre, a la misma distancia. Para hallarla, basta elegir un punto cualquiera Q en uno de ellos y tomar su distancia a la otra recta o plano. 11. Otras representaciones de la recta en al plano. Para finalizar, veamos otras usuales representaciones de las rectas en el plano E 2. A partir de la ecuación (8), podemos escribir la representación o forma canónica: Ax 1 + Bx 2 + C = 0 (49) donde A = a 1, B = a 2, y C = b. Por otra parte, si la recta no es vertical, es decir, a 2 0, puede representarse en la forma explícita: x 2 = mx 1 + k (50) donde m = a1 a 2 es la pendiente y k = b a 2 es la ordenada al origen. La pendiente es la tangente del ángulo formado por la recta y el eje X 1 y k representa el punto donde la recta corta el eje X 2, para x 1 = 0. Fácilmente verificamos que dos rectas, de pendientes m 1 y m 2, respectivamente, son paralelas en el plano o coinciden, si m 1 = m 2. Son perpendiculares si m 1 m 2 = 1 y son secantes en otro caso. Observemos que las rectas horizontal tienen pendiente nula, m = 0. Las rectas verticales, no pueden representarse de esta forma. Por último si la recta no es si la recta no es vertical ni es horizontal, es decir, a 1 0, a 2 0, podemos dar la representación segmentaria: x 1 p + x 2 q = 1 (51) donde p = b a 1 y q = b a q. Estos valores son los puntos donde la recta corta los ejes X 1 y X 2, respectivamente. EPS - versión 3 may