Elementos de geometría útiles para la localización espacial

Transcripción

1 Elementos de geometría útiles para la localización espacial Por qué los necesitamos un sistema de coordenadas? Ubicar espacialmente lo que se mide u observa Posicionar objetos Navegar Replantear Volver a un punto Recorrer otra vez un camino (o desandarlo) Posibles consecuencias del uso inconsistente de un sistema de referencias 1

2 Sistema de referencia ideal Conjunto de definiciones Teórico No es accesible Sistema de coordenadas Coordenadas cartesianas 2

3 En tres dimensiones En 2-D: Polares En 3-D Cilíndricas Esféricas Diferencial curvilíneo Elipsoidales Aparece una figura auxiliar a la que se asocia la coordenada. Coordenadas polares Y P (x, ) = P (, ) O x X 3

4 x 2 Relaciones elementales x cos sen x tg x arctg x Coordenadas esféricas Coordenadas esféricas x rcoscos r cossen z rsen z arctan x arctan x h x z 2 ( ) 4

5 Aproximando a la Tierra por un esferoide Asumimos que el esferoide se encuentra girando en sentido dextrógiro La intersección superior del mismo con el eje de rotación definirá al polo norte la inferior al polo sur. Llamaremos Ecuador al plano que pasa por el centro del esferoide es perpendicular al eje de rotación. La coordenada tendrá el nombre latitud, la que será medida desde el ecuador hacia el polo norte para los valores positivos hacia el polo sur para los valores negativos tendrá el rango, La coordenada tendrá el nombre longitud, la que será medida desde un meridiano arbitrario -que pasa por el observatorio de Greenwich, cerca de Londres- siguiendo el sentido de rotación de la Tierra. Según el criterio que se adopte, la longitud puede variar de, o de 0,2 Aproximando a la Tierra por un esferoide El elipsoide ab b aplastamiento f 1 a a a b excentricidad e f f a 2 2 5

6 Elipsoides Nombre Año a 1/f = a/(a-b) Mejor Aprox. Clarke USA Haford o Internacional Europa GRS Mundial WGS Mundial Coordenadas geográficas geodésicas La Tierra es aproximada por una esfera La superficie de referencia quedará definida solo por su radio. Los meridianos serán círculos máximos -intersección de un plano que pasa por el centro de la esfera su superficie. La traectoria más corta entre dos puntos cualesquiera sobre la superficie de la esfera será un segmento de arco de un círculo máximo. La latitud es geocéntrica La Tierra es aproximada por un elipsoide La superficie de referencia quedará definida por dos parámetros. La traectoria más corta entre dos puntos cualesquiera sobre la superficie de la esfera será un segmento de arco de un círculo máximo. La latitud no es geocéntrica La altura se empieza a medir desde la superficie de la figura es perpendicular a ella. Transformación desde hacia coordenadas geográficas X ( Rh)coscos Y ( R h)cossen Z ( R h) sen Z arctan X Y Y arctan X h X Y Z R 2 ( ) 6

7 Elipsoidales a cartesianas X ( N h)coscos Y ( N h)cossen 2 Z ( N (1 e ) h) sen Cartesianas a Elipsoidales Z N h X Y N*(1 e ) h si X Y arctan * 0 2 si X Y 0 0 Y arctan X x0 sign( ) 2 x0 Y arctan X x0 Cartesianas a Elipsoidales h X Y cos e 2 f f a N 1e sen 2 N 7

8 Coordenadas topocéntricas o locales Ubico al origen del sistema de ejes sobre la superficie. Mido la altura respecto de un plano tangente a la superficie. Las coordenadas son: N E h Conversión directa 8

9 Conversión inversa Si damos una lista de coordenadas geográficas o geodésicas Qué hace falta dar además de las coordenadas? Será el geoide una buena superficie de referencia para asociar a algunas coordenadas? 9

10 Sobre el plano. Distancias d punto punto ( x x ) ( ) ( z z ) Sobre otras superficies. Siguiendo líneas de latitud o longitud en la esfera. Sobre la esfera. Sobre el elipsoide. Segmento de arco (Lon. constante) dm Rd m R R( ) 1 2 Donde los ángulos deben estar expresados en radianes Segmento de arco (Lat. constante) dp rd. p r. si r R.cos pcos. R.( ) 1 2 Donde los ángulos deben estar expresados en radianes 10

11 Distancia en la esfera Distancia en el elipsoide Transformaciones entre sistemas 11

12 Traslación Y Y P O x X O x x X x xx x X x Y Rotaciones Y Y P X O=O x x X x cos xsen sen xcos x cos sen x sen cos Generalizando Y Y Y P X x O x X O x x X x X cos sen x x s Y sen cos 12

13 Transformación general x xs(cos xsen ) s( sen xcos ) x : traslación en X : traslación en Y s : factor de escala : ángulo de rotación entre mar cos En tres dimensiones Z CTS Z GS z Y GS x Y CTS X GS X CTS Origen (3 parámetros) Rotaciones (3 parámetros) Escala (1 parámetro) 13

14 Transformación de similaridad, Helmert o siete parámetros X X 1 Z Y X X Y Y k Z 1 X Y k Y Z Z Y X 1 Z Z Hemos hecho la hipótesis de que los ángulos de rotación son mu pequeños Hemos considerado que las rotaciones. son positivas si son antihorarias. Alternativamente en vez de la variable k se utiliza la variable s, donde k=1 + s s se expresa en partes por millón (ppm). Si tenemos los parámetros para pasar de S1 a S2 Sabemos cómo pasar de S2 a S1? 14

15 Qué cosa no tiene en cuenta la transformación de similaridad? Qué cosa no modela una transformación de similaridad? 15