8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL METODO DIRECTO DE LIAPUNOV

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1 8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL METODO DIRECTO DE LIAPUNOV Consideremos el sistema autónomo dx = F (x, y) dt (8.32) dt = G(x, y), y supongamos que tiene un punto crítico aislado; sea (0, 0) dicho punto crítico (un punto crítico (x 0, y 0 ) se puede llevar al orígen mediante la traslación de coordenadas x = u x 0, y = v y 0 ). Sea Γ(x(t), y(t)) una trayectoria de (8.32) y consideremos la función E(x, y) continua y con primeras derivadas parciales continuas en una región que contiene a la trayectoria. Si un punto (x, y) se mueve a lo largo de las trayectorias de acuerdo a las ecuaciones x = x(t) y y = y(t), entonces E(x, y) = E(x(t), y(t)) = E(t) es una función de t sobre Γ, su razón de cambio es E (x, y) = de dt = x dx dt + y dt = x F + y G (8.33) Esta fórmula es la idea principal de Liapunov. Definición 8.5. Supongamos que E(x, y) es continua y tiene primeras derivadas parciales continuas en una región que contiene al origen. Si E(0, 0) = 0 y i. Si E(x, y) > 0 para todo (x, y) (0, 0), decimos que E es definida positiva. ii. Si E(x, y) < 0 para todo (x, y) (0, 0), decimos que E es definida negativa. iii. Si E(x, y) 0 para todo (x, y) (0, 0), decimos que E es semidefinida positiva.

2 310 CAPÍTULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL. iv. Si E(x, y) 0 para todo (x, y) (0, 0), decimos que E es semidefinida negativa. Nota: E(x, y) = ax 2m + by 2n con a > 0, b > 0 y m, n enteros positivos, es definida positiva. E(x, y) es definida negativa si y solo si E(x, y) es definida positiva. E(x, y) = ax 2m + by 2n con a < 0 y b < 0 y m, n enteros positivos, es definida negativa. x 2m es semidefinida positiva, ya que x 2m = 0 para todo (0, y) y x 2m > 0 para todo (x, y) (0, 0). Similarmente se demuestra que y 2n, (x y) 2m son semidefinidas positivas. Si E(x, y) es definida positiva, entonces z = E(x, y) es la ecuación de una superficie que podría parecerse a un paraboloíde abierto hacia arriba y tangente al plano XY en el orígen (ver figura 8.18). Definición 8.6 (función de Liapunov). Decimos que E(x, y) es una función de Liapunov para el sistema (8.32), si E(x, y) es continua, con primeras derivadas parciales continuas en una región que contiene al orígen. E(x, y) es definida positiva. Existe la derivada de E a lo largo de las trayectorias u órbitas del sistema (8.32) y sea menor o igual que cero sobre la trayectoria, es decir, que exista la siguiente derivada, de dt = x F + y G = de dt (x, y) = E (x(t), y(t)) 0 (8.34) cuando de = F + G = de (x, y) = dt x y dt E (x(t), y(t)) < 0, decimos que E(x, y) es una función de Liapunov estricta.

3 8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 311 z y x Figura 8.18 Nota: Si (8.34) fuera semidefinida negativa implíca que E (x, y) = de dt = x F + y G 0 y esto implíca que E es no creciente a lo largo de las trayectorias de (8.32) próximas al orígen. Por lo anterior las funciones E generalizan el concepto de energía total de un sistema físico.

4 312 CAPÍTULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL. Teorema 8.4 ( Criterio de Liapunov). a. Si existe una función de Liapunov para el sistema (8.32) entonces el punto crítico (0, 0) es estable. b. Si existe una función de Liapunov estricta para el sistema (8.32) entonces el punto crítico (0, 0) es asintóticamente estable. c. Si E (x, y) es definida positiva entonces (0, 0) es un punto crítico inestable. Demostración: sea C 1 un circunferencia de radio R > 0 centrado en el orígen de tal manera que C 1 se halla dentro del dominio de definición de la función E. Como E(x, y) es continua y definida positiva, tiene un mínimo positivo m en C 1. Además, E(x, y) es continua en el orígen y se anula en él, luego podemos hallar un número positivo r < R tal que 0 E(x, y) < m si (x, y) está dentro de la circunferencia C 2 de radio r (Ver figura 8.19). Sea Γ(x(t), y(t)) cualquier trayectoria que esté dentro de C 2 para t = t 0, entonces E(t 0 ) < m y como (8.34) es semidefinida negativa, entonces de = dt F + G 0 lo cual implíca que E(t) E(t x y 0) < m para todo t > t 0, luego la trayectoria Γ nunca puede alcanzar la cirdunferencia C 1 en un t > t 0 lo cual implíca que hay estabilidad. Probemos la segunda parte del teorema. Probemos que, bajo la hipótesis adicional ( de < 0), E(t) 0, porque al ser dt E(x, y) definida positiva, implíca que Γ se aproxima al punto crítico (0, 0). Como de < 0, entonces E(t) es decreciente y como E(t) está acotada dt inferiormente por 0, entonces E(t) tiene un límite L 0 cuando t. Supongamos que L > 0. Sea r < r (ver figura 8.19) tal que E(x, y) < L para (x, y) dentro de la circunferencia C 3 de radio r, como la función (8.34) es continua y definida negativa, tiene un máximo negativo k en el anillo limitado por las circunferencias C 1 y C 3. Este anillo contiene a toda trayectoria Γ para t t 0, luego de la ecuación E(t) = E(t 0 ) + t t 0 de dt dt y de dt k

5 8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 313 y c 2 c 1 t = t 0 r r R x c 3 Γ Figura 8.19 se obtiene la desigualdad: E(t) E(t 0 ) k(t t 0 ) t t 0 Pero el lado derecho de la desigualdad tiende a cuando t, es decir, E(t) =, pero E(x, y) 0 (Absurdo!), luego L = 0. lím t Ejemplo 4. La E.D. de una masa m sujeta a un resorte de constante k, en un medio que ofrece un amortiguamiento de coeficiente C es m d2 x dt 2 + C dx dt + kx = 0 donde C 0, k > 0. Analizar la estabilidad de su punto crítico. Solución: El sistema autónomo equivalente es: dx dt = y; dt = k m x C m y Su único punto crítico es (0, 0). La energía cinética es my2 2 y la energía potencial (o energía almacenada en el muelle) es x 0 kx dx = 1 2 kx2

6 314 CAPÍTULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL. Luego la energía total: E(x, y) = 1 2 my kx2 la cual es definida positiva, como x F + G = kxy + my ( km y x Cm ) y = Cy 2 0 Luego, E(x, y) es una función Liapunov para el sistema y por tanto (0, 0) es estable. Se sabe que si C > 0 el punto crítico (0, 0) es asintóticamente estable, pero la función Liapunov no detecta este hecho. Ejemplo 5. (Resorte no lineal). Este es un ejemplo de una masa m = 1 sujeta a un resorte no lineal, en el cual la fuerza restauradora es una función de la distancia de la masa al origen, sea f(x) una función no lineal que representa la fuerza restauradora tal que f(0) = 0 y xf(x) > 0 si x 0; no hay fricción. La E.D. de su movimiento es d 2 x dt 2 + f(x) = 0 Analizar la estabilidad de su punto crítico. Solución: el sistema autónomo equivalente es x = y y = f(x) Su único punto crítico es (0, 0). La energía cinética es 1 2 x 2 = 1 2 y2 y la energía potencial es y la energía total es F (x) = x 0 f(x) dx E(x, y) = F (x) + y2 2 Como x, f(x) tienen el mismo signo entonces F (x) 0 y por tanto E(x, y) es definida positiva. Además E (x, y) = F (x)x + yy = f(x)y + y( f(x)) = 0 es decir, es semidefinida negativa y por el teorema el punto crítico (0, 0) es estable. Igual que sucede con un resorte lineal, se puede demostrar que este

7 8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 315 punto crítico es un centro. Ejemplo 6. Analicemos la estabilidad del punto crítico del siguiente sistema x = x x3 3 x sen y, y = y y3 3 Solución: (0, 0) es el único punto cr tico. Sea E(x, y) = 1 2 (x2 + y 2 ), luego E (x, y) = x( x x3 3 x sen y) + y( y y3 3 ) = x2 x4 3 y2 y4 3 x2 sen y pero x 2 sen y x 2 y por tanto x 2 + x 2 sen y 0. Entonces E (x, y) = x4 3 y2 y4 3 (x2 + x 2 sen y) x4 3 y2 y4 3 < 0 para (x, y) (0, 0), es decir E es definida negativa y por el teorema anterior, parte b., (0, 0) es asintóticamente estable. Ejemplo 7. Analizar la estabilidad del punto crítico del siguiente sistema Solución: dx dt = 2xy; dt = x2 y 3 (0, 0) es punto crítico aislado E(x, y) = ax 2m + by 2n x F + y G = 2max2m 1 ( 2xy) + 2nby 2n 1 (x 2 y 3 ) x F + y G = ( 4max2m y + 2nbx 2 y 2n 1 ) 2nby 2n+2 Para que el paréntesis se anule, necesitamos que m = 1, n = 1, a = 1, b = 2, E(x, y) = x 2 + 2y 2 la cual es definida positiva y x F + y G = 4y4

8 316 CAPÍTULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL. que es semidefinida negativa, luego (0, 0) es estable. Teorema 8.5. La función E(x, y) = ax 2 + bxy + cy 2 es: Definida positiva si y solo si a > 0 y b 2 4ac < 0. Semidefinida positiva si y solo si a > 0 y b 2 4ac 0 Definida negativa si y solo si a < 0 y b 2 4ac < 0 Semidefinida negativa si y solo si a < 0 y b 2 4ac 0 Demostración. Veamos la primera parte. Si y = 0 entonces E(x, 0) = ax 2 > 0 si x 0 y a > 0 Si y 0 : E(x, y) = y 2 [a ( ) 2 x + b y ( ) ] x + c y y si a > 0, el polinomio cuadrático en x y es positivo para todo x y b 2 4ac < 0. Ejercicio 1. Determinar si cada una de las siguientes funciones estan definidas positivas, negativas o semidefinidas positivas o negativas o ninguna de las anteriores. a) x 2 xy y 2, b) 2x 2 3xy + 3y 2, c) 2x 2 + 3xy y 2, d) x 2 4xy 5y 2. (Rta.: a) Ninguna de las anteriores, b) Definida positiva, c) Ninguna de las anteriores, d) Definida negativa) Ejercicio 2.Dado el sistema dx = dt xy2 x3 = y3 + yx2 dt 2 5 Mostrar que (0, 0) es asintóticamente estable (Ayuda: tomar V (x, y) = ax 2 + by 2 ). 2, Ejercicio 3. Dado el sistema dx = dt 6x2 y, Mostrar que (0, 0) es estable. dt = 3y3 + 6x 3 Ejercicio 4. Dado el sistema dx = dt 3x3 y, Mostrar que (0, 0) es asintóticamente estable. dt = x5 2y 3

9 8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 317 Ejercicio 5. Dado el sistema dx = 2x + dt xy3, Mostrar que (0, 0) es asintóticamente estable. dt = x2 y 2 y 3 Ejercicio 6. Mostrar que (0, 0) es un punto crítico inestable del sistema x = F (x, y), y = G(x, y), si existe una función E(x, y) con las siguientes propiedades: a) E(x, y) es continua, con primeras derivadas parciales continuas en una región del plano que contiene al origen. b) E(0, 0) = 0. c) Todo círculo centrado en el origen, contiene al menos un punto para el cual E(x, y) es positiva. d) ( x )F + ( y G) es definida positiva. Ejercicio 7. Utilizando el ejercicio anterior mostrar que (0, 0) es inestable para el sistema dx = 2xy + dt x3, = dt x2 + y 5 Ejercicio 8. Sea f(x) una función tal que f(0) = 0 y xf(x) > 0 para x 0 (es decir, f(x) > 0 si x > 0 y f(x) < 0 si x < 0) a) Mostrar que E(x, y) = 1 2 y2 + 0 f(x) dx esta definida positiva. x b) Mostrar que (0, 0) es un punto crítico estable del la E.D. d2 x + f(x) = 0 dt 2 c) Si g(x) 0 en un círculo alrededor del origen, mostrar que (0, 0) es un punto crítico estable del sistema d 2 x dt 2 + g(x)dx dt + f(x) = 0 Ejercicio: 9. Dado el sistema x = y xf(x, y), y = x yf(x, y), donde f(0, 0) = 0 y f(x, y) tiene un desarrollo en serie de potencias convergente en una región R alrededor del origen. Demostrar que el punto crítico (0, 0) es estable si f(x, y) 0 en alguna región alrededor de (0, 0). asintóticamente estable si f(x, y) es definida positiva en alguna región alrededor de (0, 0). inestable si en toda región alrededor de (0, 0) hay puntos (x, y) tales que f(x, y) < 0. Ejercicio: 10. Mediante el ejercicio anterior determinar la estabilidad de los siguientes sistemas a) x = y x(y 3 sen 2 x), y = x y(y 3 sen 2 x).

10 318 CAPÍTULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL. b) x = y x(x 4 + y 6 ), y = x y(x 4 + y 6 ). a) x = y x( sen 2 y), y = x y( sen 2 y). (Rta.: a) Inestable, b) Asintóticamente estable, c) Estable.) Ejercicio: 11. Considere la ecuación x + f(x, x ) + g(x) = 0 y suponga que f y g tienen primeras derivadas continuas y f(0, 0) = g(0) = 0 y yf(x, y) > 0 cuando y 0 y xg(x) > 0 cuando x 0. Trasforme la anterior E.D. en un sistema y luego demuestre que el punto crítico (0, 0) es estable. Ejercicio: 12. Con el resultado del anterior ejercicio, demostrar la estabilidad de la E.D. x + (x ) 3 + x 5 = 0