Minimización de AFDs, método y problemas

Transcripción

1 Minimizción de Fs, método y prolems Elvir Myordomo, Universidd de Zrgoz 8 de octure de. Resultdos sore utómts determinists mínimos El F mínimo existe y es único, es decir Teorem. do unf M = (Q,Σ,δ,q,F), existe unf M con L(M) = L(M ) y tl que M tiene el mínimo número de estdos de entre todos los F que reconocen L(M). Teorem. dos dos utómts M y M tles que L(M ) = L(M ) y tles que M y M tienen el mínimo número de estdos de entre todos los F que reconocen L(M ), entonces M = M (slvo cmio de nomre de los estdos). Podéis encontrr l demostrción de mos resultdos en el liro de Hopcroft, Motwni y Ullmn.. Método pr minimizr un utómt finito determinist do un F M = (Q,Σ,δ,q,F), se trt de encontrr un F M con L(M) = L(M ) y tl que M teng el mínimo número de estdos posile. Pr ello, el método consiste en encontrr todos los estdos que son equivlentes, es decir, que son indistinguiles en el utómt. Por cd clse de estdos equivlentes, el utómt mínimo necesitrá un solo estdo. efinición. dos dos estdos q,q Q, q y q son indistinguiles o equivlentes si pr culquier cden w Σ se cumple un de ls dos siguientes opciones: δ(q,w) F y δ(q,w) F δ(q,w) F y δ(q,w) F

2 Ejemplo. En el siguiente utómt, los estdos y son equivlentes: El método pr minimizr un utómt consiste ásicmente en encontrr todos los estdos que son indistinguiles entre sí y sustituirlos por un único estdo. Pr ello lo principl es verigur qué estdos son distinguiles y cuáles no. El método pr ser qué estdos son indistinguiles es el siguiente:. Si hy lgún estdo inlcnzle eliminrlo. (i := ) Mrcr todos los estdos que pueden distinguirse con l cden vcí (es decir, todos los finles se pueden distinguir de los no finles). c. (i := i+) Mrcr como distinguiles q y q si con lgún Σ tenemos δ(q,) y δ(q,) dos estdos que hor son distinguiles. d. Si en el pso nterior se hn distinguido nuevos estdos, entonces volver l pso c.,c,c,c,,c E,,c Ejemplo.3

3 Todos los estdos son lcnzles. e momento todos indistinguiles: E Pso, distinguimos finles y no finles: E Pso, distinguimos q y q si con lgún u {,,c}tenemos δ(q,u) y δ(q,u) dos estdos que hor son distinguiles (es decir, mrcdos con ). E Pso, distinguimos q y q si con lgún u {,,c}tenemos δ(q,u) y δ(q,u) dos estdos que hor son distinguiles (es decir, mrcdos con ). E Pso3, distinguimos q y q si con lgún u {,,c}tenemos δ(q,u) y δ(q,u) dos estdos que hor son distinguiles (es decir, mrcdos con ). No hy ninguno nuevo, el método termin. El único hueco en l tl corresponde que y son equivlentes. Un vez clculdos los estdos equivlentes, prtimos Q en los conjuntos correspondientes estdos equivlentes(son ls llmds clses de equivlenci). El el ejemplo nterior son los conjuntos {,},{},{},{E}. dclsedeequivlencivserunnuevo estdoenelutómtmínimo. {,} {} {} {E} 3

4 Mrcmos como estdo inicil l clse que contiene el estdo inicil. Mrcmos como estdos finles ls clses de estdos finles. {,} {} {} {E} L función de trnsición δ corresponde δ (R,) = R tl que pr cd q R, δ(q,) R.,c,,c {,} {} {} {E},c,,c.. Ejemplo orresponde l ejercicio. del Kelley Eliminmos 4 por ser un estdo no lcnzle (no hy ningun flech de entrd y no es el inicil). Pso, distinguimos finles y no finles:

5 Pso, distinguimos q y q si con lgún u {,,c}tenemos δ(q,u) y δ(q,u) dos estdos que hor son distinguiles (es decir, mrcdos con ) Pso, distinguimos q y q si con lgún u {,,c}tenemos δ(q,u) y δ(q,u) dos estdos que hor son distinguiles (es decir, mrcdos con ) Pso3, distinguimos q y q si con lgún u {,,c}tenemos δ(q,u) y δ(q,u) dos estdos que hor son distinguiles (es decir, mrcdos con ). No hy ninguno nuevo, el método termin. Los huecos en l tl corresponden que y 8 son equivlentes y y 5 son equivlentes. El utómt correspondiente es el siguiente: {,5} {,8} {3} {6} {7} 5

6 3. Ejercicios. Minimizr los siguientes utómts: 3,,, 4, 3 4,. y. 3,, 4 5,, E,.c y.d 6

7 e. Minimizr los utómts del prolem 4 de l hoj del 5 de octure (Prolems sore utómts Finitos). 3. eterminr si estos dos utómts ceptn el mismo lenguje: 7