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1 / Grl. Ampudi, 6 Teléf.: ADRID FBRRO 5 UNIVRSIDAD PONTIFIIA D SALAANA ATÁTIAS DISRTAS FBRRO 5 (TARD) PROBLA : Se cooce el siguiete comportmieto de Luis e u resturte l que v comer: - No es verdd que trs l comid Luis tome cfé o u cop (o mbs coss) - l comid, Luis puede tomr el meú o comer l crt, pero o mbs coss l vez. - Si comier l crt o fuer ivitdo (o mbs coss) etoces tomrí cfé. - Siempre Luis o es ivitdo, o tom u cop o lee el periódico (o puede que vris de ests posibiliddes l vez) Por lo tto, Luis siempre tom el meú y lee el periódico. Pr este rzomieto se pide: ) Idetifique ls proposicioes simples que lo compoe. b) Formlice el rzomieto c) ompruebe si el rzomieto e válido o o, por el método deductivo turl. SOLUIÓN: ) p: Tom cfé. q: Tom u cop r: Tom meú s: ome l crt t: s ivitdo u: Lee el periódico b). (p q). r s. (s t) p. t q u oclusió : r u

2 / Grl. Ampudi, 6 Teléf.: ADRID FBRRO 5 c) (SIP) 5. p. 6. q 5. (T) 7. (s t) s t.. s (SIP) t. (P).. t q 6.. (TP). u.. (TP). r.. (P) oclució : r u. PROBLA : A) U tedero dispoe de scos igules de rroz y comprueb que: - Si gurd el coteido de los scos e pquetes de 7 kg, le sobr 7 kg de rroz. - Si el coteido de u sco lo evs e cjs de kg o le sobr rroz, y lo mismo ocurre si lo evs e pquetes de 5 kg. - Si reprte el coteido de u sco e cjs de kg le sobr kg. lcule el peso de cd sco (sbiedo que o lleg los kg). B) Deduzc el criterio de divisibilidd por 9 y clcule los vlores que deberá tomr A y B pr que el úmero AB7 se múltiplo de 9. SOLUIÓN: A) Por el teorem chio del resto, primero escribimos el sistem de ecucioes de cogrueci: osiderdo que el peso de u sco es x y como - (7): x 7(7) x 7(7) x 6(7) x () x (5) x ()

3 / Grl. Ampudi, 6 Teléf.: ADRID FBRRO 5 l módulo de l cogrueci solució será: m x 6(7) x () x (5) x () 6; ; ; y 7; y 7 (7) 9 () 9 (7) () Segú el teorem chio l solució será: x y + y + y + y ( m) x (9) x 9(9) (9) L solució es que cd sco pes kg. B) bse deciml el criterio de divisibilidd etre 9 será:. (9) (9) (9) o lo que pr culquier cifr deciml bstrí que l sum de sus cifrs fuese múltiplo de 9. Pr el úmero: AB7 l sum de sus cifrs es A+B+ que debe ser múltiplo de 9. A + B + (9) A + B (9) (9) A + B (9) sto es que l sum se,,,,... pero sólo so posibles el y el. A y B podrí ser culquier pr de cifrs que sume ó.

4 / Grl. Ampudi, 6 Teléf.: ADRID FBRRO 5 PROBLA : lculr l relció de recurreci: o ls codicioes iiciles:, SOLUIÓN: De + +, extremos l ecució homogée: + + λ λ + λ + λ L solució de l ecució homogée será: H ( ) + ( ) Ahor esymos u solució prticulr de l ecució complet: P A + B + A + B + A( ) A( ) Que l sustituir e l ecució complet qued: + B( ) + + B( ) + [ A( ) + B( ) + ] + [ A( ) + B( ) + ] A + B + + De dode, l igulr coeficietes se deduce el siguiete sistem de ecucioes: 6A 6B A 6 7B + A 7 Resolviedo: A, B ; 9 7 L solució prticulr de l ecució complet qued: Y l solució geerl de l ecució complet: P ( ) + ( )

5 / Grl. Ampudi, 6 Teléf.: ADRID FBRRO 5 Ahor co ls codicioes iiciles determimos el vlor de ls costtes: Resolvemos el sistem: 97 7 Obteiedo: 5 ; 7 7 L solució pr dichs codicioes iiciles: 5 7 ( ) ( ) PROBLA : U pís cuy pricipl fuete de riquez es el turismo está formdo por u sol isl. culquier rut turístic por l isl, se visit 6 ciuddes que desigmos por A, B,, D, y F. ico de ests ciuddes está e l cost, mietrs que u de ells está e el iterior y es l cpitl del pís que se comuic directmete por crreter co cd u de ls otrs 5 ciuddes. Ls crreters existetes etre ls 6 ciuddes se puede represetr por u grfo ddo por l siguiete mtriz de dyceci: A B D F A B D F Los visitte que cude l isl se puede clsificr e dos grdes grupos: U grupo, que deomiremos como el de los turists clásicos, quiere prtir de u ciudd determid y visitr tods ls ciuddes u sol vez pr regresr l ciudd de prtid. l otro grupo, que deomiremos como el de los explordores, quiere visitr tods ls ciuddes psdo por tods ls crreters u sol vez, uque o les import prtir de u ciudd y cbr el recorrido e u ciudd distit, i psr por lgus ciuddes vris veces. 5

6 / Grl. Ampudi, 6 Teléf.: ADRID FBRRO 5 Se pide: º) Qué ciudd A, B,, D, o F es l cpitl del pís? º) Qué ciudd es l meos comuicd por crreter? º) uátos y cuáles so los cmios de logitud (cmios de crreters) existetes etre A y D. º) s posible diseñr dos ruts turístics distits que cumpl los deseos de los dos grupos de visittes?. cso firmtivo, dé u ejemplo de cd u de ells. Debido que el úico eropuerto que comuic l isl co el cotiete se ecuetr e l cpitl, se quiere diseñr seds ruts turístics uevs (u pr los turists clásicos y otr pr los explordores ) que empiece y termie e l cpitl del pís e icluy l visit u séptim ciudd H, que o está e el litorl. 5º) Obteg dos ejemplos de ests dos uevs ruts turístics teiedo e cuet que, si pr visitr l uev ciudd H hubiese que costruir uevs crreters, el úmero de ests debe ser míimo. SOLUIÓN: Podemos represetr el grfo ddo e l mtriz de dyceci: A F B D 6

7 / Grl. Ampudi, 6 Teléf.: ADRID FBRRO 5 7 º) s fácil ver que l úic que está comuicd directmete co tods ls demás es F, y que es u grfo simple de 6 vértices y es el úico vértice de grdo 5. L cpitl es F. º) l vértice de meor grdo es D, que sólo tiee grdo. L ciudd meos comuicd del pís es D, y que prte de co l cpitl, sólo se comuic de form direct co y. º) Pr cotr el úmero de cmio de logitud que coect dos ciuddes culesquier hy que recurrir l mtriz Dode se ve que existe 7 cmios de logitud etre A y D, que es el curto elemeto de l primer fil e l mtriz. º) L rut que buscmos pr los turists clásicos, es ecesrio ecotrr u iclo de Hmilto (cmio simple cerrdo que recorre todos los vértices si repetirlos): : H Γ { F, A, B,, D,, F } Pr los explordores, si embrgo, es ecesrio ecotrr u iclo o u mio uler. Lo primero o es posible, pues o podremos ecotrr u iclo de uler e u grfo co vértices de grdo impr, y el éste teemos dos D y F. Pero esto es precismete lo que ecesitmos pr estblecer u mio de uler, teer exctmete dos vértices de grdo impr. Será ecesrio prtir de uo de ellos y termir e el otro, co lo que o podrí volver l eropuerto. : Γ { F,, B, A,, D, F, B,, F, A,, D }

8 / Grl. Ampudi, 6 Teléf.: ADRID FBRRO 5 5º) Dibujmos u posible grfo que cumpl lo que se dese: A F B D H Ls uev ruts hor podrí ser: Pr los turists clásicos : Γ : { F,, A, B,, D, H, F } H Y pr los explordores : Γ : { F,, B, A,, D, H, F, B,, F, A,, D, F }

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