2º Bachillerato Capítulo 7: Integrales

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1 Mmáics Aplicds ls incis Socils II º Bchillro píulo 7: Ingrls LirosMrVrd.k Auors: Lici Gonzálz Pscul y Álvro Vldés Mnéndz Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Tods ls imágns hn sido crds por los uors uilizndo sowr lir (GoGr y GIMP)

2 6 Ingrls Índic ATIVIDADES DE INTRODUIÓN. PRIMITIVA DE UNA FUNIÓN. LA INTEGRAL INDEFINIDA.. DEFINIIÓN DE PRIMITIVA.. DEFINIIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA.. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. INTEGRALES DE FUNIONES ELEMENTALES.. INTEGRAL DE DIFERENIAL DE. INTEGRALES INMEDIATAS.. INTEGRAL DE LA FUNIÓN ONSTANTE.. INTEGRAL DE LAS FUNIONES POTENIALES.. INTEGRAL DE LAS FUNIONES EXPONENIALES.. INTEGRAL DE LAS FUNIONES TRIGONOMÉTRIAS DIRETAS. MÉTODOS DE INTEGRAIÓN.. INTEGRAIÓN POR AMBIO DE VARIABLE.. INTEGRAIÓN POR PARTES. EL PROBLEMA DEL ÁLULO DEL ÁREA.. ÁREA BAJO UNA URVA.. LA INTEGRAL DEFINIDA. TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL ÁLULO INTEGRAL.. FUNIÓN INTEGRAL O FUNIÓN ÁREA.. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLULO INTEGRAL.6. REGLA DE BARROW.7. APLIAIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Ár ncrrd jo un curv Ár comprndid nr dos curvs Rsumn A ss lurs d u vid sudinil hs prndido muchos símolos mmáicos. Posilmn s s l úlimo qu prndrás n l insiuo, l símolo d ingrl: Fu inroducido por l mmáico lmán Gorid Liniz n 67, sándos n l plr lin summ, sum, scrio ſumm, omndo sólo l inicil. Por no, s símolo s un S, y l ingrl no dj d rprsnr un sum. El érmino álculo ingrl, por su pr, u inroducido por Jko Brnoulli n 690. º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

3 7 Ingrls Acividds d inroducción lcul l ár d l rgión limid por l unción puno gnérico d scis. Solución: Si rprsnmos l unción y diujmos l suprici nr ll y l j OX, onmos l riángulo rcángulo d l igur. s lur Smos qu l ár dl riángulo s: Ár Tno l s como l lur vln unidds, por no: Ár Por no, l ár jo l curv s clcul como A lcul l ár d l rgión limid por l unción un puno gnérico d scis. Solución: omo ns, rprsnmos l unción y diujmos l suprici nr ll y l j OX. Ahor onmos l rpcio rcángulo d l igur. Si dividimos l igur n un rcángulo d lur u y un riángulo, l ár s clcul como: Ár s clcul como: Por no, l ár jo l curv A Acividds propuss. nr l orign d coordnds y un. nr l orign d coordnds y. Rpi los procdiminos nriors pr clculr l ár d l rgión limid por ls uncions, y (con y R) nr l orign d coordnds y un puno gnérico d scis. Anliz: Driv ls prsions onids n los jrcicios nriors y rzon qué rlción hy nr ls uncions A y. Rcurd l inrprción d ár como sum d ls unidds cudrds ncrrds por un igur. Aplícl pr drminr l ár d l unción 6, rprsnándol n un cudrícul y conndo l númro d cudrdos jo ll pr dirns vlors d. Rzon qué ocurr con l ár cundo l unción s ngiv n l inrvlo nlizdo. º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

4 8 Ingrls. PRIMITIVA DE UNA FUNIÓN. LA INTEGRAL INDEFINIDA.. Dinición d primiiv S llm unción primiiv d un unción F, s dcir, or unción F l qu l drivd d F s Ejmplo: L unción F s un primiiv d, y qu F Tnindo n cun ls propidds d l drivd, s vriic qu si s d l orm F, con R., culquir or unción primiiv d En co; considrmos l unción F, l qu F F F 0 Por no, F s primiiv d.. F s un unción primiiv d y R. Si drivmos:.. Dinición d ingrl indinid L ingrl indinid d un unción s l conjuno d ods sus primiivs, y s rprsn como d. S l ingrl d dirncil d. Por no, si F s un primiiv d : d F A s l dnomin consn d ingrción, y l d nos indic qu smos ingrndo rspco d. Eso qu hor no prc nr dmsid impornci, sí l ndrá más dln, y qu sá rlciondo con l rgl d l cdn qu vimos n l cpíulo nrior y, n l uuro, prndrás rlizr ingrls n vris vrils. Por oro ldo, si rcordmos lo viso n l cividd inicil y lo plicdo n l Rsumn crc dl orign dl símolo d ingrl, l prsión d l ingrl indinid s l silizción d l prsión: s dcir: Sum d por cundo 0, d signiic l sum dl ár d odos los rcángulos d lur y s ininisiml (d) Ejmplos:. d porqu d ln porqu ln º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

5 9 Ingrls.. Propidds d l ingrl indinid Ls propidds d ls drivds jusiicn muchs d ls propidds d ls ingrls. Sum (y rs) d ingrls Sindo qu si h g h g: gd d g d Produco por un númro rl Sindo qu si h k h' k ' : k d k d Ejmplos: d d d porqu 7 cos d 7 cos d 7 sn porqu 7 sn 7 cos Acividds rsuls. Drmin los vlors d, y c pr los qu F c unción 7. omo F s un primiiv d : 7 F c 7,, c Drmin y pr qu F ln s un primiiv d ln omo F s un primiiv d : F ln s un primiiv d l. Es imposil Si rprsn l volumn d producción d un áric, l cos mrginl d l mism vin ddo por l unción 8 F, si s s qu. Encunr l unción dl cos ol, dich unción vin dd por l primiiv F d qu vriic qu F : F d 8 d F : omo F s un primiiv d Nos dicn qu 0 00 F Enoncs l cos ol s: F 00 º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

6 0 Ingrls Acividds propuss. lcul ls siguins primiivs: ) d ) d c) d d). Dd, clcul l primiiv F() d qu vriic F 0.. ompru si F s un primiiv d plic por qué.. Drmin los vlors d,, c y d pr los qu F c d unción. d. En cso ngivo, s un primiiv d l 6. Al rsolvr un primiiv, Jvir y Ricrdo hn uilizdo méodos dirns y, como r d sprr, hn onido prsions disins. Dspués d rvisrlo muchs vcs y no nconrr ningún rror n los cálculos, l llvn l prolm l prosor pr vr quién in in l jrcicio. Pr su sorprs, l prosor ls dic qu mos inn in l prolm. ómo s posil? 7. Rzon por qué l gráic siguin: s un primiiv d l unción pr nr d, dond no s drivl): E, (slvo n los punos d disconinuidd º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

7 Ingrls. INTEGRALES DE FUNIONES ELEMENTALES.. Ingrl dl dirncil d. Ingrls inmdis El érmino d sá rlciondo, como su propio nomr indic, con l concpo d dirncil viso n l cpíulo nrior. Tnindo n cun qu l drivd y l ingrl son oprcions invrss un d l or, s inmdio dducir qu: d con R. Es id nos prmi dinir ls ingrls inmdis: Ingrls inmdis son ls qu s oinn dircmn por l propi dinición d ingrl. Si rcordmos l rgl d l cdn pr l drivción: podmos rscriirl n orm dirncil como: y, clculndo su ingrl: Ejmplos: F u F u u F u df u du u du df F u u 6 d d du d / d ln d ln d ln d ln ln.. Ingrl d l unción consn / º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP ln L ingrl d un consn s igul s consn muliplicd por. En co; considrmos l unción F k k d k con R., con R. Si drivmos: F k k 0 k Tmién podrímos dmosrrlo uilizndo l propidd dl produco por un númro (.) y con lo viso n.: Ejmplos: d 8 d 8 k d k d k d d

8 Ingrls.. Ingrls d uncions poncils Y conocmos l drivd d l unción poncil: Tmién conocmos qu: Es ácil rzonr l procso invrso: Ejmplos: 6 d 6 / / d d n n n con n R ln n n d si n y con R. n / d d El cso n = corrspond l logrimo nprino: d d ln con R. Dond l vlor soluo s d qu nmos qu plnr ods ls posils uncions cuy drivd s l unción dl ingrndo, y s cumpl qu: ln si 0 si 0 ln 0 ln si 0 si 0 Ess dos órmuls s pudn gnrlizr prir d l rgl d l cdn, como vimos ns: n n d si n y d n ln con R. Ejmplos: d ln 9 9 d d 6 6 d 6 cos sn d ln sn cos sn cos º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

9 Ingrls.. Ingrls d uncions ponncils Prindo d l drivd d ls uncions ponncils: y ln dducimos: d y d ln Y su gnrlizción con l rgl d l cdn: d y con R y. d ln con R y. Ejmplos: 7 d ln 7 d ln d 9 d 9 d 9 d d d Ncsimos l drivd dl ponn. Lo solucionmos muliplicndo y dividindo por d d d Ncsimos l drivd dl ponn, s dcir,. Tnmos l, pro nos l l. Pr solucionrlo, muliplicmos y dividimos por d d d ln Ncsimos l drivd dl ponn, s dcir,. Pr llo, dividimos y muliplicmos por... Ingrls d uncions rigonomérics dircs Ejmplos: sn sn d cos y sn d cos con R. cos d sn y cos d sn con R. sc d g y sc d g con R. 7d cos 7 sn cos ln d cos ln d snln d cos º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

10 Ingrls Acividds rsuls lcul ls siguins primiivs: o d. Osrvmos qu l drivd dl rdicndo s, sí qu muliplicmos y dividimos nr : d d d Enoncs, s primiiv s quivln u u u du u du d 6 : o d. cos L unción más imporn s l cosno, y vmos qu l ríz d rs no in nd qu vr con ll. Lo scmos ur d l ingrl: d d cos cos L drivd dl rgumno dl cosno s, sí qu muliplicmos por y por dnro y ur d l ingrl pr onr un ingrl inmdi: d d d sc g cos cos o d. D ods ls primiivs qu hmos viso, sólo l logrimo y ls poncils con ponn ngivo gnrn un rcción. Es un ingrl logrímic si n l numrdor nmos l drivd dl dnomindor. Lo compromos: du Enoncs, s primiiv s quivln ln u, y rsul: u d ln o d. Ahor l numrdor NO s l drivd dl dnomindor, sino sólo d l prsión nr du u prénsis. Es ácil vr qu l primiiv s quivln u du u, u y rsul: d º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

11 Ingrls. MÉTODOS DE INTEGRAIÓN.. Ingrción por cmio d vril L ingrción por cmio d vril usc rnsormr l primiiv dd n un más sncill, y pud hcrs d dos orms dirns: so. Idniicr un pr dl ingrndo con un nuv vril. Ejmplo: d. No s ncsrio un cmio d vril, pro vmos mosrr l mcnismo: Hcmos l inomio igul y dirncimos mos érminos: d d d d d d d Rsolvmos l primiiv n l orm hiul: d Finlmn, dshcmos l cmio: d El cso más rcun s quél n l qu osrvmos un unción complicd y su drivd: gg d Un vz idniicd, l cmio d vril consis n llmr dich unción y dirncir: g gg d gd d L ingrl s rnsorm n or qu ingrrmos: d F Pr, inlmn, dshcr l cmio: gg d Fg Ejmplo: d. Podrímos dsrrollr l produco ingrr ls ponncils individulmn: d d Pro si hcmos l ponncil igul, ingrrmos un polinomio: d d d d Dshcmos l cmio y onmos: d Muchs vcs s convrirá n un ingrl inmdi y, como n los jmplos, no hrí sido ncsrio dicho cmio. º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

12 º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP Ingrls 6 so. El cmio srá d l orm g, dond g s lgirá d orm dcud pr simpliicr l ingrndo. S dirnci l iguldd: d g d g d Susiuimos n l ingrl, ingrmos y dshcmos l cmio hllndo l unción invrs d g: g F d g g F d g g ) ( ) ( Ejmplo: d 6 ln. L drivd dl logrimo s: ln qu s ncunr n l rcción qu prcd l dirncil d. Hcmos l cmio: d d d ln ln ln ln Hy muchos cmios y sudidos, d uso rcun pr csos concros, pro suprn los connidos d s curso. Acividds rsuls d. omo ns, s un ingrl inmdi, pro vmos rpir l procdimino: Hcmos l inomio igul y dirncimos: d d d d d d d Rsolvmos l primiiv: d d Y dshcmos l cmio: d Rsulv d hcindo l cmio d vril Hcmos l cmio qu nos indicn: d d d d Dsrrollmos l cudrdo, simpliicmos ingrmos: d d d Y, inlmn, dshcmos l cmio: d 7 7

13 7 Ingrls Acividds propuss 8. lcul ls siguins primiivs uilizndo l cmio indicdo: ) d hcindo =. d ) hcindo =. c) d hcindo d d) hcindo ) sn sn sn cos d 9. Elig l cmio d vril qu simpliic ls siguins ingrls: ) d d) 9 d.. Ingrción por prs g ) d cos ) d hcindo sn ln ln c) d ln ) L ingrción por prs s un méodo qu nos prmi clculr l ingrl dl produco d dos uncions d nurlz dirn, un ácilmn drivl y or ácilmn ingrl. En s curso nos limirmos los producos d uncions logrímics, polinómics, ponncils y rigonomérics (snos y cosnos), qu s rcogn n l rgl mnmoécnic A L P E S. on l méodo d ingrción por prs rnsormrmos ingrls d l orm u v d dond v s l unción ácil d ingrr, n or prsión más sncill n l qu prc un nuv ingrl más ácil d clculr qu l d prid. S uiliz l siguin órmul: u vd u v v ud qu s sul scriir d orm rvid como: u dv u v v du Eisn muchs rgls mnmoécnics pr rcordr s órmul, rcogmos rs d lls: - Sliron Unidos D Vij Y Un Vijro Mnos S Vino D Ujo. Ujo s un hrmoso pulo surino - Susni Un Dí Vio Un Vlin Solddo Vsido D Uniorm. - Srgio Un Dí Vio Un Vc Sord Vsid D Uniorm. d º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

14 8 Ingrls Dmosrción: onsidrmos l produco d uncions v u v u v u v Ingrmos mos mimros d l iguldd: u y clculmos su drivd: u vd u v u vd u vd u vd u v D dond: Dspjndo, rsul: Aunqu sul scriirs n l orm nrior: u v u vd uv vd u v v u u u dv u v v du Osrvcions:. omo norm gnrl, s lig como u l primr unción d l plr ALPES y como dv l rso dl ingrndo, pudindo drs l cso d nr qu plnr dv = d. Ejmplo: ln d d u ln du dv d v d ln d d d ln d ln. Srmos qu smos plicndo corrcmn l méodo si onmos un ingrl más simpl qu l inicil. d Ejmplo: u du d sn d dv sn d v cos cos d cos sn sn d cos cos cos d. El procso d ingrción por prs pud plicrs vris vcs. En s cso s d mnnr l lcción inicil d u y v. Si s invir, volvrmos l ingrl d prid. Ejmplo: u du d d d dv d v d º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP d d d u du d dv d v d

15 9 Ingrls. Si l ingrl inicil s l produco d un ponncil por un rigonoméric, s oin lo qu s dnominn ingrls cíclics. Al plicr por sgund vz l méodo d ingrción por prs, s oin l ingrl d prid, y s d rsolvr como un cución: Ejmplo: u du d cos d dv cos d v cos d Rpimos: sn u cos d sn du d dv sn d v sn d sn º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP sn sn d cos sn d cos cos cos d sn 9 cos 9 cos d d Osrvmos qu onmos l ingrl d prid. Si dnomos I cos d : I sn cos I I I sn I sn 9 cos I sn 9 Enoncs, susiuyndo I por su prsión y dsrrollndo ls rccions: cos d sn cos cos cos. El méodo d ingrción por prs no s cluyn. Podmos uilizrlo dspués d vrnos oligdos rlizr un cmio d vril, o nr qu rlizr un cmio d vril dspués d hr plicdo l ingrción por prs. 6. Eisn ors ingrls qu s rsulvn por prs y qu no sán rcogids n l rgl d los ALPES. L srgi gnrl s uscr un unción ácilmn ingrl y or ácilmn drivl pr simpliicr l primiiv inicil. Acividd rsul d. Es primiiv pud rsolvrs d vris orms dirns:. Por prs: L diiculd s nconrr l unción ácilmn ingrl. En s cso, l lcción s: / d / dv d v / d u du d L sgund primiiv s más simpl qu l primr, sí qu smos n l un cmino: d / / d / / Es dcir: d

16 0 Ingrls. Por cmio d vril: El cmio d vril qu uscmos s l qu prmi liminr l ríz dl ingrndo: d d d d d d d Rsolvmos l primiiv: d Ls dos prsions son dirns, pro s sncillo mnipulrls pr hcrls iguls. Acividds propuss 0. Drmin si ls siguins ingrls son inmdis o no: ln ) d ) d c) sn cos d ln d) d ) d ) d g) d h) d. Rsulv ls siguins ingrls: ) d ) cos d c) ln cos g d d d d d) i) j) ln. Rsulv ls siguins ingrls: d ) ln d c) cos d ) d) uriosidd id liz: Rsulv l primiiv ln º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP cos d. u du cos ln Pr llo, muliplic y divid l ingrndo por : d cos ln dv d v, jusiic si s primiiv d lgun d ls siguins uncions:. S 8 g 8 h. Dd l unción. ) lcul un primiiv d. ) Jusiic qu l unción. Dd l unción cos, F no s primiiv d. dond s un consn, ) Encunr un primiiv d. ) Si F s un primiiv d, pud srlo mién G F? 6. S con 0 dond s un consn. Encunr, sindo qu hy un primiiv F d F y F 0. Encunr mién l prsión d F. 0, dond s un consn, ncunr un primiiv d 7. Dd l unción. Posriormn, ncunr pr qu si s l drivd d, noncs. d

17 Ingrls. EL PROBLEMA DEL ÁLULO DEL ÁREA.. Ár jo un curv coninu y no ngiv n un inrvlo Dd un unción,, su gráic drmin un rgión dl plno qu vndrá limid por l unción, l j d sciss y ls rcs y. Vmos cómo podmos clculr d orm proimd l ár d dich rgión: Tommos un prición dl inrvlo,. onsis n dividir l inrvlo n n prs, omndo pr llo los punos 0,,,, n vriicndo 0 n. Así, nmos los inrvlos,,,, n,,. A coninución, dnomos por m i l mínimo vlor qu om l unción n l inrvlo i, i y por M i l máimo vlor qu om l unción n l mismo inrvlo. Así, n cd inrvlo i, i considrrmos dos posils igurs, l crd con rcángulos d s i i y lur m i y l crd con rcángulos d s i i y lur M i. Sumndo ls árs d los n rcángulos, onmos: Sum inrior Sum suprior En l primr cso onmos un proimción por dco dl ár ncrrd jo l curv: s m m m m 0 n n n n i Es sum s dnomin sum inrior d l prición n l inrvlo,. En l sgundo cso onmos un proimción por cso dl ár ncrrd jo l curv. S M M M M 0 n n n n i i Es sum s dnomin sum suprior d l prición n l inrvlo,. Hmos onido dos proimcions dl ár A, un por dco s y or por cso S. S in qu s A S i i i i i º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

18 Ingrls Si nmos un prición P dl inrvlo,, con sum inrior s y sum suprior S, dirmos qu or prición P dl inrvlo, s más in qu P si conin odos los punos d l prición P y dmás oros punos nuvos. Pr dich prición P, nmos un sum inrior s y un sum suprior S. S vriic qu: s s A S S Es dcir, l omr un prición más in, l sum inrior umn (sindo odví mnor o igul qu l vlor dl ár) y l sum suprior disminuy (sindo myor o igul qu l vlor dl ár). Prición P Prición P Prición P Prición P Eso signiic qu cuno más in s l prición, más nos crcmos l vrddro vlor dl ár. onsidrndo un sucsión d pricions cd un más in qu l nrior, P, P,, P n, P n,, ondrmos s, s,, s n, s n, l sucsión d árs por dco y S, S,, S n, S n, l sucsión d árs por cso. undo n, l longiud d los inrvlos d l prición s hc cd vz más pquñ, lugo 0 i i. Así, cundo l unción s ingrl, ls sums inriors y supriors ndrán l ár: S n s n Eso signiic qu S n sn 0 lim S n lim sn n n n 0 lim, y d quí: lim S lim s A n n n n Sum inrior y suprior con l prición P Sum inrior y suprior con l prición P Ár º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

19 Ingrls.. Ingrl dinid S un unción coninu y no ngiv n un inrvlo,. Dinimos l ingrl dinid nr y d como l prsión d Su vlor s l ár comprndid nr l gráic d, l j d sciss y ls rcs y. Los vlors y s llmn límis d ingrción. Hmos viso qu dd un sucsión d pricions, P,, P n, P n,,, cd un más in d l nrior, con sums inriors s, s,, s n, s n, y sums supriors S, S,, S n, S n,, s vriic qu dichs sums ndrán l vrddro vlor dl ár. P dl inrvlo S in qu: n n d lim S n lim s, s dcir, qu l ingrl s pud inrprr como: n l sum dl ár d odos los rcángulos d lur Propidds: y s ininisiml (d) comprndidos nr y. Si los límis d ingrción son iguls, l ingrl dinid vl cro. d 0. Si l curv sá por ncim dl j X 0, l ingrl s posiiv, d si l curv sá por djo dl j X 0 srá ngiv: d 0. 0, minrs qu, s pud dinir mién l ingrl dinid, qu. S c,, noncs podmos dscomponr l ingrl d l orm: c d d d.. Si inrcmimos los límis d ingrción, l ingrl cmi d signo. d d. Dds dos uncions g d 6. Dd un unción º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP c g coninus n l inrvlo y,, s in qu: d gd y gd d g 7. Dds dos uncions coninu n l inrvlo y k d k g coninus n d, y un consn k R, s in qu: d,, vriicndo g, gd d, s in:

20 Ingrls.. Torm dl vlor mdio dl cálculo ingrl Dd un unción coninu n l inrvlo. Inrprción goméric: Sindo l ingrl un ár, l inrprción goméric s simpl: Eis un puno c, l qu l ár ncrrd nr l curv, l j d sciss y ls rcs y s igul l ár d un rcángulo d s l mpliud dl inrvlo,, y lur l vlor qu om l unción n l puno inrmdio, c.,, noncs is un puno c, d c l qu Ejmplo: Encunr los vlors d c qu vriicn d c sindo l smicircunrnci d cnro l orign y rdio, y y los punos d cor d l mism con l j OX. Smos qu l cución d l circunrnci n l plno s prolm qu s nos pln nmos qu, 0 y, 0. S r d nconrr l rcángulo (zul) cuy ár coincid con l d l smicircunrnci (roj), sindo qu l s pr ms igurs sá comprndid nr los punos, 0 y, 0. Enoncs, sindo: D vriicrs: A h y rc y r, sí qu pr l y los punos d cor con l j son A circ r r h h h El vlor d h corrspond l vril y, pro nos pidn un vlor d. Por no: y r h Qu son los vlors d c qu nos pidn... Función ingrl o unción ár Dd un unción coninu n l inrvlo,, pr culquir puno, s din l unción ingrl o unción ár como: F :, R F d º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

21 Ingrls.. Torm undmnl dl cálculo ingrl S un unción coninu n l inrvlo, y s F d con, l unción ingrl. Enoncs F s drivl n F pr culquir puno,. Dmosrción: Aplicndo l dinición d drivd nmos:, y h h F d F F lím lím h0 h h0 Sprndo l primr ingrl n dos sumndos (propidd ): F lím h h d d d h h0 h0 h d d lím h c, h l qu Aplicndo l orm dl vlor mdio dl cálculo ingrl, h d c h h c Así: h d c h F lím lím lím c h0 h h0 h h0 omo c, h y s coninu noncs lim c y, por no: F Acividd rsul h0 Sin cur l cálculo d l ingrl indinid, clcul si Aplicndo l orm undmnl dl cálculo ingrl: d 0 Gnrlizción ():. d 0 Si n lugr d vlors rls, los límis d ingrción son uncions rls d vril rl, s plic l rgl d l cdn pr onr: S un unción coninu n l inrvlo, n R y s h F d con, l unción ingrl. Si h() s drivl, noncs F s drivl n, y F h h,. pr culquir puno º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

22 6 Ingrls Gnrlizción (): S un unción coninu n l inrvlo, n R y s F d g con, l unción ingrl. Si h() y g() son drivls, noncs F s drivl n F h h g g pr culquir puno,. h, y Acividd rsul Sin cur l cálculo d l ingrl indinid, clcul Aplicndo l orm undmnl dl cálculo ingrl: d si d 6.6. Rgl d Brrow Si s un unción coninu n l inrvlo, y F s un primiiv d y sul rprsnrs como: d F F d F F F, noncs: Dmosrción: S in qu F s un primiiv d cálculo ingrl, G d mién s un primiiv d unción, sólo s dirncin n un consn: G. Por oro ldo, plicndo l orm undmnl dl F G F Evlundo ls dos prsions nriors n l puno F G F d G, nmos: G F F G d 0 0 Evlundo hor dichs prsions nriors n l puno, nmos: G G F G F G F F d G d. Al sr dos primiivs d l mism d F F º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

23 7 Ingrls Enoncs, pr plicr l Rgl d Brrow s sigun los siguins psos:. lculmos un primiiv F d. Hllmos los vlors d s unción nr y : F y F. lculmos l ingrl d F F F Ejmplos: 6 d. L unción 6 s un unción polinómic, lugo s coninu n odo R, y por no s coninu n l inrvlo [, ].. lculmos un primiiv d : 6 d 6. Hllmos l vlor d s primiiv pr los rmos dl inrvlo: F. Aplicmos l rgl d Brrow: F y F d. L unción º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP 7 6 d F F 7 7 s un unción polinómic, lugo s coninu n odo R, y por no s coninu n l inrvlo [, +].. lculmos un primiiv d : d. Hllmos l vlor d s primiiv pr los rmos dl inrvlo y rsmos: 6 6 d Acividds propuss 8. Rsulv ls siguins ingrls dinids: 6 ) d ) 0 d c) d d) 0 d ) sn d ) 0 ln d d c 0 y rzon su inrprción goméric. 9. Hll l vlor d c qu vriic 0. Sin cur l cálculo d l ingrl indinid, clcul 0 si d ln

24 8 Ingrls.7. Apliccions d l ingrl dinid Ár ncrrd jo un curv Pr clculr l ár comprndid nr l gráic d un unción y l j d sciss n un inrvlo n l qu l gráic prc por ncim y por djo dl j X, s ncsrio hllr cd un d ls árs por sprdo. En los suinrvlos n los qu l gráic sá por djo dl j X, l ingrl srá ngiv, y omrmos l vlor soluo n od l ingrl. Ár d d d F F F F F F Dsd l puno d vis prácico, si nmos l rprsnción gráic d l unción s pud plnr l ár como sum o rs d ls rgions dond l unción s posiiv o ngiv, rspcivmn. Ejmplo: Hll l ár ncrrd nr l gráic d l unción, l j X y ls rcs y. L unción s un unción polinómic, lugo s coninu n odo R, y por no s coninu n l inrvlo [, ]. L gráic d s un práol cóncv (). lculmos l véric: V, Si Tnmos: lculmos los punos d cor d l unción con l j X. Pr llo, rsolvmos l cución 0 : 0 0 6, 0, 0 Rprsnndo l unción y ls rcs y osrvmos qu l ár qu qurmos clculr s divid n rs rgions. º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

25 9 Ingrls Hllmos un primiiv d : d Hmos onido rs rgions. El ár ol srá l sum dl ár d cd rgión: Ár d d d F u 7 Por no, l ár d l rgión s igul u Tmién podrímos plnr, y qu nmos l rprsnción gráic d l unción: F F F F F 9 9 d d Ár Ár Ár Ár d Es dcir: Propidds: Ár u. Si l unción s impr, l ingrl dinid n un inrvlo simérico rspco l orign s nul: Si s impr, d 0. Si l unción s pr, l ingrl dinid n un inrvlo simérico rspco l orign s: d d Pr nndr ss dos propidds nos s con vr ls gráics d cd ipo d unción. - Si l unción s impr, s siméric rspco l orign d coordnds y din dos rcinos d signo opuso igul ár mos ldos dl orign. Al sumrl, l rsuldo s nulo. - Si l unción s pr, s siméric rspco l j OY y din dos rcinos d igul signo igul ár. 0 Función impr Función pr º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

26 0 Ingrls Acividd rsul lcul l ár d un círculo d rdio r. Podmos lgir l uicción d l circunrnci, sí qu l cnrmos n l orign. Pr s cso, l cución d un circunrnci d rdio r s: y r y r Podmos provchr l simrí dl prolm y clculr l ár prir dl rcino dl primr cudrn: r A r d 0 L primiiv s rsulv con l cmio: r sn d r cos d y proporcion: r d r rcsn r r Aplicndo l rgl d Brrow onmos: r A r d r rcsn r 0 r r 0 A r rcsn r r r r rcsn 0 r 0 r 0 r r Es dcir, llgmos l conocid órmul: A r Ár comprndid nr dos curvs y El ár comprndid nr ls gráics d ls uncions, s igul qu l ár qu s ncirr nr l unción dirnci g y l j X n s inrvlo. g n l inrvlo r 0 A g d. Si no s drmin qué unción sá por ncim d l or, podmos scriir l prsión gnrl: A g d Sindo g Sin mrgo, dsd l puno d vis prácico, n l cso n l qu ls uncions g ngn vrios punos d cor, srá convnin hllr ls dirns rgions y drminr ls árs por sprdo. y º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

27 Ingrls Ejmplo: Hll l ár comprndid nr ls gráics d ls uncions y ls rcs y. y g nr Ls rprsncions gráics d g son un práol y un rc, rspcivmn, sí qu s d sprr qu hy dos cors nr lls y, por no, s posil qu hy vris rgions dirncids nr n cun. L gráic d s un práol conv. Hllmos su véric: Si 8 V, lculmos los punos d cor d l unción con l j X, rsolvindo l cución 0 : L gráic d g s un rc. Pr diujrl, s con onr dos punos: 0 y 0 Pr drminr l rgión d l qu qurmos clculr l ár, l rprsnmos, juno con los límis d ingrción: Buscmos los punos d cor nr ls dos uncions, rsolvindo l cución g g 0 0 Por no, l ár qu qurmos clculr srá: Hllmos un primiiv d g: Ár g g g d Hmos onido dos rgions. El ár ol srá l sum dl ár d cd rgión: gd d : 0 0 Ár 0 d d F 0 F F F u Por no, l ár d l rgión s igul u º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

28 Ingrls URIOSIDADES. REVISTA Eudoo d nido (90 7 ) Eudoo dmosró qu l volumn d un pirámid s l rcr pr dl d un prism d su mism s y lur; y qu l volumn d un cono s l rcr pr dl d un cilindro d su mism s y lur. Pr dmosrrlo loró l llmdo méodo d husción. Méodo d husción El méodo d husción s un procdimino gomérico d proimción un rsuldo, con l cul l grdo d prcisión umn n l mdid n qu vnz l cálculo. El nomr provin dl lín husiö (gomino, huso) S uiliz pr proimr l ár d un círculo, o l longiud d un circunrnci, inscriindo y circunscriindo polígonos rgulrs con cd vz myor númro d ldos. Hisori d los símolos mmáicos Arquímds Arquímds, scriió su rdo sor El méodo d orms mcánicos, qu s considr prdido hs 906. En s or, Arquímds mpl l cálculo ininisiml, y musr cómo l méodo d rccionr un igur n un númro ininio d prs ininimn pquñs pud sr usdo pr clculr su ár o volumn. Fu scrio n orm d un cr dirigid Erósns d Aljndrí. Osrv cómo s l s d los concpos qu n l siglo XVII prmiiron Isc Nwon y Liniz uniicr l cálculo dirncil con l cálculo ingrl, y cómo s l prcursor dl concpo d ingrl dinid como ls sums inriors y ls sums supriors d Rimnn. º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

29 Ingrls Hs pnsdo lgun vz n l hisori d los símolos mmáicos? Al principio ls mmáics rn rórics, s dcir, odos los cálculos s plicn con plrs. Poco poco mpzron usrs rviurs, símolos pr rprsnr ls oprcions. Hoy ls mmáics sán llns d símolos. Por jmplo, pr indicr sums y rss, primro s usron lrs como p y m, pro n l siglo XV comnzó usrs los símolos + y. Pr l produco s usó l sp,, d l cruz d Sn Andrés, pro Liniz scriió Brnoulli qu s símolo no l gus pus s conundí con l, y comnzó usr l puno,. Pr l cocin, l rr horizonl d ls rccions s d orign ár, y los dos punos, d nuvo s los dmos Liniz, qu los consj cundo s quir scriir n un sol lín. El símolo d ininio,, s d John Wllis y, psr d su prcido, no sá rlciondo con l cin d Möius, sino con l Lmnisc. En 706 s mpzó usr π, como inicil d l plr grig prímro y s populrizó con Eulr n 77. El símolo d l ingrl s lo dmos, d nuvo, Liniz, y s un silizción d l lr S, inicil d sum. Tmién l dmos l noción d, dy pr l cálculo dirncil. A Eulr l dmos l invnción d muchos símolos y l populrizción d oros: No smos por qué uso l lr pr rprsnr l númro, s d los logrimos nprinos, l lr i, pr l unidd imginri complj, pr l sumorio, y l noción () pr ls uncions. i () En lógic y orí d conjunos s usn muchos y nuvos símolos, como,,,,,,, {, },,,, qu podmos dr Gorg Bool.,,,,,,, {, },,, º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

30 Ingrls RESUMEN UADRO DE PRIMITIVAS d d + g d d gd d n n+ d, n n ( ) d + d ln d d +,, >0 ln cos d sn sn d cos sc g d sc sc d g cosc d cog Méodo d ingrción por cmio d vril Méodo d ingrción por prs. g d d d g d G F G. d g d g d g g d G F G g u dv u v v du Rgl d Brrow d F F F Ár nr un curv y l j OX A d Ár nr dos curvs A g d º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

31 Ingrls EJERIIOS Y PROBLEMAS. n n. Sindo qu d n ) d ) d 6) d 7) d n y n d n d ), clcul: ) 7 d ) 6 7 d 8) d 9) 0) d ) d ) d ) d ) d ) d 6) d 7) d 8) d 9) d 0) d ) d ) d ) d ) d ) d 6) d 7) d 8) ( 7) d 9) d 0) d ) d ) d ) d ) d ) d d 6) d 7) 8) d 9) ( ) d d 0) d ) d ) ) 7d ) d 7) ) d d ) 7 d 8) d 9) ) ln cos sn ) ) d 7) d d 6) 8 d 0) d d d ) sn cos d sn d 6) d cos sc 8) g sc d 9) ln d 60) g d º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

32 6 Ingrls '. Sindo qu d ln y d ln, clcul: d d d d ) ) ) ) ) d 6) d d 7) 8) d 9) d 0) d d ) d ) ) d ln ) d ) d 6) d 7) g d sn cos 8) cog d 9) d ln 0) cos sn cos sn cos ) d sn ) ) cog d sn cos. Si d, d, d y ln ) d ) d ) d ) d 6) d 7) d 9) d ) d 6) d g 9) sc d d 6 0) 0). Sindo qu d cos ) sn cos d ' ) d ) d d, clcul: ln d 8) ) ln d cos ) sn d cos 7) sn d 8) d d ) d sn, d cos d sn ) 8 cos clcul: sn, cos d sn y sn d ) sn d ) cos d sn cos ) sn d ) d 6) d sn 7) cos d 8) cos sn d snln 9) d º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

33 7 Ingrls. Si d g d g y cos ) g d ) d d d g ' g cos ) g d g 6. Hll l vlor d ls siguins ingrls, usndo un cmio d vril: 6 d ) d ) d ) 6 ) d ) d 6) d 7) sn sn cos cos d 8) d 9) cos d sn 0) d ) d ) d 7. Hll l vlor d ls siguins ingrls, usndo l méodo d ingrción por prs:, clcul: ) cos d ) sn d ln ) ln d ) d ) ln d 6) cos d 8. Hll l vlor d ls siguins ingrls dinids: ) d ) ) sn d ) sn d ) 6 d 6) d 7) d 8) d 9. Hll l vlor d pr qu s cumpl 0. Hll l ár nr l unción d., l j d sciss y ls rcs y 6.. Hll l ár d l rgión limid por l unción 6 y l j d sciss.. Hll l ár dlimid por ls gráics: ) y y 0. ) y g c) y g º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

34 8 Ingrls AUTOEVALUAIÓN. Los vlors d, y c pr los qu F c sn 7 cos son: s un primiiv d l unción ), 7, ; ), 7, ; c), 7, ; d), 7,. L ingrl inmdi d vl: ) ; ) c) ; d) d. L ingrl vl: ) ln ; ) ln c) ln ; d) ln. Al ingrr por prs sn d s oin: ) sn cos ; ) cos sn c) cos sn ; d) sn cos. L ingrl ) d vl: ; ) ; c) ; d) 6. L ingrl cos d vl: sn ) sn ; ) sn c) ; d) sn 7. L ingrl dinid 0cos d vl: ) ; ) c) 0; d) 8. El ár comprndid nr l gráic d l unción, l j d sciss y ls rcs = 0 y = vl: ) 8/; ) / c) 6/; d) 6/ 9. El ár comprndid nr ls gráics d ls uncions y g vl: ) 9/; ) 9/ c) 7/; d) 0. L rgl d Brrow sirv pr : ) clculr drminns d ordn ; ) rsolvr sisms d cucions; c) rsolvr ingrls dinids; d) clculr l proilidd d sucsos. º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

35 9 Ingrls Apéndic: Prolms d ingrls n ls P.A.U. () lcul un primiiv d l unción () lcul hcindo l cmio d vril : ) d ) 0 () lcul cos d () onsidr l unción y () onsidr l unción sn ) Drmin l rc ngn n l puno n qu l unción lcnz su máimo rlivo. ) Diuj l rcino limido por l curv y l rc ngn nrior. c) Hll l ár dl rcino dl prdo (). ) Diuj l rcino codo por l gráic d, l j OX y ls rcs = 0 y. ) lcul l ár dl rcino nrior. (6) ) Diuj l rcino plno limido por l práol y = y ls ngns l curv n los punos d inrscción con l j d sciss. ) Hll l ár dl rcino diujdo n (). (7) S l unción : R R dinid por si si ) Hz un diujo proimdo d l gráic d l unción. ) lcul l ár dl rcino limido por l unción, l j d sciss y l rc =. (8) S l práol y 6 ) Hll l cución d l ngn l gráic d s curv n l puno d scis =. ) Hz un diujo proimdo dl rcino limido por l gráic d l práol, l j OY y l rc ngn hlld nriormn. c) lcul l ár dl rcino nrior. (9) onsidr ls curvs y d g. ) Encunr sus punos d inrscción. ) Rprsn l rcino limido qu ncirrn nr lls. c) Encunr l ár dl rcino limido por ls dos curvs. º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP

36 0 Ingrls (0) Dd l unción cos () Ls curvs y, y, usc l vlor dl númro rl sindo qu 0 y l rc ) Diuj un squm dl rcino. ) lcul su ár. d () S considr l curv d cución y º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP limin un rcino inio n l plno. ) lcul l cución d l rc ngn l gráic d s curv n l orign. ) Diuj un squm dl rcino limido por l gráic d l curv y l rc hlld. c) lcul l ár d s rcino. () L drivd d un unción 9 ) lcul los inrvlos d crcimino y dcrcimino y los máimos y mínimos d ) Drmin l unción sindo qu 0. s () L gráic d l práol y divid l cudrdo d vérics A 0,0, B,0,, y D 0, n dos rcinos plnos. ) Diuj l gráic d l unción y los rcinos. ) lcul l ár d cd uno d llos. () ) lcul l unción sindo qu su drivd s y qu. ) Dmusr qu in un rmo rlivo n un puno dl j d sciss y rzon si s máimo o mínimo. (6) Ls gráics d l curv ) Diuj s rcino. ) lcul su ár. (7) S : R R l unción dinid por y y d l práol y ncirrn un rcino plno. si 0 m n si 0 si ) lcul m y n pr qu s coninu n odo su dominio. ) Pr sos vlors hlldos, clcul l ár dl rcino limido por l gráic d y l rc y =. (8) S l unción : R R dinid por si 0 si 0 ) Diuj l gráic d l unción. ) Hll l ár dl rcino limido por l gráic d y l j d sciss. (9) L curv y y l rc y limin un rcino inio n l plno. ) Diuj un squm dl rcino. ) lcul su ár..

37 Ingrls (0) L práol y y l rc limin un rcino inio n l plno. ) Diuj un squm dl rcino. ) lcul su ár. () L curv y y l rc y limin un rcino inio n l plno. ) Diuj un squm dl rcino. ) lcul su ár. () S considr l práol y 6 ) lcul l cución d ls rcs ngns l gráic d l práol n los punos d cor con l j OX. ) Diuj un squm dl rcino limido por l gráic d l práol y ls rcs hllds nriormn. c) lcul l ár d s rcino. () S considr l unción k si si ) Drmin l vlor d k > 0 pr qu l unción s coninu n l inrvlo, ) Suponindo qu k, hll l rc ngn n. c) Suponindo qu k, hll l ár qu l unción drmin con l j OX, pr 0, () ) Rsulv por prs l siguin ingrl: ln d ) D ods ls primiivs d ln clcul l qu ps por l puno,. () L gráic d l práol y 8 y l rc ncirrn un rcino plno. ) Diuj proimdmn dicho rcino. ) lcul l ár d s rcino. (6) L gráic d l curv ) Diuj proimdmn dicho rcino. ) lcul l ár d s rcino. y ls rcs º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP 0.. y y 0 ncirrn un rcino plno. 7 (7) Esoz l gráic d l práol y y hll l ár d l rgión dl plno drmind por l práol y l rc qu ps por los punos 0, y,0. (8) S dispon d un chp d cro qu pud rprsnrs por l rgión dl plno drmind por l práol y y l rc y. ) Rprsn gráicmn l chp y clcul su ár. ) Drmin ls dimnsions dl rcángulo d ár máim qu s pud onr prir d dich chp con l condición d qu uno d sus ldos sé n l rc y. (9) Rprsn gráicmn ls práols y 0 y y 0 y clcul l ár qu ncirrn. (0) S considr l unción ) Hll los máimos, mínimos y punos d inlión. ) Pr 0,, soz l gráic d l unción y clcul l ár comprndid nr ll y l j X. 6

38 Ingrls () S considr l unción ) Hll sus sínos, máimos y mínimos. ) Rprsn gráicmn l unción. c) Hll l ár dlimid por l unción y l j OX, pr. () Si rprsn l volumn d producción d un áric, l cos mrginl d l mism vin ddo por l unción 8. S pid: ) Encunr l unción dl cos ol F, si s s qu dich unción vin dd por l primiiv F d qu vriic qu F ) Esudi y rprsn gráicmn l unción n l inrvlo 0,. lcul l ár limid por l curv y l j X nr 0 y. 0 () L unción d coss mrginls d un mprs s. S pid: ) Encunr l primiiv F d vriicndo qu F 0. ) Esudi y rprsn gráicmn l unción. lcul l ár limid por l curv y l j X nr 0 y. () S l unción ( > 0). Si ' rprsn su drivd, ) lcul. ) Diuj l unción. Hll l ár limid por l curv y l j X nr y. 0, dond s un consn, ) Si s supir qu dond ' s l drivd d, cuáno vldrí? ) Diuj l unción si 6 y hll l ár limid por l curv y l j X nr y. () Dd l unción (6) S l unción 6 ) Encunr un primiiv F d vriicndo F. Si rprsn su drivd,. ) Diuj l unción. lcul l ár limid por l curv y l j X nr y. (7) Dd l unción 8, ) Si rprsn l drivd d, ncunr un primiiv F d l qu F '. ) Diuj l unción. Hll l ár limid por l curv y l j X nr y. 0, dond s un consn, ncunr un (8) ) Dd l unción primiiv d y hll l vlor d pr qu si s l drivd d, noncs. ) Diuj l unción, los punos d sciss y hll l ár limid por l curv y l j d sciss nr y 6. (9) Drmin l unción primiiv y l ár jo l curv n l inrvlo, d l unción ln. (0) Enunci l rgl d Brrow y plícl l unción n l inrvlo 0,. º Bchillro. Mmáics Aplicds ls SS II. píulo 7: Ingrls Auors: Lici Gonzálz y Álvro Vldés LirosMrVrd.k Rvisors: Mrí Molro y Jvir Rodrigo Ilusrcions: rds con GoGr y l GIMP