Tema 13 La integral definida. Aplicaciones

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1 Tema La integral definida. Aplicaciones. Integral definida. Calcula la integral. ( ) d 4 Calculamos una primitiva de la función f ( ) : G( ) ( ) d Según la regla de Barrow: 4 4 ( ) d G(4) G() Ahora resolveremos el problema con Wiris:. Para calcular la integral definida, sólo tenemos que rellenar la plantilla que nos da Wiris en Análisis. Una vez hecho esto, pulsamos igual y obtenemos el resultado. Figura. Enlace con el ejercicio resuelto en la web:. Área bajo una curva. Calcula el área que determina la curva: y con el eje X entre las abscisas - y 4.

2 Matemáticas II Tema. La función corta al eje X en - y en. Para calcular el área habrá que calcular por separado el área entre - y y entre y 4, cambiar de signo la negativa y sumarlas. ( ) d 7 0 ( Área: ) d 0,8u 4 7 Este problema no es el mismo que el anterior, en el que la integral calculada nos da el resultado de restarle al área sobre el eje X (entre y 4) el área bajo el eje X (entre - y ). Ahora resolveremos el problema con Wiris:. Lo primero que debemos hacer es calcular la primera integral definida de la misma manera que en el ejercicio anterior: Figura.. Ahora calculamos la segunda integral:

3 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura.. Por último sumamos los dos resultados anteriores: Figura 4.

4 Matemáticas II Tema. Figura. Figura. Enlace con el ejercicio resuelto en la web: 4

5 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato. Área bajo una curva. Halla el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa = e. Resolvemos la ecuación ln 0 X La curva corta al eje OX en el punto de abscisa =. entre y e no hay raíces. Primitiva de y ln : G( ) ln d ln (por partes). G ( ) ln ; G( e) eln e e 0 e ln d G(e) G() 0 () ; Área = u Ahora resolveremos el problema con Wiris:. En este ejercicio empezamos resolviendo una ecuación: Figura 7.. Ahora, el mismo logaritmo, lo integramos: Figura 8.

6 Matemáticas II Tema.. Por último definimos la integral anterior y obtenemos nuestro resultado: Figura 9. Enlace con el ejercicio resuelto en la web: 4. Área limitada por una curva y el eje OX. Calcula el área entre la curva y y el eje X. Hallamos el área sin dibujar el recinto: Resolvemos la ecuación 0. Las soluciones son = 0, = y =. 4 G( ) d 4 Calculamos una primitiva de la función: Obtenemos el valor de la primitiva en cada uno de los puntos anteriores: 8 G ( 0) 0, G(), G() 9. 4 Calculamos la integral en cada tramo: Área: 8 7 u 0 8 f ( ) d G() G(0) 9 f ( ) d G() G() 4 8

7 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Ahora resolveremos el problema con Wiris:. Para obtener la solución de este ejercicio seguimos los pasos del anterior. En primer lugar resolvemos la ecuación: Figura 0.. Ahora calculamos la integral: Figura.. Después la definimos entre 0 y : 7

8 Matemáticas II Tema. Figura. 4. Lo mismo hacemos ahora, pero entre y : Figura.. Por último, sumamos los dos resultados anteriores, teniendo en cuenta que el segundo es negativo y debe ir en valor absoluto: 8

9 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura 4. Figura. 9

10 Matemáticas II Tema. Figura. Enlace con el ejercicio resuelto en la web:. Área entre curvas. Halla el área limitada por las parábolas y e y. Representa el recinto cuya área se pide. Representamos las dos parábolas, y, de eje vertical e y, de eje horizontal, y hallamos sus puntos de corte: y 0, y El área perdida es la comprendida entre las curvas y e y, que es igual al área comprendida entre la función diferencia, a la que llamamos h(), y el eje OX. 0

11 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato / ) ( ; ) ( d G h () 0; 0) ( G G 0 ; 8 (0) () ) ( G G d h Área = 4 8 u u Ahora resolveremos el problema con Wiris:. El primer paso que seguiremos en este ejercicio es calcular el sistema 0, y y para calcular los puntos donde se cortan las dos curvas. También seria conveniente representar las dos curvas en un único tablero. Se representan ambas funciones en el mismo tablero como vemos a continuación: Figura 7.

12 Matemáticas II Tema. Figura 8.. A continuación calcularemos la siguiente integral: Figura Por último, definimos la integral entre 0 y, y calculamos el resultado:

13 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura 0. Enlace con el ejercicio resuelto en la web:. Área entre curvas. 4 Calcula el área comprendida entre las curvas f y g : f ( ) 7 4 g( ) El área entre estas curvas es igual al área comprendida entre la función diferencia y el eje X. f ( ) g( ) ; f ( ) g( ) 0, 0, G () 4 d 4 8 G ( ), G(0) 0, G() ( f g)( ) d G(0) G( ) 8 Área ( f g)( ) d G() G(0) 7 u Ahora resolveremos el problema con Wiris:. Nuestro primer paso es resolver la siguiente ecuación como hemos visto en temas anteriores:

14 Matemáticas II Tema. Figura.. Ahora calculamos la integral: Figura.. El siguiente paso es calcular dos integrales, una definida entre - y 0 y la otra entre 0 y : Figura. 4

15 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato 4. Por último, sumamos (en valor absoluto) los dos resultados anteriores: Figura 4. Enlace con el ejercicio resuelto en la web: 7. Área de un recinto. Calcula el área del recinto sombreado, donde la ecuación de la parábola es y. y y la de la recta es Obtenemos el punto A resolviendo el sistema: y y No nos importa Calculamos el área del recinto ABC como suma de los recintos y R. R

16 Matemáticas II Tema. R R ) d ( ( ) d Área R R u Ahora resolveremos el problema con Wiris:. Lo primero que haremos es resolver el sistema (para ello, pinchamos en Operaciones, y dentro de ella en Resolver sistema): Figura.. Ahora, calcularemos las dos integrales definidas: Figura.

17 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato. Por último, representaremos el área, aunque para ello, primero debemos calcularla: Figura 7. Figura 8. 7

18 Matemáticas II Tema. 8 Enlace con el ejercicio resuelto en la web: 8. Área de un recinto. Calcula el área del recinto plano limitado por las rectas y =, y = y la parábola. y Representamos las rectas y la parábola para identificar el recinto. Puntos de corte: 0 : y y : 0 y y 0 y y Descomponemos el recinto OAB en suma de y. R R 0 0 ) ( d R ) ( d R 7 u R R Área Ahora resolveremos el problema con Wiris:. En primer lugar, comprobaremos los resultados de los sistemas, y para ello, los resolveremos: Figura 9.

19 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato. Ahora calcularemos las integrales definidas como en el ejercicio anterior: Figura 0.. Por último, sumamos los dos resultados: 9

20 Matemáticas II Tema. Figura. Figura. 0

21 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura. Enlace con el ejercicio resuelto en la web: 9. Volumen. Halla el volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar alrededor del eje X la curva: y entre las rectas = - y =. V f ( ) d d 4 4 d , u Ahora resolveremos el problema con Wiris:. Para el cálculo de este ejercicio sólo tenemos que calcular la integral definida:

22 Matemáticas II Tema. Figura 4. Enlace con el ejercicio resuelto en la web: 0. Volumen. Halla el volumen engendrado por la curva y al girar alrededor del eje Y entre y = 0 e y =. Se hace eactamente igual que al girar en torno al eje X, pero poniendo la función = g (y). Así: V g( y) b a dy: En este caso: y y : V ( y ) dy u 0 Ahora resolveremos el problema con Wiris:. De nuevo, para el cálculo del volumen, calculamos la integral definida: Figura. Enlace con el ejercicio resuelto en la web:

23 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato. Volumen de una esfera. Calcula el volumen de la esfera engendrada por la semicircunferencia de Centro C(, 0) y radio al girar alrededor del eje OX. En primer lugar escribimos la ecuación de la circunferencia de centro (, 0) y radio : 0 4 ) ( y y Una de las semicircunferencias es: y Los límites de la integración son los puntos donde la curva corta al eje OX: 0 0 y Por tanto el volumen de la esfera es: 7 ) ( u V d V Ahora resolveremos el problema con Wiris:. En primer lugar, resolveremos la ecuación: Figura.. Por último, calculamos la integral definida para obtener el volumen:

24 Matemáticas II Tema. Figura 7. Enlace con el ejercicio resuelto en la web:. Función integral. Sea F( ) ( t ) dt. Halla los puntos etremos de dicha función. Por el teorema fundamental del cálculo. Sabemos que; F ( ) Para ver cuáles son los posibles puntos etremos, hacemos F ( ) 0 y obtenemos: 0,, F ( ) 0 4 F (0) 0 F ( ) 0 F ( ) 0 Hay un máimo relativo en 0 y dos mínimos relativos en y en. Los valores de estos etremos son: F (0) 0 ( t F (0) ( t F (0) ( t ) dt ) dt 0 ) dt 0 ( t t ) dt t 0 4

25 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Máimo: 0, Mínimos: (,0) y (,0) Ahora resolveremos el problema con Wiris:. Para resolver este ejercicio es muy importante que nos aseguremos de escribirlo todo dentro del mismo bloque. En primer lugar, escribimos la integral y le damos un nombre, en este caso f(): Figura 8.. Después, calculamos f () para poder calcular el tercer paso: Figura 9.. Ahora, igualamos f () a 0:

26 Matemáticas II Tema. Figura En este cuarto paso, calculamos f (): Figura 4.. Ahora sustituimos los puntos etremos en f ():

27 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura 4.. Igual que en el paso anterior, utilizamos los puntos etremos, pero esta vez los sustituimos en f(): Figura 4. 7

28 Matemáticas II Tema. Figura 44. Enlace con el ejercicio resuelto en la web: 8