APUNTE Y PROBLEMAS DE FÍSICA III

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1 APUE Y PROBLEMAS DE FÍSICA III CARRERA: LICECIAURA E QUÍMICA PROFESOR Mg. CARLOS A. CAAEO AUILIAR Lc. ERIQUE M. BIASOI

2 COEIDOS: Mcáca Clásca: Mcáca Cuátca: Mcáca Estadístca: Problmas: Cmátca Dámca Prcpos d cosrvacó Lagragao Ecuacos d Lagrag Hamltoao Ecuacos d Hamlto Opradors Ecuacó d Schrödgr Momto agular Atomo d hdrogo Esp Fucó d oda complta dl lctro Prcpo d crtza d Hsbrg Probabldad Y Varabls Estocastcas Procsos d Markov Dsdad d probabldad para sstmas d partículas Fucó d structura Etropía Cojutos stadístcos Guía º Mcáca clásca Guía º Mcáca cuátca Guía º 3 Mcáca cuátca prturbacos Gua º 4 Mcáca stadís tca

3 MECÁICA CLÁSICA CIEMAICA La cmátca studa l movmto d los curpos s tr cuta las causas qu lo produc. Ats d cotuar stablzcamos la dfrca tr u curpo y ua partícula; l curpo pos masa catdad d matra y dmsos físcas las cuals corrspod co la forma d curpo largo acho spsor mtras qu la partícula s la smplfcacó dl curpo ya qu t su masa pro o pos dmsos físcas o sa ua partícula s u curpo s dmsos. Para dscrbr l movmto d ua partícula lo prmro qu dbmos cosdrar s lgr u sstma d rfrca rspcto dl cual vamos a dscrbr l movmto. A partr d st sstma d rfrca podmos dcar la poscó d la partícula fucó dl tmpo usado l vctor poscó coordadas cartsaas r t x t y t z t. Los putos qu va dscrbdo l vctor poscó l spaco s doma la trayctora d la partícula. y trayctora r t rt x La vlocdad d la partícula s la drvada dl vctor poscó rspcto dl tmpo dr v t dt y s u vctor tagt a la trayctora. La aclracó s la drvada d la vlocdad rspcto dl tmpo dv a t dt la aclracó t tato compots tagcals como compots ormals a la vlocdad y a la trayctora.

4 S s cooc como varía la aclracó fucó dl tmpo para ua partícula y admás sabmos su vlocdad y poscó para u tmpo t codcos cals podmos cotrar la vlocdad y la poscó dl curpo fucó dl tmpo r v t v t a t dt t r t r t v t dt t t t t r t v t a t dt t t t t DIÁMICA La dámca studa la rlacó tr l movmto d u curpo y las causas d st movmto. El movmto d u curpo s l rsultado drcto d sus traccos co los otros curpos qu lo roda; las traccos s dscrb covtmt por u cocpto matmátco domado furza. La prmra ly d wto dc qu u curpo prmac rposo o movmto rctlío uform la trayctora s ua rcta y la vlocdad dl curpo s mat costat a o sr qu actú ua furza sobr él. La sguda ly d wto os da la rlacó tr la furza aplcada a u curpo y la aclracó qu ést adqur s la masa dl curpo s mat costat F ma La trcra ly d wto dc qu cuado dos partículas tractúa la furza sobr ua partícula s gual y opusta a la furza sobr la otra. F F Alguos jmplos d furzas so: la furza d atraccó gravtacoal d la trra para curpos crcaos a la suprfc trrstr comúmt domada furza d gravdad os da l pso dl curpo l cual s gual a la masa dl curpo por la aclracó gravdad g qu t u valor d 98 m/s y aputa haca l ctro d la trra F g mg la furza lástca dbda a u rsort qu s gual al producto d la costat lástca dl rsort caractrístca d cada rsort por l stramto dl msmo cambado d sgo sto dca qu la furza lástca s opo al stramto F K r r dod r s l vctor poscó d qulbro dl rsort la furza léctrca producda por u campo léctrco E sobr ua partícula cargada co carga q F E qe la furza magétca producda por u campo magétco B sobr ua partícula cargada co carga q y vlocdad v F B qv B dt

5 PRICIPIOS DE COSERVACIÓ CAIDAD DE MOVIMIEO LIEAL S df catdad d movmto lal o momtum lal d ua partícula al producto d su masa por la vlocdad d la msma p mv la drvada co rspcto al tmpo d la catdad d movmto lal d ua partícula s la furza aplcada sobr la partícula dp d m v F dt dt s la masa s costat lo qu obtmos s la sguda ly d wto. Itgrado sta xprsó p t d p F dt p p p t Fdt I Dod I s llama mpulso d la furza s pud coclur qu l cambo dl momtum d ua partícula s gual al mpulso d la furza qu actuó sobr la partícula. S la furza s costat l tmpo l mpulso s gual al producto d la furza por l trvalo d tmpo durat l cual actúa la furza. Cuado tmos u sstma d varas partículas la catdad d movmto lal dl sstma s la suma d las catdads d movmto d cada partícula. t t p p p p3 p4... p COSERVACIÓ DE LA CAIDAD DE MOVIMIEO LIEAL La catdad d movmto total d u sstma d partículas s cosrva s la furza xtra rsultat qu actúa sobr l sstma s cro. Esto os dc qu la catdad d movmto total cal s gual a la catdad d movmto total fal p p f RABAJO Cosdrmos ua partícula s muv a lo largo d ua trayctora cualqura bajo la accó d ua furza F y tgamos cuta trvalos d tmpos pquños dt d tal forma qu l camo rcorrdo por la partícula cocda co l dsplazamto d r ; dfmos al trabajo fctuado por la furza F durat l dsplazamto como dw F dr

6 El trabajo total d ralzado por la furza F tr los putos A y B d ua trayctora s w B A F d r EERGÍA EERGÍA CIÉICA S df como rgía cétca d ua partícula a la catdad p p Ec mv o E c m la varacó d la rgía cétca d ua partícula tr u stado fal y uo cal s gual al trabajo ralzado por las furzas xtras sobr la partícula EERGIA POECIAL Ec Ecf Ec w E la aturalza xst crtas furzas qu s doma furzas cosrvatvas stas furzas s caractrza porqu l trabajo ralzado por llas o dpd dl camo so qu dpd dl puto cal y fal d la trayctora. Otra propdad d stas furzas s qu s pud scrbr como mos l gradt d ua fucó dl vctor poscó a sa fucó s la doma rgía potcal r Fco Ep r La furzas d atraccó gravtacoal y la furza lástca so furzas cosrvatvas cada ua asocada a su rspctva rgía potcal. Para la furza d gravdad la rgía potcal gravtatora s E p mgz dod z s la altura d la partícula rspcto d la suprfc trrstr. Para la furza lástca la rgía potcal lástca s E p K r r Para furzas léctrcas dod l campo léctrco lo produc ua carga putual q qu actúa sobr otra carga q las cuals stá sparadas ua dstaca r la rgía potcal léctrca s qq E p 4 r E p COSERVACIÓ DE LA EERGÍA La suma d la rgía cétca y potcal d ua partícula s doma rgía total o rgía mcáca

7 E E c E p La rgía mcáca d u sstma d partículas s cosrva s las furzas qu actúa sobr l sstma so cosrvatvas. Esto os dc qu la rgía mcáca fal s gual a la rgía mcáca cal E f E CAIDAD DE MOVIMIEO AGULAR S df catdad d movmto agular o momtum agular co rspcto a u puto O d ua partícula d masa m qu pos ua catdad d movmto lal p al producto vctoral dl vctor poscó d la partícula rspcto dl puto O por la catdad d movmto lal d la partícula L r p L m r v L O r p La drvada d la catdad d movmto agular rspcto dl tmpo d ua partícula s l torqu d la furza aplcada sobr lla dl r F dt Para u sstma d varas partículas la catdad d movmto agular dl sstma s la suma d las catdads d movmto agular d cada partícula L L L L3... L La drvada d la catdad d movmto agular rspcto dl tmpo d u sstma d partículas s l torqu d las furzas xtras aplcadas sobr l sstma dl dt r x F x

8 COSERVACIÓ DE LA CAIDAD DE MOVIMIEO AGULAR La catdad d movmto agular d u sstma d partículas s cosrva s l torqu d la rsultat d las furzas xtra qu actúa sobr l sstma d partículas s cro. Esto os dc qu la catdad d movmto agular ca dl sstma s gual a la catdad d movmto agular fal dl sstma L L f LAGRAGIAO Para u sstma d partículas l spaco s csta 3 coordadas cartsaas para dfr la poscó d partículas; s s qur spcfcar l stado total dl sstma dbmos coocr la 3 vlocdads d las partícula o sa x y z x y z... x y z x y z... x y z Formular l problma coordadas cartsaas pud llgar a sr gorroso por lo tato cov lgr otro mucho más smpl tocs s covt lgr u dq sstma d coordadas gralzadas q y vlocdads gralzadas q dod dt varía d hasta 3. S df lugo la fucó d Lagrag o Lagragao L q q dod q s l cojuto d la coordadas gralzadas y q l cojuto d la vlocdads gralzadas. L q q t q q V q q t Dod s la rgía cétca dl sstma y V la rgía potcal. Para sstmas cosrvatvos tato L como V o so fucos xplíctas dl tmpo. ECUACIOES DE LAGRAGE Las cuacos d movmto térmo dl Lagragao so ahora: d dt L L q q dod obtmos 3 cuacos dfrcals d º ord las cuals dscrb al sstma d partículas. El cojuto d stas 3 s cooc como cuacos d Lagrag. HAMILOIAO

9 Las 3 cuacos d Lagrag s pud trasformars 6 cuacos dfrcals d prmr ord la forma d Hamlto. Para dfr l Hamltoao. Dfamos prmro l momto gralzado como L p q Lugo dfmos a la fucó d Hamlto o Hamltoao H como: 3 H p q L Para l caso d u sstma d furzas cosrvatvo H V o sa qu l Hamltoao corrspod a la rgía total d u sstma cosrvatvo ECUACIOES DE HAMILO Las cuacos d movmto para u sstma cosrvatvo la forma d Hamlto rsulta sr H q p H p q Estas so las cuacos d Hamlto qu forma u sstma d 6 cuacos dfrcals d prmr ord. ESPACIO DE COFIGURACIÓ Cuado tmos u sstma d partículas sobr las cuals xst m rstrccos d movldad sobr alguas d las 3 coordadas cartsaas l sstma quda compltamt dtrmado por s coordadas gralzadas dod s 3 m. Lugo s posbl dscrbr l stado dl sstma por u puto l spaco s- dmsoal domado spaco d cofguracó dod cada ua d las dmsos corrspod a ua coordada gralzada q. La volucó tmporal dl sstma pud sr rprstada por ua curva l spaco d cofguracos formada por los putos qu dscrb la cofguracó statáa dl sstma. ESPACIO DE LA FASE El spaco d la fas s u spaco d s dmsos cuyos js so las s coordadas gralzadas y los s momtos gralzados d u sstma dado. Cada puto d st spaco corrspod a u stado mcáco dfdo dl sstma. Cuado l sstma stá movmto l puto rprstatvo l spaco d la fas dscrb ua curva domada trayctora d la fas.

10 MECAICA CUAICA E la mcáca clásca l stado d u sstma s dscrb u stat dtrmado dado todas sus coordadas q y sus vlocdads q. E mcáca cuátca l stado d u sstma s df dado ua dtrmada fucó gral complja d las coordadas co la partculardad qu l cuadrado dl módulo d sta fucó dtrma la dstrbucó d probabldads d los valors d las coordadas * dq dq. Esta xprsó os da la probabldad d qu ua mdcó ralzada sobr l sstma dé como rsultado l valor d sus coordadas l lmto dq dl spaco d cofguracos. La fucó s llama fucó d oda dl sstma. OPERADORES Ua varabl dámca qu pud sr mdda s doma la cuátca u obsrvabl y s rprstado por u oprador matmátco. U oprador s u t matmátco qu ralza ua accó sobr ua fucó. E gral cuado u oprador actúa sobr ua fucó la cual pud sr complja l rsultado s otra fucó A ˆ f g l oprador A actúa sobr la fucó f y l rsultado s la fucó g. Pro crtos casos l rsultado s la msma fucó multplcada por ua costat a stas fucos s las doma autofucos y a las costats autovalors dl oprador. A ˆ f w f co w costat a sta cuacó s la cooc como cuacó d autovalors. E gral la cuacó d autovalors so A ˆ f w f dod las autofucos f y los autovalors w so todos dsttos formado las autofucos u cojuto complto d fucos dl oprador. Lugo podmos dsarrollar cualqur fucó g como ua combacó lal d todas las autofucos g c f = 3... U caso spcal s cuado u cojuto d autofucos t l msmo autovalor A ˆ f wf =... k a st cojuto d autofucos s lo doma dgrado. COMUADOR S df l comutador d dos opradors como Aˆ Bˆ AB ˆ ˆ Bˆ ˆ A

11 d la dfcó d comutador s pud coclur qu s dos opradors comuta t l msmo cojuto d autofucos. OPERADORES DE LA MECAICA CUAICA por dod E la mcáca cuátca l oprador poscó stá rprstado por x ˆ x para ua dmsó coordadas cartsaas r ˆ r para l caso trdmsoal El oprador catdad d movmto lal o momto lal stá rprstado d pˆ x para ua dmsó coordadas dx cartsaas pˆ para l caso trdmsoal s la costat d Plack dvdda por dos p h. pˆ pˆ El oprador rgía cétca d ua partícula d masa m Eˆ quda c m ˆ d d E c para ua dmsó m dx m dx ˆ E c para l caso trdmsoal m El oprador para la rgía total dl sstma s l oprador Hamltoao Hˆ Eˆ c Eˆ p para ua partícula d masa m movédos ua dmsó coordadas cartsaas s ˆ d H V x m dx y s la partícula s muv l spaco trdmsoal su Hamltoao s ˆ H V r m ECUACIÓ DE SCHRÖDIGER Para u sstma físco la mcáca cuátca la fucó d oda r r... t dtrma compltamt l stado dl sstma u tmpo t sto sgfca qu o sólo df las propdads dl sstma dcho stat so qu també dtrma su comportamto todos los stats futuros aturalmt sólo co l grado d pltud qu prmt la mcáca cuátca. La fucó d oda d u sstma s cutra rsolvdo la cuacó d Schrödgr

12 Hˆ t a sta cuacó s la cooc como la cuacó d Schrödgr dpdt dl tmpo y s la fucó d oda dpdt dl tmpo. Los stados d u sstma l cual l Hamltoao o dpd xplíctamt dl tmpo pos valors d rgía co valors dtrmados stos stados s llama stados stacoaros dl sstma. Estos stados s dscrb por mdo d fucos d oda r las cuals so solucos d la cuacó d Schrödgr dpdt dl tmpo. H ˆ E sta s ua cuacó d autovalors dl oprador Hamltoao la cual so las autofucos y E los autovalors d la rgía. Los valors d rgía E so úmros rals y las fucos d oda forma u cojuto complto d fucos ortoormals d tal forma qu d m todol spaco dod j s la fucó dlta d Kroktt m = s m m = s m S df como stado fudamtal d u sstma al stado stacoaro qu pos l mor d todos los valors posbls d rgía. Las fucos d oda dpdt dl tmpo so r t r E t La dstrbucó d las probabldads d las coordadas u stado stacoaro stá dtrmada por l cuadrado dl módulo d la fucó d oda y sta dstrbucó o dpd dl tmpo. El valor mdo o valor d xpctacó d cualqur magtud físca cuyo oprador o dpda xplíctamt dl tmpo s A A ˆ d Aˆ. m OACIÓ DE DIRAC Ua otacó más smplfcada s la otacó d Drac la cual rprstamos las tgrals como m A ˆ A d l símbolo s doma kt y rprsta a la fucó d oda y l símbolo m s doma bra y rprsta a l compljo cojugado d la fucó d oda m. m ˆ

13 MOMEO AGULAR El oprador momto agular stá rprstado por ˆ L r Es mportat dstacar qu mcáca cuátca s mportat coocr l cuadrado dl módulo dl oprador momto agular ˆL y ua compot d st la qu lgmos como la compot z Lˆ. Para aalzar l momto agular d ua partícula z s covt trabajar coordadas sfércas co lo cual ustros opradors d trés quda L ˆ s s s Lˆ z otmos qu stos dos opradors sólo dpd d las dos coordadas agulars. Ambos opradors t l msmo cojuto d autofucos las cuals s doma armócos sfércos m l l m! m lm Pl cos l m! m m m dod P l cos s l polomo asocado d Lgdr ormalzado. Las cuacos d autovalors quda codcó lm. L ˆ l l lm Y lm L ˆ m z lm Dod l pud sr cro o u tro postvo y m t sus valors rstrgdos a la m l o m l l... l l U stado cuátco rprstado por la fucó lm lm lo rprstarmos como AOMO DE HIDRÓGEO Cosdrmos l problma d dos curpos l lctró d masa m y l protó d masa m p sdo ésta aproxmadamt vcs mayor a la masa dl lctró. La masa mmp rducda dl sstma s m. El ctro d masa dl sstma s cutra m mp muy próxmo a la poscó dl protó por lo qu s cosdrará la rgía cétca d la

14 masa rducda E ˆ. La rgía potcal dl sstma s la rgía potcal C coulombaa d dos partículas cargadas por lo tato la rgía potcal s fucó dl Z módulo d la dstaca d sparacó d las dos partículas Eˆ p. 4 r La cuacó d Schrödgr para l átomo d hdrógo quda Z E 4 r s la scrbmos coordadas sfércas L Z E r r r r 4 r S utlzamos sparacó d varabls para la fucó d oda ua part radal y otra agular lm r Rl r lm y rcordamos qu los armócos sfércos so autofucos dl oprador L obtmos la sgut cuacó d Shrödgr para la part radal R R l l Z R R ER r r r r 4 r Las fucos d oda radals so l! l l Rl r L 3 l! 4 Z l Dod r y L s l polomo asocado d Lagurr Los úmros cuátcos lm pud tomar los sguts valors = l =... - m = -l-l+...l-l Los valors d los autovalors d la rgías asocados co la fucó d oda 4 Z radal so E. Como s v para cada valor d tmos valors dsttos d l y para cada uo d stos valors d l tmos l+ valors d m co lo cual rsulta qu para cada vl rgétco dl átomo d hdrógo E l corrspod fucos d oda lm sto s qu cada vl rgétco t u grado d dgracó d. ESPI Las partículas cuátcas t u movmto agular trísco apart dl momto agular orbtal; a st momto agular trísco s lo doma momto

15 agular d spí o smplmt spí. Los opradors d trés rlacoados co l spí so Ŝ l cuadrado dl módulo dl momto agular total d spí d la partícula y ŜZ corrspodt a la compot z dl momto agular d spí d la partícula. Como l spí s u momto agular los valors propos o autovalors d Ŝ so y los Ŝ Z so 3 s s co s... m co m s s s... s s s Los lctros t u úco valor d spí propos d la compot z dl spí so y corrspod al spí haca arrba o spí up y los valors d spí haca abajo o spí dow. Las fucos propas o autofucos d Ŝ y spí up y dow rspctvamt tal qu ˆ S z S ˆ z ˆ 3 3 S S ˆ 4 4 s co lo cual los va lors ; los valors d m s m s corrspod al Ŝ Z s dota co y para l FUCIO DE ODA COMPLEA DEL ELECRÓ S tomamos como varabl d la cual dpd las fucos d oda dl spí a m s tmos ms y ms. Podmos costrur las fucos d oda complta para u lctró cluydo las varabls spacals y d spí r m lmm s s r ms Rl r lm ms r m R r m para spí up lmm s lmm s l lm s s para spí dow Co stos uvos cojutos d fucos d oda la dgracó d los vls d rgía dl átomo d hdrógo pasa a sr. PRICIPIO DE ICEREZA DE HEISEBERG El prcpo d crtza d Hsbrg os dc qu p x h o E t h lo qu os dc qu h s l volum qu ocupa u úco stado l spaco d la fas.

16 MECÁICA ESADÍSICA PROBABILIDAD Y VARIABLES ESOCASICAS PROBABILIDAD Probabldad s la cuatfcacó d la spraza dl rsultado d u xprmto o vto. S l posbl rsultado d u xprmto s A la probabldad d qu ocurra A s PA. El spaco d mustra d u xprmto s u cojuto S d lmtos tals qu cada rsultado dl xprmto corrspod a uo o más lmtos dl cojuto. VARIABLE ESOCÁSICA Varabl stocástca o alatora s ua catdad o magtud cuyo valor s u úmro qu s obt como rsultado d u xprmto. Ua varabl stocástca d u spaco d mustra S s ua fucó qu mapa lmtos d S l cojuto d los úmros rals {R} d tal forma qu l mapo vrso d cada trvalo d {R} corrspod co u vto d S. VARIBLE ESOCASICA DISCREA Cosdrmos la varabl stocástca d u spaco d mustra S qu toma l sgut cojuto fto o fto d valors umrabls S x x.... Podmos costrur u spaco d probabldads para S dfdo ua probabldad para cada valor d x. El cojuto d valors d fx s domado la dstrbucó d probabldads d S. La dstrbucó d probabldads fx db satsfacr las sguts codcos. f y f x x S dtrmamos la fucó dstrbucó fx para la varabl stocástca tocs obtmos toda la formacó posbl rspcto d lla. S df l -smo momto d como x f x Alguos momtos t ombrs spcals. El valor d xpctacó d o mda s. La varaza o dsvacó stadar d s df como

17 Los momtos d os da formacó rspcto d la forma y d cómo s xtd la fucó dstrbucó fx. VARIBLE ESOCASICA COIUA Cosdrmos la varabl stocástca la cual toma u cojuto cotuo d valors tal como u trvalo d la rcta ral a b. Cosdrmos qu xst ua fucó cotua f x tal qu la probabldad d qu adopt u valor l trvalo a b P a b sté dada por P a b f x dx lugo s ua varabl stocástca cotua y f x s la dsdad d probabldad d. La dsdad d probabldad db cumplr co las sguts codcos f x y f x dx dod la tgral s xtd sobr todo l rago d. S df l -smo momto d como b a x f x dx DISRIBUCIÓ DE PROBABILIDAD COJUA Sa y Y ambas varabls stocástcas d u spaco d mustra S co valors S x x... y Y S y y.... S hacmos l cojuto producto S Y S x y x y... podmos dfr la probabldad dl par ordado x y como P x Y y f x y. Dod la fucó f x y s la dstrbucó d probabldad cojuta d y Y. S las varabls stocástcas so cotuas s cosdra la dsdad d probabldad cojuta. La dsdad d probabldad cojuta db satsfacr las sguts codcos f x y y f x y dxdy admás podmos obtr la dsdad d probabldad d f x y sobr todo l rago d Y f x f x y dy

18 PROCESOS DE MARKOV Cosdrmos u sstma cuyas propdads pud sr dscrptas térmos d ua úca varabl stocástca Y. Sa P y t la dsdad d probabldad qu la varabl stocástca Y tga los valors y al tmpo t. P y t; y t la dsdad d probabldad cojuta qu la varabl stocástca Y tga los valors y al tmpo t y y al tmpo t. P y t; y t;...; y t la dsdad d probabldad cojuta qu la varabl stocástca Y tga los valors y al tmpo t y al tmpo t... y al tmpo t. Las dsdads d probabldad cojuta so postvas P pud sr rducdas aplcado P y t ; y t ;...; y t dy P y t ; y t ;...; y t y stá ormalzadas P y t dy U procso s llamado stacoaro s P y t; y t;...; y t P y t ; y t ;...; y t para todo y. Etocs para u procso stacoaro P y t P y Itroduzcamos la dsdad d probabldad codcoal P / y t y t la dsdad d probabldad codcoal qu la varabl stocástca Y tom los valors y al tmpo t s tomo l valor y al tmpo t. Y stá dfda por P y t P/ y t y t P y t; y t y cumpl co la codcó P / y t y t dy Itroduzcamos la dsdad d probabldad codcoal cojuta P k / l y t;...; yk tk yk tk ;...; yk l tk l la dsdad d probabldad codcoal cojuta qu la varabl stocástca Y tom los valors y k tk ;...; yk l tk l tdo cuta qu y t ;...; y k t k stá fjos. La dsdad d probabldad codcoal cojuta stá dfda por Pk l y t;...; yk tk ; yk tk ;...; yk l tk l Pk / l y t;...; yk tk yk tk ;...; yk l tk l Pk y t;...; yk tk La dsdad d dsdad d probabldad codcoal cojuta s mportat cuado xst corrlacó tr los valors d la varabl stocástca a dfrts tmpos sto sgfca qu la varabl stocástca posa algua mmora d su pasado. S mbargo s la varabl stocástca o pos mmora d su pasado las xprsos para la dsdad d probabldad cojuta y la dsdad d probabldad codcoal cojuta s smplfca cosdrablmt.

19 S la varabl stocástca sólo t mmora d su pasado mdato la dsdad d probabldad cojuta P / y t;...; y t y t dod t t... t toma la forma P / y t;...; y t y t P/ y t y t sto sgfca qu la dsdad d probabldad codcoal para y a t stá totalmt dtrmada por l valor d y - a t - y o stá afctada por los valors qu toma la varabl stocástca los prmros tmpos. U procso como ést qu sólo t mmora d su pasado mdato s llama procso d Markov. La dsdad d probabldad codcoal P / y t y t s llama probabldad d trascó. U procso d Markov stá totalmt dtrmado por dos fucos P y y P y t y. Por jmplo t / t P 3 y t; y t; y3 t3 P y t; y t P/ y t; y t y3 t3 P 3 y t; y t; y3 t3 P y t P/ y t y t P/ y t y3 t3 DESIDAD DE PROBABILIDAD PARA SISEMAS DE PARÍCULAS SISEMA CLÁSICO Cosdrmos u sstma clásco crrado co 3 grados d lbrtad por jmplo partículas ua caja crrada. El stado dl sstma stá totalmt dfdo por u cojuto d 6 varabls dpdts p q dod p y q rprsta a los vctors p p p... p y q q q... q rspctvamt co p l y q l l momto y la poscó d la l-sma partícula. S l vctor d stado p q s coocdo para u tmpo dtrmado tocs ést quda dtrmado para cualqur otro tmpo sgú las lys d wto. El Hamltoao para l sstma d partículas s H H t lugo la volucó tmporal d las catdads p l y q l l=... stá dada por las cuacos d Hamlto dp H p y dt q q dq dt H p S l Hamltoao o dpd xplíctamt dl tmpo tocs s ua costat d movmto y sta costat s la rgía total dl sstma. E sta caso l sstma s llama cosrvatvo H E

20 El spaco d la fas d ustro sstma s u spaco d 6 dmsos. Lugo l vctor d stado p q rprsta a u puto l spaco d la fas. Como l sstma volucoa l tmpo y su stado camba l puto dl sstma dscrb ua trayctora l spaco. q t q m t p l p k rayctora l spaco d la fas Cuado s trata co sstmas físcos rals s dfícl spcfcar corrctamt l stado dl sstma. Smpr xst algua crtza codcos cals. Por lo tato s útl cosdrar a como ua varabl stocástca troducr la dsdad d probabldad l spaco d la fas t. Dod t d rprsta la probabldad qu l puto d stado s cutr lmto d volum d al tmpo t co d dq... dq dp... dp s l dfrcal d volum l spaco d la fas. Dbdo a qu los putos d stado smpr stá algú lugar dl spaco d fas la dsdad d probabldad cumpl co la codcó d ormalzacó t d dod la tgral s xtd a todo l spaco d la fas. La probabldad d cotrar u puto d stado ua dtrmada rgó fta R dl spaco stá dada por P R t d. R

21 SISEMA CUÁICO Cuado s studa u sstma d partículas cuátcas s covt trabajar co l oprador dsdad d probabldad ˆ t. El oprador dsdad s u oprador hrmtao dfdo postvo y pud sr usado para cotrar l valor d xpctacó d u obsrvabl ua dtrmada rprstacó. Cosdrmos l cojuto d los autostados dl oprador dsdad y sus p co p dado qu ˆ t s dfdo postvo lugo podmos scrbr l oprador dsdad como ˆ t p t t rspctvos autovalors dod p s la probabldad d cotrar al sstma l stado codcó p. El valor d xpctacó d cualqur oprador s O t r Oˆ ˆ t p t Oˆ t qu cumpl co la dod r sgfca la traza d la matrz. S cosdramos u cojuto d stados compltos ortoormals los cuals o so autostados dl oprador dsdad tocs la probabldad P t d qu l sstma sté l stado al tmpo t stá dada por l valor d xpctacó dl oprador dsdad dcho stado P t ˆ t p t t El valor d xpctacó dl oprador Ô valuado rspcto d rprstacó La catdad O t r Oˆ ˆ t Oˆ ˆ t ˆ t s doma la matrz dsdad. FUCIÓ DE ES RUCURA Calculmos l volum qu ocupa los putos d stado l spaco d fas qu pos rgía mor qu E o sa la rgó dl spaco d la fas qu cumpl co la codcó H Ê rprstamos a st volum como E. E d H E Para aalzar sta tgral asumamos qu l spaco d la fas pud star dvddo capas cada ua co dfrt rgías y qu las capas pud sr acomodadas ord d rgía dcrct. Lugo la drvada d st volum rspcto

22 d la rgía os da l ára suprfcal d cada capa d rgía E també llamada fucó d structura. d E E de EROPÍA La tropía s ua catdad trmodámca postva adtva y qu toma u valor máxmo u stado d qulbro trmodámco. Exst varas formas fucoals d lgr sta catdad osotros usarmos la xprsó d Gbbs S k log C d dod k s la costat d Boltzma y C s coloca para obtr las udads corrctas. Para u sstma cuátco la tropía d Gbbs toma la forma S kr ˆ l ˆ dod la traza dl oprador dsdad s toma sobr u cojuto ortogoal complto d stados d bas COJUOS ESADÍSICOS COJUO MICROCAOICO U cojuto mcrocaóco s u sstma aslado y crrado lo qu sgfca qu l sstma pos u úmro d partículas fjas qu ocupa u volum V l spaco d cofguracos y qu los putos d stado s cutra rstrgdos a ua suprfc d rgía costat E; dbdo al prcpo d crtza d Hsbrg cosdrarmos qu los putos d stado s cutra ua capa d rgía E E E dod podmos tomar E ta pquño como quramos. Para obtr la dsdad d probabldad d qulbro dbmos cotrar u xtrmo d la tropía d Gbbs sujta a la codcó d ormalzacó d la dsdad d probabldad E H E E la tgral stá rstrgda sólo a la capa d rgía ya qu la dsdad d probabldad fura d allí s cro. Utlcmos l método d multplcadors d Lagrag para cotrar l xtrmo d la tropía; como tmos ua solo rstrccó tmos u solo multplcador. cstamos qu la sgut varacó sa cro qu os quda d k l E E E H C d

23 E H C k d k l E E dado qu la varacó s arbtrara la tgral srá cro s l tgrado s cro lugo co lo cual C k l k k K s E H E E C paraotros casos dod K s ua costat y s pud calcular a partr d la codcó d ormalzacó. Lugo s E H E E E E V paraotroscasos dod E E V s l volum d la capa d rgía E E V E E V dod E V s la fucó d structura. La tropía quda E E V S E V k l C dod C t las msmas udads qu E y o pud sr dtrmada cláscamt lugo dbmos rcurrr a la mcáca cuátca dod cotramos qu para partículas 3 3 dstgubls C h y para partículas dstgubls C! h. Como h l E E V volum s l volum d u úco stado l spaco d la fas C rprsta l úmro total d stados la capa d rgía E E E. La tropía s la cuacó fudamtal para l sstma ya qu a partr d lla podmos drvar todas las propdads dl sstma por jmplo la tmpratura stá dada E E por ; la prsó por P ; y l potcal químco por S V E S V V Para sstmas cuátcos dbmos cotrar u cojuto d stados E rspcto d los cuals la matrz d dsdad sa dagoal. D tal forma qu la tropía sa dod S kr ˆ l ˆ k S E P l P P E ˆ E s la probabldad d cotrar l sstma l stado E. La codcó d ormalzacó toma la forma

24 r ˆ E P S cosdramos qu l úmro total d stados co rgía E s E obtmos P E y S k l E COJUO CAÓICO U cojuto caóco s u sstma crrado l cual la rgía total dl sstma fluctua lo qu sgfca qu l sstma pos u úmro d partículas fjas qu ocupa u volum V l spaco d cofguracos. Por lo tato cstamos cotrar la dsdad d probabldad para la rgía total y qu s corrspoda co u xtrmo d la tropía. Las rstrccos d ustro sstma so dos la ormalzacó d la dsdad d probabldad todo l spaco d la fas d y qu la rgía total tom u valor mdo fjo E H d Itroduzcamos u sgudo multplcador d Lagrag corrspodt a u xtrmo d la tropía co las codcos d rstrccó E para calcular la varacó C d EH k l dod obtmos la codcó para l xtrmo l H k C k E lugo E Z V E xp H d k C k dod Z s doma la fucó partcó dl cojuto. Multplqumos la V E codcó d xtrmo por tgrmos todo l spaco. Obtmos k d E H d k l C d s dtfcamos l valor mdo d la rgía co la rgía tra dl sstma U E obtmos k l Z v E EU S rcordado qu la rgía lbr d Hlmholtz s scrb como A U S podmos dtfcar a

25 E y l V Z k A co lo cual podmos scrbr la fucó partcó como H d C V Z dod k y rscrbmos la dsdad d probabldad H V Z C La rgía lbr d Hlmholtz s la cuacó fudamtal para u sstma crrado ya qu la tropía stá dada por V A S la prsó s obt co V A P y l potcal químco co V A. Para u sstma cuátco l oprador dsdad quda ˆ ˆ H V A y la fucó partcó ˆ H V A r V Z dod la traza s valúa co rspcto d u cojuto d stados co bas ortoormals covts. COJUO GRA CAÓICO U cojuto gra caóco s u sstma abrto l cual tato la rgía total dl sstma como l úmro d partículas fluctúa. S mbargo para u sstma abrto qulbro vamos a pdr qu l valor mdo d la rgía E y l valor mdo dl úmro d partículas sté fjos. La codcó d ormalzacó toma la forma d dod la sumatora s sobr todos los posbls úmros d partículas dl sstma Las codcos d rstrccó so l valor mdo d la rgía d H E y l valor mdo dl úmro d partículas d troduzcamos u trcr multplcador d Lagrag para calcular la varacó corrspodt a u xtrmo d la tropía co las codcos d rstrccó

26 l E d C k H dod obtmos la codcó para l xtrmo l k C k H E lugo obtmos la fucó gra partcó k E E d k H k C V xp multplqumos la codcó d xtrmo por tgrmos todo l spaco. Obtmos l S E V k E rcordado qu la cuacó fudamtal para l gra potcal S U podmos dtfcar a E ; y l V k V lugo podmos scrbr la dsdad d probabldad como H V C Para u sstma gra caóco la tropía stá dada por V S la prsó por V P y l úmro mdo d partículas por V. Para u sstma cuátco l oprador dsdad quda ˆ ˆ ˆ H V dod ˆ s l oprador úmro d partículas y la fucó partcó quda ˆ ˆ H V r V Z dod la traza s valúa rspcto a u cojuto d stados co bas ortoormals covts.

27 PROBLEMAS Guía º Mcáca Clasca - Ua partícula d masa m s muv bajo la accó d ua furza F. E l momto t = s cooc r y su vlocdad v o sa las codcos cals. Hallar la poscó d la partícula dpdca dl tmpo t s: - F F s. r v t - F k. v - F k. r r v v r v v Sdo v //r Aquí F s u vctor costat; w k so costats postvas. -El rado vctor dl puto A varía fucó dl tmpo t rspcto al org d coordadas sgú la ly r a. t. b. t j dod a y b so costats postvas; y j so los vrsors d los js x y. Hallar: a- La cuacó d la trayctora dl puto yx; Rprstarla Gráfcamt; b- Dpdca d los vctors d la vlocdad v d la aclracó w y d los módulos d stas magtuds rspcto dl tmpo; c- La dpdca dl Agulo a tr los vctors w y v rspcto dl tmpo; d- El vctor mdo d vlocdad los prmros t sgudos dl movmto y l modulo d st vctor. a b 3- La rgía potcal d ua partícula crto campo s xprsa: U dod r r a y b so costats postvas r s la dstaca hasta l ctro dl foco. Hallar: a- El valor d r corrspodt a la poscó d qulbro d la partícula; sclarcr s s stablc o o sta poscó. b- El valor máxmo d la furza d atraccó; rprstar gráfcamt las dpdcas U r y F rr La proyccó d la furza l l rado vctor r. 4- S t dos campos stacoaros d furzas: F a. y. y F a. x. b. y. j dod j so vrsors d los js x y; a y b costats. Esclarcr s so potcals o o stos campos. 5- Etr dos partículas d masas guals ua movmto y otra rposo tuvo lugar u choqu. Mostrar qu l águlo formado por las drccos d las moléculas dspués d la colsó: a- Es gual a 9º s l choqu s absolutamt lástco. b- Es dfrt d 9º s l choqu s lástco.

28 6- Ua partícula s muv por ua trayctora crrada u campo ctral d furzas sdo su rgía potcal U k.r dod k s ua costat postva la dstaca d la partícula al ctro dl campo d furzas ctrals. Dtrmar la masa d la partícula s su dstaca míma hasta l org s gual a r y v s la vlocdad a la máxma dstaca hasta st puto. 7- Cosdr ua masa m udo a u rsort dal co ua costat d furza k qu t lbrtad d movrs horzotalmt y s frccó como s v la fgura. El rsort s stra d tal forma qu su dsplazamto máxmo s a partr dl qulbro. Aalc l sstma razoadamt tr cuta la furza las rgías y l dsplazamto. Ralc las grafcas corrspodt. k ota Aalíclo cláscamt por l Lagragao y por l Hamltoao. 8- Cosdr l sstma d la fgura qu t lbrtad d movrs horzotalmt y s frccó como s v la fgura. Escrba las cuacos d movmto d cada masa. El rsort s stra d tal forma qu su dsplazamto máxmo s a partr dl qulbro. Aalc l sstma razoadamt tr cuta la furza las rgías y l dsplazamto. Ralc las grafcas corrspodt. k m K m 9- Cosdr l sstma smplfcado d la fgura qu s basa ua molécula batómca. E l qulbro l átomo d masa m stá stuados a ua dstaca l dl átomo d masa M = m y vculados por l rsort d costat k. Como sólo stamos trsados aalzar los modos logtudals supodrmos qu las masas s cutra dtro d ua caalta qu mpd todo tpo d movmto la drccó trasvrsal. Aalzar l movmto cuado s la spara ua pquña dstaca dl qulbro. k l

29 Guía º Mcáca Cuátca -Cosdr ua partícula d masa m sujta a u rsort rsulva la cuacó d Schrödgr dpdt dl tmpo para l osclador armóco cuátco udmsoal y bdmsoal Ecutr las fucos d oda y las rgías para los dfrts vls. -Cosdrmos ua partícula d masa m ua caja d potcal udmsoal d lo gtud l. Rsulva la cuacó d Schrödgr dpdt dl tmpo. Ecutr las fucos d oda las rgías para los dfrts vls y Ecutr l valor sprado d la poscó d la partícula. I II III x= x=l Rsulva la cuacó d Schrödgr dpdt dl tmpo para la vrsó trdmsoal d la partícula ua caja d potcal. 3-U lctró s cutra cofado ua caja d potcal fto cuyo L = A. Calcular: a La más pquña rgía posbl E qu pud tr V. b La dfrca E d rgía tr E y la sgut rgía E. c La logtud d oda d u fotó co rgía E. d S l pozo vz dl lctró hubs u grao d ara cuya masa s 7 Kg sdo l acho dl pozo mm cuáls srá los uvos valors d E y d E 4.- Ua partícula u pozo cuadrado fto t ua fucó d oda dada por x x = s L L para x L y cro para cualqur otro caso. Dtrm a El valor d xpctacó d x b La probabldad d cotrar la partícula crca d L/ calculado la probabldad d qu la partícula s cutr l trvalo 49 L x 5 L c L a probabldad d cotrar la partícula crca d L/4. D los valors obtdos qu pud coclur 5.-Ua partícula s muv dsd los valors gatvos dl j x haca u scaló d potcal l cual stá dado por los sguts valors: V x = s x y V x = V

30 s x. Para l caso l cual E V dtrm las fucos d oda. Esta cuatzada la rgía 5.- Cosdrado las fucos d potcal mostradas la fgura scrba las fucos d oda cada ua d las rgos dl j supodo qu la partícula cd dsd l lado postvo dl j para l caso qu ' V E V. o 6- Dada la fucó potcal mostrada la fgura y supodo qu la partícula procd dsd l lado gatvo dl j scrba la fucó d oda cada ua d las rgos para l caso qu E V. 8-Dmostrar qu los vls d rgía y las fucos d oda d ua partícula qu s muv l plao x-y dtro d ua caja d potcal bdmsoal d lado a y b so: x x E y Cs s m a b a b Dscutr los vls d rgía cuado a=b. Ecotrar la costat d ormalzacó C.

31 9- Cosdr l sstma d la fgura y ralc u aálss dl osclados armóco bdmsoal. Ecutr cuato val la rgía para guals k y dsttas k. Aalc las dgracos l prmr caso. - E la sgut tabla s prsta las fucos d oda r dl átomo d hdrogo sabdo qu r R r Y dod R rprsta la part radal Y la part agular. Ralc u aálss cudadoso y a cocca d stas fucos y grafqu co ayuda d la computadora. l R l r Zr / a 3/ R r = Z / a 3 / R r = Z / a 3 / Z / R r = 6 a 3/ R 3 r = Z / a 3 / R 3 r = Z / a 3/ R 3 r = Z / 9 3 a

32 l m l Y lm l para L y L z Y lm l para m l L y Lz Y = s= 4 Y = 3 p z = 3 4 cos 4 4 cos Y = 3 p x = 3 s cos s. 8 5 Y = 3cos 4 Y = Y = 4 py= 3 s cos 4 5 d 3 z -r = 3cos 6 5 s.cos d xz = 5 s cos cos s d yz = 5 s cos cos 4 dx -y = 5 s cos 4 d xy = 5 s cos 4

33 Guía º 3 Mcáca Cuátca Prturbacos - Cosdr l sstma udmsoal d ua partícula co ua rgía: 3 3 V V para l x l y V= para x l y l x l y cualqur otra ml part V = fto. Est sra l sstma d ua partícula ua caja prturbada. a- Calcul la corrccó d prmr ord d la rgía para u stado stacoaro gral co umro cuátco. b- Para l stado fudamtal y para l prmr stado xctado. Compar E + E co las rgas xactas 5.75 /ml y.3 /ml. - Cosdr ua partícula d la masa m stá u pozo potcal fto prturbado sgú lo mostrado la fgura. a- Calcul l cambo d prmr ord d la rgía dl valor propo dbdo a la prturbacó. b- Poga los prmros trs térmos scrto o d dsaparcó para la xtsó d prmr ord d la prturbacó dl stado fudamtal térmos dl fucos propas dl pozo fto s prturbar. c- Calcul l cambo d rgía d sgudo ord para l stado fudamtal. 3- Cosdr ua partícula u potcal bdmsoal para =x=l =y=l V= E cualqur otro caso Calcul las autofucos d la rgía para l stado fudamtal y l prmr xctado. S agrgamos ua prturbacó dpdt dl tmpo d la forma xy para =x=l =y=l V = E cualqur otro caso Calcul las autofucos d la rgía a ord cro y los dsplazamtos d rgía a prmr ord para l stado fudamtal y l prmr xctado.

34 4-Para l pozo fto qu s mustra la fucó d oda para ua partícula d la masa m t= stá dada por 3 x x t s a a a La fucó d oda s autofucó dl Hamltoao b Calcul x px y H t=. 5- Asuma qu l protó s ua sfra cargada uformmt dstrbuda d rado r= -3 cm. Utlc la toría d las prturbacos para calcular cambo d prmr ord l stado fudamtal dl átomo d hdrogo dbdo al tamaño fto dl protó. La rgía potcal qu xprmta l lctró cuado ptra l úclo a u dstaca r Q dl ctro uclar s U r dod Q s la catdad carga dl protó qu sta 4 r dtro d la sfra d rado r. La valuacó d la tgral s smplfca tdo cuta qu l factor xpocal d s práctcamt gual a dtro dl úclo. La fucó d la oda dl stado fudamtal dl átomo d hdrógo s 3 a y la costat d Bohr s a =.53* - m. r a

35 Guía º 4 Mcáca Estadístca -Dbujar todas las cofguracos posbls cuado 3 partículas stá dstrbudas tr 3 cldas dsttas a Partículas cláscas. b Partículas co stadístca Bos-Est. c Partículas co stadístca Frm-Drac. -Obtr l stado la partcó mas probabl o d qulbro corrspodt a la dstrbucó más probabl o ly d dstrbucó corrspodts co y U costats l caso d partículas cláscas vstgu l sgfcado físco d los parámtros qu aparc. Ralc l msmo trabajo pro para partículas quátcas. Exprsar gráfcamt los rsultados obtdos y ralcé su trprtacó físca. 3- U cubo d g d hlo a ºC s dja fudr hasta tr agua lquda a ºC a la msma tmpratura. a- Cual s la varacó d tropía dl hlo u día d vrao co amb=3 ºC. Cual s dl ambt y cual s dl sstma b- Aumta o dsmuy l umro d Mcrostados cuato 4- Los trs vls d rgía más bajos d ua molécula clásca so : E = E = E 3 = Para qu tmpratura sólo los dos vls más bajos staría ocupados por u gas d moléculas Hallar la rgía mda d ua molécula. Hallar l calor spcífco C V Como fucó d tmpratura. Cosdrado límts altas y bajas. 5- La Fucó d dstrbucó por magtuds d vlocdads u haz molcular t la sgut forma: fv=a*v 3 xp -m v /k Hallar: a la vlocdad más probabl b la rgía más probabl. 6-Explqu utlzado la dstrbucó B-E la trascos d fotos spotáas y stmuladas.