ALGUNOS TEOREMAS OLVIDADOS

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1 LGUNOS TEOEMS OLVDDOS Jean-Louis YME Lyée Lislet Geoffroy, St-Denis, Île-de-la-éunion, Frane esumen. "No prolem is ever permanently losed" omo reuerda la seíón Soluiones de la revista anadiense ruxmathematiorum. Desde este punto de vista, presentamos una nueva soluión del rolema 1671 propuesto por el geómetra T. Seimiya haiendo intervenir algunos teoremas olvidados. 1. El prolema de Toshio Seimiya. [1] ' ' Hipótesis: un triángulo retángulo en, ', ' los puntos medios de los lados [], [], Γ el írulo irunsrito a,, los puntos de interseión de la reta ('') on Γ, γ el írulo de entro, insrito en y, los puntos de ontato de γ pn [] y []. onlusión: los puntos,, y sont onílios. 2. El teorema de rthur Lasases o Lesaze. Disípulo de Gérono ( ), el franés Lasases de Lorient pulió en los Nouvelles nnales de 1859, el resultado siguiente [2]: J K S Hipótesis: un triángulo, ', ' los puntos medios de los lados [], [], J, K los entros de los írulos exinsritos de en, en y,,, S los pies de las perpendiulares trazadas desde sore (K), (K), (J) et (J). onlusión: los puntos,, y S están alineados sore la reta (''). 3. Una onurrenia inverosímil.

2 Este teorema, que ha sido estudiado por oss Honserger [3], ya haía sido propuesto omo ejeriio por Nathan ltshiller-ourt [4] y resuelto antes por Georges apelier [5] en el aso de un triángulo retángulo. ' ' Hipótesis: un triángulo no isóeles en, ', ' los puntos medios de los lados [], [], γ el írulo insrito en,,, los puntos de tangenia de γ on los lados [], [], [], la -isetriz de y D la perpendiular à, que pasa por. onlusión: las retas, D y () son onurrentes sore (''). Nota: la reta ('') no es itada por ninguno de los autorers previamente itados. 4. El teorema deuert. En 1899, aul uert [6] demuestra un aso partiular del "hexagrama místio" de asal ( ). DEF es un hexágono ílio si, (F) // (D) F E D entones, () // (F) 5. El teorema de las tres uerdas de Monge. Este notale resultado ha sido attriuido a Gaspard Monge ( ) por Jean Vitor onelet [8]. 1 F 3 D M E 2 Hipótesis: 1, 2, 3 tres írulos seantes dos a dos,, los puntos de interseión de 1 y 2,, D los puntos de interseión de 2 y 3 E, F los puntos de interseión de 3 y 1

3 y M el punto de interseión de las uerdas [] y [D]. onlusión: la uerda [EF] pasa por M. 6. Una nueva demostraión del prolema de T. Seimiya. ' ' x ' ' Llamamos x al pie de la perpendiular trazada desde sore la isetriz (); según apelier, x está sore la reta (); según Lasases, x está sore (''). or el teorema de Thales, ('') // () i.e. () // (). Llamemos ', ' a los points tales que '' sea un retángulo uyo lado [''] pasa por ; el trapeio '' es isóseles, luego es ílio. 2 U ' x 5 3 ' 4 y 1 ' 6 Llamemos U al segundo punto de interseión de la -isetriz de on Γ e y al punto de interseión de las retas (U) y ('). Según Thales, el triángulo U es insriptile en un semi-írulo, luego es retángulo en U. Traemos el írulo verde de diámètro []; que pasa por los puntos,, U y '; según uert, la reta (xy) del hexágono ílio U' es paralela a (); según el postulado de Eulides, (xy) pasa por. Según el teorema de las tres uerdas apliado a los írulos negro, rojo y verde, el írulo rojo pasa por. Mutatis mutandis, demostraríamos que el írulo rojo pasa por. onlusión: los puntos,, y son onílios. eferenias (historias y aadémias) [1] Toshio Seimiya (mars ), rolem 1671, rux Mathematiorum 8, vol 17, (1991) enning, Solution to prolem 1671, rux Mathematiorum 7, vol 18 (1992) [2] rthur Lasases, uestion 477, Nouvelles nnales 18 (1859) 171. F.G.M., Théorème 165, Exeries de Géométrie, (1920) 327, ééditions J. Gaay. [3]. Honserger, n unlikely onurrene, Episodes in Nineteeth and Twentieth entury Eulidean Geometry, M (1995) 31. [4] N. ltshiller-ourt, Exerise 43, ollege Geometry, arnes & Nole, n. (1952) 118. [5] G. apelier G., ôles et polaires, Exeries de géométrie Modernes (1927), ééditions J. Gaay, 19.

4 [6]. uert, Généralisation du prolème de asal donnant neuf points en ligne droite, Journal de mathématiques élémentaires (1899).. uert., uestion 4604, Journal de mathématiques élémentaires de Vuiert (1899) 2. F.G.M., Théorème 374, Exeries de Géométrie, (1920) 560, Eds. Gaay. [7] J. L. M'Kensie, Journal de Mathématiques Spéiales de de Longhamps(1887) 201. [8] J. V. onelet, tome 1, Traité projetive des figures (1822) 40. gradeimientos. gradezo al rofesor Franiso ellot osado que respondiera a mi petiión enviándome las soluiones métrias de. enning, de su esposa María sensión López hamorro así omo la suya. Esta ayuda haa ontriuído sin ninguna duda a la apariión de este artíulo y le agradezo igualmente haerlo leído on atenión y haerlo traduido. YME Jean-Louis 37, rue Ste.-Marie St.-Denis le-de-la-éunion Frane <jeanlouisayme@yahoo.fr>

5 evista Esolar de la Olimpíada eroameriana de Matemátia Edita: