Definición: Llamamos función exponencial a una función que se expresa de la forma: x. ( x)

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1 FUNCIÓN EXPONENCIAL Defiició: Llmmos fució epoecil u fució que se epres de l form: f = = co > 0 ( ), dode f ( ) : R R > 0 Ates de trbjr específicmete, co ls fucioes epoeciles, recordemos lguos coceptos predidos e l primer uidd Opercioes co Números Reles, que puede serviros pr eteder mejor ls fucioes epoeciles: Se co > 0 Est operció verific lo siguiete: ) Es distributiv co respecto l producto l cociete ) Propiedd de los epoetes ( b). b. = ;. m = + m ; = b b m =. m 3) Si p q so úmeros rcioles, etoces si p < q p p < q > q si si > < 4) Si 0 < < b < b > b si > 0 si < 0 Hst quí hemos recorddo propieddes de ls potecis pr compreder mejor l fució epoecil. Después de este repso, estmos e codicioes de defiir l fució epoecil. A prtir de l defiició de fució epoecil, podrímos pregutros: Por qué se especific que?. Por qué o cosidermos < 0?. Dejemos estos iterrogtes pr que posteriormete itete respoderlos. Vemos primero cules so ls posibles grfics si > : Fucioes Epoeciles Logrítmics Fcultd de Igeierí Igreso 008 ( 99 )

2 Grficremos u fució epoecil e prticulr luego itetremos geerlizr los resultdos obteidos l resto de los posibles vlores de >. Trbjemos, por ejemplo, co = o f = ( ) Cosideremos lguos vlores: = Si grficmos est fució e u sistem de ejes coordedos crtesios ortogoles obteemos l gráfic mostrd cotiució: = (,4) -, (,) = Podrímos resumir lgus crcterístics de l grfic terior: ) El sigo de es siempre positivo b) Si < < por propiedd 3. Esto os dice que l fució epoecil de bse mor que uo, es creciete. Por ser = u fució creciete, es iectiv. 0 c) < 0 < =, sí l fució está etre 0 pr < 0. 0 d) > 0 > =, sí l fució es mor que uo pr > 0. e) 0 =. L fució cort l eje de ls ordeds e = ( 00 ) Fucioes Epoeciles Logrítmics Fcultd de Igeierí Igreso 008

3 Ahor pr geerlizr compremos est grfic co lgú otro vlor de Si < si > 0 < < (ver propiedd 4). > si < 0 Si < si > 0 < (ver propiedd 4). > si < 0 Además, e geerl, tiee el mismo tipo de gráfico ps todos por (0,). L gráfic mostrdo estos spectos se muestr cotiució: > < < = 0 Coclusió Fil Se f ( ) l fució epoecil f ( ) : R R > 0. Co ( ) Etoces su gráfico: ps por (0,) es creciete (iectiv) surectiv. su gráfic es curvd hci el eje positivo f( ) f = > = es meor que uo siempre positivo pr < 0, cercádose idefiidmete l eje cudo se hce grde egtivmete mor que uo pr > 0, tomdo vlores mu grdes pr grde positivmete. Fucioes Epoeciles Logrítmics Fcultd de Igeierí Igreso 008 ( 0 )

4 Cuáles serí ls correspodietes coclusioes pr 0 < <? Ahor trbjremos co u ejemplo dode 0 < <, grficremos = f( ) = = 0 = (-,4) (,) (0,), De este gráfico podemos deducir ls siguietes coclusioes: ) Siempre > 0, b) Si < ' <, esto os dice que l fució epoecil de bse meor que es decreciete. c) < 0 egtivos. d) > 0 0 < 0 < o se >, sí l fució es mor que uo pr vlores de o se <, sí l fució está etre cero uo pr vlores de positivos. e) Si justificr, diremos que es de trzo cotiuo, iectiv (decreciete) surectiv como fució de ( ): R R > 0 f. =b 0 < b < ( 0 ) Fucioes Epoeciles Logrítmics Fcultd de Igeierí Igreso 008

5 FUNCIÓN LOGARITMO Volviedo l ejemplo, l fució que epres el úmero de bcteris e u cultivo e fució del tiempo: = 000. t, tiee como gráfic u epoecil. t = t t (tiempo) - Ddo t podemos leer el - Iversmete puede iteresros sber: cuáto tiempo trscurrirá hst que el úmero de bcteris se eleve 500? Aquí etoces, ddo el vlor de os iteres coocer t (que es el epoete) El problem de determir el epoete os llev estudir l fució logritmo. Vimos que: f : R > 0 R dode = f( ) = co > 0 es iectiv surectiv, por lo tto eiste su ivers. Si f = = etoces ( ) llmdo f l fució logritmo de bse, dmos l siguiete defiició. Fucioes Epoeciles Logrítmics Fcultd de Igeierí Igreso 008 ( 03 )

6 Defiició: = log = Llmmos el logritmo e bse del úmero rel positivo, es decir l fució logritmo es quell que, ddo R > 0, hce correspoder el úico rel tl que = Ejemplo log 3 9 = pues 3 = 9 log / 4 = - pues = 4 De todos los vlores posibles pr l bse, h dos de ellos que so mplimete usdos, estos so el úmero 0 el úmero e tiee otcioes especiles: Si l bse es 0, l otció es l siguiete: = log0 = log ; se lee logritmo deciml. Observ que o se coloc l bse se sobre etiede que est es el úmero 0 ( hemos utilizdos est estrtegi; pesemos, por ejemplo, como escribimos l ríz cudrd, dode o poemos el ídice ) Si l bse es e = (u úmero irrciol), l otció es l siguiete: = loge = l ; se lee logritmo turl o eperio. Los logritmos de ests dos bses so los que geerlmete se resuelve co l clculdor tigumete estb tbuldos. ( 04 ) Fucioes Epoeciles Logrítmics Fcultd de Igeierí Igreso 008

7 Vemos hor lgus posibles grfics de l fució logritmo. Dode precerá dos tipos de grfics depediedo de si > o 0 < < Por ser l fució logritmo l ivers de l fució epoecil sbemos que sus gráfics so simétrics respecto de l digol =. Así, pr > : = log ( ;0) Resumiedo: g () : R > 0 R log = = g ( ) = es: Creciete Negtiv pr 0 < < log = 0 Positiv pr > Se cerc l eje (egtivo) si se proim cero. Fucioes Epoeciles Logrítmics Fcultd de Igeierí Igreso 008 ( 05 )

8 Pr 0 < < : ( ;0) = log Resumiedo: g () : R > 0 R log = = g ( ) = es: Decreciete Positiv pr 0 < < log = 0 Negtiv pr > Se cerc l eje (positivo) si se proim cero. ( 06 ) Fucioes Epoeciles Logrítmics Fcultd de Igeierí Igreso 008

9 Propieddes de l fució logritmo - log (. ) = log + log - log () t = t. log 3- log = log - log Demostrció de ): Llmemos log = m m = log = = luego. = m. = m+ (por propiedd de los epoetes) Así log (. ) = m + = log + log Demostrció de ): Si log = m m = ( m ) t = t m.t = t log ( t ) = t. m = t. log Demostrció de 3): Ejercicio pr el lector Ejercicio: A qué es igul log ( )?, (log )? Ejemplo Cuál es l solució de l ecució epoecil 3 =? Y que 3 = log 3 3 = log 3. log 3 3 = log 3 = log 3 pr determir el vlor de es ecesrio hcer u cmbio de bse. Algus veces es ecesrio cmbir l bse del logritmo ( log ). Esto es, queremos log pr lgú b > 0, b. Así, llmdo m = log b : Fucioes Epoeciles Logrítmics Fcultd de Igeierí Igreso 008 ( 07 )

10 m = log b b m =, luego log b m = log por propiedd de l fució logritmo teemos: log = m. log b m = log log b recorddo que: m = log b se tiee: log log b = log b fórmul que epres el log b, e térmios de l bse coocid. Coclumos el ejemplo : log 0 3,3 log =, de dode usdo l clculdor: log 3, log 0 3 = 0,477 sí = Verifique que 3 = Ejemplo 3 Si queremos obteer log 4 teemos: log 4 = log 4 = log 4 = 4 ( 08 ) Fucioes Epoeciles Logrítmics Fcultd de Igeierí Igreso 008

11 Ejemplo 4 Volviedo l ejemplo de l secció terior itetemos respoder l pregut plted de: cuáto tiempo trscurrirá hst que el úmero de bcteris se eleve 500? El tiempo pr que el de bcteris se 500, os llev : = 000. t t = =,5 000 l,5 t.l = l,5 t = t = 3,64 dís l Veremos l estudir los tems de derivds e itegrles, que l fució epoecil de bse e: =e l fució logritmo turl =l tiee u uso mu frecuete. Fucioes Epoeciles Logrítmics Fcultd de Igeierí Igreso 008 ( 09 )

12 Actividdes Ejercicio Nº Grficr cd u de ls siguietes fucioes: ) b) c) d) f() f() f () f () 3 = = 3 = 4 = 4 Ejercicio Nº Clculr: ) log 4 6 = b) log = 8 c) log 4 = 64 d) log = e) log 7 = 3 f) log 0 = 0 g) log = 6 h) log 3 = 7 Ejercicio Nº 3 Idicr e cd cso si ls siguietes igulddes so verdders o flss: ) log 0 0 = 0 b) log 5 = 5 c) log = d) log 4 6 = ( 0 ) Fucioes Epoeciles Logrítmics Fcultd de Igeierí Igreso 008

13 Ejercicio Nº 4 Epresr e térmios de,, z ls siguietes epresioes: ) log.z 3 z b) log +. 3 Ejercicio Nº 5 Clcule, cudo se posible, el vlor de : ) log 8 = b) log 5 = c) log 3 = d) 3 = 3 e) 3 = 4 f) log log 5 = Ejercicio Nº 6 Ecuetre el o los vlores de que stisfg ls siguietes epresioes: ) log 3( + 5) = b).4 = 5 c) log ( ) = d) = 8.4 e) log 3 + log 3( + ) = f) log 4 + log 8 log = Fucioes Epoeciles Logrítmics Fcultd de Igeierí Igreso 008 ( )

14 ( ) Fucioes Epoeciles Logrítmics Fcultd de Igeierí Igreso 008

( a b c) n = a n b n c n ( a : b) n = a n : b n a n a m = a n+m a n :a m = a n-m (a n ) m = a n.m

( a b c) n = a n b n c n ( a : b) n = a n : b n a n a m = a n+m a n :a m = a n-m (a n ) m = a n.m Igreso Potecició e R: Ddo u úmero rel, que le llmremos bse y u umero turl, l que le llmremos epoete. defiimos: =.... Propieddes de l potecició: veces ( epoete) Ests propieddes se eplic mejor si se etiede

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