Curso de Inducción de Matemáticas

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Veronica Palma Velázquez
hace 7 años
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1 Curso de Inducción de Matemáticas CAPÍTULO 1 Funciones y sus gráficas M.I. ISIDRO I. LÁZARO CASTILLO

2 Programa del Curso 1. Funciones y sus gráficas. 2. Límites. 3. Cálculo Analítico de Límites. 4. Derivación. 5. Reglas Básicas de Derivación

3 Forma de Evaluación del Curso de Inducción Asistencias Tareas Examen de diagnóstico Examen Material didáctico y tareas disponibles en: Ver sección de blog académico Dudas: ilazaro@ieee.org

4 RECOMENDACIONES EN CLASE NUNCA QUEDARSE CON DUDAS, SIEMPRE PREGUNTAR. LLEGAR TEMPRANO A CLASE. ENTREGAR TAREAS SIEMPRE. APAGAR O PONER EN VIBRADOR SU CELULAR.

5 Porque estudiar Matemáticas? Vivimos en un mundo basado en la ciencia y la tecnología y dentro de una sociedad que se vuelve cada vez más dependiente de ambas. Como resultado, las matemáticas son esenciales para sobrevivir, suministran los prerrequisitos que permiten el desarrollo de ciudadanos competentes, participativos, reflexivos y críticos, con poder de actuación en sociedades del conocimiento.

6 Porque estudiar Ingeniería?

7 Y para que me sirve el Cálculo? El Cálculo aplica en muchos los fenómenos naturales. Un Ingeniero debe conocer y aplicar conceptos numéricos para la realización de proyectos, debe interpretar los fenómenos de la naturaleza por medio de expresiones o modelos matemáticos, físicos y/o químicos relacionados con el problema a resolver.

8 Origen del Cálculo 1. El problema del área bajo la curva. 2. El problema de determinar la recta tangente a una curva en un punto dado.

9 Origen de Cálculo Cont. 3. El problema de establecer la velocidad instantánea de un objeto en movimiento. 4. El problema de máximos y mínimos En general, en todos los campos se busca optimizar los recursos. Las empresas buscan minimizar costos de producción y aumentar ganancias.

10 Definición de Cálculo Diferencial Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de Diferencial de una función.

11 Definición de una función Si a cada elemento de un conjunto x se le asocia exactamente un elemento de un conjunto y, esta asociación constituye una función de x en y. y f x

12 Ejemplos En base a la función f(x)=3x+4 determinar el valor de: f(1), f(3), f(0) y f(-3).

13 Ejemplos Cont. Sea la función f x 4x 3 x 3 Determinar f(1), f(3), f(0), f(-3) y f(a/2) Sea la función 3 2 f x x 8x 9x 3 Determinar f(0), f(1), f(-1), f(2) y f(-2)

14 Solución de examen de diagnóstico 2.- Si encontrar

15 Rango y Dominio de una función Al conjunto de los valores de en una función se le da el nombre de dominio, mientras que al conjunto de valores de se la da el nombre de Rango o contradominio de función.

16 Ejemplos de Dominio y Rango Determinar el dominio y rango de la función f(x)=x+1.

17 Ejemplos Cont. Determinar el dominio y rango de la función f x x 1 x 2

18 El rango de la función también se puede encontrar usando el concepto de límite. f x x 1 x 2 Podemos descubrir que valor no puede tomar la función. Que pasa si x tiende a infinito, y tenderá a 1 pero nunca llegará.

19 Ejemplos Cont. Determine el Rango y dominio de las siguientes funciones: a) f x x x 6 2 b) y x 9

20 Gráficas de funciones La gráfica de una función es la representación en un sistema rectangular de coordenadas de la asociación entre e de una función en particular

21 Gráficas de funciones Cont.

22 Gráficas de funciones Cont.

23 Gráfica de una función definida por secciones Considere la función definida por secciones: y 1 x 0 f x 0 x 0 x 1 x 0 y 1, x 0 y x 1, x 0 x x y 0 Aunque el dominio de consta de todos los números reales, cada parte de la función está definida sobre una parte diferente de su dominio. Se grafican:

24 Función uno a uno Una función f se llama función uno a uno si nunca adopta el mismo valor dos veces, es decir, f x 1 f x2 siempre que x x 1 2 Prueba de línea Horizontal SI NO NO

25 Ejemplos Considere las siguientes funciones y determine si es función uno a uno. a) y x 1 b) 2 y x x 6 c) f x 2x 5 x 1

26 Graficas en Goegebra a) b) c)

27 Clasificación de funciones Funciones polinomiales

28 Ejemplos

29 Funciones racionales Son aquellas que se definen como la razón de dos funciones polinomiales. f x p x q x donde p(x) y q(x) representan funciones polinomiales además de que q x 0.

30 Ejemplo Graficar la función racional. f x 2 x x 2 3x 5 Podemos empezar por factorizar el denominador f x x 2 x 2 x 2 3x 5 x x Y localizar las asíntotas y cruce con el eje y

31 Grafica de la función

32 Tarea #1 Realizar los ejercicios de evaluación de funciones, obtención de dominio y rango, y grafica de funciones. Fecha de entrega: 24 de Junio en la hora de clases

33 Funciones trigonométricas Son aquellas que contienen una o más expresiones como:

34 Funciones Exponenciales y logarítmicas Una función exponencial es aquella que x tiene la forma f x a f x 2 x La función inversa de una función exponencial es una función logarítmica. y log x y a x a

35 Propiedades de los logaritmos

36 Logaritmo natural Al logaritmo que tiene como base al número e se e conoce como logaritmo natural y tiene la notación especial.

37 Función valor absoluto El valor absoluto de un número se define como la cantidad que representa independientemente del signo. El valor absoluto de una cantidad se representa por medio de x. y x

38 Operaciones con funciones En los cuatro casos el dominio de la función resultante son los valores de x comunes a los dominios de f(x) y g(x).

39 Función inversa Sea f una función uno a uno con un dominio A e intervalo B. Luego su función inversa f 1 tiene un dominio B e intervalo A y se define mediante:

40 Composición de funciones Sean f(x) y g(x) dos funciones tales que el rango de g esté incluido en el dominio de f. entonces la función representada por f g se llame función compuesta de f con g. f g x f g x La composición de g con f se denota por: g f x g f x

41 Transformaciones rígidas Una transformación rígida de una gráfica es una transformación que cambia solo la posición de la gráfica en el plano xy, pero no su forma. Para la gráfica de una función y=f(x), se analizan cuatro tipos de desplazamientos o traslaciones.

42 Traslaciones Suponga que es una función y c es una constante positiva. Entonces la gráfica de:

43 Ejemplo: y x A continuación se muestran las cuatro tipos de desplazamientos haciendo c=4.

44 Funciones crecientes, decrecientes y constantes Una función f es creciente en un intervalo si, para cualquier x 1 y x 2, donde x 1 < x 2, se tiene que f(x 1 )<f(x 2 ). Una función f es decreciente en un intervalo si, para cualquier x 1 y x 2, donde x 1 < x 2, se tiene que f(x 1 )>f(x 2 ). Una función f es constante en un intervalo si, para cualquier x 1 y x 2, donde x 1 < x 2, se tiene que f(x 1 )=f(x 2 ).

45 Ejemplos f(x)=x+1 f(x)=-x+1 f(x)=x 2

46 Funciones pares e impares Una función y=f(x) es par, si para cada x en el dominio de f se tiene que: f x f x Una función par es simétrica respecto del eje y Una función y=f(x) es impar, si para cada x en el dominio de f se tiene que: f x f x Una función impar es simétrica con respecto al origen

47 Tarea #2 Descargar la tarea en la página web Fecha de entrega: 25 de Junio en la hora de clases

48 Bibliografía Notas de Matemáticas del Curso de Inducción. Dr. Antonio Ramos Paz Matemáticas IV y V Juan Antonio Cuellar Ed. McGraw-Hill Cálculo I Larson Ed. McGraw-Hill Cálculo I James Stewart Ed. Thompson

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