1. Calificación máxima: 2 puntos Calcular los siguientes límites (donde Ln significa Logaritmo Neperiano).

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María Luz Vera Ortiz de Zárate
hace 7 años
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1 JUNIO INSTRUCCIONES: El eaen presenta dos opciones B; el aluno deberá elegir una de ellas contestar raonadaente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción en h. in. OPCIÓN. Calificación áia: puntos Calcular los siguientes líites (donde significa Logarito Neperiano. ( cos( a ( punto li cos b ( punto li ( cos( ( cos( a. li el teorea de L Hopital. li b. ( cos( ( cos( li li cos ( ( 4 4 cos 4 ( cos( ( cos( ( ( sen( ( ( sen( ( 4 4 li 4 L H. Calificación áia: puntos Dada la función? tg li tg 4 4 f (. La indeterinación ( se resuelve aplicando ( ( ( 4 8 li L H 4 4 ( tg ( tg ( ( ( tg ( tg ( 9 ( 4 a ( punto Encontrar los puntos de discontinuidad de f. Deterine raonadaente si alguna de las discontinuidades es evitable. b ( punto Estudiar si f tiene alguna asíntota vertical. a. Para estudiar los puntos de discontinuidad de una función ha que conocer su doinio. Siendo la función f ( del tipo racional, su doinio serán todos los núeros reales ecepto los que anulen el denoinador: : ± Doinio de f ( R {±} Continuidad en i. f ( R no eiste f ( ( ii. Lí Lí L H No eiste función en, pero eiste líite cuando por lo que la función presenta una discontinuidad evitable en. Continuidad en i. f ( R no eiste f (

2 ii. 8 8 Lí 8 Lí : No Lí 8 Lí La función presenta una discontinuidad no evitable de priera especie de salto infinito. No evitable por no tener líite. De priera especie porque teniendo liites laterales, estos son distintos. De salto infinito porque los liites laterales son infinito b. Verticales. En la función presenta una asíntota vertical con las siguientes tendencias 8 Lí 8 Lí 8 Horiontales. Lí Lí No tiene ± ± Oblicuas. n 8 8 Lí Lí Lí 7 No tiene. Calificación áia: puntos Se considera el sistea de ecuaciones: ( ( Se pide: a ( punto Resolver para. b ( puntos discutirlo para los distintos valores de. Lo practico es iniciar la solución por el apartado b b. Se pide estudiar un sistea de ecuaciones tres incógnitas con un paráetro. Según el teorea de Rouché, un sistea con igual núero de ecuaciones que de incógnitas es copatible deterinado si el deterinante de la atri de coeficientes es distinto de cero. Teniendo en cuenta lo anterior, la discusión

3 del sistea se hace a partir de los valores del paráetro que anulan el deterinante de la atri de coeficientes. El sistea se define ediante dos atrices (atri de coeficientes (atri apliada. n rg ' rg ' ' ( : : det Discusión. i. Si, por tanto rg rg n. Sistea copatible deterinado. ii. Si : ' Rango de :. rg Rango de :. rg rg rg Sistea incopatible iii. Si : ' Rango de :. rg Rango de :. rg rg rg Sistea incopatible a. : sistea copatible deterinado. La solución se obtiene por el étodo de Craer ,, S

4 4. Calificación áia: puntos Dadas las rectas en el espacio: r s a (, puntos Hallar la distancia entre las rectas. b (, puntos Deterinar las ecuaciones de la perpendicular coún a r s. r : (,, (,,! ; s : d r B (,,! ; B (,, (,, (,, d (,, s a. La ínia distancia entre dos rectas que se cruan no se corta se puede hallar coo aplicación del producto ito de tres vectores. Teniendo en cuenta que el voluen de un paralelepípedo es (Área de la base (ltura, la altura es la ínia distancia entre la recta por lo que despejando teniendo en cuenta las aplicaciones del producto ito del ódulo del producto vectorial:!! Voluen paralelepípedo B" ( d r d s d ( r s h!! Área de la base d d d! d! r s d r d s (,, (,,,, (, 4, B" ( ( 4 ( d! d!!! B" ( d r d s d( r s!! d d r s r s r s b. La recta buscada t, se deterina por intersección de dos plano π π. (,,! π : d r (,, π : operando: 9!!! v d r d s (,4, 4 B (,,! π : d s (,, π : operando : 7 8!!! v d r d s (,4, 4 la recta t buscada se obtiene por intersección de los planos π π. 9 9 t: resolviendo por Craer siplificando t: 4 R

5 OPCIÓN B. Calificación áia: puntos Coprobar, aplicando loas propiedades de los deterinantes, la identidad: a ab b a a b b ( a b Teniendo en cuenta que si a una línea(fila ó coluna de un deterinante se le sua o reta otra paralela ultiplicada por un núero, el deterinante no cabia a ab b a b ab b b C C C I a b ab b a a b b a b a b b b ( C C C ( a b a b ( a b( a b b ( a b ( a b a b II a b ( a b( a b ( a b [ ( a b b] ( a b I. Desarrollando el deterinante por los eleentos de la tercera fila II. Sacando factor coún de (a b en la priera segunda fila. Calificación áia: puntos Encontrar un núero real, todas las atrices B de diensiones (distintas de la atri nula, tales que. B B 9 b Sea B una atri genérica de : t t t 9 ultiplicando cada iebro por separado t igualando las atrices térino a térino 9 t 9t t.: 9. : ordenando :.: t 9t. : t t para que el sistea tenga solución distinta de la trivial: : para la solución del sistea es: α β quedando la atri B de la fora: α B α, β R β ( ( t

6 . Calificación áia: puntos. a ( punto Dibuja la grafica de la función g( e. b ( punto Calcular el doinio de definición de f ( su coportaiento para e c ( punto Deterinar (si eisten los áios ínios absolutos de f( en su doinio de definición. a. Doinio: Todo R g( Sietría: g ( e ( e. No tiene sietría g( OX : : e : e : No tiene solución.no lo corta Cortes con los ejes: OY : : e : (, Signo. Dado que no corta al eje OX, es continua en todo R pasa por (,, f ( > para todo real. La función está íntegraente dibujada por encia del eje OX síntotas verticales. No tiene por ser todo R su doinio síntotas Horiontales ( Lí e : Lí ( e e ( e >>> No tiene asíntotas horiontales síntotas oblicuas. n e e Lí : Lí no tiene asíntota oblicua hacia n Lí [( e ( ] Lí e e tiene asíntota oblicua hacia. Etreos locales. g ( e ; g ( e ; g ( e g ( : e : e : : g ( e >. En (, la función presenta un ínio. Sí > g ( > : g( creciente Monotonía: Sí < g ( < : g( decreciente Curvatura: Para todo real g ( >. Cóncava hacia arriba Gráfica b. Doinio. Todo R. e > para todo real Lí : Lí e e ( e c. f ( : f ( e ( e

7 f ( ( e ( e gráfica de la función : e : e : : f f ( ( < > : f creciente En : f decreciente (, eiste un ínio La función está acotada entre (,]. La función tiene pero carece de ínio absoluto. Supreo, tiene áio absoluto en, Ínfio 4. Calificación áia: puntos Dados el plano π, la recta r, se pide: a (, puntos Hallar la ecuación general del plano π que contiene a r es perpendicular a π. b (, puntos Escribir las ecuaciones paraétricas de la recta intersección de lo planos π, π. a. La ínia deterinación lineal de un plano son dos vectores paralelos al plano un punto del plano. Del plano pedido, se sabe que la recta r está contenida en él, por lo tanto el vector de dirección de la recta es paralelo al plano, cualquier punto de la recta pertenece al plano. deás se infora que el plano buscado(π debe ser perpendicular al plano π, por lo que el vector noral del plano π será paralelo al plano π, obteniendo de está fora la ínia deterinación lineal de π. (,, (,, (,, Desarrollando por los eleentos de la priera fila:! π' : d r π'! n π 7 7 b. s: Sistea copatible indeterinado con un grado de indeterinación, 7 7 para resolverlo se transfora una variable en paráetro se resuelve en función del paráetro. Haciendo queda:

8 7 7 resolviendo por Craer: s :

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