CURSO DE INGRESO 2010 CUADERNILLO DE MATEMÁTICAS

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO FACULTAD DE AGRONOMIA Y AGROINDUSTRIAS CURSO DE INGRESO 00 CUADERNILLO DE MATEMÁTICAS Autor: Dr. Lucreci L. Chillou

2 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 INDICE UNIDAD : CONJUNTOS NUMÉRICOS: NÚMEROS ENTEROS, RACIONALES, IRRACIONALES Y NÚMEROS REALES. MAGNITUDES PROPORCIONALES Números turles. Propieddes. Opercioes. Números eteros. Propieddes. Opercioes. Números rcioles. Propieddes. Opercioes. Notció cietífic. Números irrcioles. Números reles. Propieddes. Opercioes. Trjo Práctico Nº 7- Rzoes proporcioes: defiició, propieddes. Mgitudes proporcioles. Defiició. Mgitudes direct e iversmete proporcioles Trjo Práctico Nº 6-7 UNIDAD : FUNCIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO. SISTEMAS ELEMENTALES DE ECUACIONES LINEALES. Fució de primer grdo. Represetció gráfic de u fució liel: rect, prámetros. Fució costte, ul e idetidd. Cero de u fució liel: ecució de primer grdo e u dos vriles. Sistems de ecucioes de primer grdo co dos icógits: solució por los métodos de sustitució determites Trjo Práctico Nº 6-8 Fució de segudo grdo. Represetció gráfic de u fució cudrátic: práol, elemetos. Ceros de u fució cudrátic: ecució de segudo grdo co u icógit. Nturlez de ls ríces de u ecució de segudo grdo, relció co sus coeficietes 9-40 Trjo Práctico Nº UNIDAD : POLINOMIOS. 4-5 Epresioes lgerics: clsificció. Poliomios. Clsificció. Opercioes: dició, sustrcció, multiplicció, cudrdo cuo de u iomio. Represetció gráfic de fucioes poliómics simples Trjo Práctico Nº UNIDAD 4: FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 5-60 Fució epoecil: crcterístics geerles. Propieddes. Represetció gráfic. Fució logrítmic: crcterístics geerles. Propieddes. Represetció gráfic. Logritmos decimles turles Trjo Práctico Nº UNIDAD 5: TRIGONOMETRÍA. ANGULOS. RELACIONES ENTRE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS. Sistems de medició de águlos: segesiml circulr. Opercioes co águlos. Fucioes trigoométrics. Represetció. Sigo de ls fucioes e los cutro cudrtes. Relcioes etre ls fucioes trigoométrics. Idetiddes Trjo Práctico Nº UNIDAD 6: GEOMETRÍA: FIGURAS Y CUERPOS GEOMÉTRICOS Figurs geométrics, polígoos (cudrdo, rectágulo, prlelogrmo, romo, trpecio, romoide), círculo. Crcterístics. Superficies. Cuerpos geométricos (esfer, cilidro, prlelepípedos, pirámide, coo). Crcterístics. Superficie volume Trjo Práctico Nº

3 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 UNIDAD CONJUNTOS NUMÉRICOS MAGNITUDES PROPORCIONALES

4 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 CONJUNTOS NUMÉRICOS Números Nturles (N) Los primeros úmeros utilizdos por los seres humos fuero los úmeros turles:,,, 4,.... El cojuto de Números Nturles se deot co : Si se iclue el cero se escrie N 0 : N =,,, 4,... N 0 =0,,,, 4,... El cojuto de NUMEROS NATURALES posee ls siguietes propieddes: Es u cojuto ordedo segú l relció de meor Tiee primer elemeto Es u cojuto ifiito ( o tiee último elemeto) No es deso, es discreto porque etre dos elemetos culesquier eiste u úmero fiito de úmeros turles Este cojuto se puede represetr e u rect uméric: 0 4 N E l rect puede verse el orde de estos úmeros, por ejemplo: 0 es meor que, e símolos: 0 < 4 es mor que, 4 > E geerl, el úmero es mor que ( > ), si se ecuetr l izquierd de. Opercioes e el cojuto de Números Nturles. ADICION o SUMA + + 4= 8 Sumdos Sum o resultdo Propieddes de l dició o sum:.- L sum cumple l le de clusur, es decir, l sum de úmeros turles tiee como resultdo otro úmero turl., N: N 4

5 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00.- L sum es socitiv, es decir, que el resultdo o vrí si se reliz sums prciles,, N : ( ) ( ).- L sum es comuttiv, es decir, el orde de los sumdos o lter l sum, N: ( ) ( ) 4.- Eisteci de elemeto eutro: el cero es el elemeto eutro pr l sum N : ( 0) (0 ). MULTIPLICACIÓN Los térmios de u multiplicció se llm FACTORES, el resultdo de l multiplicció se deomi PRODUCTO... 4= Producto Fctores Propieddes del producto:.- El producto es u le de composició iter, es decir, el producto de úmeros turles tiee como resultdo otro úmero turl., N :. N.- El producto es socitivo, es decir, que el resultdo o vrí si se reliz productos prciles,, N : (. ) (. ).- El producto es comuttivo, es decir, el orde de los fctores o lter el producto, N : (. ) (. ) 4.- Eisteci de elemeto eutro: el uo es el elemeto eutro pr el producto N : (.) (. ) 5.- L multiplicció es distriutiv co respecto l sum.,, N: ( ) (. ) (. ). RESTA O DIFERENCIA miuedo 8-4= 4 sustredo difereci o rest L sustrcció o rest de dos úmeros turles eiste si sólo si el miuedo es mor que el sustredo. 5

6 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 Propieddes de l rest o difereci:.- L rest o es socitiv, es decir, que el resultdo vrí de cuerdo como se socie los térmios. Por ejemplo:.- L rest o es comuttiv. Por ejemplo: 0 (4 - ) = 7 o es igul (0 4) -= está defiid e el cojuto de los turles pero 4 6 o está defiid e N.- L multiplicció es distriutiv co respecto l difereci.,, N : ( ) (. ) (. ) 4. DIVISION O COCIENTE Dividedo Resto 9 = 9 Divisor Cociete E l divisió se verific que: DIVIDENDO = DIVISOR. COCIENTE + RESTO Pr que l divisió se ect el dividedo dee ser múltiplo del divisor. 5. POTENCIACION Bse Epoete =..=8 Poteci L potecició es u cso prticulr de producto: todos los fctores so igules E geerl, l -ésim poteci puede epresrse simólicmete como:..... veces L se es el úmero que se multiplic el epoete idic ls veces que se multiplic l se Propieddes de l potecició: se lee lf elevdo l ee 4 se lee cutro l tercer poteci o cutro l cuo.- L potecició o es comuttiv, por ejemplo: 5 o es igul 5.- L potecició o es distriutiv co respecto l sum l difereci, por ejemplo: ( + ) = 5 es distito + = 4 + 9=.- L potecició es distriutiv co respecto l producto l cociete 6

7 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00,, N: (. ).,, N: ( : ) / 4.- Producto de potecis de igul se: el producto de potecis de igul se es otr poteci de l mism se cuo epoete es igul l sum de los epoetes de ls potecis dds. E símolos:. m = m = 6 + = Cociete de potecis de igul se: el cociete de potecis de igul se es otr poteci de l mism se cuo epoete es igul l difereci etre los epoetes de ls potecis dds E símolos: : m = m - 4 : = 4 - = 6. Potecis de poteci: l poteci de otr poteci es u poteci de l mism se cuo epoete es igul l producto de los epoetes ddos Epoete cero ( ) m =. m (4 ) = (4) 6 El epoete cero prece cudo se divide dos potecis igules: 4 : 4 = 4-4 = 0 Pero, e este cso estmos dividiedo u úmero por sí mismo 4 : 4 = Luego: 0 = Todo úmero turl distito de cero elevdo l cero d por resultdo 6. RADICACIÓN L rdicció es l operció ivers l potecició. Idice 8 Ríz Rdicdo geerl, l ríz eésim de u turl e leguje simólico es: 7

8 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 Propieddes de l rdicció:.- L rdicció o es comuttiv, por ejemplo: 8 o es igul 8.- L rdicció o es distriutiv co respecto l sum l difereci, por ejemplo: 9 4 o es igul L rdicció es distriutiv co respecto l producto l cociete,, N:..,, N: : 4.- L poteci de u ríz es igul l ríz de l poteci del rdicdo. p m p m L rdicció de u ríz es igul u ríz cuo ídice es igul l producto de los ídices. p q p.q q p Si el ídice el epoete del rdicdo de u ríz se multiplic o divide por u mismo úmero, l ríz o vrí. / 64 p q p. q. p: q: : 4: Números Eteros L sustrcció o rest de dos úmeros turles eiste si sólo si el miuedo es mor que el sustredo. Pr resolver el cso cotrrio, surgió el cojuto de los úmeros eteros que se deot co Z. Este cojuto está formdo por el cojuto de úmeros turles (o eteros positivos), el cero, el cojuto de los eteros egtivos, simólicmete: 0 Z N Z El cojuto de NUMEROS ENTEROS posee ls siguietes propieddes: Es u cojuto ifiito Cd úmero etero tiee u úico tecesor u úico sucesor. Es u cojuto discreto, es decir etre dos úmeros eteros eiste u cojuto fiito de úmeros eteros. Cd úmero etero tiee opuesto (el opuesto de es - el opuesto de - es ) 8

9 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 Este cojuto se puede represetr e u rect uméric: Z Z + Vlor soluto de u úmero etero El vlor soluto de u úmero etero, se idic como, es por defiició igul si es u úmero etero positivo o cero, e igul l opuesto de si es u úmero egtivo. Simólicmete:, si 0, si 0 Puede decirse tmié que el vlor soluto o módulo de u úmero etero es l distci l cero, l distci es u úmero positivo. Por ejemplo, Orde e el cojuto de úmeros eteros 6 6; 4 4 E l rect uméric, l flech idic el orde creciete e vlor soluto. Puede firmrse que: Ddos dos úmeros positivos, es mor el de mor vlor Ddos dos úmeros egtivos es mor el de meor vlor soluto Todo úmero positivo es mor que cero Todo úmero egtivo es meor que cero Puede oservrse e l rect uméric que, por ejemplo, >0; < ; -5 < -; - <, etc. Opercioes e el cojuto de Números Eteros Dd l correspodeci etre los úmeros turles los úmeros positivos ls opercioes e Z verific ls misms propieddes que e N demás dee mplirse.. SUMA O ADICIÓN E l sum de úmeros eteros se puede presetr los siguietes csos: ) Sum de úmeros eteros del mismo sigo L sum de dos úmeros eteros del mismo sigo es otro úmero etero tl que su sigo es igul l de los sumdos su vlor soluto es igul l sum de los vlores solutos de los sumdos. Por ejemplo: (+)+(+)= +=5 (-4)+(-5)= - 9 ) Sum de úmeros eteros de distito sigo L sum de dos úmeros eteros de distito sigo es otro úmero etero tl que su sigo es igul l del úmero de mor vlor soluto su vlor soluto es igul l difereci de los vlores solutos de los sumdos. Por ejemplo: (+0)+(-)= +7 (4)+(-9)= - 5 9

10 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00. MULTIPLICACION O PRODUCTO E el producto de úmeros eteros se puede presetr los siguietes csos: ) Producto de úmeros eteros del mismo sigo El producto de dos úmeros eteros del mismo sigo es otro úmero etero tl que su sigo es positivo su vlor soluto es igul l producto de los vlores solutos de los fctores. Por ejemplo: (+).(+)= +6 (-4).(-5)= +0 ) Producto de úmeros eteros de distito sigo El producto de dos úmeros eteros de distito sigo es otro úmero etero tl que su sigo es egtivo su vlor soluto es igul l producto de los vlores solutos de los fctores. Por ejemplo: (+0).(-)= - 0 (4).(-9)= - 6 c) Producto de vrios úmeros eteros El producto de vrios fctores distitos de cero es otro úmero etero tl que su sigo es positivo si el úmero de fctores egtivos es pr egtivo si el úmero de fctores egtivos es impr su vlor soluto es igul l producto de los vlores solutos de los fctores. Por ejemplo: (+).(-).(-) = +6 ( fctores egtivos) (4).(-) (-)(-)= - 48 E l Tl se preset, simólicmete, ls propieddes de l sum del producto. Tl. Propieddes de l sum el producto Propiedd Sum Producto Clusur, Z : Z, Z :. Z Comuttividd, Z : ( ) ( ), Z :(. ) (. ) Asocitividd,, Z : ( ) ( ),, Z : (. ) (. ) Distriutividd,, Z : ( ) (. ) (. ) Eisteci de elemeto eutro Eisteci de opuesto Z :( 0) (0 ) Z : (.) (. ) Z, Z / ( ) 0. RESTA L difereci de dos úmeros eteros puede defiirse como l sum del primero más el opuesto del segudo, simólicmete: Por ejemplo:, Z : () (+0)-(-)= (+0) +[-(-)]= (+0)+(+)= 0

11 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 (-)-(+9)= (-) + (-9)= - 4. DIVISION L divisió ect de dos úmeros eteros, es decir que el resto se igul cero, o siempre es posile, es ecesrio que el dividedo se múltiplo del divisor. Divisió ect de úmeros eteros Si se d este cso, etoces el resultdo es otro úmero etero tl que su sigo es positivo si los úmeros tiee el mismo sigo, es egtivo si los úmeros tiee distito sigo el vlor soluto es el cociete de los vlores solutos de los úmeros ddos. Por ejemplo: (+64):(+8)= (+8) (-4):(+6)= POTENCIACION L defiició de -ésim poteci dd pr los úmeros turles es válid pr los eteros, sí como tmié ls potecis co epoete 0. E leguje simólico: Z N :.. veces Z 0 : 0 Z : L poteci de u úmero etero es egtiv cudo l se es egtiv el epoete impr, e el resto de los csos es positiv. Por ejemplo: (-) = - 8 (-) 4 = 6 L potecició de úmeros eteros cumple ls misms propieddes que l potecició de úmeros turles. 6. RADICACION L defiició de ríz -ésim dd pr los úmeros turles es válid pr los eteros. Z N,siedo Si el ídice de l ríz es impr, l ríz tiee el mismo sigo que el rdicdo. Si el ídice es pr el rdicdo es positivo, ls ríces so dos úmeros opuestos. Si el ídice es pr el rdicdo es egtivo, l ríz o tiee solució e Z. Por ejemplo: 7 puesto que( ) 4 6 puesto que( ) ( ) 6 L rdicció cumple co ls propieddes de l rdicció de úmeros turles puede meciorse otr propiedd:

12 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 Si el ídice el epoete del rdicdo so igules: ) l ríz es igul l se de l poteci cudo el epoete es impr ) l ríz es igul l vlor soluto de l se de l poteci cudo el epoete es pr. Por ejemplo: Números Rcioles E el cojuto de los úmeros eteros, si el dividedo o es múltiplo del divisor, l divisió o puede relizrse. Pr solucior este prolem surge el cojuto de los úmeros rcioles que se simoliz co Q. Ddos, Z, 0, se deomi úmero rciol l frcció umerdor deomidor Clsificció de frccioes.- So frccioes equivletes ls que represet el mismo puto e l rect uméric result de multiplicr umerdor deomidor por el mismo úmero. Por ejemplo: ; ; So frccioes irreductiles quells cuo umerdor deomidor so úmeros 8 coprimos, es decir o tiee divisores comues. Por ejemplo: ; ; So frccioes pretes quells cuo umerdor es múltiplo del deomidor. So 4 9 úmeros eteros. ; ; 4 El cojuto de NUMEROS RACIONALES posee ls siguietes propieddes: Es u cojuto ifiito Es u cojuto deso, es decir etre dos úmeros rcioles eiste u cojuto ifiito de úmeros rcioles. Es u cojuto ordedo. Este cojuto se puede represetr e u rect uméric: Orde e el cojuto de úmeros rcioles Pr comprr dos úmeros rcioles se dee cosiderr lo siguiete:

13 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso Opercioes e el cojuto de Números Rcioles Ls cutro opercioes fudmetles (sum, rest, multiplicció divisió) tiee solució e Q, es decir so opercioes cerrds..- SUMA O RESTA Pr sumr o restr frccioes es ecesrio que teg el mismo deomidor. Pr reducir frccioes comú deomidor: se determi el máimo comú múltiplo (m.c.m.) de los deomidores de ls frccioes. Se clcul ls frccioes equivletes de cd térmio co ese deomidor E símolos, Por ejemplo:.- PRODUCTO El producto de dos o más frccioes es otr frcció cuo umerdor es el producto de los umerdores de los fctores, cuo deomidor es el producto de los deomidores de los fctores. E símolos:. Por ejemplo:.- DIVISION El cociete etre dos frccioes es igul l producto etre el dividedo el iverso multiplictivo del divisor. :. Iverso multiplictivo. co, 0 Dd u frcció, su iverso multiplictivo es otr frcció tl que multiplicd por l primer d por resultdo. El resultdo de es.

14 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 Si por ejemplo se tiee que dividir 4. POTENCIACION Se cosider dos csos: 4 : 5 ) Poteci de epoete turl 4 etre Pr elevr u frcció l -ésim poteci se elev umerdor deomidor l, e símolos: ) Poteci de epoete egtivo U frcció de epoete egtivo se puede trsformr e u poteci tl que l se es l ivers de l se de l poteci dd el epoete es positivo de igul vlor soluto que el epoete de l poteci dd. Simólicmete: : co 0 c) Poteci de epoete rciol L poteci q p de u frcció se otiee clculdo l ríz q-ésim de l poteci p- ésim del úmero. E símolos: p q q p Se cumple ls misms propieddes que l potecició de úmeros turles eteros. 5. RADICACION Simólicmete: L regl de los sigos es l mism que l eucid pr l rdicció de úmeros eteros. Ests opercioes verific ls propieddes descripts pr úmeros turles eteros. Se dee tomr e cut que el deomidor dee ser distito de cero. Notció cietífic L otció cietífic es u form de epresió que permite operr fácilmete co úmeros mu grdes o mu pequeños puesto que simplific el modo de represetrlo. El úmero e est otció se epres como el producto de u úmero cuo vlor soluto se 4

15 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 mor o igul que meor que 0 u poteci de se 0 cuo epoete idic l ctidd de ceros l izquierd (si el epoete es egtivo) o l derech (si el epoete es positivo) de l com deciml. Prácticmete, si l com se corre l izquierd, l poteci e se 0 será positiv, el epoete idic, como se mecioó teriormete, l ctidd de ceros l derech de l com deciml; si si l com se corre l derech, l poteci e se 0 será egtiv. Por ejemplo: se puede epresr como.0 6 0, se puede epresr como,.0-8 Números Irrcioles Los úmeros irrcioles se deomi sí por l imposiilidd de epresrlos como u frcció. U úmero es irrciol si su epresió deciml tiee ifiits cifrs decimles o periódics. Dos ejemplos mu coocidos so:, , El cojuto de úmeros irrcioles se deot co I. L represetció gráfic de estos úmeros complet l rect uméric. Números Reles L uió del cojuto de úmeros irrcioles, I, co el cojuto de los rcioles Q d como resultdo u uevo cojuto que es el de los úmeros reles. Este se deot co R. Se tiee etoces: = Q I demás N Z Q. Esquemáticmete: Z Q I N El cojuto de NUMEROS REALES posee ls siguietes propieddes: Es u cojuto ifiito Es u cojuto deso, es decir etre dos úmeros reles eiste u cojuto ifiito de úmeros reles. Es u cojuto ordedo. Este cojuto ocup tod l rect uméric. E el cojuto de NUMEROS REALES ls opercioes sum, rest, multiplicció, divisió, cumple co ls propieddes de clusur, comuttividd, socitividd, distriutividd (de sum o rest respecto del producto o cociete), eisteci de 5

16 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 elemeto eutro, eisteci de opuesto. Potecició rdicció verific tods ls propieddes detllds pr todos los cojutos uméricos icluids e este cojuto ifiito de úmeros reles. 6

17 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 Trjo Práctico Nº Cojutos uméricos Números turles. Complete ls siguietes tls plicdo propieddes de: ) l sum Asocitividd Comuttividd c (+)+c = +(+c) + = ) del producto Asocitividd Comuttividd c ()c = (c) = Clcule el resultdo de ls siguietes epresioes comids ) + 5 (4 - ) e) 8 4 (4-6) + 5 : ) (4 + ) - f) 5 (7 - ) - : 4 c) (6 - ) + 4 ( + ) g) 8: ( 4) + 6 : ( ) d) - ( ) + 4 h) 4 6 : - (0 : + ). Clcule ls siguietes potecis: ) 5 ; ) 4 ; c) 5 0 ; d) ; e) 9 4. Aplicdo ls propieddes de potecis de igul se resuelv: ) 8 ; ) 5. Clcule ls siguietes ríces: ) 4 ; ) 7 ; c) 4 6 ; d) 4 6 ; e) 64 Números eteros 5 6. Coloque el sigo que correspod: mor, meor o igul. ) ) c) d) e) ( 5) 5 f) Idique que propieddes se cumple pr l sum el producto e Z 7

18 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso Clcule ls siguietes: ) sums: i) (-9) + (+) + (+8) + (-)+ (-) ii) (+0) + (-4) + (+) + (-) c) productos i) (-0). (+.). (+4) ii) (-). (+). (-). (+6). (+4) ) diferecis: i) (+4) (+5) ii) (+) (+) 9. Relice ls siguietes opercioes: c) cocietes i) (-) : (-8) ii) (+0) : (-6) ) {(+5) - [(+4) - (-6) + (+)]} ) (-4) + (-6) + [(-8) - (-) + (-) - (+4)] c) [(-7) + (-)] + [(-9) (-) (-)] - (+0) d) {(-6) + [(-) (-0)] + [(-)-(+)]} + (+) 0. Resuelv ls siguietes opercioes comids ) (-0 8) : (-9) + (- ).(-4) ) [(+0). (-) (-). (+)]: (- 4 + ) c) {8 - [ + 8 : ( )]} : (9 - ) d) - [( 4 + ) - (9 - )]. Resuelv plicdo ls propieddes coveietes de l potecició: ) (-). (-). (-4) 0 d) [. (-) +(-4) ] ) {[(-)]}4 e) [(-4) 8 : (-) ]. (-) c) [(-). (-5)]. Resuelv plicdo ls propieddes coveietes de l rdicció: ) ) c).( 4): ( ) d) ( 6 ) : 64.( ) 0 Números rcioles. Clcule l frcció irreducile equivlete cd u de ls dds. 0 ) 5 4 ) 49 c) 4 8 d) Escri frccioes equivletes ls idicds que teg el mismo deomidor. 8

19 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 ) ) 5 c) 8 5. Escri mor, meor o igul, segú correspod: ) 5 7 ) c) d) Ecuetre el resultdo de: ) 5 5 ) c) d) Determie el resultdo de ls siguietes opercioes: ) :. : 8 0 ) :. : 5 0 c) 4 : Efectúe ls siguietes opercioes idicds: ). 4 :. 9 ) 7 : : Clcule ls siguietes: c) 6 4. : 5 0 : : d) 4 5 : ) potecis 4 i) ii) 9 iii) 4 iv) ) ríces ii) 8 64 ii) iii) iv) Efectúe ls siguietes opercioes comids: ). 7 5 : 8 9

20 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 ) c) 64 d) 7.( ) 6 : 0. Idique que propieddes se cumple pr l sum el producto e Q e R. Eprese e otció cietífic ls siguietes ctiddes: ) f) 0, ) -7894,4 g) c) 0, h) 0, d) 456,987 i) 0, 000 e) 0, j) Prolems de plicció I) U cmió trsport 5000 L de leche pr sumiistrr tres fárics de productos lácteos. E l primer descrg 500 L, e l segud, 865 L. Después de stecer l tercer fáric, todví qued 975 e l ciste r del cmió; co cuátos litros se h provisiodo est últim II) E u pderí se dispoe de 40 doces de huevos pr hcer 50 izcochuelos co los huevos que sore, lgus gllets. Por cd izcochuelo se emple 6 huevos, por cd doce de gllets, 4 huevos. Cuáts gllets podrá hcerse III) E u grj vícol se h recogido 6500 huevos. E el cotrol de clidd se retir 60, Co el resto se prepr 0 cjs de dos doces los demás se reprte e cjs de u doce. Cuáts cjs de u doce se prepr e totl IV) E u vivero se quiere pltr 59 cipreses e hilers, formdo u cudrdo. Cuátos cipreses h que pltr e cd hiler V) El presupuesto de u pís es de quice illoes de dólres., cuáto tiee que portr cd idividuo e promedio si el pís tiee doscietos cicuet milloes de hittes VI) Si l distci Tierr- Lu es km desde l Tierr l Sol es km. Cuáts veces está l Tierr más lejos del Sol que de l Lu 0

21 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 VII) E cierto cultivo se teí 00 protozorios que se duplic por iprtició cd dí. Si e este mometo se cuet 6000 protozorios cuátos dís trscurriero desde que se iició el cultivo VIII) Se tiee u cmpo de h por 4 h. Se quiere rr los dos tercios del cmpo Cuáts h quedrá si rr IX) L compr de rectivos de u lortorio de álisis de suelos costó $ Si u quito del totl correspode solvetes orgáicos, dos tercios rectivos sólidos el resto rectivos líquidos Cuál es el moto e pesos de cd uo de estos isumos

22 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 MAGNITUDES PROPORCIONALES Rzoes proporcioes Se deomi rzó etre dos úmeros ( 0), l cociete de l divisió de por. El primer úmero se deomi tecedete el segudo cosecuete. E símolos: : o ie Por ejemplo, el porcetje es u rzó etre u úmero 00, l desidd de u sustci es l rzó etre l ms el volume de dich sustci, el úmero de moles de u compuesto químico es u rzó etre l ms su peso moleculr. Se deomi proporció l iguldd de dos rzoes. Ddos cutro úmeros,, c, d, distitos de cero, e ese orde, form u proporció cudo l rzó etre los dos primeros es igul l rzó de los dos últimos. E símolos: c d, es como c es d Se deomi etremos de l proporció d, c se llm medios. Ls proporcioes cuos medios so igules se llm proporcioes cotíus, por ejemplo: Propieddes de ls proporcioes. Propiedd fudmetl: e tod proporció el producto de los etremos es igul l producto de los medios. E el ejemplo terior c d. d 4,. 6= 4. 4, 6 = E tod proporció l sum o rest de tecedete cosecuete de l primer rzó es su cosecuete como ls sum o rest de tecedete cosecuete de l segud rzó es su cosecuete. c. c c d d d. E tod proporció l sum o rest de tecedete cosecuete de l primer rzó es su tecedete como ls sum o rest de tecedete cosecuete de l segud rzó es su tecedete.

23 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 c c d d c 4. E tod proporció l sum de tecedete cosecuete de l primer rzó es l difereci de su tecedete cosecuete como ls sum de tecedete cosecuete de l segud rzó es l difereci de su tecedete cosecuete. Cálculo de u elemeto de u proporció c d Pr clculr u elemeto de u proporció es suficiete plicr l propiedd fudmetl. Cosiderdo que se dese clculr u etremo, simólicmete: c. c c c., d d. c Mgitudes proporcioles Mgitud es tod propiedd que se puede medir, por ejemplo el tiempo, el peso, l superficie, el volume, el tiempo, l logitud, etc. Ls mgitudes puede ser direct o iversmete proporcioles. Mgitudes directmete proporcioles Dos mgitudes, so directmete proporcioles cudo está relciods por l fució = k., siedo k u úmero distito de cero que se deomi costte, fctor o coeficiete de proporciolidd. El cociete etre pres de ctiddes correspodietes es siempre el mismo, es costte, k Propieddes. Dds ls mgitudes directmete proporcioles, si se multiplic u ctidd de l primer por u úmero, l ctidd correspodiete l segud mgitud qued multiplicd por el mismo úmero (es decir si umet o dismiue l ctidd de u de ls mgitudes, l ctidd correspodiete l otr mgitud umet o dismiue e l mism proporció). Dds ls ctiddes de ls mgitudes,, si umet veces, etoces umet veces tmié, simólicmete:.... Si dos mgitudes so directmete proporcioles, l sum de de dos ctiddes de l primer le correspode l sum de ls dos ctiddes de l segud mgitud. Es decir,.. Si dos mgitudes so directmete proporcioles, l rzó etre dos ctiddes de l primer es igul l rzó etre ls ctiddes correspodietes de l segud. E leguje simólico:.

24 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 Represetció gráfic de u fució de proporciolidd direct L fució = k. se represet medite u rect que ps por el orige de coordeds. = k. Por ejemplo, l tl que sigue represet l ctidd de coservdor e kg que se greg distits ctiddes de u producto limeticio. Producto (t) Coservdor (kg) 4 5 El cociete etre el coservdor l ms de producto elordo es siempre 0,, por lo tto ls mgitudes so directmete proporcioles. Si es l ms del producto l del coservdor, = k., pr l primer colum uméric: = k. 0 k= /0=0,, es decir l costte de proporciolidd es 0,. L fórmul es = 0,.. Se puede oservr que si se duplic l ctidd de producto se duplic l ctidd de coservdor que se dee gregr. Mgitudes iversmete proporcioles Dos mgitudes, so iversmete proporcioles cudo está relciods por k l fució, siedo k u úmero distito de cero que se deomi costte, fctor o coeficiete de proporciolidd. El producto etre pres de ctiddes correspodietes es siempre el mismo, es costte,. = k. Propieddes. Dds ls mgitudes iversmete proporcioles, si se multiplic u ctidd de u de ells por u úmero, l ctidd correspodiete qued dividid por el mismo úmero (es decir si umet o dismiue l ctidd de u de ls mgitudes, l ctidd correspodiete l otr mgitud dismiue o umet e l mism proporció). Dds ls ctiddes de ls mgitudes,, si umet veces, etoces dismiuue veces tmié, simólicmete:.... Si dos mgitudes so iversmete proporcioles, l rzó etre dos ctiddes de l primer es igul l rzó ivers etre ls ctiddes correspodietes l segud. E leguje simólico:. Represetció gráfic de u fució de proporciolidd ivers L fució k se represet medite u hipérol equiláter. 4

25 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 = k / Por ejemplo, l tl que sigue represet l viscosidd de u sustci e fució de l tempertur. Tempertur (ºC) Viscosidd (P.s),8 0,9 0,6 0,45 El producto etre l viscosidd l tempertur es siempre 6, por lo tto ls mgitudes so iversmete proporcioles. Si es l tempertur l viscosidd, = k /, pr l primer colum uméric:,8= k / 0 k=,8. 0=6, es decir l costte de proporciolidd es 6. L fórmul de l fució de proporciolidd ivers e este cso es: = 6 / Prolems de regl de tres So prolems e los que se ivolucr mgitudes proporcioles e los que coocido u pr de elemetos correspodietes otro de u de ls mgitudes, se dee clculr el elemeto que le correspode e l otr mgitud. Si iterviee sólo dos mgitudes, l regl de tres es simple. Si ls mgitudes so directmete proporcioles, l regl de tres es direct si so iversmete proporcioles l regl es ivers. Pr resolver este tipo de prolems se utiliz ls defiicioes propieddes de ls mgitudes proporcioles. 5

26 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 Trjo Práctico Nº Mgitudes proporcioles Rzoes proporcioes. Eprese e form de rzó ls siguietes epresioes: ) l desidd demográfic de u ciudd es 6 hittes por cd m ) se utiliz kg de fertilizte por cd 0 m c) 7,8 g de etol soluto tiee u volume de 0 cm. Clcule l rzó etre los siguietes pres de úmeros: ) 9 8 ) 6-4 c) d), -,6. Escri cutro rzoes igules cd u de ls siguietes: ) 4 ) -0,4 c) 4 4. Clcule el etremo descoocido de ls proporcioes: ) 7 ) 4 c) 9 0,4 6 d) Aplicdo ls propieddes correspodietes, clcule los elemetos descoocidos e ls siguietes proporcioes: ) ) m siedo m + = 6 8 siedo + = c) siedo + d = 6 d d),4 m siedo m - = 6, 6. Ls tls que sigue represet mgitudes directmete proporcioles. Clcule los elemetos que flt. Represete gráficmete ) ) Cosidere los vlores del ejercicio 6. ) ecuetre gráficmete el vlor de k. Cuál es el vlor de si = 5 si = 0 6

27 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso Ls tls que sigue represet mgitudes iversmete proporcioles. Clcule los elemetos que flt. Represete gráficmete. ) ) Cosidere los vlores del ejercicio 8. ) Cuál es el vlor de si = 5 si = Prolems de plicció I) Si l iversió e u fáric de emutidos umetó e u 5 % del 005 l 008, idique cuál er el moto de l iversió durte el ño 005 si el ño psdo se ivirtiero $ II) Si u fáric de heldos umetó su producció de 64 t 75 t; e qué porcetje se icremetó su producció III) U coopertiv posee u cmpo de 00 h e el que se h semrdo u 6 % de l superficie co míz, % co soj el resto co lflf. Cuáts hectáres correspode cd vegetl semrdo IV) Si 9, N de u sustci ocup u volume de 00 cm, idique el peso específico de l sustci. V) Si se utiliz 4 g de sodio e u determició químic, clcule el úmero de moles empledos. Cosidere que el peso moleculr del sodio es g/mol. VI) L rzó etre l ctidd de fertilizte que se greg e dos cmpos diferetes es 5/. Si etre mos sum,5 t, cuáts t más se utiliz e el primer cmpo VII) El úmero de imles de u gdero es Si l proporció de tereros dultos es ¼; cuátos tereros posee VIII) Pr l elorció de 00 kg u mermeld se ecesit 50 kg de frut 60 kg de zúcr. Cuátos kg de cd igrediete se ecesit pr elorr 500 kg IX) Pr fricr 000 kg de hidróido de sodio se ecesit 575 g de sodio. Si se dese preprr 500 kg que ctidd de sodio se dee utilizr X) E u grj vícol los pollos cosume 4 t de limeto lcedo por sem. Cuáts t de limeto cosume mesulmete XI) U eltdor de tomtes posee líes e prlelo que evs l mteri prim diri e h. Si u de ls líes qued fuer de servicio, determie el tiempo e que evsrá l mism ctidd de mteri prim. XII) L iversió e groquímicos es de $ pr u áre semrd de 00 h, si el áre es 50, cuáto se deerá ivertir XIII) E u fáric de jugos, u máqui trd 80 hors e evsr tod l producció de u mes. Si se dquiere otr máqui que trdrí sol 0 hors e hcer el mismo trjo, cuáto trdrá ls dos juts Qué frcció de l producció coseguirá evsr etre ls dos e 0 hors de fuciomieto 7

28 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 UNIDAD FUNCIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO SISTEMAS ELEMENTALES DE ECUACIONES LINEALES 8

29 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 FUNCIONES DE PRIMER GRADO. SISTEMAS ELEMENTALES DE ECUACIONES LINEALES Fució de primer grdo U gr ctidd de relcioes que se utiliz e form cotidi ivolucr dos o más vriles de mer que el vlor de u de ells depede del vlor de ls otrs. Por ejemplo, el volume que ocup u gs depede de l presió que soport; l distci recorrid por u uto depede de l velocidd; el sueldo que cor u perso está e fució de su trjo, etc. Si se cosider dos vriles que está relciods de mer que cd vlor de u de ells le correspode u úico vlor de l otr, l relció que eiste etre ells se deomi fució. U vrile se dice que es fució de otr vrile, cudo cd vlor de le correspode uo sólo u vlor de. E símolos se escrie =f() que se lee es igul f de o es fució de. A se l deomi vrile idepediete vrile depediete. El cojuto de vlores que puede tomr l vrile idepediete se llm cojuto de prtid o domiio de l fució D(f) el cojuto de vlores de se desig como cojuto de llegd, codomiio o imge de l fució Im(f). Ls fucioes se desig co letrs miúsculs f, g, h, etc. Simólicmete, se escrie f:, se lee f plic e o f trsform e. Si A es el cojuto de prtid B el de llegd se puede escriir f: A B. Si los cojutos ivolucrdos so uméricos ls fucioes se deomi fucioes umérics o esclres. L fució f: + dode so costtes perteecietes l cojuto de los úmeros reles R co 0 se llm fució liel o fució de primer grdo e l vrile. Puede defiirse como u cojuto de pres ordedos de l form: f= (,) R R/ = + ; R ; 0 L fució liel puede represetrse gráficmete e el plo rel como u líe rect, l iguldd = + se deomi ecució eplícit de l rect. = + Prámetro de posició, u orded l orige Prámetro de direcció, coeficiete gulr o pedie te El prámetro es l tgete trigoométric del águlo formdo por l direcció positiv del eje OX l rect, medido e setido tihorrio. L pediete represet el umeto o l dismiució de l vrile por cd umeto de l vrile ( el cmio e el eje, co respecto l cmio e el eje,. Por ejemplo, si P = (, ) Q = (, ) so dos putos de l rect que represet l fució liel, l pediete se puede clculr como: 9

30 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 B P - Q - El prámetro es tl que su vlor soluto es l distci desde el orige de coordeds hst el puto de itersecció de l rect co el eje OY que es el puto B de coordeds (0,). E l Tl. se preset distitos csos de l ecució de l rect, cosiderdo sus prámetros. Tl. Csos de l ecució de l rect Ecució de l rect = tg Gráfico > 0 tg > 0 Águlo gudo so úmeros positivos, l fució es creciete > 0 B = + tg > 0 Águlo gudo > 0 so úmeros positivos, l fució es creciete < 0 B tg < 0 Águlo otuso < 0 so úmeros de distito sigo, l fució es decreciete > 0 B tg < 0 Águlo otuso < 0 so úmeros de distito sigo, l fució es decreciete < 0 B 0

31 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 Csos prticulres ) Si = 0, l ecució se escrie =, represet u rect que ps por el orige de coordeds. =, > 0 =, < 0 Como puede oservrse D(f) = Im(f)=. E prticulr si =, l ecució se trsform e =, es l fució idetidd su gráfic es l rect llmd º isectriz o tmié rect de 45º. ) Si = 0 0, l ecució se escrie =. L fució defiid por est ecució se deomi fució costte su represetció grfic es u rect prlel l eje OX. =, > 0 =, < 0 E estos csos D(f) = R Im(f)=. c) Si = 0 = 0, l ecució se trsform e = 0. L fució defiid por est ecució se deomi fució ul, su gráfico es u rect que coicide co el eje OX. E este cso D(f) = Im(f)= 0. d) El cojuto f = (,) / = c c que NO REPRESENTA A UNA FUNCION, es u cojuto de pres ordedos que se crcteriz por teer l primer compoete igul c l segud compoete vrí e el cojuto R. Su gráfic es u rect prlel l eje OY, cu ecució es = c, e este cso NO TIENE PENDIENTE puesto que = l tg de NO EXISTE. Es tmié u fució de primer grdo l defiid como: f= (,) / + + c = 0;, c ; 0

32 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 l pediete es l orded l orige c Ecució de primer grdo o liel e u vrile Se l fució de primer grdo defiid por: = + () si se hce = 0, l ecució terior se epres como: + = 0 () A est ecució () se l deomi ecució de º grdo e l vrile. Como puede verse, el primer miemro de () es u poliomio e, es decir P() = 0. Por lo tto, resolver u ecució de º grdo e l vrile cosiste e ecotrr los ceros de l fució poliomil o ls ríces de l ecució poliómic. Como l ecució es de primer grdo co u icógit, tiee u sol ríz, es decir u úico vlor de stisfce l ecució. LA SOLUCIÓN ES UNICA. Geométricmete hllr el vlor de de l ecució () sigific ecotrr l scis del puto que tiee orded ul (=0), es decir el puto de itersecció de l gráfic de l fució f co el eje OX. Por ejemplo, si se tiee l rect = +, el puto de itersecció de ést co el eje OX es: +=0 = Ecució de primer grdo e dos vriles Se l fució de primer grdo defiid por: f= (,) / + + c = 0;, c ; 0 l iguldd + + c = 0 () se l deomi ecució de º grdo co dos icógits. Resolver u ecució de º grdo e l vrile cosiste e ecotrr pres ordedos (,) de úmeros reles que verifique l ecució. Los pres ordedos que cumple co est codició se llm solucioes de l ecució. Como se epresó teriormete, l ecució + + c = 0 co distitos de cero c es l epresió de u rect de pediete orded l orige, etoces cd puto de l rect es u solució de l ecució (), por lo tto est ecució tiee INFINITAS SOLUCIONES.

33 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 Por ejemplo, dd l ecució = 0, el cojuto de solucioes es: S=(0,); (,/); (,);... Sistems de dos ecucioes lieles co dos icógits L epresió: c 0 c se llm sistem de dos ecucioes lieles co dos icógits. Resolver u sistem de este tipo cosiste e ecotrr tods ls solucioes comues ls dos ecucioes, es decir determir los putos comues ls rects que ms epresioes represet. Puede presetrse tres situcioes: ) El sistem tiee u úic solució, es decir eiste u úico pr ordedo de úmeros reles que stisfce ms ecucioes. Geométricmete ls rects tiee u úico puto de itersecció. El sistem se deomi COMPATIBLE DETERMINADO. ) El sistem tiee ifiits solucioes, es decir eiste ifiitos pres ordedos de úmeros reles que stisfce ms ecucioes. Geométricmete ls rects so coicidetes. El sistem se deomi COMPATIBLE INDETERMINADO. ) El sistem NO tiee solució, es decir o eiste u pr ordedo de úmeros reles que stisfg ms ecucioes. Geométricmete ls rects so prlels. El sistem se deomi INCOMPATIBLE.

34 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 Métodos de resolució Eiste diversos métodos pr resolver sistems de ecucioes lieles: método gráfico métodos lgericos: sustitució, igulció, reducció por sums rests, determites. A cotiució se desrroll los procedimietos que se utiliz co mor frecueci. Método gráfico Este método cosiste e grficr ls rects descripts por ls ecucioes del sistem, l solució es el puto de itersecció de ms e el cso de que el sistem se comptile, o ie ls rects so coicidetes si el sistem es comptile idetermido si el sistem es icomptile ls rects so prlels. Los gráficos presetdos e l pági terior esquemtiz ls tres situcioes meciods. Método de sustitució Cosiste e despejr u de ls icógits de u de ls dos ecucioes reemplzrl e l otr ecució. Por ejemplo, se el sistem: () 4 () Se despej e l ecució (), es decir, este vlor se reemplz e l ecució (), +(4 )= = 4 () Se resuelve l ecució resultte que posee u icógit (), = -. Se reemplz este vlor e l ecució (), por lo tto = 7. Método de determites Ates de desrrollr el método, coviee recordr l defiició de determite. Ddos 4 úmeros,, c, d, se deomi determite,, l difereci etre el producto de los úmeros de l digol pricipl el producto de los úmeros de l otr digol. Esquemáticmete: c.d c.d d Aplicdo determites, se puede ecotrr el vlor de cd icógit medite u frcció, que tiee como deomidor l determite de los coeficietes de ls icógits (determite del sistem) por umerdor l determite que se otiee l reemplzr e el terior l colum de los coeficietes de l icógit cuo vlor se dese clculr por los térmios idepedietes. Se el sistem: 4

35 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 5 c c dode: so los coeficietes de so los coeficietes de c c so los térmios idepedietes El vlor de ls icógits se clcul medite ls siguietes epresioes: c c c c c c c c Llmdo: ; c c c c ; c c c c Se tiee, Además: Si 0 el sistem es comptile determido. Si = 0, = 0 = 0, el sistem es comptile idetermido. Si = 0 0 ó 0, el sistem es icomptile.

36 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 Trjo Práctico Nº Fucioes de primer grdo. Sistems elemetles de ecucioes lieles Fucioes ecucioes de primer grdo. Dds ls siguietes fucioes lieles lice prámetros, grfique, idique domiio cojuto imge ordee ls ecucioes de mor meor pediete: ) f (,)/ 4 ) f (, ) / c) f defiid por = - d) f defiid por = -. Grfique ls siguietes fucioes de º grdo: ) 6 4 ) = 0 c) = 0 d) = e) = -4 f) = - g) + 4=6 h) - + -= 0. Dds l pediete l orded l orige, escri l ecució de l rect: ) 5 ) c) = 0 = 4 d) = = 6 4. Ddos los putos A= (,4) B=( -,) verifique si perteece o o ls rects de ecució: ) = c) = ) = + d) = - 6

37 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso Determie el puto de itersecció de ls siguietes rects co el eje OX: ) = - 4 c) + = 9 ) =6 d) -4 = 0 6. Resuelv ls siguietes ecucioes lieles e l vrile : ) 5 4 ) 4 5 c) = - d) ( ) 4 Sistems de ecucioes lieles 7. Resuelv los siguietes sistems gráfic líticmete: ) 4 ) c) d) e) f) 0 5 g) h) 8 0 i) Prolems de plicció I) Si l fáric A ivirtió $0000 meos que l fáric B etre ms sum $05000, cuál es el moto de l iversió relizd por cd fáric II) El áre totl semrd e u cmpo es 00h. El áre semrd co míz ecede e h l semrd co trigo e 65 h l semrd co ced. Ecuetre el áre semrd co cd cerel. 7

38 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 III) E u estlecimieto gropecurio, se limet 000 vcuos de dos rzs diferetes Shorto Aerdee Agus. Del totl se eví fe 00 imles, de los cules se se que u 60 % correspode l rz Shorto el resto l segud rz. Idique l ctidd de imles de cd rz que se ferá. IV) E u pstelerí se fric dos clses de trts. L primer ecesit,4 kg de ms hors de elorció. L segud ecesit 4 kg de ms hors de elorció. Clcul el úmero de trts elords de cd tipo si se h dedicdo 67 hors de trjo 80 kg de ms V) Dos grifos h lledo u depósito de m corriedo el uo 7 hors el otro hors. Después lle otro depósito 7 m corriedo el uo 4 hors el otro hors. Cuátos litros vierte por hor cd grifo VI) E u evsdor de cfé se trj co gros de dos cliddes diferetes, cudo se tom kg de l primer clidd kg de l segud result u mezcl que puede vederse $ 5,5/kg, cudo se tom kg de l primer clse kg de l segud result l mezcl $7 /kg Cuál es el precio de cd clidd de cfé 8

39 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 FUNCIONES DE SEGUNDO GRADO Fució de segudo grdo L fució f: + +c dode, c so costtes perteecietes l cojuto de los úmeros reles co 0 se llm fució cudrátic o fució de segudo grdo e l vrile. Puede defiirse como u cojuto de pres ordedos de l form: f= (,) / = + +c;, c ; 0 L fució cudrátic puede represetrse gráficmete e el plo rel como u práol, l iguldd = + +c se deomi ecució poliómic de l práol. Eje de simetrí Vértice L práol es u curv que preset ls siguietes crcterístics geerles: U eje de simetrí prlelo o coicidete co el eje OY, de ecució U puto especil deomido vértice V de coordeds V,c 4 Si > 0 es u curv cócv hci rri, el vértice es u míimo Si < 0 es u curv cócv hci jo, el vértice es u máimo Ecució cudrátic o de segudo grdo co u icógit Se l fució de segudo grdo e defiid por: = + +c co 0, se deomi ecució cudrátic o de segudo grdo co u icógit socid est fució l epresió: 9

40 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso c = 0 co 0 Resolver u ecució cudrátic cosiste e ecotrr quel o quellos úmeros reles (si es que eiste), que l verific. Estos úmeros se deomi ríces de l ecució. Geométricmete sigific ecotrr ls primers compoetes de los putos de l práol que tiee l segud compoete igul cero, es decir l itersecció de l curv co el eje OX. Ls ríces se clcul medite l fórmul:, 4c Por ejemplo, se l ecució + + 4= 0, ls ríces se clcul plicdo l fórmul:, Nturlez de ls ríces Si ls ríces de u ecució de segudo grdo de l form + +c = 0 se represet por los coeficietes, c so úmeros reles, es evidete que ls ríces depede del sigo de l epresió ( 4.c). Est epresió se deomi discrimite. De modo que si: ( 4.c) > 0 ls ríces so reles distits. L práol itersect l eje e los putos (,0) (,0). ( 4.c) = 0 ls ríces so reles e igules, es decir u ríz dole. L práol toc l eje e u puto, 0 ( 4.c) < 0 ls ríces o so úmeros reles (so úmeros complejos). L práol o iterfect l eje. (,0) (,0) 40

41 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 Trjo Práctico Nº 4 Fucioes ecucioes de segudo grdo. Dds ls siguietes fucioes cudrátics determie vértice, eje de simetrí, domiio, cojuto imge, itersecció co los ejes grfique e ejes coordedos crtesios. ) = - ) = c) = d) = e) = f) = Ecuetre el vlor de pr que l práol = teg el vértice e (,). Resuelv ls siguietes ecucioes plicdo l fórmul: ) + = 0 ) - = 0 c) = 0 d) 4 + = 0 4. Determie, e ls siguietes ecucioes, l turlez de ls ríces clcúlels e el cso de ser posile: ) = 0 ) = 0 c) + 6 = 0 d) - 8 = 0 5. Determie el o los vlores de k pr que l ecució dd teg ríces igules. ) k = 0 ) + k + 8 = k c) k + 9 = 0 6. E l ecució c = 0 ecuetre el vlor de c pr que ls ríces se: ) reles distits ) reles e igules c) o reles. 7. Resuelv: ) (-) (+) = ) 7 4

42 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 c) ( +5) +5/ = 8. Determie l ecució de segudo grdo cus ríces so: ) = =- ) = -/ = c) = 0 =4 d) = -4/ =-/ 9. Determir el vértice de ls fucioes e idicr si es u máimo o u míimo: ) = - ) = - c) f() = -( ) + Prolems de plicció I) U cuerpo que está sore el piso recie u fuerz hci rri, si l ltur que lcz e metros está dd por = -/4 t +t, siedo t el tiempo medido e segudos, e que istte lcz l ltur máim cuál es es ltur A los cuátos segudos vuelve tocr el piso II) Al lzr u proectil l ltur epresd e m e fució del tiempo t (s) viee dd por l ecució: t t. 4 ) E cuto tiempo se lcz l ltur máim ) Cuádo lleg l suelo c) Cuál es l ltur máim que lcz III) El redimieto de u geerdor de plcs solres e fució de l tempertur está ddo por u fució cudrátic. Si el redimieto es máimo pr u tempertur de 50 ºC es ulo pr 0 ºC 90 ºC. Diuje u gráfic que represete est situció. IV) Si l sum de dos úmeros es 9 su producto es 0, cuáles so estos úmeros V) El úmero de cerdos tcdos cd dí por u determid efermedd viee dd por l fució: f() = , dode represet el úmero de dís trscurridos desde que se descurió l efermedd. Clcule:. Cuátos cerdos eferm el quito dí. Cuádo dej de umetr el úmero de imles efermos c. Cuádo desprecerá l efermedd 4

43 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 UNIDAD POLINOMIOS 4

44 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 POLINOMIOS Ates de desrrollr l teorí de poliomios, es ecesrio defiir los siguietes coceptos: Epresió lgeric rciol: es tod comició de úmeros vriles (que se deot co letrs), e ell ls vriles está fectds por ls siguietes opercioes: sum, rest, multiplicció, divisió potecició. Por ejemplo: + +. Ls epresioes lgerics rcioles se clsific e: epresioes lgerics rcioles eters frccioris. Epresió lgeric rciol eter: so epresioes e ls que ls vriles está viculds por ls opercioes de sum, rest multiplicció. Ls potecis so co epoetes turles. Por ejemplo: es u epresió lgeric rciol eter puesto que ls opercioes de rdicció divisió fect los coeficietes o ls vriles. Epresió lgeric rciol frcciori: so epresioes e ls que lgu de ls vriles form prte de u divisor o preset epoete egtivo. Por ejemplo: Epresió lgeric irrciol: so epresioes e ls que lgu de ls vriles está fectd por rdicles o epoete frcciorio. Por ejemplo: 8. POLINOMIOS Poliomio es tod epresió lgeric rciol eter. Se puede decir que se llm form poliómic de grdo o poliomio forml de grdo e u idetermid e el cojuto de los úmeros reles (R) tod epresió de l form: siedo 0 0,,,,,, R; 0 N. El grdo de u poliomio es el mor epoete de l idetermid o vrile cuo coeficiete es distito de cero. Los úmeros reles 0,,,,,, se deomi coeficietes de. U poliomio e u idetermid se simoliz co letrs músculs por ejemplo, P() que se lee P de. 0 se llm térmio idepediete coeficiete pricipl o director. Si el poliomio tiee u solo térmio se deomi moomio, si tiee dos térmios se deomi iomio, co tres es u triomio, co cutro es u cutriomio. Poliomios especiles Poliomio ulo: es quel que tiee todos sus coeficietes igules cero. P()=0. Poliomio móico: es quel que tiee su coeficiete pricipl igul. Por ejemplo: P()= es u poliomio móico de grdo 6. 44

45 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 Poliomio ordedo: u poliomio está ordedo si todos los térmios que lo compoe está ordedos de mer creciete o decreciete segú los epoetes de l vrile o idetermid. E form creciete: 0 E form decreciete: 0 Poliomio icompleto: es u poliomio l que le flt lguos térmios, pr completrlo se greg los térmios flttes co coeficiete cero. Por ejemplo: P()= es u poliomio icompleto, pr completrlo se greg térmios: P()= , este poliomio está completo ordedo e form creciete. Fució poliómic L fució P: P()= 0 se deomi fució poliomil o poliómic. Tmié puede defiirse como: P= (,) / = 0 Est fució sig vlores l vrile e el cojuto, es decir hce correspoder cd elemeto u vlor P(), llmdo vlor de l fució poliomil e. Por ejemplo, se l fució poliómic tl que: Si =, result: P()= P()= () + + 4=4 Se dice etoces que 4 es el vlor del poliomio pr =. Csos prticulres Fució costte, defiid por f()= k ó = k, es u fució poliómic de grdo cero. Fució de primer grdo, defiid por f()= + 0, es u fució poliómic de grdo uo. Fució de segudo grdo o cudrátic, defiid por f()= + + 0, es u fució poliómic de segudo grdo. Ceros de u fució poliomil, ríces de u poliomio Se dice que es u cero de u fució poliómic P() si P() = 0. Se dice que es u ríz de l ecució poliómic P() = 0 si l reemplzr por el primer miemro de l ecució es igul 0. 45

46 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso Por ejemplo, dd l fució: P(X) = +, el vlor de que l ul es, este es el cero de l fució. Si cosidermos el mismo poliomio pero epresdo como u ecució: + =0, despejdo se tiee: =, est es l ríz de l ecució. Opercioes co poliomios. Adició L sum de dos poliomios es igul otro poliomio cuos térmios se otiee sumdo los coeficietes de los térmios de igul grdo. El grdo del poliomio resultte es igul l mor grdo de los poliomios sumdos. E símolos, se: 0 0 Q() P() L sum es: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Q() P() Por ejemplo, se P()= Q()= + +, su sum es: P() + Q() = ( + + 4) + ( + + )= (+) = = Sustrcció L sustrcció de dos poliomios es igul otro poliomio cuos térmios se otiee sumdo P() el opuesto de Q(). E símolos, se: 0 0 Q() P() L rest es: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q( P() Q() P()

47 Fcultd de Agroomí Agroidustris Mtemátics Curso de Igreso 00 Por ejemplo, se P()= Q()= + +, su difereci es: P() - Q() = ( + + 4) + (- - - )= (-) = = Multiplicció L multiplicció de dos poliomios cosiste e multiplicr cd termio del primer poliomio por cd uos de los térmios del segudo poliomio luego se sum los coeficietes de térmios de igul grdo. E símolos, se: P() 0 El producto es: m m Q() m m 0 P().Q() ( ).( m m 0 m m 0) m (.m ) m (. ) (0.0) Por ejemplo, se P()= ( - + ) Q()= ( - ), su difereci es: P(). Q() = ( - + ) + ( - )= ( - + ). + ( - + ) (-)= E form práctic: Productos especiles Cudrdo de u iomio Se ( + ) P(). Q() 4 = = = = ( + ) = ( + ) ( + )= ( + ) + ( + ) = = + + ( + ) = + + Por ejemplo, ( + 4) = = Además, ( - ) =