Gráfico ARIMA. Ejemplo StatFolio: ARIMA charts.sgp

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1 Gráfico ARIMA Resumen El procedimiento del Gráfico ARIMA (AutoRegressive Integrated Moving Average - Promedio Móvil Integrado Auto-Regresivo) crea gráficos de control para una sola variable numérica donde los datos fueron recolectados individualmente o en subgrupos. En contraste con otros gráficos de control, los gráficos ARIMA no asumen que las observaciones sucesivas son independientes. En lugar, un modelo estadístico se construye para describir la correlación serial entre las observaciones a lo largo del tiempo. Entonces las señales de un fuera-de-control se basan en las desviaciones del proceso de este modelo dinámico de serie del tiempo. Muchos procesos continuos, son muestreados en intervalos a lo largo del tiempo, que exhibirán el tipo de auto-correlación que los gráficos ARIMA están diseñadas para controlar. Los gráficos de control estándares tendrían que encontrar muchas falsas alarmas en tales casos. El procedimiento crea dos gráficos, un gráfico ARIMA y un gráfico R, o gráfico S, o gráfico MR(2). Los gráficos se pueden construir en cualquier modo de Estudio Inicial (Fase 1), donde los datos actuales determinan los límites de control, o en modo Control del Estándar (Fase 2), donde los límites provienen de un estándar conocido o de datos a priori. Eemplo StatFolio: ARIMA charts.sgp Datos del Eemplo: El archivo ARIMA charts.sf3 contiene una muestra de n = 120 mediciones de concentración tomadas cada dos horas de un proceso químico. Los datos son de Box, Jenkins, and Reinsel (1994). Una lista parcial de los datos en el archivo se muestran abao: Sample Concentration (Muestra) (Concentración) Un gráfico de control individual estándar aplicado a estos datos nos muestra muchas señales de fuera-de-control: 2006 por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 1

2 Carta X para Concentration LSC = CTR = LIC = X Observación En una hora a otra hora, el proceso cambia claramente. Aún en un sentido a largo plazo, el proceso puede actualizarse para estar "en control", variando alrededor de una media con varianza constante estable. Modelos ARIMA La mayoría de los gráficos de control confían en un modelo estadístico simple. Se asume que los datos varían aleatoriamente alrededor de una media μ fia según: x = μ + a (1) donde a es la asunción de que las muestras aleatorias provienen de una distribución normal con media 0 y varianza constante σ (llamada ruido blanco ). 2 a El gráfico ARIMA se construye sobre una clase de modelos más complicados definida por: donde z = 0 2 θ + φ z + φ z +... θ a (2) φ z + a θ a a p p 1 1 θ 2 2 q q z d = x (3) En este modelo, las mediciones en el periodo, x, están relacionadas con las mediciones con el periodo previo p, un choque aleatorio para el proceso a del periodo, y choques aleatorios en los periodos previos q, después de aplicar una diferencia de orden d si es necesario. Los choques representan un efecto aleatorio para el cual el proceso esta sueto en cada periodo, por lo tanto se asume que provienen de una distribución normal con media 0 y desviación estándar σ a.. Los parámetros que definen este modelo son: θ 0 = constante φ 1, φ 2,, φ p = parámetros auto-regresivos 2006 por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 2

3 θ 1, θ 2, θ q = parámetros de promedio móvil STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 El valor z puede igualar cualquiera de las diferentes cantidades, dependiendo sobre el orden de diferenciación d: z = x para d = 0 (No Diferenciación) (4) z ( x x 1) para d = 1 (Primera Diferenciación) (5) = z x x ) ( x x ) para d = 2 (Segunda Diferenciación). (6) = ( La identificación de un modelo apropiado ARIMA que se utilizará en cualquier instancia confía en las herramientas de la función de auto-correlación, se encuentra en el procedimiento Métodos Descriptivos dentro de Análisis Series de Tiempo del menú principal de STATGRAPHICS: 1 Autocorrelaciones Parciales Estimadas para Concentration Autocorrelaciones Parciales retraso La función de auto-correlación muestra como la correlación entre pares de valores ( x ), varía x k en función del anterior o número de periodos k entre ellos. Del comportamiento de la función de auto-correlación y la función de auto-correlación parcial relacionada, un analista experimentado podrá seleccionar un buen modelo para un conunto particular de datos. Para una discusión detallada de la identificación y auste de un modelo ARIMA, ver Box, Jenkins and Reinsel (1994). Afortunadamente, aunque la forma general de un modelo ARIMA es muy complicado, los modelos más simples realizan un buen trabao en la modelación de procesos de la vida real. El modelo por defecto utilizado por STATGRAPHICS es un modelo auto-regresivo de segundo orden AR(2) que tiene la forma más simple: x θ + a (7) = 0 + φ1x 1 + φ2 x 2 Este modelo indica el promedio de las mediciones para el periodo es igual a una constante, más un múltiplo de los promedios en los dos periodos de tiempo previos, más un choque aleatorio. Para procesos que varían alrededor de una media constante (procesos estacionarios), tal modelo 2006 por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 3

4 es frecuentemente suficiente. Para una discusión de otras aplicaciones de los modelos ARIMA, ver Montgomery (2005). Entrada de Datos Hay dos alternativas del menú para crear gráficos ARIMA, una para datos individuales y otra para datos agrupados. En el caso de datos agrupados, las observaciones originales pueden ser incorporadas, o estadísticas del subgrupo. Caso #1: Individuales Los datos que se analizan consisten en una sola columna numérica que contiene n observaciones. Se asume que los datos se tomaron una vez en el tiempo. Observaciones: Columna numérica que contiene los datos que se analizarán. Etiquetas: Etiquetas opcionales para cada observación. Selección: Selección de un subconunto. Case #2: Datos Agrupados Observaciones Originales Los datos que se analizarán consisten en unas o más columnas numéricas. Se asume que los datos fueron tomados por grupos, en un orden secuencial por filas por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 4

5 Observaciones: Una o más columnas numéricas. Si se ingresa más de una columna, cada fila del archivo es asumida para representar a un subgrupo, con tamaño del subgrupo m igual al número de las columnas ingresadas. Si solamente se ingresa una columna, entonces el campo de tamaño o número del subgrupo es utilizado para formar los grupos. Tamaño o Número de Subgrupo: Si cada conunto de m filas representa un subgrupo, ingrese el valor m. Por eemplo, introducir 5 implica que los datos de la filas 1-5 forman el primer subgrupo, filas 6-10 forman el segundo subgrupo, etcétera. Si los tamaños de los subgrupos no son iguales, ingresar el nombre de una columna numérica o no numérica adicional que contenga identificadores del subgrupo. El programa explorará esta columna y pondrá filas secuenciales con códigos idénticos en el mismo subgrupo. Etiquetas de Subgrupo: Etiquetas opcionales para cada subgrupo. Selección: Selección de un subconunto. Caso #3: Datos Agrupados Estadísticas de Subgrupos En este caso, las estadísticas para cada subgrupo se han calculado en otra parte y se incorpora en la base de datos, como en la tabla de abao: 2006 por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 5

6 Simple (Muestra) Jeans (Medias) Ranges (Rangos) Sizes (Tamaños) STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 Estadísticas de Subgrupo: Los nombres de las columnas que contengan las medias y rangos de los subgrupos. Tamaño o Número de Subgrupo: Si todos los subgrupos contienen el mismo número de observaciones, ingrese el valor de n. De lo contrario, ingrese el nombre de una columna numérica que contenga los tamaños de los subgrupos. Etiquetas de Subgrupo: Etiquetas opcionales para cada subgrupo. Selección: Selección de un subconunto por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 6

7 Gráfico ARIMA El gráfico ARIMA puede ser dibuado de diferentes maneras, dependiendo de la configuración en Opciones del Análisis. Para los modelos estacionarios en los cuales los datos varían alrededor de una media fia μ, un tipo estándar de una carta Shewhart puede desarrollarse. Carta ARIMA para Concentration LSC = CTR = LIC = X Observación En esta carta, los datos se dibuan alrededor de una línea central localizada en μ con límites de control en: ˆ μ ± kσˆ z (8) donde k es un múltiplo (generalmente igual a 3) especificado sobre la sección Gráficos de Control de la caa de dialogo Preferencias, accesible desde el menú Edición. La media y desviación estándar dependen sobre el modelo ARIMA seleccionado. Para un modelo AR(2), y μ θ = 0 ( 1 φ1 φ2 ) (9) σ = z 1 φ2 1+ φ σ 2 2 {( φ ) φ } 2 a 1 (10) En modo Estudio Inicial, los parámetros del modelo ARIMA son estimados usando el procedimiento de estimación por máxima verosimilitud sin condicional con estimación hacia atrás completa. La desviación estándar de los choques aleatorios σ a puede estimarse usando el cuadrado medio del error (MSE) sobre el auste del modelo ARIMA o por medio del rango promedio, como se describe abao. Note que los límites de control para las concentraciones químicas son considerablemente más anchos que en el gráfico X. La auto-correlación entre mediciones sucesivas representa un tipo de comportamiento dinámico que causa que el proceso varié alrededor de su media de una manera seudo-periódica. La desviación de estándar de las mediciones es consecuentemente cerca del 25% más grande que la desviación estándar de los choques aleatorios por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 7

8 Resumen del Análisis Este panel despliega el auste del modelo ARIMA y un resumen de los gráficos de control. Gráfico ARIMA Individuos - Concentration Número de observaciones = observaciones excluidas Distribución: Normal Transformación: ninguna Carta ARIMA Período #1-120 LSC: +3.0 sigma Línea Central LIC: -3.0 sigma fuera de límites Carta MR(2) Período #1-120 LSC: +3.0 sigma Línea Central LIC: -3.0 sigma fuera de límites Estimados Período #1-120 Media de proceso Sigma de proceso MR(2) residual promedio Sigma de residuos Sigma estimada a partir del rango móvil promedio de residuos Resumen del Modelo ARIMA Parámetro Estimado Error Estnd. t Valor-P AR(1) AR(2) Media Constante Histórico: si Varianza estimada del ruido blanco = con 117 grados de libertad Desviación estándar estimada del ruido blanco = Se incluye en la tabla: Información del Subgrupo: El número de observaciones y el tamaño promedio de subgrupo. Distribución: La distribución asumida para los datos. Por defecto, se asume que los datos provienen de una distribución normal. Sin embargo, se pueden seleccionar alguna de las otras 26 distribuciones cambiando la selección en Opciones del Análisis. Transformación: Cualquier transformación puede ser aplicada a los datos. Usando Opciones del Análisis, se puede elegir la transformación de los datos una transformación común como raíz cuadrada u optimizar la transformación utilizando el método de Box- Cox por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 8

9 Gráfico ARIMA: Un resumen de la línea central y límites de control para el gráfico ARIMA, unto con un conteo de cualquier punto más allá de los límites de control. Gráfico MR(2)/R/S: Un resumen de la linea central y límites de control para el gráfico de dispersión. Estimación: La estimación de la media μ y desviación estándar σ del proceso. El método para la estimación de sigma depende sobre la configuración en la caa de dialogo de Opciones del Análisis, descrita más adelante. Media Residual MR(2), Rango Promedio, o Promedio S: El promedio de los valores dibuados sobre el gráfico de dispersión. Resumen del Modelo ARIMA: Un resumen sobre la estimación del modelo ARIMA. Para las mediciones de la concentración química, el modelo es: x = x x -2 + a (11) Cada coeficiente del modelo estimado se valida con una prueba de hipótesis t. Si el valor P asociado con el coeficiente seleccionado es menor que 0.05, con todos los coeficientes del modelo actual, entonces el coeficiente es significativamente diferente de 0 con un nivel de significancia del 5%. También se muestra la estimación de la media del proceso ˆ μ = y la desviación estándar de los choques aleatorios σ$ a = por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 9

10 Opciones del Análisis Tipo de Estudio: Se determina cómo se calcularan los límites de control. Para un gráfico en un Estudio Inicial (Fase 1), los límites se estiman de los datos actuales. Para un gráfico del Control de un Estándar (Fase 2), los límites de control se determinan sobre la información en la sección de Control de un Estándar en la caa de diálogo. Límites de Control ARIMA: Especifica la k múltiple utilizada en la determinación del límite de control inferior y superior sobre el gráfico ARIMA. Para suprimir un límite completamente, ingresar 0. Límites de Control MR(2): Especifica la k múltiple utilizada en la determinación del límite de control inferior y superior sobre el gráfico MR(2), R, o S. Para suprimir un límite completamente, ingresar 0. Control de un Estándar: Para desarrollar un análisis de Fase 2, seleccionar Control de un Estándar en Tipo de Estudio e ingresar el estándar establecido la media y sigma del proceso (u otros parámetros si no se asume una distribución normal) y los parámetros del modelo ARIMA. Modelo: Especifica el orden p de la proporción auto-regresiva (AR) del modelo, el orden de diferenciación d (I), y el orden q de la proporción de promedios móviles (MA) del modelo. Si d > 0, el termino de la constante θ 0 puede removerse por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 10

11 Estimación de Sigma: Especifica si la desviación estándar de los choques aleatorios σ a se debe estimar del gráfico de rango, o se estima del cuadrado medio del error residual sobre la estimación del modelo ARIMA. Tipo de Gráfico: El gráfico ARIMA puede construirse de cualquiera de las siguientes cuatro formas: 1. Datos con Límites a Largo Plazo Dibua las medias de subgrupos con límites definidos por ˆ μ ± kσˆ z (12) 2. Datos con Límites de Un-Paso - Dibua las medias de subgrupos con límites definidos por zˆ ( 1) ± kσˆ (13) a donde z$ ( 1) es la esperanza condicional de z en el periodo encontrando toda la información a través del periodo - 1. Por eemplo, la esperanza condicional para la observación en un periodo usando el auste del modelo AR(2) para la concentración es ( 1) = z z 2 z ˆ (14) 3. Residuales Dibua los residuales definidos por a$ = z z$ ( 1 ) (15) 4. Residuales Normalizados - Dibua los residuales normalizados definidos por aˆ / σˆ (16) a Botón de Transformación: Use este botón para especificar una transformación o una distribución no normal. Para una discusión de las propiedades de Transformación, vea la documentación de Gráficos de Control para Individuos por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 11

12 Eemplo Datos con Límites de Un-Paso STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 Carta ARIMA para Concentration LSC = CTR = LIC = X Observación Esta forma de gráfico dibua los límites sigma alrededor de la observación esperada en el tiempo, encontrando toda la información a través del tiempo - 1. Esto es útil para determinar si un evento inusual ha ocurrido en el periodo de tiempo. En este formato, estaremos mirando los choques locales del sistema, más bien que tomar una vista global de las desviaciones del proceso con respecto de su media. Eemplo - Residuales Carta de Residuos ARIMA para Concentration Residuo LSC = 1.00 CTR = 0.00 LIC = Observación Esta forma de gráfico dibua los choques estimados del sistema. Las señales de fuera-de-control serán las mismas que para el gráfico con límites de un-paso. Gráfico MR(2)/R/S Un segundo gráfico también es incluido para monitorear la variabilidad del proceso por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 12

13 Carta MR(2) para Residuos LSC = 1.23 CTR = 0.38 LIC = 0.00 MR(2) Observación Para datos individuales, la carta que se despliega es un gráfico MR(2), descrita en la documentación de Gráficos de Control Individuales. Para datos agrupados, un gráfico R (Rango) o S (Sigma) será presentado, dependiendo de la configuración en la sección Gráficos de Control de la caa de dialogo de Preferencias: Estás cartas se describen en la documentación sobre Gráfico X-Barra-R o Gráfico X Barra-S. El gráfico de dispersión siempre será creado usando los residuales de la estimación del modelo. Opciones del Panel Límites de Precaución Externos: Active esta caa para agregar Limites de Precaución Externos en una sigma especificada, generalmente se trabaa en 2 sigma por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 13

14 Límites de Precaución Internos: Active esta caa para agregar Limites de Precaución Internos en una sigma especificada, generalmente se trabaa en 1 sigma. Promedio Móvil: Activando esta caa se agrega un suavizado de Promedio Móvil en el gráfico. Adicionalmente a las medias de los subgrupos, el promedio del más reciente q puntos será presentado, donde q es el orden del Promedio Móvil. El valor por omisión es q = 9 puesto que los límites de precaución internos a 1 sigma para las medias originales de los subgrupos son equivalentes a límites de control a 3 sigma para el orden del Promedio Móvil. Promedio Móvil Exponencialmente Ponderado (EWMA): Activar esta caa para agregar un suavizado EWMA sobre el gráfico. Adicionalmente a las medias de subgrupos, un promedio móvil exponencialmente ponderado de las medias de subgrupos será presentado, cuando λ es el parámetro suavizado de la EWMA. El valor por omisión λ = 0.2 puesto que los límites de precaución interno en 1 sigma para las medias originales de los subgrupos son equivalentes a límites de control a 3 sigma en la EWMA. Decimales para los Límites: El número de decimales utilizados para presentar los límites de control. Marcar Violaciones a Reglas de Corridas: Banderas con un símbolo especial en el punto para cualquier secuencia o corrida inusual (no aleatoria). Las reglas de corridas aplican por omisión a las especificadas en la sección Pruebas de Corridas dentro de la caa de dialogo Preferencias. Color de Zona: Activar esta caa para desplegar colores de zona, verde, amarrillo y roo por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 14

15 Reporte del Gráfico ARIMA Reporte de Carta ARIMA para Individuos Observaciones Fuera de Límites * = Fuera de Límites Observación Residuo MR(2) * * * Los puntos con fuera-de-control son marcados con un asterisco (*). Los puntos excluidos de los cálculos con marcados por una equis (X). Opciones del Panel Desplegar: Especifica las observaciones o subgrupos a desplegar en el reporte. Prueba de Corridas Si el tipo de gráfico ARIMA seleccionado fue dibuar los residuales, entonces el panel de Pruebas de Corridas despliega los resultados de las pruebas estándares designadas para detectar una secuencia de puntos anormales. Runs Tests Reglas (A) secuencias arriba o abao de la línea central con longitud 8 o mayor. (B) secuencias arriba o abao de longitud 8 o mayor. (C) conuntos de 5 observaciones con al menos 4 más allá de 1.0 sigma. (D) conuntos de 3 observaciones con al menos 2 más allá de 2.0 sigma. Violaciones Observación Carta de Residuos Carta MR(2) 65 D 87 A 88 A 89 A 90 A 91 A 92 A 93 A 94 A Para una descripción más detallada de estas pruebas, ver la documentación Gráficos X-Barra-R por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 15

16 Opciones del Panel STATGRAPHICS Rev. 9/14/2006 Seleccione las pruebas de corridas a ser aplicadas y los parámetros que definen estas pruebas. Por eemplo, algunos practicantes prefieren probar corridas con 7 puntos en lugar de 8. Función de Auto-Correlación Residual El gráfico de la Función de Auto-Correlación Residual grafica las auto-correlaciones de $a : 1 Autocorrelaciones de Residuos para Concentration Autocorrelatciones lag La auto-correlación mide la relación entre los residuales en una separación especificada del tiempo, llamado "lag". Si el modelo seleccionado ARIMA se austa bien sobre los datos, los residuales deben aleatorizarse y todas las barras deben permanecer dentro de los límites de probabilidad indicados. Cualquier barra que se extienda más allá de los límites indicados tiene auto-correlación estadísticamente significativa entre los residuales separados por un número de períodos indicados. El gráfico antedicho muestra dos pequeñas auto-correlaciones significativas, en las separaciones de los períodos 7 y 14. Puesto que las mediciones fueron tomadas una vez cada dos horas, podría haber un ciclo en los datos con un período de 14 horas. Observe sin embargo que las correlaciones fuertes son en los lags más baos sobre las mediciones originales que han sido consideradas por el modelo AR(2) por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 16

17 Opciones del Panel Número de Lags: Máximo lag para estimar la auto-correlación. Nivel de Confianza: Nivel usado para calcular los limites de probabilidad. Función de Auto-Correlación Parcial Residual La función de auto-correlación parcial residual es usada para determinar si términos adicionales AR deben agregarse al modelo. 1 Autocorrelaciones Parciales de Residuos para Concentration Autocorrelaciones Parciales lag Si los valores en los lags más baos están más allá de los límites de probabilidad, entonces el orden del modelo AR tiene que ser aumentado. En este caso, el modelo AR(2) parece ser suficiente para describir la mayoría de la correlación en los datos. Una vez más una correlación posible se indica en el lag 7, que valdría la pena investigar. Opciones del Panel Número de Lags: Máximo lag para estimar la auto-correlación. Nivel de Confianza: Nivel usado para calcular los limites de probabilidad por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 17

18 Índices de Capacidad El panel para Índices de Capacidad despliega los valores de los índices seleccionados que miden que tan bien se conforman los datos con los límites de especificación. Índices de Capabilidad para Concentration Especificaciones LSE = 18.5 Nom = 17.0 LIE = 15.5 Corto Plazo Largo Plazo Capabilidad Desempeño Sigma Cp/Pp Cpk/Ppk Cpk/Ppk (superior) Cpk/Ppk (inferior) Con base en límites 6.0 sigma. La sigma de corto plazo se estimó a partir del rango móvil promedio. Los índices reportados por defecto dependen sobre la configuración en la sección Capacidad dentro de la caa de dialogo Preferencias. Una discusión más detallada de estos índices puede consultarse en la documentación para Capacidad del Proceso (Variables). Opción del Panel Índices: Seleccione el índice a ser presentado. Especificaciones: La especificación del límite superior o inferior, nominal o valor obetivo. Cualquiera de estas entradas puede dearse en blanco si no son relevantes por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 18

19 Grabar Resultados Los siguientes resultados pueden grabarse en la base de datos, dependiendo si los datos son individuales o agrupados: 1. Observaciones Las observaciones originales o promedios de subgrupos. 2. Rangos, sigmas, o rangos móviles Los valores dibuados sobre el gráfico de dispersión. 3. Tamaños El tamaño de los subgrupos. 4. Etiquetas Las etiquetas de los subgrupos. 5. Media de Proceso La estimación de la media del proceso. 6. Sigma de Proceso La estimación de la desviación estándar del proceso. 7. Residuales Los residuales del modelo ARIMA. Cálculos Para más información sobre la estimación de los modelos ARIMA, ver la documentación de Predicciones por StatPoint, Inc. Gráfico ARIMA - 19