SISTEMAS LINEALES TABLAS. Dpto. Teoría de la Señal y Comunicaciones

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Xavier Barbero Arroyo
hace 7 años
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1 SISEMAS LIEALES ABLAS Dpo. orí d l Sñl y Comuiccios

2 POPIEDADES DE LA ASFOMADA DE LAPLACE Propidd Sñl rsformd OC ( ) ( ) ( ) s ( s) ( s) Lilidd + b ( ) ( s) b ( s) Dsplmio l impo ( ) Dsplmio l domiio s s ( ) Escldo l impo ( ) Cojugció ( ) + Al mos s s s ( s ) Vrsió dspld d ( s dcir, s sá l OC si s-s sá ) s * * ( s * ) Covolució ( ) ( s) ( s) Difrcició l domiio dl impo. d ( ) d Difrcició l domiio s ( ) Igrció l domiio dl OC scld (s dcir, s sá l OC si s/ sá ) Al mos s s Al mos d ds s impo. ( τ) dτ s s orms dl vlor iicil y fil. Al mos s > { {} } Si pr < y o coi impulsos o fucios sigulrs d ord suprior, ocs ( + ) Lims( s) Lim ( ) Lims( s) s

3 ASFOMADA DE LAPLACE DE FUCIOES ELEMEALES SEÑAL ASFOMADA OC δ odo s u s ( ) u s ( ) ( ) u! u! u ( ) α ( ) u ( ) {} s > {} s < {} s > s {} s < s s +α α! ( ) α α u ( ) u! ( ) s +α ( s +α) ( s +α) δ s [ cosω u [ sω u α [ ω s s +ω ω s + ω cos u ( s α) α [ sω u u d δ d u * * u u vcs s + α + + ω ω ( α) s + + ω s s {} s >α {} s <α {} s >α {} s <α Pr odo s {} s > {} s > {} s >α {} s >α Pr odo s {s} >

4 POPIEDADES DE LA SEIE COIUA DE FOUIE Propidd Sñl Priódic Coficis d l sri Obció d coficis y Priódics d priodo y frcuci fudml ω π jω Lilidd ( ) B y( ) Dsplmio l impo ( ) Dsplmio frcuci ω ( ) b jω Sñl pr cos( ω ) Sñl impr s( ω ) j A + A + B b j ω jm Cojugció * ( ) M Ivrsió d impo ( ) Esclmio l impo ( ), α > Covolució priódic ( τ) y( τ) Muliplicció ( ) y( ) Difrcició d( ) α (Priódic d priodo /α) dτ b d p p b p jω Igrció τ dτ (d vlor fiio y priódic solo si ) jω Simrí cojugd pr sñls rls. ( ) Sñl rl I ϕ m [ [ [ I [ [ ϕ[ Sñl rl y pr rl y pr rl y pr Sñl rl impr rl impr imgiri impr lció d Prsvl pr sñls priódics P m [ d m d d d

5 COEFICIEES DEL DESAOLLO E SEIE DE FOUIE DE SEÑALES COIUAS SEÑAL PEIÓDICA COEFICIEES + jω j ω cosω ;, s ω ;, j ;, δ( ) Od cudrd priódic m τ A ( τ chur dl pulso) m ó A, < τ, τ < < y ( + ) s A ( ω τ / ) π Aτ ωτ si c π Od rigulr priódic m τ A ( τ chur dl pulso) m Aτ ωτ si c π m τ A cosω p Aτ ω ω si c π p τ ω + ω τ A + si c π p τ

6 Ecucios ASFOMADA DE FOUIE E IEMPO COIUO POPIEDADES Propidd Sñl rsformd d Fourir y (ω) Y ω d π ( ω) ( ) j ω ω ( ω) ( ) Pr ( ω) ( ) Impr ( ω) j ( ) Lilidd + b y (ω) + b Y(ω) Dsplmio l impo (- ) ( ) j ω ω Dsplmio frcuci j ω (ω-ω ) Cojugció * * (-ω) Ivrsió d impo (-) (-ω) Escldo d impo y frcuci ω jω d cosω d Covolució y (ω) Y(ω) Muliplicció y [ ( ω) Y( ω) π Difrcició l impo d jω ( ω ) d Igrció τ dτ ω + π δ ω jω Simrí cojugd pr sñls rls Simrí pr sñls rls y prs Simrí pr sñls rls y prs Dscomposició pr impr d sñls rls ( ) ( ) ( ) sω d ( ω) ( ω) [ ( ω) [ ( ω) m [ ( ω) Im [ ( ω) ( ω) ( ω) [ ( ω) ϕ[ ( ω) Sñl rl I ϕ ( ω) ( ) [ ω Sñl rl y pr ( ω) [ ( ) ω ϕ[ ( ω) ± π Sñl rl impr ( ) ( ) ω Im[ ω ( ω) ji [ ( ) m ω π ϕ[ ( ω) ± p I Pr{ ( ) } [ ( ) rl { ( ω) } Imp{ } [ ( ) rl jim{ ( ω) } f ( ) G( ω) DUALIDAD G ( ) π f( ω) lció d Prsvl pr sñls o priódics [ ( ) E d ω dω π

7 EJEMPLOS DE ASFOMADAS DE FOUIE DE SEÑALES COIUAS SEÑAL ASFOMADA jω π δ( ω ω ) A πa δ( ω) A j ω π Aδ( ω ω ) A cos ω π A[ δ( ω ω ) + δ( ω + ω ) A s ω A[ δ ( ω ω ) δ( ω + ω ) π j Pulso rcgulr ( ) A ( chur dl pulso) τ τ ó A,, < τ > τ ( ω) As ω ( ωτ ) ωτ Aτsi c π Pulso rigulr ( ω) Aτ sic τ A ( τ chur dl pulso) π δ( ) π δ ω s W π ( ω),, ωτ π ω < W ω > W A δ A A δ(- ) j A ω jω u + πδ( ω) + j ω u, {} > u, {} > ( ) + jω! ( ) u, {} > ( + jω)

8 Eprsió POPIEDADES DE LA ASFOMADA Propidd Sñl rsformd OC [ ( ) [ [ [ [ Lilidd [ + b [ ( ) b ( ) [ ( ) Dsplmio l impo Escldo l domiio j Ivrsió l impo [ [ [ [ Epsió l impo ( )[ ( ) ω jω + Al mos l irscció d y ( ) ( ) ( ) [ r, r, r pr lgú ro r, cpo pr l posibl dició o suprsió dl orig Vrsió scld d (s dcir, l cojuo d puos{ } pr ivrid (s dcir, - l cojuo d puos -, dod sá ( ) Cojugció [ * * Covolució [ * [ ( ) ( ) Primr difrci [ [ Acumulció Difrcició l domiio * ( ) ( ) ( ) [ ( ) [ d ( ) s dcir, l cojuo d puos dod sá Al mos l irscció d y Al mos l irscció d y > ( ) Al mos l irscció d y > d orm dl vlor iicil Si [ pr <, ocs, Lim [ ( )

9 ABLA DE ASFOMADAS FECUEES Scuci [ rsformd () OC δ [ odo δ [ m m u u [ [ Pr odo cpo (si m > ) o ifiio (si m < ) > < u[ > u [ < u[ u [ [ cos( Ω ) u[ [ s ( Ω ) u[ ( ) ( ) > < cosω > cosω + sω > cosω + [ r cos( Ω ) u[ [ r cos Ω [ r cos Ω + r [ r s ( Ω ) u[ [ r s Ω [ r cos Ω + r > r > r

10 SEIES DE FOUIE E IEMPO DISCEO Propidd Sñl priódic Cofici [ y[ Priódics co priodo y frcuci fudml Ω π/ π Ecucios j [ [ Lilidd A [ B [ Dsplmio d impo [ Dsplmio frcuci [ Cojugció [ Ivrsió l impo [ Escldo l impo Covolució priódic Muliplicció [ y[ Primr difrci [ [ Sum coscuiv Simrí cojugd pr sñls rls. [ l Priódics d priodo b A + Bb + j π π jm M [ m, muliplo d m ( m )[, rso d vlors (priódic d priodo m) [ [ y[ [ r y[ r b r π j m (viss como priódics d priodo m) r r b r ( ) j( π ) [ (d vlor fiio y priódic sólo si ) j( π ) ( ) Im ϕ [ [ [ Im[ ϕ Sñls rls y prs [ EALyPA rl y pr Sñls rls imprs [ EAL IMPA imgiri impr Dscomposició pr impr d sñls rls p[ Pr{ [ } [ [ rl [ I [ Impr{ [ } [ [ rl jim [ lció d Prsvl pr sñls priódics P m [

11 EJEMPLOS DE CÁLCULO DE COEFICIEES DEL DESAOLLO E SEIE DE FOUIE DE SEÑALES DISCEAS SEÑAL COEFICIEES π j j Ω cosω s Ω [ [ δ( ) Od cudrd priódic,, < [ y [ + [ πm Ω, m, m ±, m ±,, oro vlor Ω (b) irrciol sñl priódic π πm Ω /, ± m, ± m ±, ± m ±,, oro vlor Ω (b) irrciol sñl priódic π πm Ω / j, m, m ±, m ±, / j, m, m ±, m ±,, oro vlor Ω (b) irrciol sñl priódic π,, ±, ±, co oro vlor s s +, [( π )( + ) [( π ), ±, ±,,, ±, ±,

12 Ecució ASFOMADA DE FOUIE E IEMPO DISCEO Propidd Sñl rsformd Sñl priódic π [ ( Ω) y[ Y( Ω) j [ ( Ω) Ω dω ( Ω) [ [ π Priódics d priodo π jω π j (sñl priódic, ) ( ) π Ω π δ( Ω ) Sñl priódic [ [ + (sñl priódic) π ( Ω ) Ω + b Y ) Lilidd [ + b y[ ( ) (Ω Dsplmio l [ jω ( ) impo Dsplmio frcuci Ω [ j Ω ( Ω Ω ) Cojugció [ ( Ω) Ivrsió impo [ ( Ω) Epsió impo [, ( )[ muliplo d ( Ω), rso d vlors Covolució [ y[ ( Ω) Y(Ω Muliplicció [ y [ Difrcició impo [ [ Acumulció Difrcició frcuci Simrí cojugd pr sñls rls Simrí pr sñls rls prs Simrí pr sñls rls imprs Dscomposició pr impr d sñls rls m ) ( θ ) Y ( Ω θ ) π π jω ( ) ( Ω) [ m ( Ω) jω [ d( Ω) [ EAL j dω + π dθ ( ) δ( Ω π) ( Ω) ( Ω) [ ( Ω) [ ( Ω) [ ( Ω) Im[ ( Ω) ( Ω) ( Ω) Im ϕ( Ω) ϕ( Ω) [ EAL y PA ( Ω) rl y pr [ EAL IMPA ( Ω) imgiri pur impr I [ Pr{ [ } [ [ rl [ ( Ω) [ Impr{ [ } [ [ rl j Im[ ( Ω) p lció d Prsvl pr sñls priódics E [ ( Ω) dω π π DUALIDAD F [ ( Ω) [ [ ( Ω)

13 EJEMPLOS DE ASFOMADA DE FOUIE DE SEÑALES DISCEAS SEÑAL COEFICIEES π j π π δ Ω j Ω π δ( Ω Ω π) Ω π δ( Ω Ω π) + δ( Ω + Ω π) [ cos Ω δ( Ω Ω π) δ( Ω + Ω π) [ s [ π δ( Ω π) π j π [ δ( ) π δ Ω [ u < [,, > jω s [ Ω ( + ) s π W W si c π W π < W < π δ [ u [ [ s ( Ω ),, Ω W ( Ω) ( Ω) priódic d priodo π δ j ( + ) u[ < ( + r )! ( r )!! u [ < Ω jω + jω ( ) jω ( ) r W Ω π πδ ( Ω π)

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